1、第57練球的切、接問題考點一定義法1(2022荊州中學模擬)已知三棱錐DABC的四個頂點在球O的球面上，若ABACBCDBDC1，當三棱錐DABC的體積取到最大值時，球O的表面積為()A.eq f(5,3) B2 C5 D.eq f(20,3)答案A解析如圖所示，當三棱錐DABC的體積取到最大值時，則平面ABC平面DBC.取BC的中點G，連接AG，DG，則AGBC，DGBC，分別取ABC與DBC的外心E，F，分別過E，F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于點O，連接BO，OG，則O為三棱錐DABC外接球的球心，由ABACBCDBDC1，得正方形OEGF的邊長為eq f(r(3),6)，則OG

2、eq f(r(6),6)，三棱錐DABC的外接球的半徑Req r(OG2BG2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),6)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq r(f(5,12)，球O的表面積為4eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(5,12)2eq f(5,3).2(2022云南師大附中模擬)已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AB3，BC4，AA13，設該直三棱柱的外接球的表面積為S1，該直三棱柱內部半徑最大的球的表面積為S2，則eq f(S1,S2)等于()A.eq f(5,2) B.eq f(34,9) C.eq f(9

3、,2) D.eq f(17,2)答案D解析易知RtABC的外接圓直徑為AC，所以半徑長為eq f(5,2)，設外接球半徑為R，則R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)2eq f(17,2)，S14R234，設RtABC的內切圓半徑為r，則eq f(1,2)(345)req f(1,2)34，r1，2r2eq f(R2,3)時，V0，當 t20，所以當t2eq f(R2,3)時，圓柱體積取得最大值，此時h2t2eq r(f(R2,3)eq f(2r(3),3)R.10一個正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為2，底

4、面邊長為2，則該球的表面積為_答案9解析如圖所示，O為底面正方形的中心，則OP2，AB2，則正四棱錐的外接球的球心O在OP上，則外接球的半徑R滿足(2R)2(eq r(2)2R2，解得Req f(3,2)，該球的表面積S4R29.11(2022南昌質檢)九章算術中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵ABCA1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，則在塹堵ABCA1B1C1中截掉陽馬C1ABB1A1后的幾何體的外接球的表面積是()A50 B.eq f(125r(2),3)C.eq f(125r(2),6) D20

5、0答案A解析在塹堵ABCA1B1C1中截掉陽馬C1ABB1A1后，剩余的幾何體為三棱錐ABCC1，該幾何體與塹堵ABCA1B1C1的外接球是同一個球，因為AB3，BC4，AC5，所以AB2BC2AC2，所以ABC90，所以RtABC的外接圓直徑為AC5，所以塹堵ABCA1B1C1的外接球的直徑為2Req r(AC2CCoal(2,1)5eq r(2)，所以Req f(5r(2),2)，因此，在塹堵ABCA1B1C1中截掉陽馬C1ABB1A1后的幾何體的外接球的表面積是4R250.12(多選)我國古代數學名著九章算術中將正四棱錐稱為方錐已知半球內有一個方錐，方錐的底面內接于半球的底面，方錐的頂點

6、在半球的球面上，若方錐的體積為18，則關于半球的說法正確的是()A半徑是3 B體積為18C表面積為27 D表面積為18答案ABC解析如圖，PAC是正四棱錐的對角面，設半球的半徑為r，AC是半球的直徑，則正四棱錐底面邊長為eq r(2)r，棱錐體積為V1eq f(1,3)(eq r(2)r)2req f(2,3)r318，得r3，半球體積為V2eq f(2,3)r3eq f(2,3)3318，表面積為2323227.13(多選)(2022重慶模擬)已知三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點全部在球O的表面上，ABAC，BAC120，三棱柱ABCA1B1C1的側面積為84eq r(3)，則球O的表面積

7、可能是()A4 B8 C16 D32答案CD解析設三棱柱ABCA1B1C1的高為h，ABACa.因為BAC120，所以BCeq r(3)a，則該三棱柱的側面積為(2eq r(3)ah84eq r(3)，故ah4.設N，M分別是三棱柱上、下底面的外心，則三棱柱外接球球心O是MN的中點，設ABC的外接圓半徑為r，則MCreq f(BC,2sinBAC)a.設球O的半徑為R，則OC2R2r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(h,2)2a2eq f(h2,4)eq f(16,h2)eq f(h2,4)4，當且僅當h2eq r(2)時取等號，故球O的表面積為4R216.14(2022西安模擬

8、)A，B，C，D為球面上四點，M，N分別是AB，CD的中點，以MN為直徑的球稱為AB，CD的“伴隨球”，若三棱錐ABCD的四個頂點在表面積為64的球面上，它的兩條邊AB，CD的長度分別為2eq r(7)和4eq r(3)，則AB，CD的伴隨球的體積的取值范圍是_答案eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(125,6)解析由題意知，三棱錐ABCD的外接球O的半徑為4，故OAOD4，且OMAB，ONCD，由勾股定理得OMeq r(OA2AM2)3，ONeq r(OD2DN2)2.由題意知，AB，CD的伴隨球O1以AB，CD為切線，OMONMNOMON，故MN的最大值和最小值分別為5和1，當O，M，N三點共線且O在線段MN之間時