1、第七章 橢球面上的測量計算7.1 地球橢球的基本幾何參數 及其相互關系7.1.1 地球橢球的基本幾何參數子午圈(線,面,橢圓)平行圈(緯圈)赤道1南京工業大學測繪學院決定旋轉橢球的性狀和大小的五個基本幾何參數(或稱元素) 橢圓的長半徑: 橢圓的短半徑: 橢圓的扁率: 橢圓的第一偏心率: 橢圓的第二偏心率: :橢球的焦距2南京工業大學測繪學院為簡化書寫，常引入以下符號：此外，還有兩個常用的輔助函數：3南京工業大學測繪學院7.1.2 地球橢球參數的相互關系4南京工業大學測繪學院7.2 橢球面上的常用坐標系 及其相互關系7.2.1 各種坐標系的建立1.大地坐標系 大地經度B 大地緯度L 大地高H 5

2、南京工業大學測繪學院2.空間直角坐標系當坐標原點位在總地球橢球(或參考橢球)質心時，此時稱為地心(或參心)空間直角坐標系，Z軸與地球平均自轉軸相重合，亦即指向某一時刻的平均北極點;X軸指向平均自轉軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點Ge,而Y軸與此平面垂直，且指向東為正。 6南京工業大學測繪學院3.子午面直角坐標系設P點的大地經度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x,y平面直角坐標系。 在該坐標系中，P點的位置用L,x,y表示。 7南京工業大學測繪學院4.天文坐標系 天文坐標系是以鉛垂線為依據建立起來的。在這個坐標系中，一點的坐標用天文經度及天文緯度表示。所謂

3、天文緯度是P點的鉛垂線與地球赤道面形成的銳角，天文經度是天文起始子午面同過P點的天文子午面之間形成的二面角，此時的天文子午面系指過P點的鉛垂線和地球旋轉軸組成的平面。 8南京工業大學測繪學院5.地心緯度坐標系及歸化緯度坐標系 設橢球面上P點的大地經度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點建立地心緯度坐標系; 以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長與輔助圓相交點，則OP與x軸夾角稱為P點的歸化緯度u。9南京工業大學測繪學院6.站心地平坐標系 大地站心地平坐標系是以測站法線和子午線方向為依據的坐標系，點的坐標可用(x,y,z)或(S,A,Z)表示。 天文站心地平坐標系由垂線，真地平面及天文子午面所決定。

4、10南京工業大學測繪學院7.2.2 各種坐標系間的關系1.子午平面坐標系同大地坐標系的關系11南京工業大學測繪學院12南京工業大學測繪學院子午平面直角坐標系同歸化緯度 坐標系的關系 由圖可知: 13南京工業大學測繪學院子午平面直角坐標系同地心緯度 坐標系的關系 由圖可知:而: 14南京工業大學測繪學院2.空間直角坐標系同子午平面直角坐標系的關系15南京工業大學測繪學院3.空間直角坐標系同大地坐標系的關系圖中:16南京工業大學測繪學院17南京工業大學測繪學院則:18南京工業大學測繪學院 當已知P點的空間直角坐標計算相應的大地坐標時,對大地經度L有大地緯度B的計算比較復雜,通常采用迭代法:或:19

5、南京工業大學測繪學院迭代時可取: 用 的初值計算 和 ,按 進行第二次迭代,直到最后兩次 值之差小于允許誤差為止。 當已知大地緯度 時，按下式計算大地高 或20南京工業大學測繪學院4.空間直角坐標系同歸化緯度坐標系的關系21南京工業大學測繪學院 5.大地緯度 ，歸化緯度 ，地心緯度 之間的 關系 和 之間的關系 22南京工業大學測繪學院 和 之間的關系 和 之間的關系 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經過計算，當B=45時23南京工業大學測繪學院7.3 橢球面上的幾種曲率半徑 過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。

6、 包含橢球面一點的法截可作無數多個法截面相應有無數多個法截線。橢球面上法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑,而是不同方向的法截線曲率半徑都不相同。因此本節首先研究子午線及卯酉線的曲率半徑，在此基礎上再研究平均曲率半徑及任意方向的曲率半徑。24南京工業大學測繪學院7.3.1 子午曲率半徑25南京工業大學測繪學院26南京工業大學測繪學院27南京工業大學測繪學院7.3.2 卯酉曲率半徑 過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。 圖中PEE即為過P點的卯酉圈。卯酉圈曲率半徑用N表示。28南京工業大學測繪學院

7、麥尼爾定理:假設通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。即： 而：所以： 也可以寫成：由圖可看出：29南京工業大學測繪學院卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉軸上。 30南京工業大學測繪學院主曲率半徑的計算 以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統稱為主曲率半徑。31南京工業大學測繪學院32南京工業大學測繪學院將克拉索夫斯基橢球元素值代入得各系數33南京工業大學測繪學院將

8、1975年國際橢球元素值代入得各系數34南京工業大學測繪學院也可以寫成：35南京工業大學測繪學院則式中：36南京工業大學測繪學院將克拉索夫斯基橢球元素值代入得各系數37南京工業大學測繪學院將1975年國際橢球元素值代入得各系數38南京工業大學測繪學院7.3.3 任意法截弧的曲率半徑 39南京工業大學測繪學院不僅與點的緯度B有關，而且還與過該點的法截弧的方位角A有關。當時，變為計算子午圈曲率半徑的，即；當90時，為卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑M及N分別是的極小值和極大值。 40南京工業大學測繪學院當A由090時，之值由，當A由90180時，值由N，可見值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對

9、稱的。7.3.4 平均曲率半徑 或 橢球面上任意一點的平均曲率半徑R等于該點子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。 41南京工業大學測繪學院7.3.5 M，N，R的關系42南京工業大學測繪學院對于克拉索夫斯基橢球43南京工業大學測繪學院7.4 橢球面上的弧長計算7.4.1 子午線弧長計算公式 44南京工業大學測繪學院45南京工業大學測繪學院46南京工業大學測繪學院克拉索夫斯基橢球子午弧長計算公式 1975年國際橢球子午弧長計算公式47南京工業大學測繪學院如果以B90代入，則得子午橢圓在一個 象限內的弧長約為10 002 137m。旋轉橢球的子午圈的整個弧長約為40 008 549.9

10、95m。即一象限子午線弧長約為10 000km，地球周長約為40 000km。 為求子午線上兩個緯度B及間的弧長，只需按式分別算出相應的X及X，而后取差：，該即為所求的弧長。48南京工業大學測繪學院當弧長甚短(例如X40km，計算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點的子午圈的曲率半徑M49南京工業大學測繪學院由子午弧長求大地緯度迭代解法: 50南京工業大學測繪學院7.4.2 平行圈弧長公式51南京工業大學測繪學院子午線弧長和平行圈弧長變化的比較52南京工業大學測繪學院7.5 將地面觀測值歸算至橢球面 觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點

11、的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求：以橢球面的法線為基準；將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素。 53南京工業大學測繪學院7.5.1 將地面觀測的水平方向歸算至 橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習慣上稱此三項改正為三差改正。 (1)垂線偏差改正54南京工業大學測繪學院以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以，表示，M是地面觀測目標m在球面上的投影。 垂線偏差對水平方向的影響是(R-R) 55南京工業大學測繪學院(2)標高差改正 56南京工業大學測繪學院(3)截面差改正 57南京工業大學測繪學院7.5.1 將地面