1、 中學高級教師評審面試答辨試題下面是一些參與過中學數學高級教師評選答辯的老師通過回記，得出的中學高級教師評選答辯中評選老師詢問參評老師的問題，并總結了一些答案。希望對即將參評中學數學高級教師的老師有所幫助。初中及小學：1.2011版課程標準與老版課程標準有什么區別？一、“課程基本理念”的修改1將“人人學有價值的數學，人人獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”，改為“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”。2將“數學學習”和“數學教學”兩條合并成一條“教學活動”，整體上闡述數學教學活動的特征。二、“設計思路”的修改1對“數與代數”，“圖形與幾何”，“統計與概率”，

2、“綜合與實踐”四個方面的課程內容做了明確的闡述。2把“雙能力”改變為“四能力”：在原來培養學生“分析和解決問題能力”的基礎上，新增加了培養學生“發現和提出問題的能力”。3完善了一些具體目標的描述：比如對于學習習慣，明確指出使學生養成“認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣”。4規范了課程目標的若干術語。并在學段目標中使用這些術語。1、分解因式最基本的方法是什么？你如何講分解因式這一問題的。四、“課程內容”（原名“內容標準”）的修改五、“實施建議”的修改六、實例的修改七、增加了附錄2、分解因式最基本的方法是什么？你如何講分解因式這一問題的。因式分解是多項式的一種恒等變形，它是把多項式轉

3、化成為幾個整式的乘積的形式，與整式的乘法是相反的運算。因式分解的方法很多，常用的也是課標規定要掌握的主要是兩種：、提公因式法；、運用公式法。用提公因式法分解因式時，首先要理解公因式的概念。所謂公因式指的是多項式中各項都含有的相同的因式，公因式包括系數和字母兩部分。其中系數是多項式各項系數的最大公約數，字母是各項中都含有的字母，字母的指數取各項中最低的次數。例如，多項式4X2y3-6xy2+2x2y的公因式應該是2xy,當然也可以是-2xy。值得注意的是，當提取的公因式前面帶“一”時，則放到括號里的每一項都要改變符號。要求學生掌握下面兩個公式：1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；2

4、、完全平方公式：(a+b)2二a2+2ab+b2、(a-b)2=a2-2ab+b2。不過在進行因式分解時，則是將這些公式反過來使用，即平方差公式變形為：a2-b2=(a+b)(a-b)；而完全平方公式變形為：a2+2ab+b2=(a-b)2、a2-2ab+b2=(a+b)2。在運用平方差公式分解因式時，多項式應具備三個特點：1、必須是二項式；2、每一項(不含符號)都必須是一個單項式(或多項式)的平方；3、兩項的符號相反。而運用完全平方公式分解因式時，多項式也應具備三個特點：1、必須是三項式；2、其中平方項符號相同；3、第三項必須是平方項的底數的積的2倍。3、教材中沒有“十字相乘法”，你對此有何

5、看法。在教學分解因式中，以前的教材都將十字相乘法列為必學內容，為日后的解一元二次方程打下基礎，同時，我個人認為這個內容對領略數學的變化美很有好處，具有一定的承上啟下的作用，但新教材卻對這些內容不作處理，淡化了這個知識點。同時，在同樣的北師大版本的資料中，有些問題卻需要利用這個知識點來解決，方能使解題過程簡化，不知各位同仁對這個問題如何處理？我采取的策略是：對部分基礎較好的同學介紹了這個知識點，當然，主要是側重于如何運用這種方法，也不是很深入，權作豐富課外知識吧。4、解方程：x3-2x+1=0解：(x32x2+x)+(2x23x+1)=x(x22x+1)+(2x1)(x1)=x(x1)2+(x1

6、)(2x1)=(x1)(x2+x1)=0 x1=01或x2+x1=01卞5x=1,x=12,325、圓是中學數學重點內容，你如何給學生講弦切角等于同弧所對圓心角的度數的一半做過切點的直徑，連接弦和這條直徑的另一端，先說明直徑所對的圓周角是直角，然后直徑和弦所在的直角三角形的兩個銳角就互補，然后過切點的直徑垂直于切線，弦和切線把這個直角分成兩部分，其中有一個是上面那個直角三角形的一個銳角，然后用等式性質減去重復的部分，剩下的就是弦切角和所夾的弧所對的圓周角相等了。6、試說明垂徑定理，相交弦定理，圓冪定理的關系垂徑定理及其推論是指：一條弦在“過圓心”“垂直于另一條弦”“平分這另一條弦”“平分這另一

7、條弦所對的劣弧”“平分這另一條弦所對的優弧”的五個條件中任意具有兩個條件，則必具有另外三個結論(當為條件時要對另一條弦增加它不是直徑的限制)，條理性的記憶，不但簡化了對它實際代表的10條定理的記憶且便于解題時的靈活應用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關系等的重要依據；相交弦定理、切割線定理及其推論統稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似三角形結合的產物。這幾個定理可統一記憶成一個定理：過圓內或圓外一點作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分(內分或外分)成兩線段長的積相等(至于切線可看作是兩條交點重合的割線)。它們都是研究過圓內或圓外作圓的兩條線段，則這兩條線段被圓截出的兩弦被定

8、點分(內分或外分)成兩線段的關系。7、有理數運算中去括號是學生易錯的地方，你在教學中如何突破這一難點。有理數運算中去括號是學生易錯的地方。作為教師，我們在面對學生犯錯的時候，如何減少學生在有理數運算中去括號的錯誤，應該是有理數教學的一項重要任務。例如：(一6)X(4)(32)(8)3。如果我們在備課時認真分析，預測學生在計算中去括號可能會出現的問題有哪些？為什么會出現這些問題？如何避免這些問題？在教學過程中，通過一兩個典型的例題，讓學生暴露錯誤，師生共同分析出錯的原因，學生就能從反面經驗教訓，迅速從錯誤中走出來，從而增強辨別錯誤的能力，同時提高了分析問題和解決問題的能力。因此，要想少出錯，教學

9、中教師就應該一積極主動的態度對待錯誤和失敗，備課時可適當從學生去括號易錯的思路去構思，課堂上應加強去括號典型例習題的分析，讓學生充分暴露錯誤的思維過程，使學生在糾正錯誤的過程中掌握正確的思維方法。8、試說明“除以一個數等于乘以這個數的倒數”的數學原理，35女口：4一-=4x-5-1、根據分數意義進行詮釋命題。如：4的一半是多少？顯然可以這樣解4-2,也可以這樣解4X丄，由于兩者的結果是相等的，因此我們得出4-2=4x1，由此也就得出了除以一個數(022除外)等于乘以這個數的倒數。9、根據分數與除法的關系以及除法的運算定律詮釋命題。-5女如4一=4一(3一5)=4一-x-=4x=4x(5-3)=

10、4。由此也得出了除以一個數(0除外)等于乘以這個數的倒數。以上兩種方法屬于不完全歸納法。要想真正證明此命題，或許需要用到初等數論，甚至高等數論的知識。10、數學中有無對乘法運算不滿足結合律的運算，a-(b-c)=(a-b)-c，如有試舉例說明.如沒有c豐a-c)因為b)c表示與C共說明為什么？解：數學中有對乘法運算不滿足結合律的運算.如:線的向量，而al表示與a共線的向量，一般情況下a與c不共線。11、一元二次方程的求根公式是初中數學的重點內容你是如何推導ax2+bx+c=0(a豐0)的求根公式的。解:*.*ax2+bx=-cna(x2+bx+()2)=-c+a()2TOC o 1-5 h z

11、a2a2ab2-4ac4abb2-4ac(x+)2=2a4a2當、;b2-4ac0時方程有根，所以ax2+bx+c=0(a豐0)的求根公式是x二一1,22a12、(韋達定理)根與系數的關系ax2+bx+c=0(a豐0)x+x=-,xx=，若12a12aA=b2-4ac0，這一定理還成立嗎?答:不成立。13、用“二分法求方程的近似解”所包含的數學思想方法有哪些?試給予說明。解：二分法：對于在區間a，b上連續不斷，且滿足f(a)f(b)0時,有最小值（x=時，最小值是4aC_），2a4a當aia-b|a+ba+b這一含絕對值不等式的幾何意義是什么？解：|a|-b|a+ba+b這一含絕對值不等式的幾

12、何意義是:三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，等號為三點共線時。高中：1、“兩角和與差的三角函數”一節你是如何抓重難點的。通過審題分析已知條件和待求結論之間差異，靈活應用所學公式進行求值證明。運用三角公式對式子進行等價變形，處理化簡、求值和恒等式證明等問題利用公式消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，準確合理的使問題獲解。兩角和與差的三角函數重點難點剖析兩角和與差的三角函數的有關公式共26個，它們同誘導公式，同角三角函數的關系式一起都是三角變換的依據本節的中心是掌握這些公式，其中包括對公式的準確記憶，正確理解和熟練運用，重點應放在對公式結構特征和功能的認識上 x 眾多公式首先要注意準

13、確記憶，不少公式在外形上很相近，例如tg2a=雄再”win2a=編：，稍一疏忽，就會記錯.在公式的理解上這里也有較高要求.例如a11-cose口sin=-sin已知匚笳空的值，依公式求的值時，不僅包括代入求值，還包括由問題的111條件，判斷的正、負，從而決定根號前的士號怎么選擇的問題.還有一些公式它的變形形式常被用到，也應予以注意.例如:fg蟲七翻=逗（+#）（1_逗皿前），1十cosa=2cog：蘭1-coscs=2sin3，1I-l122111口十心甌十&垃（口十職），abcos毋=曲常=其中卩由，確定.三角函數的有關公式不僅要靈活運用，還要認識這些公式的大致功能，這是根據不同的變換目的正

14、確選擇有關公式的前提.應該從角的關系，函數種類的關系，式的結構特征三個方面去認識這些公式的功能.公式的應用包括正用和反用，尤其是反用，在化簡三角函數式中有著特殊的作用.2、你可否用向量證明cos（a+卩）=cosacos卩-sinasin卩證明：如圖，單位圓中a,卩為銳角yffbcos0解：a-b的幾何意義:數量積-b等于的長度與b在的方向上的投影的乘積（其中 512 0為向量a與向量b的夾角）。一、扣住數量積的意義直接解讀投影己知I*8，e為單位向量，當它們之間的夾角為豐時a在e方向上的投影為多少?分析：充分理解a在e方向上的投影為acos。解析：依題可知a在e方向上的投影為a|co礙，求得

15、-2兀acos3=8x(-*=-4,故a在e方向上的投影為-4。點評：正確理解數量積的幾何意義中的投影是直接解好題的關鍵。二、扣住數量積的意義變形解讀投影例2：已知a=3,b=5，且ab=12，則向量a在b方向上的投影為多少?ab12=幵=金三、幾何圖形中向量的數量積的最值解讀分析：a在b方向上的投影為acos0，但由于題沒有給出兩個向量的夾角，故可先求出夾角或將其進行轉化。解析：因為a在b方向上的投影為|a|cos0，而acos012故向量a在b方向上的投影為12。5點評：正確理解數量積的幾何意義中的投影，按條件進行求解或轉化是解好題的關鍵。p1例3：如圖，已知正六邊形pppppp，下列向量

16、的數量積中3A、pppp1213B、最大的是（D、分析：數量積最大的即是某個向量在向量pp方向上的投影有最大值。解析：由數量積的幾何意義易知，過點p,p,p,p分別作在向量pp上的投影，數形結合345612易知向量p市在向量p帀上的投影最大，故選A。1312點評：充分理解題意，挖掘出其幾何意義進行轉化是解好題的關鍵。9、a=(3,2),b=(1,4)axb如何運算，物理意義是什么？因為向量的叉乘得到結果是向量，且滿足右手關系，因此axb與bxa的大小相等方向相反，故而有一個負號。舉一個簡單的例子，力的力矩，它的定義其實是一個矢量，在力學中用L表示，它的大小為L=RXFR為坐標原點到力的作用點的

17、位置矢量，F為力的大小，力矩L與R和F分別垂直。(叉乘，也叫向量的外積、向量積。顧名思義，求下來的結果是一個向量，記這個向量為c。|向量c|=|向量ax向量b|=|a|b|sin向量c的方向與a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法則”判斷(用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向)。因此，向量的外積不遵守乘法交換率，因為：向量ax向量b=-向量bx向量a在物理學中，已知力與力臂求力矩，就是向量的外積，即叉乘。10、橢圓的標準方程你是如何推導的。A解：(1)建系。設焦距為2C,定長為2a(ac),則F1(2)(3)(-C、0)F

18、2(C、0),設M(X、Y)列方程：lMF】I+IMF2I=2a代入并化簡：x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)為了使方程形式更簡單，設a2-C2二b2則簡化為b2X2+a2y2二a2b2乂+蘭_1a2b24）檢驗：此方程稱為橢圓的標準方程11、一個橢圓如何通過幾何作圖（尺規）找出其中心。解：做兩條平行的直線，分別交橢圓于A,B和C,D分別取AB和CD的中點M，N連結MN,再作另外兩條平行的直線（與前兩條不平行），分別交橢圓于A，B和C，D，分別取AB和CD的中點M，N連結則MN與MN的交點即為橢圓的中心證明方法很簡單:任作一條直線，交橢圓

19、于A，B,取AB的中點M,則當AB平行移動時，M的軌跡為過橢圓中心的直線。12、一個平面截一個圓柱面，裁口是一個橢圓，你能證明這一結論嗎？解：如圖，設圓柱的底面半徑為b，截面與圓柱底面所成角為0，截面弦AC在圓柱底面上的cos0_b射影為圓柱底面直徑Be.若|AC_2a，貝a.如圖示，在底面內建立直角坐標系xy,則有在截面內建立直角坐標系xoy.設M（x，y）是截口曲線上任意一點，M（xo,y）是它在底面上的射影,bxx=xcos0=,y=y0a0又M(xo,y0)在x2+y2_b2上,.(竺)2+y2_b2即乂+蘭_1aa2b213、“直線的斜率”這一概念可以從哪些方面講，試舉例說明。解：從

20、傾斜角、向量、導數方面來講。如：直線L的傾斜角是上，則斜率k=tana=J3，傾斜角,k=tana32又如直線L的方向向量是a=2），則k=-2又如y=x2-2x,則過P（1,-1）的切線的斜率是k=y=2x-2=2x1-2=014、直線方程表達式中最基本的形式是什么，你如何對學生講。解：直線方程的點斜式是其他直線方程形式的基礎，因此它是本節學習的重點在推導直線方程的點斜式時，要使學生理解：（1）建立點斜式的主要依據是，經過直線上一個定點與這條直線上任意一點的直線是唯一的，其斜率等于k=口1.（2）在得出方程后，要把它變成方程x-x1y-y=k（x-x），因為前者表示的直線缺少一個點P（x,y

21、），而后者才是這條直線的方程.（3）1111x1。當直線的斜率不存在時，不能用點斜式求它的方程，這時的直線方程為x=15、若直線L與L垂直，則L-L=-1，你能否對這一結論給出幾何直觀說明。1212X解：k=tana,k=tanB,B=1216、數列與函數的關系，你如何給學生講。解：數列與函數的關系數列這一章通過具體例子介紹了一般數列的概念和簡單表示方法,同時用函數知識加以說明，然后分別介紹了等差數列，等比數列的概念，通項公式,以及前n項和的公式，并突出了他們與一次函數二次函數,指數函數的關系. 212 (一).數列中的對應.用函數觀點看數列數列可以看作是一個定義域為正整數集(或它的子集)的函數f(n),當它的自變量n從1開始依次取正整數值時，對應的一列函數值f(1),f(2),f(3),.f(n),數列的通項公式實際就是相應的函數解析式an=f(n).等差數列的通項公式是的一次函數(當公差d0時,為遞增數列,當公差d0，且對任意實數X，有f(x+a)=-f(x).證明f(x)是周期函數，并求出它的周期.