1、反比例函數(shù)面積不變性的探究k反比例函數(shù)y 的圖象具有面積不變性：如圖1,點A是反比例函數(shù)圖像上任意一點，過點A分別作AB x 軸，ACC可以彳到曲邊形OBAC |k .探究過程探究1如圖2,點A,B分別是反比例函數(shù)k_y -圖象上兩點，過點A, B分別作AD x軸，BCy軸，垂足為D、C ,得到Rt AOD,Rt BOC ,求SRtAOD , SRt BOC .右 C、D過探究不難1Qk .而因為AD y軸，所以F、E兩點，你能發(fā)現(xiàn)?試說明理由.分別是y軸和x軸的動點，則S acd和S BCD分別是多少？_11SRt AOD k ;因為BC x軸，所以S bcd SRt BOC 一 k .從而

2、得出不僅特殊的直1/ljx-/ _/1角二角形的面積等于 -|k|,利用同底等高的兩個三角形的面積相等可以得出更加一般的三角形1的面積也等于1 k.一 一一 一一 1探究2如圖3,將探究1中的C、D移到C、D的位置，此時S ACD和S BCD還等于一 k2嗎？根據(jù)面積相等，你能否發(fā)現(xiàn) CD與AB之間的位置關系？若直線AB與x軸、y軸分別交于根據(jù)探究1的分析，第一個問題應該很快得出 ：Sacd Sbcd k的一半，因為兩個三角 形具有公共的底邊，所以高也會相等，即 A、B兩點到CD的距離相等，所以 CDAB.而 AD / CE , BC / DF ,因此四邊形AECD和四邊形BCDF均為平行四邊

3、形，所以 CD AE BF .進一步還可以知道平行四邊形 AECD和BCDF的面積為| k .練習1如圖4,將透明三角形紙片 PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點 A、B分別落 k在反比仞函數(shù) y 圖象的兩支上，且 pb x軸于點C,PA y軸于點D, AB分別與x軸， y軸相交于點E、F,已知B(1,3).fi)k =(2)試說明AE BF ;當四邊形ABCD的面積為 弓時，求點P的坐標.B圖4分析 第(1)、(2)小題可以根據(jù)上述探究直接得出 .第(3)小題四邊形 ABCD的面積可以分成平行四邊形 ADCF和 BCF兩部分，因為平行四邊形 ADCF的面積為3,可得 BCF的面積 .9為9,

4、因為BC = 3所以可得CP=2,由此可得P的坐標為(1, -2).4探究3如圖5,若將上述的的直線 AB平移，使得直線經(jīng)過原點 O,這時探究2中的結 論還成立嗎？ BAH的面積與比例系數(shù) k有什么關系？圖5顯然，這是前面探究1 ,2的一種特殊情形，即點E與點F重合于。，點A和B關于原點O 中心對稱，上述結論顯然成立，而且點 C、D也成為了 BH和AH的中點.此時 BAH的面積等于2k.k探究4如圖6,將直線AB旋轉，使得直線y mx n與雙曲線y 一的一個分支相交于xA、B兩點，與坐標軸交于 E、F兩點.同樣作AD x軸，BC y軸，垂足為D、C ,得到ACD , BCD ,則 ACD與 B

5、CD的面積相等嗎？試用不同的方法證明CD AB .CD AE BF還成立嗎？圖6顯然，ACD與 BCD的面積都為k的一半，主要是探究 CD/ AB的證明方法，探究 2 TOC o 1-5 h z 的分析過程其實就是第一種方法.那么還有什么證法呢？經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)另外兩種證法.k另證一 令AD與BC交于點K,證明 ABK與 DCK相似.可以設A的坐標為(a,),ak kkB的坐標為(b,),則C的坐標為(0,)，D的坐標(a,0) , K的坐標為(a,).求出 bbbAK,BK,CK ,DK的長度，根據(jù)對應線段成比例且夾角對應相等就能得到相似，進一步得出 平行.另證二 根據(jù)兩點可以求出直線 AB

6、和直線CD的解析式，發(fā)現(xiàn)兩條直線的斜率一樣，因 此兩直線平行.k練習2如圖7,已知反比例函數(shù) y (x 0, k是常數(shù))的圖象經(jīng)過點 人(1,4),點8( m,n),其中m1, AM x軸，垂足為 M ,BN y軸，垂足為 N ,AM與BN的交點為C .(1)寫出反比例函數(shù)解析式；(2)求證：ACBs NOM ;(3)若 ACB與 NOM的相似比為2,求出B點的坐標及AB所在直線的解析式C M圖7分析 第(1)、(2)小題可以根據(jù)上述探究直接得出.第(3)小題由 ACB與 NOM的相似4 _416比為2,可得BC 2CN 2,所以B的橫坐標為3,縱坐標為一，AB的解析式為y -x .333、.

7、一一. k . 一.探允5如圖8,將A、B兩點重合使得直線 y mx n與雙曲線y 只有A 一個唯一 x的交點，你能從圖中發(fā)現(xiàn)哪些類似的結論圖8這是一道開放性探索題，也是探究4的特例.運用幾何畫板動態(tài)演示之后，至少可以發(fā)現(xiàn)以下結論：(1) CDEF ;CD EA FA; 一 2 一(2) n 4mk 0 ; S AEF S ACD2k2 ml練習3 如圖9,點P( 1,1)在雙曲線上，過點 P的直線11與坐標軸分別交于 A、B兩點,且tan BAO 1 ,點M是該雙曲線在第四象限內(nèi)的一點，過點M的直線l2與雙曲線只有一個公共點，并與坐標軸分別交于點C、D.則四邊形ABCD的面積最小值為()(A

8、)10(B)8(C)6(D)不確定分析 由題意，可得A( 2,0) , B (0,2),由探究5,可知S aob S COD 2 .不妨設C(x,0)所以四邊形 ABCD的面積最小值為8.圖9二、探究反思1、以上整個探究過程中涉及的知識點較多，除了反比例函數(shù)的性質， 還有一次函數(shù)的性質及解析式的求法、二次函數(shù)最值的求法、一元二次方程根的判別式、同底等高的三角形面積相等、相似的性質與判定等等.運用的數(shù)學思想方法也很多， 有方程與函數(shù)的思想、 數(shù)形結合思想、 分類討論的思想等，將直線和雙曲線的各種相交的情況進行了全方位的探究.這些知識點和思想方法需要在探究過程中體現(xiàn)出來，并加以總結.因此，如果在初中數(shù)學總復習階段中進行這樣的探究，則將極大地提高學生的數(shù)學綜合能力.2、 這個探究過程是在幾何畫板技術支持下進行的， 教學時， 首先要讓學生直觀的感受到各種情況下線段之間的數(shù)量關系和位置關系，在運動中找到一般規(guī)律，接下來分析這些數(shù)量關系和位置關系成立的原因，使學生的直觀感受和理性思考得到有機的統(tǒng)一3、在探究思路上，沿特殊到一般，再從一般到特殊的思