1、2010年高考數學易錯專題點睛：平面解析幾何【原題】過點（1 , 0）的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為 W2的橢圓C相交于A、 2B兩點，直線y=1x過線段AB的中點，同時橢圓 C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試2求直線l與橢圓C的方程【錯誤分析：不能恰當地利用離心率設出方程是學生容易犯的錯誤恰當地利用好對稱問題是解決好本題的關鍵2 TOC o 1-5 h z 【答案】橢圓C的方程為 約+16y2 =1, l的方程為y= X+1 99 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 22 ,h21.【解析】法一 由e= c =，得a 2h ,從

2、而a2=2h2, c=h a 2a22設橢圓方程為x2+2y2=2h2, A（X1,y1）, B（X2, y2）在橢圓上貝U X12+2y12=2h2, X22+2y22=2h2,兩式相減得，（x： X22）+2（ y，一 y22）=0, y1 - y2 =x1 *x2 .X1 -X22（ y1 y2）設AB中點為（X0, y）,則Kab=- X ,又（X0,y0）在直線yx上，y0=1X0,于是一x02y0222y01 , Kae= - 1 ,設l的方程為y= - x+1.右焦點(h,0)關于l的對稱點設為r r(X ,y),則x h解得 3y x +h X =1_ y =1 -h京-2,

3、1由點(1,1 -h)在橢圓上，得 1+2(1 h)2=2h2,h2= 9 ,a2 = 9.所求橢圓C的方程為16828x 16 2-+y =1, l 的萬程為 y=-x+1解法二 由e=c=2，得a ；h從而a2=2h2,c=h設橢圓C的方程為x2+2y2=2h2, l的方 TOC o 1-5 h z a 2 a2222222程為y=k(x - 1),將l的萬程代入 C的萬程，得(1+2 k )x 4k x+2k 2h =0,則2_4k2.2k1X1+X2=7, y+y2=k(X11)+k(X21)= k( X1+X2) 2k=三 直線 ly=x 過 AB的中1 2k21 2k222點(力.

4、y1 y2 ),則 k =工，2k 解得女二。,或k=_ 1若k=0,則l的方程為y=0,221 2k22 1 2k2焦點F（c,0）關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓 C上，所以k=0舍去，從而k=-1,直線l的方程為y=- (x- 1),即y= x+1,以下同解法一A、B兩點坐標代入圓錐曲【易錯點點睛】本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將 線方程，兩式相減得關于直線 AB斜率的等式 解法二，用韋達定理【原題】如圖所示，拋物線 y2=4x的頂點為Q點A的坐標為(5, 0),傾斜角為:的直線l與 線段OAt目交(不經過點O或點A)且交拋物線于 M N兩點，求 AM麗積最大時直線

5、l的方程，并求 AMN勺最大面積【錯誤分析：將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍 不等式法求最值忽略了適用的條件【答案】直線l的方程為y=x1, AAMN勺最大面積為8/2y x m【解析】法一由題意，可設l的方程為y=x+m其中一5m0,解得 m 1,又一5V m 0, m的氾圍為(一5, 0)設 Mx1，y。，N(x2, y2)2x1+x2=42m, x1 x2=m,點A到直線l的距離為d=-S=2(5+ m Ji m ,從而 S/2=4(1 -n)(5+m)2=2(2-2n)(5+n)(5+m w 2( 2-2m+5+m+5+ m) 3=128，sw8J2,當且3僅當2 2m

6、=5+m即m=1時取等號 故直線l的方程為y=x-1, AMN勺最大面積為8丘解法二由題意，可設l與x軸相交于B (m,0) , l的方程為x = y +m其中0 V m0 必成立，設 M(x1,y1), N(x2, y2)則 y1+ y 2=4,y 1 - y 2= 4m.S =；(5m)|y -Y2 |= ； (5 m)而屈尸不5 1 5 15 15 15 1(2 -2m) (2 -2 m) (1 m)3=4(2-2m) (1 m)=4N2-2m)(2一2m)(1 m)b0）a2 b2由條件知a =1且b = c,又有a2 = b2 +c2 ,解得 a = 1c 29 x2故橢圓C的離心率

7、為e = -二 其標準方程為：y +=1a 212一Ary=kx+m ，一 22.2(2)設 l 與橢圓C交點為 A (Xi,yB(x2,vx2+y2_ 1得(k+2)x + 2kmx+(m 1)=02_2. .2_2_. 2kmm 1 = (2kg -4 (k+2) (m1) = 4 (k2m+2) 0 (*) Xi +X2=卜2+ 2 , xiX2=卜2+ 2xi +X2= 2x2. AP = 3 PBxi= 3X222xiX2 = 3x22. 一 一，一2km消去 x2,得 3 (xi + x2)+ 4x1x2= 0, .3 (女2+ 2) TOC o 1-5 h z 2)2 m 12

8、22. 2+ 4jk =0 整理得 4k m+ 2mk2=02m=：時，上式不成立；n2w：時k2=- 444m1c c 22 2 2m _ 因 入= 3 kw0k = 4m2-0,【答案】.(1) e=2. (2)1,、1 22 一， 1n2 或 22m2 成立，所以(*)，11成立即所求m的取值范圍為(1, -) U (2, 1)【易錯點點睛】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應充分重視向量的功能22【原題】若F1、F2分別為雙曲線 -，=1的下、上焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線的下a2 b2支上，點M在上準線上，且滿足 F2O = MP , 麗=入(-FEf-FQ-X入0)

9、.(1)求此雙曲 |FF| |FQ|線的離心率；(2)若此雙曲線過 N( J3,2),求此雙曲線的方程；(3)若過N( 1= e=2.22又(3,2)在雙曲線上,(2) 由 e=2,，c=2a,即 b2=3a2.雙曲線方程為-y- - - =1.a2 3a23a2=1. TOC o 1-5 h z 22，a2=3.，雙曲線方程為 y- -=1.39。，由3/知AB過點主，若軸，即：宅上。此時AB：與3B：不垂直設直線 AB 的方程為 v=kx-3上代入 =LiS(3k-l)x-lSk:x-279=0.39由題知3妙/國且上n,即妙:一且太二：.設交點為心壬頊x；：y”S-Tr B B631/ B-A JL 艮瓦BA , B B =口:即 Xx：-3(x-)-9-yiYz*0.Ti獷此時y ：