1、D多重積分的方法總結引言：高等數(shù)學是一門嚴密的學科，在學習高數(shù)過程中，我認為應用最為廣泛的是積分，高數(shù)中積分包含了曲面積分、曲線積分、二重積分和三重積分等，它們在許多學科中、生活中應用比較廣泛，比如，要計算某個不規(guī)則物體的體積就可以運用積分來求解，很多方面均可以轉化成微積分的面積，體積的思維來求，這就是它的優(yōu)點，這種面積和體積是一種抽像的概念了，到了更多重積分又會有更多和意義。那么，下面我將以二重積分和三重積分的定義、計算方法、主要應用公式和二重積分與三重積分的關系為核心來介紹多重積分。(其中計算方法將通過例題來解釋)二重積分定義：設二元函數(shù)z=f(x,y)定義在有界閉區(qū)域D上將區(qū)域D任意分成

2、n個子域&(i=123,.,n)，并以&表示第i個子域的面積在&上任取一點(Ei，nD,作和limn+8(n/i=1(&)&)如果當各個子域的直徑中的最大值入趨于零時,此和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記為JJf(x,y)d8,即JJf(x,y)d6=limn+8(Zf(i，ni)A8i)這時，稱f(x,y)在D上可積，其中f(x,y)稱被積函數(shù)f(x,y)d6稱為被積表達式,d6稱為面積元素,D稱為積分域JJ稱為二重積分號.同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比

3、如無線電中也被廣泛應用。二重積分的計算方法1直角坐標系中累次積分法對于直角坐標系下的二重積分主要是對于區(qū)域的劃分，可以分為如下兩類區(qū)域來計算。平面點集D=(x,y)1y1(x)，y，y2(x),a，x，b為x型區(qū)域；平面點集D=(x,y)Ix1(y)，x，x2(y),c，y，d為y型區(qū)域。x型區(qū)域:若f(x,y)在x型區(qū)域D上連續(xù)，其中y1(x),y2(x)在a,b上連續(xù)，則T=0，r十,0，0由分部積分法，即可算得：I=1圖2例2試將,f(xy)d化為兩種不同次序的累次積分，其中D是y=X由，Dy=2-x和x軸所圍成的區(qū)域試計算：1=,X2e-y2d的值D解：畫出區(qū)域圖1只能用先對X后先對積

4、y分，則1=,1dy,yx2e-y2dx=,1y3e-y2dy030解首先畫出積分區(qū)域D如圖2，并求出邊界曲線的交點（1,1）（0,0）及（2,0）。則,f（X,y）d=,f（X,y）dJJf（x,y）dDD1D2=J1dxJxf（x,y）dyJ2dxj2-xf（x,y）dy0010如果先積x后積則為,f（x,y）d=,1dy,2-yf（x，y）dx0yD2極坐標中的累次積分法當積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或者被積函數(shù)的形式為f(x2y2)時，采用極坐標變換x二rcos0y二rsin0于是二重積分極坐標形式為JJf(x,y)dg二JJf(rcos,rsin)rdrd.DD例1把JJf(x，y

5、)dG化成極坐標系中的累次積分,其中D是由圓Dx2+y2二2Ry所圍成的區(qū)域即為r=2Rsin作射線=0與=兀夾緊域D在0,刃中任作射線與域邊界交兩點ri=0，r2=2Rsin，得JJf(x,y)dg二JJf(rcos,rsin)rdrd.DD二JdJ2Rsinf(rcos,rsin)rdr.00例2在極坐標系中，計算二重積分JJf(x2+y2)dG,D是由x2+y2二R12和Dx2+y2二R22(R1R2)所圍成的環(huán)形區(qū)域在第一象限的部分。解在極坐標系中畫出區(qū)域D，如下圖，并把D的邊界曲線化為極坐標方程，即為r二Rl,r二R2,作兩條射線=0與=尹緊積分域D-在。聲之間任作一射線與域D的邊界

6、交兩點rRl,rR2,所以有,(x2+y2)dg=,r2rdrDD,2d0,R2r3dr=(R4-R4),TOC o 1-5 h z0Rl82l如果積分域D是整個環(huán)形，顯然有DD,2兀d,R2r3dr0Rl2兀,R2r3dr=r4r2R2R1l兀捫2-R41).三重積分定義：如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(xyz)在閉區(qū)域上的三重積分。體積元素設三元函數(shù)z=f(x,y,z)定義在有界閉區(qū)域Q上將區(qū)域Q任意分成n個子域vi(i=1,2,3，,n),并以Avi表示第i個子域的體積在Avi上任取一點(i,ni,Zi),作和limnT(n/i=1I(i,n

7、i,Zi)Avi)如果當各個子域的直徑中的最大值入趨于零時,此和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域Q上的三重積分，記為TJJf(x,y,z)dv,即f(x,y,z)dv=limnT(If(i,ni,Zi)ASi),其中dv叫做體積三重積分的計算方法一般來說利用4種方法可以解答大多數(shù)三重積分的問題，并且它們之間有著密切的聯(lián)系。而同一題可以有多種解法，有簡有繁，這就要因題而議了。這四種方法分別是：1、坐標面投影法要注意圍成閉區(qū)間的上下兩個區(qū)面在一個軸平面的投影應該相同2、坐標軸投影要注意Dz(平行于XY面的橫截面)容易用一個變量Z表示。3、使用柱面參數(shù)要特別注意Z的上下限的確定，

8、其上下限主要取決此區(qū)域是曲面的那一段(哪一部分曲面)4、球面坐標法。三重積分的計算是化為三次積分進行的。其實質是計算一個定積分(一重積分)和一個二重積分。從順序看：如果先做定積分f(x,y,z)dz，再做二重積分F(x,y)do，就是“投影法”，z1D也即“先一后二。步驟為：找，及在面xoy投影域D。多D上一點(x,y)穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步(定積分)；進而按二重積分的計算步驟計算投影域D上的二重積分，完成“后二”這一步。f(x,y,z)dv=z2f(x,y,z)dzdc，DZ如果先做二重積分JJf(x,y,z)dO再做定積分fF(z)dz就是“截面法”也即Dzc1先二后一

9、。步驟為：確定,位于平面z二c與z二c之間，即zc,c，過z1212作平行于xoy面的平面截,，截面D。區(qū)域D的邊界曲面都是z的函數(shù)。計算zz區(qū)域D上的二重積分JJf(x,y,z)do，完成了“先二”這一步(二重積分)；進zDz而計算定積分F(z)dz/完成后一這一步。BIf(x,y,z)dv=c2f(x,y,z)ddzc,cD當被積函數(shù)f(z)僅為z的函數(shù)(與x,y無關)，且D的面積o(z)容易求出時，z“截面法”尤為方便。為了簡化積分的計算，還有如何選擇適當?shù)淖鴺讼涤嬎愕膯栴}。可以按以下幾點考慮：將積分區(qū)域，投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平面)D是X型或Y型，可選擇直角坐標系計算(當，的邊

10、界曲面中有較多的平面時，常用直角坐標系計算)D是圓域(或其部分)，且被積函數(shù)形如f(x2+y2),f(Z)時，可選擇柱面x坐標系計算(當,為圓柱體或圓錐體時，常用柱面坐標計算),是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如f(x2+y2+z2)時，可選擇球面坐標系計算以上是一般常見的三重積分的計算方法。對,向其它坐標面投影或,不易作出的情形不贅述。0I，zdxdydz，0,1，6011卡1-xydxdyzdz，00013x-x2+x3-62x11(1-x-y)2dy，22001,1x41，4024(1-x)2y-(1-x)y2+3y30-xdx0三重積分的計算方法例題：1:計算二重積分I，zdxdydz,

11、其中0為平面x+y+z，1與三個坐標面x，0,y，0,z，0圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”1畫出0及在xoy面投影域D.2.“穿線”0z1x-yX型D:0 x10y1-x0 x1二0:0y1-x0z1-x-y00解2“截面法”1畫出0。2.ze0,1過點Z作垂直于z軸的平面截0得d。zD是兩直角邊為x,y的直角三角形，x，1-z,y，1-zzzdxdydz，zdxdydz，zSdzDz01-z)(1-z)dz，2+z3)dz，124002:計算x2+y2dv，其中0是x2+y2，z2和Z=1圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”Izx2+2y21畫出及在xoy面投影域D.由zi消去z,2.“穿線”x2+y2z1,I-1x1-1一x2y1一x2I-1x1二:，一1一x2y1一x2x2+y2z13計算xdy11fx2x2+y2dzdxx2+y2(1一x2+y2)dy-1-1-x2-1-1-x2解2“截面法”1畫出。