1、電路在正弦激勵下非正弦穩態的響應收稿日期： 修回日期： 基金項目：教育部高等學校儀器類專業新工科建設立項項目（2018C051）。第一作者：田社平（1967 ），男，博士，副教授，主要從事電路理論和動態測試技術等的教學和科研工作。E-mail: HYPERLINK mailto: 。田社平1，孫盾2，張峰1(1上海交通大學電子信息與電氣工程學院 上海 200240；2浙江大學電氣工程學院 杭州 310027)摘要：基于作者的教學實踐，討論了電路在正弦激勵下產生非正弦穩態的響應的各種情況。零狀態動態電路存在正弦穩態響應的充要條件為，響應的象函數Y(s)存在且僅存在一對共軛虛極點，而Y(s)的其它

2、極點均位于復平面的開左半平面上。通過實例說明了在正弦激勵下產生非正弦穩態的響應的情形。電路本文的討論對豐富正弦穩態電路分析的教學內容，加深學生對相關知識的理解，具有良好的助益。關鍵詞：正弦激勵；非正弦穩態響應；電路中圖分類號： TM13 文獻標識碼 ANon-sinusoidal Steady-state Response of Circuit with Sinusoidal ExcitationTIAN She-ping1, SUN Dun2, ZHANG Feng1(1School of Electronic, Information and Electrical Engineering,

3、 Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200240, China; 2College of Electrical and Electronic Eng，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027,China)Abstract: Based on the teaching practice, various situations of non-sinusoidal steady-state response of circuit with sinusoidal excitation are discussed. The necessary an

4、d sufficient condition for the existence of sinusoidal steady-state response in a zero-state dynamic circuit is that the Laplace transform of the response which is Y (s) exists and has only one pair of conjugate virtual poles, while the other poles of Y (s) lie on the left open plane of the complex

5、plane. Several examples are given to illustrate the non-sinusoidal steady-state response with sinusoidal excitation. The discussion is helpful to enrich the teaching content of sinusoidal steady-state circuit analysis and deepen students understanding of relevant knowledge.Key words: sinusoidal exci

6、tation; non-sinusoidal steady-state response; circuit處于正弦穩態的電路稱為正弦穩態電路。一般而言，線性非時變電路在正弦激勵下，其響應（電壓、電流）都是與激勵同頻率的正弦量。其理論依據是正弦穩態電路的主定理1, 2：任意個角頻率相同的正弦量以及任意個這種正弦量的任意階導數的代數和，仍為一個同頻率的正弦量。盡管如此，對一個動態電路，在正弦激勵下，其響應就一定會進入正弦穩態嗎？響應可以不是正弦穩態的嗎？這是筆者在教學中碰到的問題。本文結合筆者的教學實踐，試圖對這一問題進行討論，以就教于大家。理論分析對某一單一激勵的零狀態線性非時變電路，假設其激勵

7、為 (1)在該激勵下，電路的某一電壓/電流響應為y(t)。由該電路的s域模型，可以得到對應的網絡函數H(s)，且有(2)由式(2)可知，電路響應的象函數（對應電路的時域響應）Y(s)完全由H(s)、X(s)決定。具體而言，H(s)、X(s)的零點、極點共同決定了電路的響應。顯然，X(s)包含一對共軛虛極點p1,2=j和一個零點z1=tan。根據H(s)的零點、極點，可以得到如下結論：如果H(s)包含p1,2=j的虛極點，則該極點是Y(s)的二重虛極點，對應地，響應y(t)中就會出現形式的項3。此時，響應y(t)中不會包含有頻率為的正弦量。如果H(s)不包含z1,2=j的虛零點，則響應y(t)中

8、包含有頻率為的正弦量。如果H(s)包含z1,2=j的虛零點，則該零點與X(s)中的共軛虛極點p1,2=j對消，從而響應y(t)中不包含有頻率為的正弦量。如果H(s)包含p=0的極點（零固有頻率），且0，則響應y(t)中就會出現直流項4。當=0時，X(s)包含一個等于零的零點，如果此時H(s)包含一個零固有頻率，則該零固有頻率會與X(s)中的相應零點對消，從而響應y(t)中就不會出現直流項。應用實例與仿真基于上述分析，我們可以舉出若干正弦激勵下出現非正弦響應的電路例子。2.1 H(s)包含p1,2=j的虛極點的情況如圖1所示為LC二階電路，電路的激勵為 (3)從而得到 (4)圖1 LC電路由圖中

9、參數可知，電容電壓uo所對應的網絡函數為 (5)可見，H(s)包含p1,2=j10的虛極點，與X(s)的極點相同，電路不可能包含正弦穩態響應。由式(4)、式(5)可得 (6)利用Multisim軟件對圖1進行仿真，結果如圖2所示。可見，uo隨時間遞增，電路不能進入正弦穩態。圖2 圖1電路電容電壓uo的響應曲線2.2 共軛虛極點、共軛虛零點對消的情況如圖3所示電路，由三個一階低通濾波電路與一個加法電路構成。對該電路進行分析，不難得出網絡函數為 (7)可見，H(s)包含z1,2=j的虛零點。圖3 含共軛虛零點的電路現取定電路的激勵為 (8)從而得到 (9)則X(s)的極點與H(s)的零點正號對消，

10、從而有 (10)可見，電路不能進入正弦穩態，而是達到零穩態。利用Multisim軟件對圖3進行仿真的仿真結果見圖4。圖4 圖3電路電容電壓uo的響應曲線2.3 H(s)包含零固有頻率的情況。如圖5所示電路，由一個積分電路、一個一階低通濾波電路與一個加法電路構成。對該電路進行分析，可得出網絡函數為 (11)可見，圖5電路包含一階零固有頻率。如果取定激勵如式(8)所示，則有(12)同樣，電路無法進入正弦穩態，因為響應中包含直流穩態分量。利用Multisim軟件對圖5進行仿真的仿真結果見圖6。圖5 含零固有頻率的電路圖6 圖5電路電容電壓uo的響應曲線如果對圖5電路取激勵為x(t)=cost V，則

11、有 (13)(14)可見，由于等于零的零點與零固有頻率對消，響應中不再有直流分量，電路能夠進入正弦穩態。進一步的討論由上面分析可知，可以總結出如下結論：零狀態動態電路存在正弦穩態響應的充要條件為，響應的象函數Y(s)存在且僅存在一對共軛虛極點，而Y(s)的其它極點均位于復平面的開左半平面上。如果電路存在初始狀態，則上述結論不一定成立。下面舉例加以說明。考慮圖7所示電路，采用拉式變換求解響應電壓uo。作出s域模型如圖8所示，可得圖7 非零狀態電路圖8 圖7電路的s域模型(15)可見，Uo(s)包含一個等于零的極點。由上式解得時域響應為(16)由式(16)可知，電路無法進入正弦穩態，而是進入非正弦

12、周期穩態，其中的直流項是由電路的非零狀態引起的。對圖7電路，只要初始狀態為零，電路就將進入正弦穩態！下面再舉一例。如圖1所示電路，假設電感的初始狀態為零，電容的初始狀態為uo(0+)=2V，激勵為x(t)=cos(20t)V，作出s域模型如圖9所示，可得圖9 圖1電路的s域模型(17)可見，Uo(s)包含1個等于零的極點、2個共軛虛極點。由上式求得時域響應為 (18)由式(18)可知，電路無法進入正弦穩態，而是進入非正弦周期穩態，其中的直流項是由電路的非零狀態引起的，-7sin(10t)/3項則是由電路的虛固有頻率引起的。4 結語正弦穩態電路是電路理論教學中的重要內容。盡管如此，在教學中較少涉及電路在正弦激勵下的非正弦穩態的響應。本文基于作者的教學實踐，討論了電路在正弦激勵下產生非正弦穩態響應的各種情況，對豐富正弦穩態電路分析的教學內容，加深學生對相關知識的理解，具有良好的助益。值得指出的是，在實際應用中，可以改變正弦激勵的頻率，確保