1、第一章現實世界中的數學模型第一節 現實世界的模型 在現實生活中，我們對“模型”（Model）這個名詞并不陌生。我們經常談到“物理模型”、“化學模型”、“生物模型”等。 “原型”（Prototype）和“模型”是一對對偶體。 原型：是指人們在現實世界里關心、研究或從事生產、管理的實際對象。在科技領域中通常使用系統、過程等詞匯來描述相應的對象。 模型：指為了某個特定的目的將原型的一部分信息簡縮、提煉而構成的原型替代物。 尤其要說明的是：模型不是原型原封不動的復制品。原型有各個方面和各個層次的特征，而模型只要求與某種目的有關的那些方面和層次。 模型的基本特征是由構造模型的目的決定的。 一、形象模型

2、根據某種物體的實際大小，按一定比例制作的模型稱為形象模型。例如汽車模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又稱為直觀模型。 二、物理模型 物理模型主要指科研工作者為一定的目的根據相似原理構造的模型，它不僅可以可以顯示原型的外形或相似特征，而且可以用來進行模擬實驗，間接地研究模型的某些規律。 三、思維模型 思維模型是指人們對原型的反復認識，將獲取的知識以經驗形式直接存儲于人腦中，從而可以根據思維或直覺作出相應的決策。 思維模型的特征是容易接受，也可以在一定的條件下或得滿意的結果，但是它往往帶有模糊性、片面性、主觀性、偶然性等缺點。 四、符號模型 用一些比較生動、鮮明的符號來刻畫某種事物的特征，這種模

3、型稱為符號模型。例如地圖、電路圖、化學結構表等。 五、數學模型 在初等數學中，我們就已經碰到了數學模型的具體問題，只是那時并不知道這就是數學模型。我們看下面的例子。 例 甲乙兩地相距740km，某船從甲地到乙地順水需要30小時，從乙地到甲地逆水需要50小時，問船速、水速各為多少？ 分析：在該問題中，兩地之間的距離是已知的，并且假定在考察問題的時間段中水的流速不變，在這樣的假設之下，我們可以得出問題的解。 求解 設水的流速為 ，船的行駛速度為 ，則當順水航行時有關系當船只逆水航行時，有即有方程組上式即為原問題的數學表達式，又稱為數學模型。 容易求出該問題的解： 。即船速為20km/h，水速為5k

4、m/h。 在上面的例中我們看到數學模型的一般意義： 對于現實世界的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據特有的內在規律，作出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構。 注意：本課程的重點并不是單單介紹現實世界的數學模型，而主要的是介紹建立數學模型的全部過程和求解過程。 建立模型的過程就稱為數學建模。第二節 數學建模的重要意義 一、在一般的工程領域中，數學建模仍然大有用武之地。 二、在高新技術領域中，數學建模幾乎是必不可少的工具。 三、數學迅速進入一些新興領域，為數學建模開拓了許多新的處女地。 四、數學建模在國民經濟和社會活動中的具體表現：1.預報與決策；2.分析與設計；3.控制與優

5、化；4.規劃與管理。第三節 數學模型的例子 一、椅子放穩問題 問題 一個有四個腳的方凳能否在地上放穩，如能的話，給出具體的方法。假設1 椅子的四個腳是等長的并且四個腳正好位于一個四方形的頂點上；假設2 地面是一張連續變化的曲面；假設3 在任一時刻。椅子至少有三只腳落地。 建模 設椅子的四只腳位于點 其連線構成一正方形，對角線的交點為坐標原點，對角線 為坐標軸（坐標系統如圖所示）。 設 為 兩點椅子的腳離開地面的距離只和； 為 兩點的椅子的腳離開地面的距離之和，則由條件得 注意到： 并且椅子的四腳落地意味著 故不妨假設則問題歸結為是否存在 使得 解模 由條件對任意 ，有 且 令則 因由閉區間連續

6、函數的零點定理知，存在使得注意到條件：椅子的四個腳中在同一時刻至少有三腳落地，即所以由 ，即有 此說明在問題所設的條件下，椅子可以放穩，并給出了放穩的具體方法。 注 若在原問題中，若將一個四方形的椅子改為長方形的桌子，則該如何求解？ 二、人口增長的預報問題 隨著科學技術的發展，在近幾個世紀來，世界人口也得到了快速的的增長。下面的數據表反映了近幾個世紀的人口增長情況。年1625183019301960人口（億）5102030年197419871999人口（億）405060 從表中看出，人口每增加十億的時間，由一百多年縮短至十二、三年。常此以往，人口問題將嚴重困擾世界經濟的發展。 下表是我國在20

7、世紀中人口發展的狀況：年1908193319531964人口（億）3.04.76.07.2年198219902000人口（億）10.311.312.95 認識人口數量變化的規律，建立合適的人口模型，作出準確的預報，是有效控制人口增長的前提。 下面介紹兩個基本的人口模型，并利用表1給出的近兩個世紀的美國人口統計數據（單位：百萬）對模型作出檢驗，最后用它預報2010年美國的人口。年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0年191019201930

8、194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4表1 美國人口數據統計 指數增長模型 一個簡單的人口模型是指數模型：記今年人口為 ，年增長率為 ，則以后第 年的人口為在上面的問題中，假定人口的增長率 是一個不變的常數。 200多年前，馬爾薩斯基于增長率不變的基礎，建立了著名的人口指數模型。 建模 記時刻 時的人口為 ，并視其為連續變量，初始時 的人口為 ，從 到 時間內人口的增量為 ，則有令 則得到 應滿足的微分方程：由這個方程容易解得：當 時，式表明人口將按指數規律無限增長。故

9、稱為指數增長模型。 參數估計：式中的 和 可以用表1中的數據進行估計。為了利用簡單的最小二乘法，將式取對數后得其中： 。 以1790年到1900年的數據擬合式，可得 以1790年到2000年的全部數據擬合式，可得17901900實際人口與計算人口的比較計算人口曲線實際人口17902000實際人口與計算人口比較計算人口曲線實際人口年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年185018601870188018901900人口23.231.438.650.2

10、62.976.0 x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表2 指數增長模型擬合美國人口數據的結果 結果分析 用上面得到的參數 代入式，將計算結果與實際數據作比較得下表，表中計算人口 是用1790年的數據擬合的結果；計算人口 是用全部數據擬合的結果，用這個模型基本上能夠描述19世紀以前美國人口的增長情況，但是進入20世紀后，美國人口增長明顯放慢，此時模型不再適合了。年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.61

11、88.0年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1 從歷史上看，指數增長模型與十九世紀以前歐洲一些地區人口統計數據可以很好地吻合，此外，以此模型作短時間里的人口預測可以得到較好地結果。原因是此時人口的增長率幾乎是一個不變的常數。 但是，從長期看，任何地區、任何國家的人口不可能無限增長，這是因為人口的增長率實際上是在不斷地變化。一般情況下，當人口較小時，增長較快；當人口達到一定數量時，增長率明顯下降。因而用平均增長率 來代替變化增長率 ，會與實際結果有較大的差距。 阻滯增長模型（Logistic模型） 分析 當人

12、口增長到一定數量后，自然資源、環境條件等因素對人口的增長會起到一個阻滯作用，并且隨著人口的不斷增加，阻滯作用會越來越大。阻滯增長模型就是基于這個事實，對指數增長模型的基本假設進行修改后得到的。 建模 設增長率 隨人口數量 的增長而下降，則關系式可改寫成其中 是 的減函數。進一步假定，設 是 的線性函數，即這里 稱為固有增長率。引入 ，稱為人口容量，即當 時，人口不再增長，即 代入式得 于是式為把代入方程，得方程右端的因子 體現人口自身的增長趨勢，因子 則體現了資源和環境對人口增長的阻滯作用。注意到： 越大，前一因子越大，而后一因子越小，人口的增長是兩個因子共同作用的結果。 以 為橫軸， 為縱軸

13、作出方程的圖形。從該圖形中可以大致描繪出 的圖形。Logistic模型 xt 曲線 參數估計 為了利用簡單的線性最小二乘法估計這個模型的參數 和 ，將方程表為 用數值微分和曲線擬合，利用從1860到1990年的數據計算得到 /10年， 結果分析：用上面的數據代入方程的解：將計算結果與實際數據加以對比：有下面的圖表年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x13.95.06.58.310.713.7年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0 x117.522.328.335.845.0

14、56.2表3 阻滯增長模型擬合美國人口數據的結果年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x169.785.5103.9124.5147.2171.3年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4x1196.2221.2245.3阻滯增長型擬合圖形（17901990）計算人口曲線實際人口 從數據中可以看出，在阻滯增長模型中雖然有一段時間，數據擬合的情況不是很好，但在最后一段時間，吻合得相當不錯。 以該數據來預測2000年的人口情況，我們有與實際數據有約 的誤差，可以認為該模型是能夠令人滿意的。

15、 將2000年的數據加入，可以預測到在2010年美國人口將達到 百萬。 三、傳染病的蔓延問題 問題 當某種傳染病流行時，得病者人數是如何變化的？在何時病人的增加率最大？有關部門應如何控制傳染病的蔓延？ 模型一 假設：病人是通過與他人接觸而將病菌傳染給他人的。進一步地假設，在單位時間內一個病人能傳染的人數為定量，記作 ，稱其為傳染系數。 建模 設時刻 ，有病人數 ，且初始時再設從時刻 到時刻 時間段中病人的增量為從而有令 則有微分方程，并有初始條件從而問題轉變為一個常微分方程的初值問題. 解模 方程為一階線性齊次常系數微分方程，方程的通解為再由初始條件得初值問題的解為式表明，病人數將按指數規律無

16、限制地增加，即 實際問題是，一個地區的人口總數是一個有限數，故上面的模型并不適用. 模型二 假設 1.在傳染病流行的地區里，總人口數 是不變的; 2.在單位時間內一個病人能傳染的健康人數量是個變量 . 因為隨著病人數的增加，健康人的數量在減少，從而 也會減少. 為此假定 與健康人數量成正比, 其比例系數為 ，仍然稱為傳染系數. 建模 設時刻 時有病人數 健康人數 。初始時刻 時有病人數 . 由假定1，有 在時刻 到 的時間段中，病人數的增量為兩邊同除以 ，并令其趨于零，則有微分方程如此，把問題轉變成一個微分方程. 解模 此方程是一個一階可分離變量的微分方程，容易解出:兩邊積分，得再由初始條件，

17、得所以方程的解為變形后有即所以從而原方程的解為曲線的大致圖形如下： 分析：當 時， 此表明所有的人都將成為病人，這也是不合理的. 因為最終病人數將趨于零. 此模型的一個應用是，利用該模型可以預測該傳染病何時會達到最大值. 對式求導并令其為零，則有由方程從而方程意味著即在病人數達到總人數的一半時，病人數的增加率達到最大. 將代入, 得最傳染病高峰時刻為 模型三 假設: 1.在傳染病流行的區域內，總人口數 是不變的; 2.在單位時間內，一個病人能傳染的健康人數量成正比，其比例系數記為 ，稱為傳染系數。 3.在單位時間內，一個病人通過治療或其它過程能夠不再成為病人的可能性記為 ，稱為恢復系數。 建模

18、 設時刻 有病人 人，健康人 ，免疫者 人，初始時刻有病人 及免疫人數為0. 由假設1及3得從時刻 到時刻 的時段中病人數的增量為其中 為免疫者數量的增量。把 除以上式的兩邊，并令其趨于零，則有微分方程：再由式得所以如此，模型三歸結為求解一階非線性微分方程組的初值問題. 上面方程組的求解是極為困難的。我們從另一個角度來進行討論. 引入量 ，稱為特征系數，則微分方程轉變為此方程為變量可分離的微分方程，分離變量后求解：得由此得到初值問題的解為 解的分析 由于故解曲線必定在下述一個三角形區域內： 由知 即隨時間 的增加，健康人數 將減少。再由知當 時， 此時病人數達到了極大值 再來看當時間在增加時病

19、人數和健康人數的極值情況。 由于 由極限存在準則：故極限值存在，且由于 故極限值 存在。從而由式式知極限值必存在，且 其次，假定 則由 當 相當大時，有 此與 的存在性矛盾，所以 從圖中可以看出，在健康人數初始值 的條件下，當時間 時，健康人數量減少，而病人數 先增加，在達到極大值 后再減少；而在健康人數初始值 的條件下，當時間 增加時，健康人數量 減少，病人數量 也減少。 結論：只有當 時傳染病才會蔓延。 數量 稱為閥值。顯然 越大則越不容易使傳染病蔓延。由 的定義知，欲使 增大，可使恢復系數 增大和傳染系數 值降低。其實際意義是：提高醫療水平及提高衛生保健水平，是預防傳染病蔓延的良好途徑。

20、 從以上的分析中可以看到，模型三還是比較符合實際情況的。應 用 應用模型三，我們來估計一次傳染病流行過程中被傳染者的總數。 若一次被傳染病流行后健康人數量為 ，則被傳染者的總數為顯然， 應該滿足中的 時的形式 因為一般有 故 代入、，得近似方程， 又由于 由冪級數展開式，為 略去較高項，有解出，得若記健康人數量超過閥值部分為 ，即則被傳染者總數為 特別地，當健康人數量的初始值超過閥值部分很小時，即 時，就有 從上面的幾個式中可以看到，在閥值 提高后， 值將變小，于是，一次傳染病流行過程中被傳染者總數也會變小。 在上面的討論中，參數 可以由實際數據估計得到的。因初始值 從而 故由得從而檢 驗 所

21、建立的模型在應用于實踐前，還必須用已往的一些經驗和統計資料做一番檢驗。如果它與實際數據吻合，則該模型可以用于實際的應用；如果它與實際數據吻合得不好，則該模型還不能做定量的應用。在后一種情況下，則需要對模型做進一步地修改，直到模型與實際數據吻合為止。 假設有一組數據，該數據反映的是某醫院每周的傳染病病人病愈和死亡的情況：（時間單位 為一周）時間1234N治愈人數 今以這組數據來檢驗模型三。為此首先求出 與 的關系：由關系，得微分方程該初值問題的解為代入式得到由于病愈和死亡的人數 將指數函數按冪級數展開：代入到上式，并略去高階項后得：(21) 用分離變量法求得上面方程的解其中由前式得到當 則上式成為(22)(23)其中，(24) 下面介紹參數 的確定方法： 當參數 各取定某個數值時，對于由公式(23)可確定相應的理論值： 構造理論值和實際值間的誤差平方和函數如下： 通過在一定的范圍中尋找參數 的值使值成為函數 的一個極小值。 如果 很小，則說明理論公式計算得到