1、重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION 高考抽象函數技巧總結由于函數概念比較抽象，學生對解有關函數記號f(x)的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函數概念的理解，更好地掌握函數的性質，培養靈活性；提高解題能力，優化學生數學思維素質。現將常見解法及意義總結如下：一、求表達式：1換元法：即用中間變量表示原自變量X的代數式，從而求出f(x)，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養學生的靈活性及變形能力。x例1：已知f(J2x+1，求f(x).X+1-x,ucu42一u”，、2一x解：設1=u，則x=1f(u)=2+1f(x)=1TOC o 1-5 h z HYPERLINK

2、 l bookmark6x+11一u1一u1一u1一x2湊合法：在已知f(g(x)=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(u)表示的代數式，再利用代換即可求f(x).此解法簡潔，還能進一步復習代換法。例2：已知f(x+1)=x3+1，求f(x) HYPERLINK l bookmark0 xx3 HYPERLINK l bookmark121111111解：*/f(x+)=(x+)(x2，1+)=(x+)(x+)2，3)又TIx+1=1xI+1 HYPERLINK l bookmark14xxx2xxxIxIf(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|三1)3待定系數法：先確定函數類型，設

3、定函數關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數。例3.已知f(x)二次實函數，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).解：設f(x)=ax2+bx+c，則f(x+1)+f(x一1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x一1)2+b(x一1)+c2(a+c)=4=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4比較系數得0時，f(x)=lg(x+1)，求f(x)解:/f(x)為奇函數，.f(x)的定義域關于原點對稱，故先求x0lg(1x),xV0例5已知f(x)為偶函數，g(x)為奇函數，且有f(x)+g(x)=x1，求f(x)，g(x)-解：f(x)為偶函數，g(x)為

4、奇函數，f(x)=f(x),g(x)=g(x),不妨用-x代換f(x)+g(x)=x1中的x，f(x)，g(x)=即f(x)-g(x)顯見+即可消去g(x),求出函數f(x)=再代入求出g(x)=5賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出f(x)的表達式例6：設f(x)的定義域為自然數集，且滿足條件f(x,1)=f(x),f(y),xy，及f(1)=1,求f(x)解：f(x)的定義域為N,取y=1,則有f(x,1)=f(x),x,1f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2),3f(n)=f(n1),n、n(n,1)、1/八以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n=2/.f(x

5、)=2x(x,1),xeN二、利用函數性質，解f(x)的有關問題判斷函數的奇偶性：例7已知f(x,y),f(xy)=2f(x)f(y)，對一切實數x、y都成立，且f(0)豐0，求證f(x)為偶函數。證明：令x=0,則已知等式變為f(y)，f(y)=2f(0)f(y)在中令y=0則2f(0)=2f(0)f(0)工0f(0)=1f(y)，f(y)=2f(y)f(y)=f(y)f(x)為偶函數。2確定參數的取值范圍例8：奇函數f(x)在定義域(-1，1)內遞減，求滿足f(1m)+f(1m2)0的實數m的取值范圍。解:由f(1m)+f(1m2)0得f(1m)f(1m2)，f(x)為函數，f(1m)f(

6、m21)11一m1又f(x)在(-1，1)內遞減，一1m2110mm2一13.解不定式的有關題目 重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION例9：如果f(x)=ax2bxc對任意的t有f(2t)=f2，t)，比較f(1)、f(2)、f的大小解：對任意t有f(2t)=f2，t).x=2為拋物線y=ax2bxc的對稱軸又其開口向上f(2)最小,f(1)=f(3)V在:2,+切上,f(x)為增函數f(3)f(4),f(2)f(1)0時，f(x)0,f(1)=2,求f(x)在區間2,1上的值域。分析：由題設可知，函數f(x)是的抽象函數，因此求函數f(x)的值域，關鍵在于研究它的單調性。解：設

7、.當，即，.：f(x)為增函數。在條件中，令y=X,貝y，再令x=y=0,則f(0)=2f(0),.f(0)=0,故f(x)=f(x),f(x)為奇函數，f(1)=f(1)=2,又f(2)=2f(1)=4,f(x)的值域為4,2。例2、已知函數f(x)對任意，滿足條件f(x)+f(y)=2+f(x+y)，且當x0時，f(x)2,f(3)=5,求不等式的解。分析：由題設條件可猜測：f(x)是y=x+2的抽象函數，且f(x)為單調增函數，如果這一猜想正確,也就可以脫去不等式中的函數符號，從而可求得不等式的解。解：設.當，則即，f(x)為單調增函數。V,又Vf(3)=5,.f(1)=3。重慶書之香教

8、育CHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION 即，解得不等式的解為一1a0。解：(1)令y=0代入，貝y，:。若f(x)=0,則對任意，有，這與題設矛盾，f(x)工0,f(0)=1。令y=x0，貝y，又由(1)知f(x)工0,.f(2x)0，即f(x)0,故對任意x,f(x)0恒成立。TOC o 1-5 h z例4、是否存在函數f(x)，使下列三個條件：f(x)0,xUN；f(2)=4。同時成立？若存在，求出f(x)的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設可猜想存在，又由f(2)=4可得a=2.故猜測存在函數，用數學歸納法證明如下：x=1時，J，又

9、TxUN時，f(x)0,結論正確。假設時有，則x=k+1時，x=k+1時，結論正確。綜上所述，x為一切自然數時。3、對數函數型抽象函數對數函數型抽象函數，即由對數函數抽象而得到的函數。例5、設f(x)是定義在(0,+)上的單調增函數，滿足，求：f(1)；若f(x)+f(x8)W2,求x的取值范圍。分析：由題設可猜測f(x)是對數函數的抽象函數，f(1)=0,f(9)=2。解：(1)T,.f(1)=0。(2)，從而有f(x)+f(x8)Wf(9),Vf(x)是(0,+)上的增函數，故，解之得：8VxW9。例6、設函數y=f(x)的反函數是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(

10、a+b)=g(a)g(b)是否正確，試說明理由。分析：由題設條件可猜測y=f(x)是對數函數的抽象函數，又Vy=f(x)的反函數是y=g(x),：y=g(x)必為指數函數的抽象函數，于是猜想g(a+b)=g(a)g(b)正確。解：設f(a)=m,f(b)=n，由于g(x)是f(x)的反函數，.：g(m)=a,g(n)=b,從而,.：g(m)g(n)=g(m+n),以a、b分別代替上式中的m、n即得g(a+b)=g(a)g(b)。4、三角函數型抽象函數三角函數型抽象函數即由三角函數抽象而得到的函數。例7、己知函數f(x)的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：當是定義域中的數時，有；f(a)=l

11、(a0,a是定義域中的一個數)；當0VxV2a時，f(x)0。試問：(1)f(x)的奇偶性如何？說明理由。(2)在(0,4a)上,f(x)的單調性如何？說明理由。分析：由題設知f(x)是的抽象函數，從而由及題設條件猜想：f(x)是奇函數且在(0,4a)上是增函數(這里把a看成進行猜想)。解：(1)Vf(x)的定義域關于原點對稱，且是定義域中的數時有在定義域中。V.f(x)是奇函數。(2)設0VxVxV2a,則0VxxV2a,V在(0,2a)上f(x)0,1221中的，于是f(x1)f(I,fq)，f(I均小于零，進而知0,即在(2a,4a)上f(x)0。設2axx4a,則0 xx2a，從而知f

12、(x),f(x)均大于零。f(xx)0,T12211221,，即f(X)f(X2)，即f(x)在(2a,4a)上也是增函數。綜上所述，f(x)在(0,4a)上是增函數。5、幕函數型抽象函數幕函數型抽象函數，即由幕函數抽象而得到的函數。例8、已知函數f(x)對任意實數x、y都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(1)=1,f(27)=9,當時，。判斷f(x)的奇偶性；判斷f(x)在0,+)上的單調性，并給出證明；若，求a的取值范圍。分析：由題設可知f(x)是幕函數的抽象函數，從而可猜想f(x)是偶函數，且在0,+)上是增函數。解：(1)令丫=1,則f(x)=f(x)f(1),Vf(1)=1,.f

13、(x)=f(x),f(x)為偶函數。(2)設.時，,.f(X)0時，0f(x)l。(2)設解：(1)在,若中，令在O中，令因為當時，所以當時而，試確定a的取值范圍。得，因為，所以關于點(0,2002)對稱。根據原函數與其反函數的關系，知函數的圖象關于點(2002,0)對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數圖象關于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b均為常數，函數對一切實數x都滿足對稱圖形。八、網絡綜合問題例9.定義在R上的函數f(x)滿足:對任意實數m,n,總有(1)判斷f(x)的單調性； # # # #所以又當x=0時，所以，綜上可知，對于任意，均有設，貝y所以所

14、以在R上為減函數。(2)由于函數y=f(x)在只上為減函數，所以即有又，根據函數的單調性，有，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得評析：(1)要討論函數的單調性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)0的結論。這是解題的關鍵性步驟，完成這些要在抽象函數式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯想類比思維都有助于問題的思考和解決。重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION定義在R上的函數f(x)滿足：f(x)f(4-x)且f(2-x)+f(x2)0，求f(2000)的值。解：由f(2-x)+f(x-2)0,以t=x2代入，有f(t)=f(t),f(x)為奇函數且有f(0)0又由

15、f(x,4)f4-(-x)f(-x)-f(x)f(x,8)-f(x,4)f(x)故f(x)是周期為8的周期函數,f(2000)f(0)0例2已知函數f(x)對任意實數x，y都有f(x,y)=f(x),f(y)，且當x0時,f(x)0,f(-1)-2，求f(x)在-2，1上的值域。由條件當x0時，f(x)0又f(x2)f(x2-x1)，x1f(x2-x1)+f(x1)f(x1)f(x)為增函數,令y-x,則f(0)f(x),f(-x)又令xy0得f(0)0重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATIONf(-X)，-f(X),故f(X)為奇函數，f，-f，2,f(-2)，2f(-1)，-4f(

16、x)在-2,1上的值域為-4,2求參數范圍這類參數隱含在抽象函數給出的運算式中，關鍵是利用函數的奇偶性和它在定義域內的增減性，去掉“f”符號，轉化為代數不等式組求解，但要特別注意函數定義域的作用。例3已知f(x)是定義在(-1,1)上的偶函數，且在(0,1)上為增函數，滿足f(a一2)一f(4一a2)0，試確定a的取值范圍。解：f(X)是偶函數，且在(0,1)上是增函數，f(X)在(-1，0)上是減函數，1a21由彳得3a5。-14-a21當a，2時，f(a2)，f(4-a2)，f(0)，不等式不成立。當3a2時，f(a-2)f(4-a2)-1a-20，f(a2-4)o-1a2-4a24解之得

17、，3a2當2a5時，f(a-2)f(4-a2)0a-21，f(a2-4)o0a2-41a2a24解之得，2a5綜上所述，所求a的取值范圍是(3，2)U(2，5)。重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION # #例4已知f(x)是定義在(1上的減函數，若f(m2-sinx)，f(m+1+cos2x)對xR恒成立,求實數m的取值范圍。m2sinx,3解：m+1+cos2x,3m2sinx，3對xR恒成立om2sinxm+1+cos2xm2sinxm+1+cos2x對xR恒成立oTOC o 1-5 h zS15m2m1sinx+cos2x(

18、sinx)2+vr4對xR恒成立,m23,1 HYPERLINK l bookmark40,5m2m141一10-2m2為所求。解不等式這類不等式一般需要將常數表示為函數在某點處的函數值，再通過函數的單調性去掉函數符號“f”,轉化為代數不等式求解。例5已知函數f(x)對任意x，yR有f(x)+f(y)0時，f(x)2，f5,求不等式f(a22a2)3的解集。解：設x、xR且xx1212f(x)f(xx)+x2211f(x)2111f(x)f(x)21故f(x)為增函數,又f(3)f(2+1)f(2)+f(1)23f(1)40 # #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATIONf=3f(a

19、22a2)3=f(1),即a22a211a3因此不等式f(a2-2a-2)3的解集為al-la3)o證明某些問題例6設f(x)定義在R上且對任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2)，求證：f(x)是周期函數，并找出它的一個周期。分析：這同樣是沒有給出函數表達式的抽象函數，其一般解法是根據所給關系式進行遞推，若能得出f(x+T)=f(x)(T為非零常數)則f(x)為周期函數，且周期為T。TOC o 1-5 h z證明：f(x)=f(x+1)f(x+2)(1)f(x+1)=f(x+2)，f(x+3)(2)(1)+得f(x)=，f(x+3)(3)由(3)得f(x+3)=f(x+6)(4)由(3

20、)和(4)得f(x)=f(x+6)。上式對任意xeR都成立，因此f(x)是周期函數，且周期為6。例7已知f(x)對一切x,y，滿足f(0)豐0,f(x+y)=f(x)-f(y)，且當x1，求證：(1)x0時，0f(x)0，則x1，而f(0)=f(x)-f(x)=1設x，xeR且x0 # #則0f(X),12即f(X)為減函數。綜合問題求解抽象函數的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數定義域的應用，二是利用函數的奇偶性去掉函數符號“f”前的“負號”，三是利用函數單調性去掉函數符號“f”例8設函數y，f(X)定義在R上，當X0時，f(

21、X)1，且對任意m，n，有f(m+n)，f(m)f(n)，當m豐n時f(m)豐f(n)。(1)證明f(0)，1；證明：f(X)在R上是增函數；設A，(,y)1f(x2)f(y2)f(1)，B，(X，y)1f(ax+by+c)，1，a，b，cgR，a豐0，若AB，1，若X10時,(2)設X10，由已知得f(X2X1)1，因為X1n，10,f(X)1，由f(0)，fOf(-X1)f(X)，1f(-X)重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION0 # #f(X2)，f(X2-X1)f(X1)f(X1)f(x)在R上為增函數。重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION0 # #重慶書之

22、香教育CHONGQINGEDUCATION(3)由f(X2)f(y2)f得x2,y21(1由f(ax,by,c)=1得ax,by,c=0(2)從(1)、(2)中消去y得(a2,b2)x2,2acx，-cb20，因為AB=A=(2ac)2一4(a2,b2)(cb-0,(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)判斷f(x)的單調性;(3)求證f(5)+f(；)+f(3.)f(2)。511n2+3n2分析：這是一道以抽象函數為載體，研究函數的單調性與奇偶性，再以這些性質為基礎去研究數列求和的綜合題。再令y=-x可得解：(1)對條件中的x,y,令x=y=0,f(0)，f(0)=f(0)f()x，f(-x)=

23、0f(0)=0f(-x)=一f()x,所以f(x)是奇函數。(2)設-1x1則fO-2)=+f(W)=f(:-J120，00 # # #x-x121-xx12xx)0，從而有f(x1)一f(x2)0，即f(x1)f(jf(2)n2+n+1)f(2)。f(；)+f(111)+f(抽象函數問題分類解析我們將沒有明確給出解析式的函數稱為抽象函數。近年來抽象函數問題頻頻出現于各類考試題中，由于這類問題抽象性強，靈活性大，多數同學感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分類解析，供學習參考。1.求定義域這類問題只要緊緊抓住：將函數fg(x)中的g(x)看作一個整體，相當于f(x)中的X這一特性，問題就

24、會迎刃而解。例1.函數yf(x)的定義域為(1，則函數yflog(x22)的定義域是_。2分析：因為log(x22)相當于f(x)中的X,所以log(x22)1，解得222x2或，2x，2。例2.已知f(x)的定義域為(0，1)，則yf(x+a)+f(xa)(|al；)的定義域是分析：因為x+a及xa均相當于f(x)中的x,所以0 x+a1f，ax,0 x一a1ax+a0時，則xe(，a，12時則xe(a，重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION2.判斷奇偶性根據已知條件，通過恰當的賦值代換，尋求f(X)與f(x)的關系。重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION2.判斷奇偶

25、性根據已知條件，通過恰當的賦值代換，尋求f(X)與f(x)的關系。 -7 -7 #例3.已知f(x)的定義域為R,且對任意實數X,y滿足fXy)=fX，fQy，求證：f(X)是偶函數。分析：在fXy)=fX，fQy中，令x=y=1，得f(1)=f(1)，f(1)=f(1)=0令x=y=1，得f(1)=f(1),f(1)=f(1)=0于是fx-)=f(1齊)f(1)+#(x)f(x)故f(x)是偶函數。例4.若函數y=f(M()x0)與y=f(x)的圖象關于原點對稱，求證：函數y=f(x)是偶函數。證明：設y=f(x)圖象上任意一點為P(x，y)00y=f(x與y=f(x)的圖象關于原點對稱，P

26、(x0，y0)關于原點的對稱點(-x0，一y0)在y=-f(x)的圖象上,y=f(x)00y=f(x)00又y0=f(x0)f(-x0)=化)即對于函數定義域上的任意x都有f(x)=f(x)，所以y=f(x)是偶函數。判斷單調性根據函數的奇偶性、單調性等有關性質，畫出函數的示意圖，以形助數，問題迅速獲解。例5.如果奇函數f(x)在區間3,7上是增函數且有最小值為5,那么f(x)在區間7，3上是A.增函數且最小值為-5B.增函數且最大值為-5C.減函數且最小值為5D.減函數且最大值為5分析：畫出滿足題意的示意圖1,易知選B。-33-5重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION #例6.已

27、知偶函數f(x)在(0,)上是減函數，問f(x)在(-8,0)上是增函數還是減函數，并證明你的結論。分析：如圖2所示，易知f(x)在(-0)上是增函數，證明如下:任取xx-x01212y因為f(x)在(0，+)上是減函數，所以f(，x)f(，x)。12又f(x)是偶函數，所以Oxf(，x)=f(xf)，(，x)=f(x)，1122從而f(x)f(x)，故f(x)在(0)上是增函數。12圖2探求周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細分析題設條件，通過類似，聯想出函數原型，通過對函數原型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。例7.設函數f(x)的定義域為R，且對任意的x,y有cf(x+y)+f(xy)=2

28、f(x)(fy)，并存在正實數c,使f(?)=0。試問f(x)是否為周期函數？若是,求出它的一個周期；若不是，請說明理由。兀分析:仔細觀察分析條件，聯想三角公式，就會發現：y=COSx滿足題設條件，且cos2=0，猜測f(x)是以2c為周期的周期函數。ccccccf(x+2)+2+f(x+2)-2=2f(x+2)f(2)=0f(x+c)=_f(x)f(x+2c)=，f(x+c)=f(x)故f(x)是周期函數，2c是它的一個周期。求函數值緊扣已知條件進行迭代變換，經有限次迭代可直接求出結果，或者在迭代過程中發現函數具有周期性,利用周期性使問題巧妙獲解。例8.已知f(x)的定義域為R+，且+=)f

29、()+f()對一切正實數X,y都成立，若f=4，則f(2)=分析：在條件fy+=)+f)中，令x=y=4，得f(8)=f(4)+f(4)=2f(4)=4,重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION # #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATIONf=2又令x=y=2,得f(4)=f(2),f(2)=2,f=1例9.已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足：f(x,2)1-f(x)=1,f(x),f(1)=1997，求f(2001)的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發現f(x)是周期函數，顯然f(x)1，于是f(x,2)=1，f(x)，1-f(x)f(x,4)-1+f(x+2)

30、-f)1f(x，2)1,1+f(x)1f(x)-111+f(x)f(x)1f(x)所以f(x+8)=f(x)f(x，4)故f(x)是以8為周期的周期函數，從而f(2001)=f(8250,1)冷1997比較函數值大小利用函數的奇偶性、對稱性等性質將自變量轉化到函數的單調區間內，然后利用其單調性使問題獲解。例10.已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，x0時，f(x)是增函數，若x0，且|xllx丨,1212則f(x),f(x)的大小關系是。12分析：x0且|x|x|，12120 xx=一xx01221又x0時，f(x)是增函數，f(x)f(X)12討論方程根的問題例11.已知函數f(X)對一切

31、實數X都滿足f(1，X)=f(1X)，并且f(x)=0有三個實根，則這三個TOC o 1-5 h z實根之和是。分析：由f(1，X)=f(1X)知直線X=1是函數f(X)圖象的對稱軸。又f(X)=0有三個實根，由對稱性知X=1必是方程的一個根，其余兩根X，X關于直線X=1對稱,123所以x,x=212=，故x,x,x=3。23123&討論不等式的解求解這類問題利用函數的單調性進行轉化，脫去函數符號。例12.已知函數f(X)是定義在(-，1上的減函數，且對一切實數x，不等式fk-sinx)fk2sin)x恒成立，求k的值。分析：由單調性，脫去函數記號，得k2一sin2x1Vk一sinxk2一si

32、n2xTOC o 1-5 h zk2(sinx一)2(2)I42由題意知(1)(2)兩式對一切xeR恒成立，則有k2(sinx一)2=I0,g(1)=2,g(x)是增函數.g(x)+lg(m)g(n)=g(m+n)(m、nWR)求證：f(x)是R上的增函數n當neN,n三3時,f(n)n+1解：設xx12g(x)是R上的增函數，且g(x)0重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATIONg(xi)g(x2)012g(X)+lg

33、(x2)+102g(x)+1220g(x)+112g(x)+122-0g(x)+11重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #g(x)11g(x)+11g(x)12g(x)+1222=1-(1g(x)+1g(x)+112重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書之香教育CHON

34、GQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #22=-0g(x)+1g(x)+121f(xi)f(x2)f(x)是R上的增函數g(x)滿足g(m)g(n)=g(m+n)(m、nWR)且g(x)0g(n)=g(1)n=2n當nGN,n三3時，2nnf(n)=1-n1=1-n+1n+12n=(1+1)n=1+n+C+n+12n+1n.2n+12n+221211-2n+1n+12n+1n+1 H

35、YPERLINK l bookmark161,n當nGN,n三3時,f(n)n+13.設f/x)f2(x)是(0,+R)上的函數，且fx)單增，設f(x)=f(x)+f2(x)，且對于(0,+8)上的任意兩相異實數X,x2恒有|f(X)f(x2)|f2(X)f2(x2)|求證：f(X)在(0,+8)上單增.設F(x)=xf(x),a0、b0.求證：F(a+b)F(a)+F(b).證明：設xx02重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #重慶書之香教育hCHONGQING

36、EDUCATION #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #f(x)在(0,+s)上單增f(x)f(x)011121f1(X1)-f1(X2)I=f1(X1)-f1(X2)01(X1)f1(X2)llf/Rf2(X2)1f(x)-f(x)f(x)f(x)f(x)+f(x)11211222f(x1)f(x2)f(x)在(0,+s)上單增F(x)=xf(x),a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)二af(a+b)+bf(a+b)f(x)在(0,+s)上單增F(a+b)af(a)+bf(b)二F(a

37、)+F(b)函數y=f(x)滿足f(a+b)=f(a)f(b),f(4)=16,m、n為互質整數,nMOm求玖)的值nf(0)=f(O+O)=f(O)f(0)=f2(0)f(0)=0或1.若f(0)=0則f(4)=16二f(0+4)=f(0)f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2)f(2)=f(l)f(1)f(1)f(1)=161f(l)=f2(2)20f(1)=2.仿此可證得f(a)20.即y=f(x)是非負函數.f(0)=f(a+(-a)=f(a)f(-a)f(-a)=nWN*時f(n)二fn(1)=2n,f(-n)=2-n1111f(1)=f(+)=fn()=2nnnn重慶書

38、之香教育.CHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- 重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #1JTOC o 1-5 h zf()=2nnm1mf()=f()m=2n HYPERLINK l bookmark143nn定義在(-1,1)上的函數f(x)滿足x+y任意x、yW(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),xW(-1,0)時,1+xy有f(x)0判定f(x)在(-1,1)上的奇偶性，并說明理由判定f(x)在(-1,0)上的單調性，并給出證明,111TOC o

39、 1-5 h z求證：f()=f()f()n2+3n+1n+1n+21111或f(u)+f()+(c.)f(C)(nWN*)511n2+3n+12解：1)定義在(-1,1)上的函數f(X)滿足任意X、yW(-1,1)x+y都有f(x)+f(y)=f()，則當y=0時,f(x)+f(0)=f(x)1+xyf(0)=0當x=y時，f(x)+f(-x)=f(0)f(x)是(-1,1)上的奇函數2)設0 xx-1.12xx、f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)=f(12)12121一xx120)時,x-x0120 xx-1,xW(-1,12有f(x)0,1-Xx0,x，x、fC12)01一xx12

40、重慶書之香教育.CHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- 1- #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #重慶書之香教育.CHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #3)即(x)在(-1,0)上單調遞增.11f(n2+3n+1)=f(n2+3n+2-1)重慶書之香教育.CHONGQINGEDUCATION重

41、慶書之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #(n+1)(n+2)=f(n+1)(n+2)1_1n+1n+2、w11)1-n+1n+2重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #=f(1)-f(2)n1n21()+f1111f(5)+f(n23n1)11=f()-f()+f()-f()+f()

42、+-+f(23344111-f(2)=f(2)+f(-2)22n211n1)-f(n2)1=f(2)x(T,0)f(-1n2)0,11即f(5)+f(11)+f(時，有f(x)0111f(2)+f(-n2)f(2)1-1n23n1)f(2)重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #1)設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線x=1對稱，對任意x、x，0,2都有f(x+x)=12212f(X)f(x2),且f(l

43、)=aO.求f(2)及f(4)；證明f(x)是周期函數記a=f(2n+2n),求lim(嘰)ngxx解：由f(x)=f(2+2)=f(x)20,f(x)a=f(1)=f(2n)=f(21n+2n+-+2n)=f2n2n2n2n解得f(2n)=a2重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION #重慶書之香教育CHONG

44、QINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #1111(2)=a2,f(4)=a4.f(x)是偶函數，其圖像關于直線x=1對稱,f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=fl+(l+x)=fl-(l+x)=f(x)=f(-x).f(x)是以2為周期的周期函數.111叮f(2n+2n)=f(2n)=2重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #lna血(lnan)=応2a=0ngng重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重慶書之香教育CHONGQINGEDUCATION關系易知，f(X4)的反函數的圖象必過定點(1,-4)。 #設yf(x)是定義在R上的恒不為零的函數，且對任意X、yWR都有f