1、兩異面直線 所成的角和距離高中數學立體幾何 不在同一平面內共 面空間的兩條直線的位置關系有：相交、平行、異面兩條都是平行直線，但是它們之間有什么區別？“定量”研究平行線，必須引入“距離”的概念abca與b是相交直線，a與c也是相交直線，它們之間又有什么區別？“定量”研究相交直線，必須引入“角”的概念直線a與b， 直線a與c, 都是異面直線，它們有什么區別？aMbcNaMbcd直線a與b， 直線a與c, 直線a與d 都是異面直線，它們有什么區別？異面直線所成的角的定義aMba1b1 直線a,b是異面直線，經過空間任意一點o，分別引直線a1a, b1b, 我們把直線a1和b1所成的銳角（或直角）叫

2、做異面直線a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1aMba1b1o.a2b2o1.O是空間中的任意一點所成的銳角是否相等？ 點o常取在兩條異面直線中的一條上aMbo點o常取在兩條異面直線中的一條上 相交直線所成角的大小，就是異面直線所成角的大小相交直線a,b所成的角？異面直線所成的角？異面直線所成的角的范圍？0090例正方體ABCD-A1B1C1D1，求

3、：A1B與CC1所成的角是多少度？A1B1與CC1所成的角是多少度？ A1C1與BC所成的角是多少度？A1ABB1CDC1D1“垂直”“相交垂直”“異面垂直”在正方體ABCD-A1B1C1D1棱中，與棱B1B垂直的棱有幾條？=+課堂練習如圖所示在長方體中：（）哪些棱所在直線與直線成異面直線且互相垂直？（）已知，求異面直線與所成角的度數ABCDABCD111求角的步驟：1.作圖 ；2.證明；3.計算（解三角形）.求異面直線所成角的步驟有哪些？想一想即一作二證三計算正方體ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,則OB1與A1C1所成的角的度數為A1B1C1D1ABCDO練習1900在正四

4、面體S-ABC中，SABC, E, F分別為SC、AB 的中點，那么異面直線EF 與SA 所成的角等于（ ）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900練習2BSABEFCDG練習2（解法二）變式:空間四邊形ABCD中,E、F分別是對角線BD、AC的中點，若BC=AD=2EF，求直線EF與直線AD所成的角。例2：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1 交于O1，于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角）O

5、1MDB1A1D1C1ACB解：為什么？于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角），例2：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1 交于O1，解：為什么？O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為方法歸納：平移法連A1M，在A1O1M中即根據定義，以“運動”的觀點，用“平移轉化”的方法，使之成為相交直線所成的角。解法二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在

6、于易于發現兩條異面直線的關系。 在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為 如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結A1E，C1E，則A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方體B1F，三、解答題已知正方體的棱長為 a , M 為 AB 的中點, N 為 BB1的中點，求 A1M 與 C1 N 所成角的余弦值。解：A1D1C1B1ABCDMNEG如圖，取AB的中點E, 連BE, 有BE A1M 取CC1的中點G,連BG. 有BG C1N 則EBG即為所求角。BG=BE= a, F C1 = a由余弦定理，cosEBG=2/5F取EB1的中點F，連NF,有BENF則FNC為所求角。想一想：還有其它定角的方法嗎？在EBG中小結（）兩條異面直線所成的角是轉化為“平面角”來研究的，這是“空間問題”化為平面問題“的基本思路（）求兩條異面直線所成角的方法：a.平移相交作出角；b.構造含的三角形；c.解三角形說明：異面直線所成角的范圍是（0， ，在把異面直線所成的角平移轉化為平面三角形中的角，