1、存檔編號(hào)贛南師范學(xué)院科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文高考中求最值問題方法探究系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系 屆 別 2015屆 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào) 1120151124 姓 名 邵 鴻 飛 指導(dǎo)老師 劉 育 星 完成日期 2014.12.25 目錄內(nèi)容摘要.3關(guān)鍵詞.3英文摘要.3引言.4國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀及評(píng)價(jià)4提出問題4高中數(shù)學(xué)常見的最值問題及解題策略44.1三角函數(shù)的最值問題44.2函數(shù)的最值問題64.3數(shù)列的最值問題74.4平面向量的最值問題.84.5圓錐曲線的最值問題105.結(jié)論115.1結(jié)論本文.115.2啟示.115.3局限性.125.4今后努力方向.12參考文獻(xiàn)13致謝13內(nèi)容摘要最值問題

2、是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)問題，它貫穿了高中數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，最值問題在高考中的地位較為突出。在高考中各個(gè)知識(shí)可以通過最值問題為背景來進(jìn)行考查，它涉及了高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)和解題方法，它要求了學(xué)生要有渾厚的數(shù)學(xué)基本功和比較好的思維能力。本文主要是針對(duì)在高考中常出現(xiàn)的求最值問題和與其相關(guān)的題目進(jìn)行分析，探討，取得一些最值問題的解題策略，如數(shù)列中的最值問題，圓錐曲線的最值問題，平面向量的最值問題，三角函數(shù)的最值問題，函數(shù)的最值問題。并且在論文中選取了一些高考中的題目進(jìn)行求解和分析，給研究者最直觀的理解。并希望能夠給予參加高考的考生備考和教學(xué)工作的老師提供指導(dǎo)。關(guān)鍵詞；最值問題 解題策略 理解 英文摘要 Mos

3、t of the problemis the focusof high school mathematics problems,which runs through thehigh school mathematicseach knowledge point,most of the problemin the college entrance examinationina more prominentposition.In the college entrance examination inallknowledge can be obtained throughthe most value

4、problemas the backgroundtoexamine,it involves themain knowledgeandmethods of solving problems insenior high school mathematics,it requiresthestudents to havethe basicskills of mathematicssimple and honestandgoodthinking ability.This paperis mainly aimed atoften appear inthe college entrance examinat

5、ion inthe most valueproblemand relatedtopics for analysis,discussion,madesome of the mostvalue problemsolving strategies,such as the mostvalue problemin the sequence,the most value problemof conic curve,the most value problemof plane vector,the most value problemof trigonometric function,thevalue of

6、the problem offunction.And in the papera selection of some ofthe college entrance examination inthe title ofthe solution and analysis,the most intuitiveresearchersunderstand.AndI hope can givestudents participate in college entrance examinationpreparationand teachingteachersto provide guidance1.引言最值

7、問題是學(xué)生們?cè)诳荚嚭途毩?xí)中最為常見的一種數(shù)學(xué)問題，也是歷年各省市高考重點(diǎn)考察的對(duì)象之一，在高考中的地位也比較突出。最值問題分布在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，具有比較強(qiáng)的技巧性和靈敏性，可以很好的考查學(xué)生的思維深刻性和敏捷性。它與高中數(shù)學(xué)的各個(gè)反正分支都有著廣泛的聯(lián)系，其中以實(shí)際問題關(guān)系較為突出，比如，求最大利潤(rùn)，最短時(shí)間，最小面積，等等。在這幾年的數(shù)學(xué)高考題中，求最值問題是考試的一個(gè)重點(diǎn)，占了數(shù)學(xué)高考分?jǐn)?shù)的5%23%，從題目類型上，主要以選擇題，填空題，簡(jiǎn)答題三種形式出現(xiàn)。在難易程度上，基本有基礎(chǔ)題，中檔題，高檔題這三種題型。最值問題在考查基礎(chǔ)知識(shí)的時(shí)候也加強(qiáng)了能力的考查，高考也將注重考查學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容達(dá)到怎

8、樣的程度。因此，求最值問題將是高考中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生不僅要掌握好各個(gè)分支的知識(shí)點(diǎn)還要善于發(fā)現(xiàn)題目信息，要有比較強(qiáng)的思維能力，還要會(huì)運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，靈活的選擇合適的解題方法，才能達(dá)到事半功倍之效，本文將對(duì)高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)，圓錐曲線，數(shù)列，平面向量，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)等最值問題，進(jìn)行探討，并給出求數(shù)學(xué)最值問題的解題策略，并為學(xué)生的備考和老師的教學(xué)提供相應(yīng)的指導(dǎo)。2. 國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀及評(píng)價(jià)國(guó)內(nèi)雖然對(duì)求最值問題的求解，已經(jīng)有了一定量的研究，特別是最值問題常用的求解方法的歸納比較全面系統(tǒng)。但在這幾年的數(shù)學(xué)高考中，主要是考查的學(xué)生的學(xué)以致用能力，只用常規(guī)的求解方法，很難解決數(shù)學(xué)高考中的求最值問題。高考中很多求最

9、值的問題，都是要結(jié)合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的概念，概念、定理、性質(zhì)等，才可解決。現(xiàn)在可以查閱的參考文獻(xiàn)中大部分都只討論了求最值問題的常規(guī)求解方法，以及歸納了個(gè)別特殊的最值問題的統(tǒng)一解決方法，并沒有深刻的探討高考中數(shù)學(xué)求最值問題的解題策略。3. 提出問題在高考過程中，題目數(shù)量多、難度大、時(shí)間少，要想在高考中取得勝利，一定要做到解題方法的“精”、“練”、“巧.”。但大多數(shù)資料并沒有從參加高考的學(xué)生的角度去研究，高考數(shù)學(xué)中求最值問題的解法。求最值問題的解題方法，還不夠完善，參加高考的學(xué)生對(duì)求最值問題的解決方法還存在一些困難，所以，本文將通過查閱大量相關(guān)的資料，站在參加高考考生角度上，對(duì)高中數(shù)學(xué)中的常見的求最值問

10、題的方法進(jìn)行整理歸納總結(jié)，并進(jìn)一步的完善求最值問題的解題策略，對(duì)參加高考的學(xué)生的備考和老師的教學(xué)工作，提供相應(yīng)的指導(dǎo)。4.高中數(shù)學(xué)常見的最值問題及解題方法4.1 三角函數(shù)的最值問題在數(shù)學(xué)高考試卷中，求有關(guān)三角函數(shù)的最值問題出現(xiàn)的比較頻繁，幾乎每年數(shù)學(xué)高考試卷中都會(huì)出現(xiàn)，占據(jù)高考分?jǐn)?shù)的3%8%。三角函數(shù)的最值問題，主要考查考生對(duì)于三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用。難度大，大部分考生對(duì)此類題目毫無辦法。其實(shí)此類題目看上去非常的復(fù)雜，用常規(guī)的最值問題解題策略很難求解，但是要解決它其實(shí)并不難，只要充分的理解三角函數(shù)的概念，概念及性質(zhì)牢記其公式，能夠靈活的運(yùn)用余弦定理、正弦定理以及與其相關(guān)的三角公式，進(jìn)行合

11、適的變形化解，在根據(jù)三角函數(shù)的概念、定理、性質(zhì)逐步擊破，就可以解決此類問題。所以在解決有關(guān)三角函數(shù)的最值問題時(shí)，主要在于考生在三角函數(shù)的性質(zhì)定理的深刻理解以及各個(gè)三角公式的靈活運(yùn)用。例1(2013,江西，理，11).函數(shù)的最小正周期為為 。解析；y=sin2x+2sinx=sin2x+-cos2x=2sin(2x-)+其最小正周期為T=評(píng)論；本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，以及基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)最小正周期的求法，本題較為簡(jiǎn)單，主要是要正確的運(yùn)用輔助角公式進(jìn)行恒等變換例2（2014，江西，理，17）已知函數(shù)f（x）=sin（x+）+acos（x+2），其中aR，（，）（1）當(dāng)a=，=時(shí)，求f（x）在區(qū)間0

12、，上的最大值與最小值；解析；當(dāng)a=，=時(shí)，f（x）=sin（x+）+acos（x+2）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosxsinx=sinx+cosx=sin（x）=sin（x）x0，x，sin（x），1，sin（x）1，故f（x）在區(qū)間0，上的最小值為1，最大值為評(píng)論；本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的的定義域和值域，兩角和與差的余弦函數(shù)。本題難度較大，主要由已知條件利用兩角和差的余弦公式，正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為;f(x)=-sin(x-)再由x，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值4.2函數(shù)的最值問題在高考試卷中，求有關(guān)函數(shù)的最值問題出現(xiàn)的非常多，幾乎每年各

13、省市的數(shù)學(xué)高考試卷中都會(huì)出現(xiàn)，而且難度一般較大，大多數(shù)高考試卷都是以函數(shù)的最值問題作為壓軸題。這類題目考查的知識(shí)點(diǎn)非常廣泛，大多數(shù)考查函數(shù)的概念，函數(shù)的奇偶性，分段函數(shù)，函數(shù)的定義域，值域等多方面的知識(shí)，并且著重考查考生的解題能力，運(yùn)算能力，邏輯思維能力。函數(shù)最值問題看上去非常的復(fù)雜，其實(shí)只要掌握好各類函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和“配方法”，“單調(diào)性”，“導(dǎo)數(shù)法”，“均值不等式”，“判別法”，“有界性”，以及函數(shù)的圖像這幾種方法，函數(shù)的最值問題就不難了例3（2012，海南寧夏，文，21）設(shè)函數(shù)f(x)= exax2()求f(x)的單調(diào)區(qū)間()若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，(xk) f(x)+x+10，求

14、k的最大值解析；（1）f（x）的定義域是（-，+），f（x）=e-a當(dāng)a時(shí)則f（x）0 f（x）在（-，+）上單調(diào)遞增 當(dāng)a0時(shí)，則當(dāng)x（-，lna）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（-lna，+）時(shí)，f（x）0，f（x）在（-，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增。（2）a=1，（x-k）f（x）+x+1=（x-k）（e-1）+x+1當(dāng)x0時(shí)，（x-k）f（x）+x+10等于K+x （x0）-使g（x）=+x，則g（x）=由（1）可知，函數(shù)h（x）=e-x-2在（0，+）上單調(diào)遞增，而且h（1）0 ， h（2）0h（x）在（0，+）上存在唯一零點(diǎn)。g(x)在（0，+）上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)這個(gè)零

15、點(diǎn)為a那么a（1,2）當(dāng)x（0，a）時(shí)g（x）0，當(dāng)x（0，a），g（x）0，當(dāng)x（a，+）時(shí)，g（x）0，g（x）在（0，+）上的最小值為g（a）g（a）=0 可得e=a+2g（a）=a+1（2,3）等于kg（a）k的最大值為2評(píng)論；本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，不等式，根的存在性等多方面知識(shí)。本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，先是利用不等式的性質(zhì)得到K+x然后構(gòu)造函數(shù)g（x），再求導(dǎo)得到g（x）存在的唯一的零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得到k的最大值。4.3數(shù)列的最值問題有關(guān)數(shù)列的求最值問題也是數(shù)學(xué)高考的一種題型，出現(xiàn)也比較普遍，曾經(jīng)在2008年的江西考卷，寧夏海南考卷和2009年安徽考卷四川考卷出

16、現(xiàn)。此類問題大多數(shù)已選擇題和解答題這兩種題型出現(xiàn)，出現(xiàn)在選擇題的題目難度不大，但出現(xiàn)在解答題的題目的難度卻非常大，對(duì)此類問題的解題能力要求很高，不僅要求考生對(duì)數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)非常熟悉，還需要要求考生有比較強(qiáng)的分析能力、思維能力、解決問題能力和計(jì)算能力。針對(duì)此類問題，考生必須要熟記并且能夠準(zhǔn)確靈活的運(yùn)用等比數(shù)列和等差數(shù)列的各個(gè)公式。例4（2010，海南寧夏，文，17）設(shè)等差數(shù)列滿足，。（）求的通項(xiàng)公式； （）求的前項(xiàng)和及使得最大的序號(hào)的值解析；（1）由a可得aa數(shù)列a的通項(xiàng)公式為a=112n（2）由（1）可知Sm=nSm=（n-5）+25當(dāng)n=5時(shí)，Sm最大評(píng)論；本題考查了等差數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式

17、及前n項(xiàng)和的表達(dá)式。本題較為簡(jiǎn)單，主要是利用前n項(xiàng)和公式得到Sm=-（n-5）+25，即得出n=5，Sm最大例5（2011，江蘇，13）設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_.解析；1=a a a a是公差為1的等差數(shù)列 a3 a的最小值是3a的最小值是3此時(shí)a=1而且a是公比為q的等比數(shù)列，一定有q0a3q評(píng)論；本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念以及公式，本題難度較大，先是利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將a用a表示出來，求出了a的最小值再進(jìn)一步的求出了a的最小值，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出了公比的范圍，從而求出公比的最小值4.4平面向量的最值問題在考查有關(guān)平面向

18、量的求最值問題中，一般是結(jié)合了三角函數(shù)進(jìn)行考查，此類問題一般以選擇題、填空題、解答題出現(xiàn)。考生必須深刻的理解關(guān)于平面向量的概念、性質(zhì)以及向量積與數(shù)量積的幾何意義，要會(huì)靈活的運(yùn)用向量的各種性質(zhì)，還要有比較強(qiáng)的論證和運(yùn)算能力，就可以解決問題。對(duì)于平面向量的最值問題，考生首先應(yīng)該根據(jù)題目中的已知條件，充分的利用向量的性質(zhì)靈活的變形，在利用向量積或數(shù)量積便可求解。例6（2009，江蘇，15）設(shè)向量a=（4cos），b=（sin，4cos）c=（cos，-4sin）（1）若a與b-2c垂直，求tan（）的值；（2）求|b+c|的最大值;解析；由a與b-c垂直，a（b-2c）=ab-2ac=0即4sin（

19、）-8cos（）=0tan（）=2b+c=（sin）|b+c|=sin=17-30sin最大值為32，所以|b+c|的最大值為4評(píng)論；本題考查了向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及向量的內(nèi)積公式，三角函數(shù)的相關(guān)公式。本題難度不大，先是由向量的內(nèi)積公式得到tan（）=2，再由內(nèi)積公式得到b+c的最大值例7（2009，安徽，理，14）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為. 如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是=_.解析；在的兩邊分別作向量積得到-由+可得x+y=2（）=1x+y的最大值是2評(píng)論；本題主要考查平面向量中的向量積和數(shù)量積的幾何意義，而且靈活多變。但本題難度不大，先是將向量的

20、兩邊同時(shí)作向量積，再將兩式相加，最終得出x+y的最大值4.5圓錐曲線的最值問題有關(guān)圓錐曲線的求最值問題是一類難度比較大的題型，在高考一般作為壓軸題出現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于這種問題經(jīng)常丟分，而這種問題的分值一般比較高，大概占據(jù)了高考數(shù)學(xué)總分的10%左右，它涉及的范圍非常廣泛，大多是以解答題的形式出現(xiàn)，它考查考生對(duì)橢圓，拋物線幾何性質(zhì)的理解，對(duì)直線與拋物線，直線與橢圓的位置關(guān)系等一些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，它考查了考生解析幾何基本的思想方法以及綜合解題能力。針對(duì)這種題目，考生一定要先充分的理解圓錐曲線的概念，定理，性質(zhì)，再結(jié)合題中的已知條件，綜合運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行求解. 例8（2009，四川，理，9）已知直線

21、和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是-A.2 B.3 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：直線是拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F（1,0）的距離，所以本題化為在拋物線上找一個(gè)點(diǎn)使得到點(diǎn)F（1,0）與直線的距離之和最小，最小值為F(1,0)到的距離，即，所以選擇A評(píng)論；本題考查了拋物線的概念與點(diǎn)到直線的距離的知識(shí)點(diǎn)。本題難度不大，只要由拋物線的定義求到p到f的距離，找到點(diǎn)p，再由知道F到的距離的就是所求的最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算例9（2013，廣東，理，20）已知拋物線c的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c

22、0）到直線L：x-y-2=0的距離是 QUOTE 設(shè)P是直線L上的點(diǎn)，過點(diǎn)P做拋物線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點(diǎn)求拋物線C的方程；當(dāng)P在直線L上移動(dòng)時(shí)，求|AF|BF|的最小值解析；（1）由題意可知，拋物線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1），拋物線的解析式為x2=4y（2）點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線y=-1的距離，|AF|=， |BF|=當(dāng)時(shí)，取最小值評(píng)論；本題考查了拋物線的概念，性質(zhì)與點(diǎn)到直線的距離的公式以及直線上的點(diǎn)到拋物線上切點(diǎn)的算法。本題難度較大，先是利用點(diǎn)到直線的距離公式求出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到拋物線的解析式。根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到兩切點(diǎn)A,B到焦點(diǎn)F的距離，最后由直線上的點(diǎn)

23、到拋物線上的切點(diǎn)的算法求出了的最小值5.結(jié)論5.1結(jié)論本文本文對(duì)進(jìn)幾年高考數(shù)學(xué)最值問題的解題策略進(jìn)行了深入的研究，給出了高考數(shù)學(xué)中求最值問題的具體解題策略和解題過程，探討了高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)頻率較高的三角函數(shù)的最值問題，平面向量的最值問題，圓錐曲線的最值問題和數(shù)列的最值問題以及一些函數(shù)的最值問題。從解題方法上講，最值問題涉及到的知識(shí)面非常廣，技巧性強(qiáng)，難度大，解題方法靈活多變，大多數(shù)考生很難把握，使用一般的最值求解方法很難求解，要根據(jù)其本身所具有的特點(diǎn)和相關(guān)知識(shí)的概念，定理，性質(zhì)才可以進(jìn)行解答。從能力上來講，要求考生要有較強(qiáng)的分析能力，觀察能力，解決問題的能力和計(jì)算能力。本文的研究有利于學(xué)生更加的

24、了解高考數(shù)學(xué)中求最值問題的解題策略，使參加高考的學(xué)生在復(fù)習(xí)備考過程中對(duì)準(zhǔn)重難點(diǎn)。為考生的備考和老師的教學(xué)工作提供相應(yīng)的指導(dǎo)。5.2啟示通過對(duì)這幾年高考數(shù)學(xué)中與求最值問題相關(guān)的試題分析，在求最值問題的專題復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)重視與相關(guān)知識(shí)的基本概念，基本定理，基本方法，基本性質(zhì)的復(fù)習(xí)和基本能力的提升，尤其是分析能力，運(yùn)算能力和觀察能力的培訓(xùn)和訓(xùn)練。5.3局限性本文研究了這幾年高考數(shù)學(xué)中所需要相關(guān)知識(shí)的概念，定理，性質(zhì)才可以解決的求最值問題的解題方法。因?yàn)楸救诉€沒有真正的進(jìn)入實(shí)踐中，沒有將理論應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)過程中，尤其是數(shù)列和函數(shù)的求最值問題的解題方法靈活多變。在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)也不斷增強(qiáng)了對(duì)各種能力的考查，而且高考中求最值問題經(jīng)常改新，形式變化多樣，很難掌握