1、期望：隨機變量的期望記為E(X)八 xi PiE(X) = xf(x)dxE(X),定義為(離散型隨機變量,(連續(xù)型隨機變量, r 是X的概率分布)*)是*的概率密度)計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(A)第5章隨機變量及其數(shù)字特征復(fù)習(xí)與綜合練習(xí)中央電大顧靜相復(fù)習(xí)重點：概念部分：概率分布、概率密度、分布函數(shù)等的概念和性質(zhì)，常見的幾種分布，期望、 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念及性質(zhì)，兩個隨機變量的期望與方差及其性質(zhì)等.解答部分：二項分布、一般正態(tài)分布等的概率計算，求隨機變量期望、方差.復(fù)習(xí)要求：.理解隨機變量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函數(shù)的概念，掌握有關(guān)隨機 變量的概率計算.常見的隨機變量有離散型和連續(xù)型兩種類型

2、.離散型隨機變量用概率分布 pj來刻畫，pj滿足： RA0,Z Pi=1.連續(xù)型隨機變量用概率密度函數(shù)f(x)來刻畫，f(x)滿足：f(x)之0,J f (x)dx = 1 .隨機變量X的分布函數(shù)F(x)定義為：F(x)=P(Xx).對于離散型隨機變量 X有F(x) = Z Pi ;x, xx對于連續(xù)型隨機變量 X有F (x) =f (t)dt . 方差：隨機變量的方差記為 D(X),定義為D(X) = xi -E(X) 了解期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念，掌握求隨機變量期望、方差的方法. Pi(離散型隨機變量)*boD(X) = fjx -E(X)2 f (x)dx(連續(xù)型隨機變量)由此可得方差的

3、簡單計算公式：D(X) -E(X2) - E(X)2隨機變量函數(shù)的期望：隨機變量 存在，則在兩種形式下分別表示為：E(Y)=g(xi ) PiE(Y) = 一 g(x)f(x)dxY是隨機變量X的函數(shù)，即Y = g(X),若E(Y)(離散型隨機變量,(連續(xù)型隨機變量, Pi是X的概率分布)f (x)是X的概率密度)(4)期望與方差的性質(zhì)若c為常數(shù)，則E(c) = c, D(c)若 k為常數(shù)，則 E(kX) =kE(X), D(kX) =k2D(X)若 a, b為常數(shù)，則 E(aX +b) =aE(X) + b, D(aX +b) = a2D(X)3.掌握幾種常用離散型和連續(xù)型隨機變量的分布以及

4、它們的期望與方差.熟練掌握正 態(tài)分布的概率計算，會查正態(tài)分布表(見附表).二項分布XB(n, p)的概率分布為Pk =P(X =k) =C：pk(1 p)n4(k=0,1,2,n;0：二 p：二 1)特別地，當(dāng)n = 1時，XB(1, p),叫做兩點分布. 正態(tài)分布 XN(巴。 4 4 42 4 8 16)的密度函數(shù)為Xf(x) ： e 20(-二：x ：二):，2 二特別地，當(dāng)N = 0,仃=1時，XN(0,1),表示X是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量.將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的線性變換：人 X 若XN (N,仃)，令Y =，則YN(0,1),且Y的留度函數(shù)為a,、1 4 , 一 一、g

5、(x) : e (-二 二 x ：9)J2n服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量YN (0, 1)的概率為x 12P(Y x) = e 2dt = ：，(x)二 2 二那么一般正態(tài)分布的隨機變量XN(N,仃2)的概率可以通過下列公式再查表求出a _ X - 1 b - b - a -P(a :二 X ()CTCTtTCTCT常見分布的期望與方差：二項分布 X B(n,p)： E(X) =np, D(X) = np(1-p)正態(tài)分布 X N(，。2)： E(X)=，D(X) - ；.-2. 了解隨機變量獨立性的概念，了解兩個隨機變量的期望與方差及其性質(zhì).對于隨機變量 X , Y ,若對任意x, y有P(X

6、 二 x,Y 二 y) = P(X ：x) P(Y 二 y)則稱X與Y相互獨立.對隨機變量Xi , X2，Xn ,有E(Xi - X2 Xn) = E(Xi) E(X2) - E(Xn)若X1 , X2，Xn相互獨立,則有D(X1 X2，Xn) =D(Xi) D(X2)4+D(Xn)綜合練習(xí)、單項選擇題1.A.C.卜列函數(shù)中能夠作為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)的是(4_5x , 0 x 1 f(x) =0, 其它工sinx , 0 _ x _ 二B. f(x) =0,其它f (x)=12x,0 x -20,其它D. f (x) = 1 ,0,10三x三一2其它.下列數(shù)組中，()中的數(shù)組可以作為離散

7、型隨機變量的概率分布.11111111A. _B. TOC o 1-5 h z 11131131C.d. _2 4 16 162 4 88.設(shè)X的分布列為P 0.1 0.3 0.4 0.2貝U P (X(-a) - :(a)6.設(shè) X N(0,1),令 Y =(B.二2B.中(-x) *(x) = 1D. P(x ：二 a) =2：，(a)-1，則 Y N(2, o2).C. XD.0X-J.已知 X N(2,22)，若 aX +b N(0,1)，那么()A. a = 2,b - -2B. a - -2,b - -1,1 , cC. a= ,b-1d. a= ,b=2228.若隨機變量X的期望

8、和方差分別為 E(X)和D(X),則等式()成立.A. D(X) = EX -E(X)B. D(X) = E(X2) E(X)2C. D(X)=E(X2)D. D(X) = E(X2)-E(X)2.如果隨機變量 X B(10,0.3),則E(X), D(X)分別為().A. E(X) =3,D(X) =2.1B. E(X) =3, D(X) =0.9C. E(X) =0.3,D(X) =3D. E(X) =0.3,D(X) =21.設(shè)X B(n, p) , E(X) =2, D(X) =1.2,則 n, p分別是().A. 10, 0.2B. 5,0.4C. 4,0.5D. 8,0.25.若隨

9、機變量X與Y相互獨立，則方差 D(2X 3Y)=().A. 2D(X) -3D(Y)B, 2D(X)+3D(Y)C. 4D(X) -9D(Y)D , 4D(X) 9D(Y)12.設(shè)X的期望和方差分別為 E(X), D(X), Y=()，則E(Y) =0, D(Y) = 1 .A.B.X -E(X) D(X)X -E(X) C.D(X)D. X - E(X)二、填空題.設(shè)隨機變量.設(shè)隨機變量1 1 0.25X的密度函數(shù)asin x,0 x n什，貝U a =。，其它.設(shè)隨機變量.設(shè)隨機變量0121.3 0.2 0.5_,則 P(X =1) =X的概率密度函數(shù)為3x2 0 x11c 甘，則P(X=

10、) =0 其它2、-1025.已知隨機變量X|，那么E(X) =p.2 0.3 0.3 0.2_f2x, 0 x1.若連續(xù)型隨機變量 X的密度函數(shù)的是 f (x)=，則0, 其它E(X) =.設(shè)隨機變量 X B(100,0.15),則 E(X)=.設(shè)隨機變量 X的期望存在，則 E(XE(X)=.隨機變量X的方差D(X)是隨機變量 的期望.2.設(shè)隨機變量 X ,若 D(X) =2, E(X ) = 5,則 E(X)=.2一 .如果隨機變量 X的期望E(X)=2, E(X )=9,那么D(2X)=.設(shè)X為隨機變量，已知 D(-X +3) =1 ,此時D(3X -2) =.設(shè)有兩個隨機變量 X與Y相

11、互獨立，且 D(X) =2,D(Y) = 3,則D(2X -Y) =三、計算題1. 一袋中有10個球，其中3個黑球7個白球.今從中有放回地抽取，每次取 1個, 共取5次.求：(1)恰有2次取到黑球的概率;(2)至少有1次取到白球的概率.2.設(shè)連續(xù)型隨機變量2Ax2 , f (x)=0,X的密度函數(shù)為0 : x ： 1其它試求(1) A;3.設(shè)Xf(x)1P( X42ex4).x _0_，求P(1 X M4); (2) P(X -3); (3)x : 0P(X - -10).4.設(shè)X00.40.30.23 一，求(1) E(X); (2) P(X 2)；(2)若 P(X k) = 0.9332

12、,求 k 的值. (已知 (2) =0.9775,(1) =0.8413，(1.5) = 0.9332 ).設(shè) X N(3,4)，試求 P(X 1)； P(5 X 8); P(5 X 14).(已知 6(1) =0.8413,6(2) =0.9772 ,(3) =0.9987 ).設(shè) X N(3,22),求 P(X 5)和 P(X -1 1).(其中(0.5) = 0.6915, 9(1) =0.8413,6(1.5) =0.9332，(2) =0.9772).設(shè)隨機變量X具有概率密度f(x)2 3x2,，0MxM 1其它求 E(X), D(X).參考答案、單項選擇題1 . A 2, C 3.

13、 B 4. D12. B二、填空題11 . 0.4523. 0.8229. (X -E(X)210.35. C 6.A7. C8. D 9. A 10. B 11 . D4. 15. 1.46.-8311. 2012. 913. 117. 158. 0三、計算題1 .解：(1)5次抽取中取到黑球的次數(shù)XB(5, 0.3)，設(shè)A: “恰有2次取到黑球”則有P(A) =P(X =2)=C；0.32 0.73 = 0.3087(2) 5次抽取中取到白球的次數(shù) XB(5, 0.7),設(shè)B: “至少有1次取到白球”， 則有P(B) =P(X _1)=1 - P(X ：1) =1 - P(X =0) =1

14、 -C；0.35 =0.99757.解：(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)有(Xf(x)dx=1,即-OO一二13 TOC o 1-5 h z 12 A 3Ax dx = 一 x03解得A = 3_ 14123 1163(2)P(1X 2) = 1- P(X -4 2)=1- P(-2X -42) = 1-(2)-(-2) =2 (1 G(2) ) = 0.045.(2) P(X k)=P(X -4 k -4)=1- P(X -4 )33=1)=1_P(*1)33=1 -1(1) =1 - 08413 = 0.1587 P(5；X ：14) = P(3；q；n) = P(0;2;3) 3333=：“3) -中(0) = 0.9 9 8-0.5 = 0.4 9 8 7X -38.解：設(shè) Y N(0,1)2X -3 5-3P(X :二 5) = P(- :二 5_)=中(1) = 0.8413 220-3 X-3 2-3P(X -1| 1) =P(0X 2