1、第一節(jié) 函數(shù)一、函數(shù)的概念第一章 函數(shù)、連續(xù)和極限引例1 自由落體運動 設物體下落的時間為,下落距離為 ,之間的依賴關系由 給出,其中為重力加速度在這個關系中，距離隨著時間的變化而變化其特點是，當下落的時間取定一個值時，的值也就確定了假定開始下落的時刻 ,那么 與對應的距離第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù) 上述兩個引例的變化過程中，出現(xiàn)的變量不都是獨立變化的，而是按照一定的規(guī)律相互制約分析這種變量間的對應關系，可抽象出“函數(shù)”的概念一、函數(shù)的概念 引例2 醫(yī)師用藥 醫(yī)師給兒童用藥和成人不一樣，用藥量可由兒童的體重來確定要計算112歲的兒童的正常體重可用經(jīng)驗公式，其中 代表年齡（歲）， （

2、千克），年齡確定了，相應的體重也就確定了代表體重第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的定義定義1 設 ， 是同一變化過程中的兩個變量，若當 取其 變化范圍內任一值時，按照某種對應規(guī)則，總能唯一確定變量 的一個值與之對應，則稱 是 的函數(shù)，記作 叫做自變量， 叫做因變量 的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與 的值對應的 的值的集合叫做函數(shù)的值域 一、函數(shù)的概念第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的定義練習1 求函數(shù) 的定義域 解 要使分式有意義，必須分母 ， ，即 所以這個函數(shù)的定義域是 練習2 已知 ，求 ， 解 一、函數(shù)的概念第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的定義練習1

3、 求函數(shù) 的定義域 解 要使分式有意義，必須分母 ， ，即 所以這個函數(shù)的定義域是 練習2 已知 ，求 ， 解 一、函數(shù)的概念第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的定義函數(shù)有三種常用的表示法：解析法、圖象法和列表法案例1 在藥物動力學研究中，給健康人服用AspAL片后，測 得血藥濃度 和時間 的對應數(shù)據(jù)如下表：（時間）0122.534612（血藥濃度）02.083.203.584.084.564.741.52 可見，給定一個服藥后的時間 ，服藥者血藥濃度 就有一個 確定的值與之對應，因此 是 的函數(shù) 一、函數(shù)的概念第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的定義案例2 活酵母細胞在適

4、宜的條件下，每小時可增加原細胞的 1.5倍，問10個細胞8小時后，可繁殖成多少個？ 解設10個酵母細胞 小時后繁殖總數(shù)為 1小時后有 2小時后有 依此類推，10個酵母細胞 小時后繁殖總數(shù)為 一、函數(shù)的概念個，個，個，第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的定義兩邊取對數(shù) 得當 時,有 解得 即10個活酵母細胞8小時后可繁殖成15259個此例用數(shù)學軟件Mathematica計算比較簡單（見本章實驗2）.一、函數(shù)的概念第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)2分段函數(shù) 引例3 乘座火車時，鐵路部門規(guī)定：每位旅客可免費隨身攜帶不超過20千克物品，超過20千克部分，每千克收費02元，超過50千克部

5、分，再加收50%，應如何計算攜帶物品所交的費用 解設物品的重量為 千克，應交費用為 ，則有 一、函數(shù)的概念第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)2分段函數(shù)一、函數(shù)的概念引例有人根據(jù)在一項生理學研究中測得血液中的胰島素濃度（L）是隨時間 變化的數(shù)據(jù)， 建立了如下經(jīng)驗公式： 為常數(shù) 象引例3和引例，自變量在定義域內不同區(qū)間上用不同解析式子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)在實際生活和工程實踐中，這是一類常見函數(shù)。 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)2分段函數(shù)一、函數(shù)的概念練習3 函數(shù) 圖1-1是一個分段函數(shù)，其定義域為 它的圖像如圖1-1所示 Y=|x|xy0第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)2分段

6、函數(shù)一、函數(shù)的概念案例3某藥廠生產(chǎn)某種口服液，年產(chǎn)量 萬支，每支售價2元根椐歷史資料，該廠每年自銷量穩(wěn)定在50萬支，如果委托代銷，銷售量可上升20%，但銷售量達60萬支時即呈飽和狀態(tài)，若代銷費為代銷部分藥價的40%，試將總收入R（萬元）表示成年產(chǎn)量（萬支）的函數(shù)解 若年產(chǎn)量不超過50萬支時，因產(chǎn)品可全部自銷售出，這時（萬元） 若年產(chǎn)量超過50萬而不超過60萬支時，通過委托代銷全部售出， 這時 （萬元） 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)2分段函數(shù)一、函數(shù)的概念如果該廠年產(chǎn)量超過60萬支時，因只能售出60萬支， 這時 （萬元） 綜上可得，總收入R與年產(chǎn)量 的函數(shù)關系式 第一章 函數(shù)、極限和連

7、續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)2分段函數(shù)一、函數(shù)的概念對于分段函數(shù)，要注意以下幾點：（1）分段函數(shù)是由幾個公式合起來表示一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.（3）在處理問題時，對屬于某一段的自變量就應用該段的表達式. 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的奇偶性 二、函數(shù)的性質定義2設函數(shù) 的定義域D關于原點對稱， 即 若 若 則稱 則稱為偶函數(shù)； 為奇函數(shù).第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的奇偶性 二、函數(shù)的性質例如： 其圖像如圖1-2 ，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)， 其圖像如圖1-3 圖 圖xy0 xy0第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)1函數(shù)的奇偶性 二

8、、函數(shù)的性質偶函數(shù)的圖像關于 軸對稱， 奇函數(shù)的圖像關于原點對稱 兩個偶函數(shù)之和、差、積、商仍是偶函數(shù); 兩個奇函數(shù)之和、差仍是奇函數(shù); 兩個奇函數(shù)之積、商是偶函數(shù); 奇函數(shù)與偶函數(shù)之積、商是奇函數(shù) 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)2函數(shù)的周期性 二、函數(shù)的性質定義3 給定函數(shù) ，若存在常數(shù) 使得 且 ，則稱 為周期函數(shù)，常數(shù) 稱為周期 滿足條件的最小正數(shù) 稱為 的最小正周期. 通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期 例 是周期為的函數(shù)， 是周期為的函數(shù). 以 為周期的函數(shù)圖像沿 軸方向左右平移 圖像將重合 ，的整數(shù)倍，第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)3函數(shù)的單調性二、函數(shù)的性

9、質定義4對于區(qū)間 內任意兩點 ，當 時，則稱 在 上單調增加稱為單調遞增區(qū)間； 若 區(qū)間圖1-4（如圖）.xy0第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)3函數(shù)的單調性二、函數(shù)的性質若 則稱 在 上單調減少（如圖5），區(qū)間 稱為單調遞減區(qū)間. 圖1-5單調增加與單調減少分別稱為遞增與遞減單調遞增區(qū)間與單調遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間xy0第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)4函數(shù)的有界性二、函數(shù)的性質定義5 若存在正數(shù) 使得在區(qū)間 上 則稱 在 上有界 否則稱為無界 例如函數(shù) 在區(qū)間 內有 所以函數(shù) 在 內是有界的 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)三、反函數(shù) 定義6 如果已知 是 的函數(shù)，則由它

10、所確定的以 為自變量， 為因變量的函數(shù) 就是 的反函數(shù)，而 稱為直接函數(shù) 但習慣上，用 表示自變量，用 表示因變量，于是把 的反函數(shù) 寫成 ，并用 來表示（ ）即 的反函數(shù)為 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)三、反函數(shù) 函數(shù) 的定義域和值域分別是其反函數(shù) 的值域和定義域 函數(shù) 和它的反函數(shù) 的圖象關于直線 對稱 單調函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)與其反函數(shù)單調性相同 練習4 求函數(shù) 的反函數(shù) 解 因為函數(shù) 在區(qū)間 上單調遞增，所以存在反函數(shù) 由 解得 于是 的反函數(shù)為 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)四、基本初等函數(shù)和初等函數(shù)為常數(shù)） 冪函數(shù) 為實數(shù)） 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角

11、函數(shù) 1基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù) （ （ 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)四、基本初等函數(shù)和初等函數(shù)2復合函數(shù)對于函數(shù)： 及 ，通過將后一函數(shù)代入前一個， 就產(chǎn)生一個新的函數(shù) 成的復合函數(shù) 定義 設函數(shù) ,且由 函數(shù)值 落在函數(shù) 的定義域 內，則稱 為 的復合函數(shù)，而 稱為中間變量， 稱 為里層函數(shù), 稱其為是由兩個函數(shù)復合而為外層函數(shù) 一般地:如下復合函數(shù)的概念 確定的第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)四、基本初等函數(shù)和初等函數(shù)2復合函數(shù)練習 設 ，則由這兩個函數(shù)組成的復合函數(shù)為 復合函數(shù)也可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成. 如，由函數(shù) 復合后可得復合函數(shù) 練習6 函數(shù) 是由哪些基本初

12、等函數(shù)復合而成的？ 解設 ，則 是由函數(shù) 復合而成的復合函數(shù)第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)四、基本初等函數(shù)和初等函數(shù)3初等函數(shù)定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合步例如 等都是初等函數(shù)，就不是初等函數(shù) 用數(shù)學解決實際問題時，其中一類較簡單的問題便是建立函數(shù)關系 驟所構成，且可用一個解析式表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù)，否則就是非初等函數(shù) .而分段函數(shù) 第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)四、基本初等函數(shù)和初等函數(shù)3初等函數(shù)案例 單利模型 金融業(yè)務中有一種利息叫做單利是本金， 個計息期（即借期或存期）應付的單是 是計息期的利率， 是計息期滿應付的利息， 是計息期數(shù)， 是本利和求本利和 與計息期數(shù) 的函數(shù)模型