1、曲線與曲面的表示天津大學計算機學院孫美君2提出問題由離散點來近似地決定曲線和曲面，即通過測量或實驗得到一系列有序點列，根據這些點列需構造出一條光滑曲線，以直觀地反映出實驗特性、變化規律和趨勢等。8插值與逼近樣條曲線是指由多項式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續條件。樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來描述。9插值與逼近曲線曲面的插值：當用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。圖8.1 曲線的插值10插值與逼近曲線曲面的逼近：當用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點列。圖8.2 曲線的逼近6內容參數表示參數表示的數學原理參數曲線參數曲面

2、7內容參數表示參數表示的數學原理參數曲線參數曲面8考慮直線段 P0(x0, y0, z0)P1(x1, y1, z1) 參數表示分量表示參數空間：參數表示的數學原理：直線段 9參數表示的數學原理：直線段直線段參數表示的直觀幾何意義參數空間中每一個參數(點)都對應于直線段上一個點參數空間的兩個端點對應于直線段的兩個端點 10一般三維參數曲線形式：參數空間中每一個t對應于曲線上一個點R(t) 圖形學中，參數空間通常是有限區間，此時參數曲線稱為參數曲線段 圖形學中，參數函數通常為分段多項式或有理多項式曲線 參數表示的數學原理：曲線11參數表示的數學原理：平面雙線性四邊面片： (u,v)0,10,1

3、四邊面片的四個頂點P0、P1、P2和P3對應于參數曲面的四個角點R(0,0)、R(1,0)、R(1,0)和R(0,1) 12曲面參數表示的數學原理雙線性四邊面片13一般形式的空間參數曲面 參數空間中每一點(u, v)對應于曲面上一點R(u,v)如果曲面的參數空間是一個有限的定義域(如矩形)，則對應的參數曲面稱為參數曲面片參數表示的數學原理：曲面14參數表示的優勢參數表示是顯式的對每一個參數值，可以直接計算曲面上的對應點參數表示的物體可以方便地轉化為多邊形逼近表示可對其參數方程直接進行幾何變換，如平移，旋轉參數曲線曲面更易于用計算機表示和構造曲面上的幾何量計算簡便(微分幾何)：切線，法向、曲率等

4、特殊形式的參數表示的外形控制十分直觀Bzier、B-樣條、NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline, 非均勻有理B-樣條)曲線/曲面。15內容參數曲面表示參數表示的數學原理參數曲線Bzier曲線B-樣條曲線NURBS曲線參數曲面16Bzier曲線Pierre Bzier (1910.9.1-2019.11.25) 發音：BEH zee ehBzier曲線，1962年30Bezier曲線定義 Bezier曲線18一條n次Bzier曲線：多項式Bi,n(t)稱為Bernstein基函數： Bzier曲線定義 32Bezier曲線的定義一次Bezier曲線（n=1）3

5、3Bezier曲線的定義二次Bezier曲線（n=2）34Bezier曲線的定義三次Bezier曲線（n=3）22Bzier曲線性質端點性質：R(0)=R0 R(1)=Rn端點切向：R(0)=n(R1R0)R(1)=n(RnRn-1) 對稱性：iRn-iBi,n(t) = iRiBi,n(t)Bzier曲線形狀相同，走向相反 三次Bzier曲線23Bzier曲線性質凸包性：Bzier曲線位于控制多邊形的凸包內幾何不變性：Bzier曲線的形狀僅與控制多邊形有關，與坐標系無關Bzier曲線的凸包性24Bzier曲線的不足當控制點較多時，需要更高的次數，增加計算復雜度整體性質：當移動曲線的一個控制頂

6、點時，整條曲線的形狀都會發生改變表示復雜形狀時，需要將多條Bzier 曲線光滑拼接起來，即Bzier樣條曲線。位置連續：C0(或G0)n次導數(或幾何)連續：Cn(或Gn)25內容參數曲面表示參數表示的數學原理參數曲線Bzier曲線B-樣條曲線 ( B Spline curves)NURBS曲線參數曲面26B-樣條曲線實列三次(四階)B-樣條曲線 R0R1R2R3R4R5R6R727B-樣條曲線的定義 B-樣條曲線是分段連續的多項式曲線，其定義與節點向量密切相關定義在節點向量u=u0, u1, , ui, , un+k+1 上的k次(k+1階)、具有(n+1)個控制頂點的B-樣條曲線為： 28

7、B-樣條曲線的定義Ri為控制頂點，Rii=0,1,n順次連接稱為曲線的控制多邊形Ni,k(u)為單位化的B-樣條基函數：29B-樣條基函數實例n=3 (4個控制頂點)k=3 三次(四階)曲線u=0 0 0 1 2 2 2 2在 u = 0.6 處，基函數的和為：N0,3+N1,3+N2,3+N3,3 =0.16+0.66+0.18+0.0= 1.0 u30B-樣條曲線性質B-樣條曲線具有凸包性和幾何不變性。當曲線的兩個端節點的重復度是k+1時B-樣條曲線具有類似于Bzier曲線的性質端點性質端點導數與控制的起始邊與終止邊相切當n=k+1時，B-樣條曲線就是一條Bzier曲線31B-樣條曲線性質

8、局部性：當移動一個控制頂點時，只會影響曲線的一部分，而不是整條曲線三次B-樣條曲線的局部性質32內容參數曲面表示參數表示的數學原理參數曲線Bzier曲線B-樣條曲線非均勻有理B樣條（NURBS曲線）參數曲面33NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline)：非均勻有理B-樣條的簡稱定義：NURBS曲線 34NURBS曲線Ni,k(u)為單位化的B-樣條基函數Ri為控制頂點NURBS曲線新增加的曲線控制手段是權因子i ，首末兩個權因子00、n0 其余的權因子滿足i035NURBS曲線的權因子每一個權因子對應于一個控制頂點通過調整權因子的大小可以調整曲線的形狀。當所有的

9、權因子i=1時，就是B-樣條曲線；當某個權因子i=0時，對應的控制頂點對曲線的形狀沒有影響當i時，曲線R(u) Ri ，即曲線過點Ri 36NURBS曲線的例子NURBS曲線權因子對曲線形狀的影響89NURBS曲線曲面的特點既為自由型曲線曲面也為初等曲線曲面的精確表示與設計提供了一個公共的數學形式，因此，一個統一的數據庫就能夠存儲這兩類形狀信息。為了修改曲線曲面的形狀，既可以借助調整控制頂點，又可以利用權因子，因而具有較大的靈活性。90NURBS曲線曲面的特點計算穩定且速度快。NURBS有明確的幾何解釋，使得它對良好的幾何知識尤其是畫法幾何知識的設計人員特別有用。NURBS具有強有力的幾何配套

10、計算工具，包括節點插入與刪除、節點細分、升階、節點分割等，能用于設計、分析與處理等各個環節。91NURBS曲線曲面的特點NURBS具有幾何和透視變換不變性。NURBS是非有理B樣條形式以及有理與非有理Bezier形式的合適的推廣。需要額外的存儲以定義傳統的曲線曲面。權因子的不合適應用可能導致很壞的參數化，甚至毀掉隨后的曲面結構。92NURBS曲線曲面的特點某些技術用傳統形式比用NURBS工作得更好。例如，曲面與曲面求交時，NURBS方法特別難于處理剛好接觸的情況。某些基本算法，例如求反曲線曲面上的點的參數值，存在數值不穩定問題。41內容參數曲面表示參數表示的數學原理參數曲線參數曲面Bzier曲

11、面B-樣條曲面NURBS曲面42雙三次Bzier曲面實列雙三次Bzier曲面實例43mn次Bzier曲面：Bi,m(u)和Bj,n(v)為Bernstein基函數 Rij規則連接形成控制網 Bzier曲面44Bzier曲面性質Bzier曲面的控制頂點所形成的控制網格大致反應了曲面的形狀，所以可通過編輯控制頂點的方式來實現對曲面形狀的改變 45Bzier曲面性質Bzier曲面通過四個角點處的控制頂點 46Bzier曲面性質在角點處曲面與控制多邊形相切 47Bzier曲面的不足全局性：當移動一個控制頂點的位置時，整個曲面的形狀會發生改變，這對于外形設計是很不方便的 生成復雜外形需要多個Bzier曲

12、面的光滑拼接，十分復雜48內容參數曲面表示參數表示的數學原理參數曲線參數曲面Bzier曲面B-樣條曲面NURBS曲面49B-樣條曲面定義：次數：kukv控制頂點數：(nu+1) (nv+1) 節點向量 B-樣條曲面 50B-樣條曲面Rij為控制頂點 Ni,ku(u)和Ni,kv(v)分別為定義在節點向量u和v上的規范化B-樣條基函數 51B-樣條曲面的重要性質局部性質控制頂點數目Bzier曲面的次數確定后，控制頂點數目就定了B-樣條曲面的次數確定后，控制頂點數目可任意其它性質：參考曲線情形52B-樣條曲面實例具有66個控制頂點雙三次B-樣條曲面：(a) 均勻節點向量u= v =-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5，所構造曲面不插值角點(b) 具有端點處4階重節點的節點向量u= v =0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3，曲面插值角點(c) 采用了與圖(b)相同的節點向量，擾動頂點R4,4的位置后，其形狀變化的紅色區域局限于變動頂點的鄰域中(a) 均勻節點(b) 端點重節點(c) B-樣條曲面的局部性R0,0R5,0R5,5R0,5R0,0