1、導(dǎo)數(shù)中的端點(diǎn)效應(yīng)法探究 1已知函數(shù) f (x) (x 1)ln x a(x 1).(I )當(dāng) a 4時，求曲線y f (x) 在 1, f (1) 處的切線方程；(II)若當(dāng)x 1, 時，f(x)0 ,求a的取值范圍.探究 2已知 入C R,函數(shù)f (x) = exex Xxlnx x+ 1)的導(dǎo)函數(shù)為 g(x).(1)求曲線y=f (x)在x= 1處的切線方程；(2)若函數(shù)g (x)存在極值，求 入的取值范圍；(3)若x 1時，f (x)R0恒成立，求 入的最大值.探究 3已知函數(shù)f(x) (x 1)ln x ax a (a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)).( 1 )若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (0,)

2、 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；(2)若不等式(x 1)f(x)A0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【探究1】試題分析：(I)先求定義域，再求f(x), f(1), f(1),由直線方程得點(diǎn)斜式可求曲線y f(x)在(1,f(1)處的切線方程為2x y 2 0. (n)構(gòu)造新函數(shù) g(x) ln x a(x 1) ,對實(shí)數(shù)a分類討論，用導(dǎo)數(shù)法求解.x 1試題解析：(I) f(x)的定義域為(0,).當(dāng)af(x) (x 1)ln x 4(x 1), f (x) In x 在(1,f(1)處的切線方程為2x y 2 0.(II)當(dāng) x (1,)時，f (x) 0 等價于 Inx令 g(x) In

3、x a(x-1 ,則x 14時，13, f (1)2, f(1) 0.曲線 y f (x)x0.a(x 1)x 1,、1g (x) 一 x2a(x 1)22(1 a)x 1 x(x 1)2,g(1)0,2x 1 0 ,故 g (x) 0,g(x)在當(dāng) a 2, x (1,)時，x2 2(1 a)x 1 x2 x (1,)上單調(diào)遞增，因此 g(x) 0；(ii)當(dāng)a 2時，令g (x) 0得 x a 1 v(a1)21, x2 a 1 v(a1)21 ,由x2 1和xx2 1得X 1 ,故當(dāng)x (1出)時，g (x) 0 , g(x)在x (1,x2)單調(diào)遞減,因此g(x) 0.綜上，a的取值范

4、圍是,2 .考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性.【探究2】解：(1)因為f(x) = exeNnx,所以曲線y=f (x)在x=1處的切線的斜率為f(1) = 0,又切點(diǎn)為(1, f (1),即(1, 0), TOC o 1-5 h z 所以切線方程為y=0. 2分g (x) = ex-e- /Inx, gz(x) = ex- X當(dāng)KO時，g(x)0恒成立，從而9(刈在(0, +8)上單調(diào)遞增， 故此時g (x)無極值. 4分當(dāng) X0 時，設(shè) h(x) = ex-A 則 h(x)= ex+/0 恒成立，ZV入所以h(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增. 6分當(dāng)0 Ae時，入 3h(i)= e- A

5、O, h()= ee-e0,且 h(x)是(0, + 8)上的連續(xù)函數(shù)，因此存在唯一的xo 1 ,3,使得h(xo)=O.故當(dāng)Z0時，存在唯一的 xoO,使得h(xo)=O. 8分且當(dāng) Ovxvxo 時，h(x)0,即 g z(x)xo時，h(x)0,即 g (x)0,所以9U)在(0, xo)上單調(diào)遞減，在(xo, +00 )上單調(diào)遞增，因此g (x)在x= xo處有極小值.所以當(dāng)函數(shù)g(x)存在極值時，入的取值范圍是(0, +oo). 10分g (x)= f z(x)= exe ?lnx, g z(x) = exX若g z(x) 0恒成立，則有 其xex恒成立.設(shè) (j)(x)=xex(x

6、1),則(f)(x) = (x+1)eX0 恒成立，所以(f)(x)單調(diào)遞增，從而(j)(x) g (1) = 0,即f z(x)0,從而依)在1, +8 )上單調(diào)遞增.所以f(x)f(1)=0恒成立. 13分當(dāng)Ae時，由(2)知，存在xo (1,萬,使得9自)在(0, X。)上單調(diào)遞減，即僅)在(0, X。)上單調(diào)遞減.所以當(dāng) 1VXVX0 時,f(x)vf=0,于是f (x)在1 , X0)上單調(diào)遞減，所以f (xo)vf (1)= 0.這與x 1時，f (x)0恒成立矛盾.16分因此其e,即入的最大值為e.x 1 TOC o 1-5 h z 【探允 3】：(1) f(x) (x 1)ln

7、 x ax a , f (x) In x + - a .1 分x因f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，則f (x)0, a, lnx + 1 1恒成立. x人1x 1令 g(x) lnx+ 1 ,則 g (x) ,2 分xxx(0,1)1(1,)g (x)一0十g(x)減極小值增 TOC o 1-5 h z 因此，gmin(x) g(1) 2 ,即 0 a, 2.6 分(2)當(dāng)0 a, 2時，由(1)知，當(dāng)x (0,)時，f(x)單調(diào)遞增.7分又 f(1) 0,當(dāng) x (0,1), f (x) 0;當(dāng) x (1,)時，f (x) 0.9 分故不等式(x 1)f (x) - -0恒成立.10分若 a 2, f(x) xlnx (1 a)x 1, x設(shè) p(x) xln x (1 a)x 1,令 p (x) In x 2 a 0 ,則 x ea 2 1 . 12 分當(dāng) x (1,ea2)時，p (x) 0, p(x)單調(diào)遞減，