1、4.符號運算 在數學運算中，有時往往不需要求出方程式的數值解，而只需要求出其解析解，這稱為符號運算。在Mathcad2001中，所有符號運算功能都包含在Symbolics菜單中。通過符號運算，可以進行代數式的因式分解、展開、簡化整式、變量代換；求方程式或不等式的解析解；求微分、積分的解析解；把函數展開成冪級數、把有理分式展開成分部分式等。 在符號運算時經常使用下列符號運算符：代數符號運算符“ ”(按快捷鍵“Ctrl.”或單擊“Symbolic”工具面板中的“ ”)，它由一個占位符和一個運算符組成。占位符用于輸入代數式，當把光標移開時，在箭頭右側將給出此代數式的解析解，即把代數式中的已知參數代入

2、計算并將復雜的代數式化簡，其功能相當于“Symbolics”菜單“Evaluate”命令的子命令“Symbolically”(Shift+F9)；指定代數符號運算符“ ” (按快捷鍵“Ctrl+Shift.”或單擊“Symbolic”工具面板中的“ ”)，它由兩個占位符和一個運算 符組成，在左占位符處輸入代數式，在右占位符處輸入關鍵字。當將光標移開時，在箭頭右側會顯示出代數式的解析解，它將按指定的關鍵字對代數式進行化簡、展開、因式分解、整理、變量代換、解方程、解不等式等。它還可用于求代數式的浮點解、復數解，此時它的功能相當于“Symbolics”菜單“Evaluate”命令的子命令“Float

3、ing Point”或“Complex”。 在符號運算時也經常使用關鍵字，關鍵字必須是小寫字母。當用指定代數符號運算符進行運算時必須要帶一個關鍵字，如factor、expand、collect、solve等。(1)代數符號運算(a)代數式的化簡(Simplify) 使用“Symbolics”菜單中的“Simplify”命令，可以把整個表達式或其中的一部分進行代數化簡。如：化簡代數式x4+2x3-2x-1+3x (1)輸入代數式x4+2x3-2x-1+3x，并用編輯線包含整個式子； (2)使用“Symbolics”菜單中的“Simplify”命令，最后得： x4+2x3+x-1 也可用指定代數符

4、號運算符進行代數式的化簡，其步驟是： (1)按“Ctrl+Shift.”，出現指定代數符號運算符； (2)在左占位符中輸入代數式，在右占位符輸入關鍵字simplify； (3)把光標移開并單擊，便得： x4+2x3-2x-1+3x simplify x4+2x3+x-1(b)代數式的展開(Expand) 使用“Symbolics”菜單中的“Expand”命令，可以把多項式的乘積展開為多項式，把有理分式展開為分部分式。如： 展開代數式(x+1)3(x-1) (1)輸入代數式(x+1)3(x-1)，并用編輯線包含整個式子； (2)使用“Symbolics”菜單中的“Expand”命令，最后得： x

5、4+2x3-2x-1 也可用指定代數符號運算符進行代數式的展開，其步驟是： (1)按“Ctrl+Shift+.”，出現指定代數符號運算符； (2)在左占位符中輸入代數式，在右占位符輸入關鍵字expand； (3)把光標移開并單擊，便得： (x+1)3(x-1) expand x4+2x3-2x-1(c)代數式的因式分解(Factor) 使用“Symbolics”菜單中的“Factor”命令，可以把整數分解為素數的乘積，把代數式分解為基本式子的乘積。如： 分解一個代數式x3+3x2+3x+1，因式分解的步驟是： (1)輸入代數式，并用編輯線包含整個式子(否則僅分解編輯線所包含的部分式子)； (2

6、)使用“Symbolics”菜單中的“Factor”命令，最后得： (x+1)3 也可用指定代數符號運算符進行因式分解，其步驟是： (1)按“Ctrl+Shift+.”，出現指定代數符號運算符； (2)在左占位符中輸入代數式，在右占位符輸入關鍵字factor； (3)把光標移開并單擊，便得： x3+3x2+3x+1 factor (x+1)3(d)按指定變量整理代數式(合并同類項)(Collect) 使用“Symbolics”菜單中的“Colect”命令，可按指定變量重新整理一個代數式，使整理后的代數式為指定變量的多項式。如： 把代數式x2-ay2x2+2y2x-x+xy分別整理成x、y的多項

7、式，步驟為： (1)輸入代數式x2-ay2x2+2y2x-x+xy；并用編輯線包含所指定的變量(如x或y)； (2)使用“Symbolics”菜單中的“Collect”命令，最后得： x的多項式：(-ay2+1)x2+(y+2y2-1)x y的多項式：(-ax2+2x)y2+xy+x2-x 也可用指定代數符號運算符進行按指定變量整理代數式，其步驟是： (1)輸入代數式f(x,y)； (2)按“Ctrl+Shift+.”，出現指定代數符號運算符； (3)在左占位符處輸入代數式，在右占位符處輸入關鍵字“collect,x”或“collect,y”； (4)把光標移開并單擊，便得： x的多項式：f(

8、x,y) collect,x (-ay2+1)x2+(y+2y2-1)x y的多項式：f(x,y) collect,y (-ax2+2x)y2+xy+x2-x(e)求多項式系數(Polynomial Coefficients) 可以使用“Symbolics”菜單中的“Polynomial Coefficients”命令，來返回含有指定變量或指定子式的多項式系數的向量，其步驟是： (1)輸入多項式； (2)指定展開變量或式子 (3)使用“Symbolics”菜單中的“Polynomial Coefficients”命令即可。 也可用指定代數符號運算符來返回含有指定變量或指定子式的多項式系數的向量

9、，其步驟是： (1)按“Ctrl+Shift+.”，出現指定代數符號運算符； (2)在左占位符處輸入多項式，在右占位符處輸入關鍵字“coeffs,x或f(x)”，其中“x”是指定展開變量，“f(x)”是指定展開式； (3)把光標移開并單擊即可：例：(f)變量代換(Substitute) 使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Substitute”，可以用指定的變量或式子代替代數式中的某一變量。如： 用v、w代換代數式sin()2+cos()4中的三角函數sin()、cos()。 (1)按“Ctrl+Shift+.”，出現指定代數符號運算符； (2)在左占位符輸入代數式

10、，在右占位符輸入關鍵字“substitute,x=代換式”，此處的“x”為被代換式，而“=”是恒等式,用“Ctrl+=”輸入； (3)把光標移開并單擊，便得： sin()2+cos()4 substitute,sin()=v, cos()=w v2+w4(g)同時對代數式進行多項操作 用戶若想一次完成多項操作，可使用以下步驟： (1)按“Ctrl+Shift+.”，出現指定代數符號運算符； (2)在左占位符輸入代數式，在右占位符輸入第一個關鍵字； (3)再次按“Ctrl+Shift+.”，在第一個關鍵字左側出現一道豎線，并在豎線下方給出一個占位符供輸入第二個關鍵字。依次類推，可輸入第三、第四個

11、關鍵字； (4)按下“Ctrl+.”并把光標移開單擊即可。 例： (2)代數式求值(Evaluate) “Symbolics”菜單中的“Evaluate”命令用于求解代數式，它包含三個子命令：Symbolically(給出代數解)、Floting Point(給出實數解)以及Complex(給出復數解)。當然，求解代數式也可以使用關鍵字加運算符來進行。在使用“Floating Point”子命令時，將顯示如圖29所示的對話框：圖 29 用戶可在此框內輸入浮點數的精度，范圍為14000之間的整數，當此數大于255時將計算結果存入剪貼板中而不顯示在屏幕上。例： 解析解： 實數解： 復數解： (3)

12、方程、不等式的解析解 使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Solve”可以求出一元方程、多元方程組、不等式的解析解，運用given-find求解模塊也可以求得多元方程組的解析解。由于Mathcad2001在求解方程時首先是對代數式進行因式分解，因此對不能分解成基本因式的方程無法求出解析解，但可以得到數值解。(a)解一元方程 有兩種求解的方法，使用菜單求解的步驟是： (1)輸入方程式，其中的等號用“Ctrl+=”輸入，如； x3-3x2+3x+9 = 0 (2)用編輯線選擇未知數x； (3)使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Solve”；

13、 (4)把光標移開并單擊，便得： 也可用指定代數符號運算符求解方程式，其步驟是： (1)按“Ctrl+Shift+.”，出現指定代數符號運算符; (2)在左占位符處輸入方程式，其中的等號也用“Ctrl+=”輸入，在右占位符處輸入關鍵字“solve,x”； (3)把光標移開并單擊即可：(b)解多元方程組 可用指定代數符號運算符求解方程組，其步驟是： (1)按“Ctrl+Shift+.”插入指定代數符號運算符； (2)在左占位符處通過單擊“Matrix”工具面板中的“”矩陣按鈕或按“CtrlM”插入一個向量模塊，在所顯示的“Insert Matrix”對話框輸入所需的行數和列數； (3)在向量的各

14、占位符中分別填入各方程，其中的等號用“Ctrl+=”輸入； (4)在右占位符處填入關鍵字“solve”和一個逗號。在出現的占位符處再插入一個n維向量，在其中各占位符處分別填入各未知數； (5)把光標移開并單擊即可。例： 也可用given-find求解模塊來解多元方程組，其步驟如下： (1)輸入關鍵字“given”； (2)在“given”下方輸入方程組； (3)在方程組下面鍵入函數find，函數的變量為方程組的未知數； (4)按下“Ctrl+.”輸入計算符“”，然后把光標移開并單擊即可。 例： 可知，這個方程組有兩組復數解。(c)解不等式 使用“Symbolics”菜單“Variable”命令

15、的子命令“Solve”，可以求解不等式，其步驟如下： (1)輸入不等式，并用編輯線選擇未知數； (2)使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Solve”； (3)把光標移開并單擊即可。例：(4)微分的解析解(Differentiate) 使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Differentiate”，可以求函數微分的解析解，也可以使用直接鍵入微分符的方法進行求解。(a)顯函數的微分 可以用顯式的函數被稱為顯函數，這是我們經常遇到的函數。 求一元顯函數的微分有兩種方法可以求解，第一種是使用菜單命令求解，其步驟是： (1)建立函數； (2)用

16、編輯線選擇微分變量； (3)使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Differentiate”； (4)把光標移開并單擊即可。例： 第二種方法是使用快捷鍵“？”或單擊“Calculus”工具面板中的“”按鈕插入微分符來求微分解，其步驟是： (1)建立函數； (2)按“？”或單擊“Calculus”工具面板中的“”按鈕插入微分符； (3)在右占位符處鍵入函數名，在下占位符處鍵入微分變量； (4)使編輯線包圍整個微分式后鍵入計算符“Ctrl+.”，然后把光標移開并單擊即可。例： 求偏微分 自變量多于一個的函數為多元函數，求多元函數偏微分的方法與一元函數微分完全相同。要轉換

17、成偏微分的符號，可以右擊微分符號，在快捷菜單中選擇“View Derivative As”命令的子命令“Partial Derivative”即可。 求高階微分、高階偏微分 求高階微分、高階偏微分的方法與一階微分基本一樣，其區別僅在于用“Ctrl+Shift+/”鍵入高階微分符，而不是用“？”。其步驟是： (1)建立函數； (2)按“Ctrl+Shift+/”插入高階微分符； (3)在右占位符處鍵入函數名，在下占位符處鍵入微分變量、微分的階次； (4)用編輯線慕包圍整個微分式，鍵入“Ctrl+.”后把光標移開并單擊即可。 例：(b)隱函數的微分 如果函數僅可用F(x,y)=0來確定y為x的函數

18、，或用F(x,y,z)=0來確定z為x、y的函數；或用方程組F(x,y)、G(x,y)來確定y為x的函數，我們把這種函數稱為隱函數。 一元隱函數的微分 由方程F(x,y)=0所確定的隱函數稱為一元隱函數。當一元隱函數存在時，其一階微分可表示為： 例：求隱函數F(x,y):=xy+2+2的微分，其解為： 多元隱函數的微分 當多元隱函數存在時，如F(x,y,z)=0，則其一階偏微分為：(5)積分的解析解(Integrate) 使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Integrate”，可以求函數積分的解析解，也可以直接鍵入積分符來求積分解。(a)不定積分 對于單重不定積分

19、，使用菜單求積分的步驟是： (1)建立函數； (2)用編輯線選擇積分變量； (3)使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Integrate ”； (4)把光標移開并單擊即可。 也可以使用快捷鍵“Ctrl+I”或單擊“Calculus”工具面板中的“ ”按鈕插入不定積分符來求積分解，其步驟是： (1)按“Ctrl+I ”單擊“Calculus”工具面板中的“ ”按鈕插入積分符； (2)在右占位符處鍵入函數名，在右占位符處鍵入積分變量； (3)鍵入計算符“Ctrl+.”后把光標移開并單擊即可。例： 對于多重積分，只要在鍵入積分符時根據需要連續鍵入多個積分符，其余步驟與單重

20、積分完全相同。(b)定積分 定積分的求解與不定積分相似，不過這時定積分符是通過按“&”或單擊“Calculus”工具面板中的“ ”按鈕插入。在左占位符處輸入被積分函數，在右占位符處輸入積分變量，并分別輸入積分上下限即可。(6)求極限(Limit) 求極限可以分成求極限、求右極限、求左極限，相應的快捷鍵是Ctrl+L、CtrlShifta和CtrlShiftb，也可分別使用“Calculus”工具面板中的“ ”、“ ”和“ ”按鈕插入。極限運算的步驟是： (1)按極限快捷鍵或單擊“Calculus”工具面板中的相應按鈕插入極限符； (2)在右占位符處鍵入函數名，在下占位符處鍵入極限變量及極限；

21、(3)用編輯線包圍整個極限表達式，鍵入計算符“Ctrl+.”后把光標移開并單擊即可。 例： 同樣，在求多元函數極限時，在鍵入極限符時根據需要連續鍵入多個極限符，其余步驟同上。(7)展開成冪級數(Series) 可以使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Expand to Series”將函數展開為冪級數，其步驟是： (1)建立函數； (2)用編輯線選擇變量； (3)使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Expand to Series”，此時將打開如圖30所示的“Expand to Series”對話框，用戶在 “Order of Appro

22、ximation”文本框中根據需要輸入一個大于零的展開級數的最高冪級，缺省為6； (4)最后單擊“確定”按鈕即可。例： 圖 30 也可用指定代數符號運算符將函數展開成冪級數，其步驟是： (1)按“Ctrl+Shift+.”，出現指定代數符號運算符; (2)在左占位符處輸入函數，其中的等號也用“Ctrl+=”輸入，在右占位符處輸入關鍵字“series,x=x0,n”，其中“x”是變量，“=”用“Ctrl+=”輸入，“x0”是展開點，“n”是展開的最高冪級； (3)把光標移開并單擊即可：(8)有理分式的展開(Partial Fraction) 可以使用“Symbolics”菜單“Variable”命令的子命令“Convert to Part