1、緒論【例1-1】 鉆床如圖1-6a所示，在載荷P作用下，試確定截面m-m上的內力。【解】（1）沿m-m 截面假想地將鉆床分成兩部分。取m-m 截面以上部分進行研究（圖1-6b），并以截面的形心O為原點。選取坐標系如圖所示。（2）為保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通過點O的內力N和繞點O的力偶矩M。 （3）由平衡條件 【例1-2】 圖1-9a所示為一矩形截面薄板受均布力p作用，已知邊長=400mm，受力后沿x方向均勻伸長=0.05mm。試求板中a點沿x方向的正應變。【解】由于矩形截面薄板沿x方向均勻受力，可認為板內各點沿x方向具有正應力與正應變，且處處相同，所以平均應變即a點沿x方向的正應變

2、。x方向 【例1-3】 圖1-9b所示為一嵌于四連桿機構內的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD桿下移b=0.025，試求薄板中a點的剪應變。【解】由于薄方板變形受四連桿機構的制約，可認為板中各點均產生剪應變，且處處相同。拉伸、壓縮與剪切【例題2.1】 一等直桿所受外力如 REF _Ref269587618 h 圖2. 5 (a)所示，試求各段截面上的軸力，并作桿的軸力圖。解：在AB段范圍內任一橫截面處將桿截開，取左段為脫離體(如 REF _Ref269587618 h 圖2. 5 (b)所示)，假定軸力為拉力(以后軸力都按拉力假設)，由平衡方程，得 結果為正值，故為拉力。同理，可求得

3、BC段內任一橫截面上的軸力(如 REF _Ref269587618 h 圖2. 5 (c)所示)為在求CD段內的軸力時，將桿截開后取右段為脫離體(如 REF _Ref269587618 h 圖2. 5 (d)所示)，因為右段桿上包含的外力較少。由平衡方程，得 結果為負值，說明為壓力。同理，可得DE段內任一橫截面上的軸力為(a)(b)(c)(d)(e)(f)圖2. SEQ 圖2. * ARABIC 5 例題2.1圖【例題2.2】 一正方形截面的階梯形磚柱，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖2.8(a)所示。已知。試求荷載引起的最大工作應力。解：首先作柱的軸力圖，如圖2.8(b)所示。由于此柱為

4、變截面桿，應分別求出每段柱的橫截面上的正應力，從而確定全柱的最大工作應力。、兩段柱橫截面上的正應力，分別由已求得的軸力和已知的橫截面尺寸算得(壓應力)(壓應力)由上述結果可見，磚柱的最大工作應力在柱的下段，其值為，是壓應力。【例題2.3】 一鉆桿簡圖如圖2.9(a)所示，上端固定，下端自由，長為，截面面積為，材料容重為。試分析該桿由自重引起的橫截面上的應力沿桿長的分布規(guī)律。解：應用截面法，在距下端距離為處將桿截開，取下段為脫離體(如圖2.8(b)所示)，設下段桿的重量為，則有 (a)設橫截面上的軸力為，則由平衡條件， (b)將(a)式值代入(b)式，得 (c)即為的線性函數。當時，當時， (a

5、) (b) (a) (b) (c)圖2.8 例題2.2圖 圖2.9 例題2.3圖式中為軸力的最大值，即在上端截面軸力最大，軸力圖如圖2.9(c)所示。那么橫截面上的應力為 (d)即應力沿桿長是的線性函數。當時，當時，式中為應力的最大值，它發(fā)生在上端截面，其分布類似于軸力圖。【例題2.4】 氣動吊鉤的汽缸如圖2.10(a)所示，內徑，壁厚，氣壓，活塞桿直徑，試求汽缸橫截面及縱向截面上的 應力。解：汽缸內的壓縮氣體將使汽缸體沿縱橫方向脹開，在汽缸的縱、橫截面上產生拉應力。(1) 求橫截面上的應力。取截面右側部分為研究對象(如圖2.10(c)所示)，由平衡條件，當時，得截面上的軸力為截面的面積為那么

6、橫截面上的應力為稱為薄壁圓筒的軸向應力。圖2.10 例題2.4圖(2) 求縱截面上的應力。取長為的半圓筒為研究對象(如圖2.10(d)所示)，由平衡條件，得截面上的內力為截面的面積為當時，可認為應力沿壁厚近似均勻分布，那么縱向截面上的應力為稱為薄壁圓筒的周向應力。計算結果表明：周向應力是軸向應力的兩倍。【例題2.7】 螺紋內徑的螺栓，緊固時所承受的預緊力為。若已知螺栓的許用應力MPa，試校核螺栓的強度是否足夠。解：(1) 確定螺栓所受軸力。應用截面法，很容易求得螺栓所受的軸力即為預緊力，有(2) 計算螺栓橫截面上的正應力。根據拉伸與壓縮桿件橫截面上正應力計算公式(2-1)，螺栓在預緊力作用下，

7、橫截面上的正應力為(MPa)(3) 應用強度條件進行校核。已知許用應力為螺栓橫截面上的實際應力為MPa(MPa)所以，螺栓的強度是足夠的。【例題2.8】 一鋼筋混凝土組合屋架，如圖2.25(a)所示，受均布荷載作用，屋架的上弦桿和由鋼筋混凝土制成，下弦桿為Q235鋼制成的圓截面鋼拉桿。已知：，鋼的許用應力MPa，試設計鋼拉桿的 直徑。解：(1) 求支反力和，因屋架及荷載左右對稱，所以圖2.25 例題2.8圖(2) 用截面法求拉桿內力，取左半個屋架為脫離體，受力如圖2.25(b)所示。由，得(3) 設計Q235鋼拉桿的直徑。由強度條件得【例題2.9】 防水閘門用一排支桿支撐著，如圖2.26(a)

8、所示，為其中一根支撐桿。各桿為的圓木，其許用應力MPa。試求支桿間的最大距離。解：這是一個實際問題，在設計計算過程中首先需要進行適當地簡化，畫出簡化后的計算簡圖，然后根據強度條件進行計算。(1) 計算簡圖。防水閘門在水壓作用下可以稍有轉動，下端可近似地視為鉸鏈約束。桿上端支撐在閘門上，下端支撐在地面上，兩端均允許有轉動，故亦可簡化為鉸鏈約束。于是桿的計算簡圖如圖2.26(b)所示。圖2.26 例題2.9圖(2) 計算桿的內力。水壓力通過防水閘門傳遞到桿上，如圖2.26(a)中陰影部分所示，每根支撐桿所承受的總水壓力為 其中為水的容重，其值為10；為水深，其值為3；為兩支撐桿中心線之間的距離。于

9、是有根據如圖2.26(c)所示的受力圖，由平衡條件，其中得(3) 根據桿的強度條件確定間距的值。由強度條件得【例題2.10】 三角架由和兩根桿組成，如圖2.34(a)所示。桿由兩根No.14a的槽鋼組成，許用應力MPa；桿為一根No.22a的工字鋼，許用應力為MPa。求荷載的許可值。 (a) (b)圖2.34 例題2.10圖解：(1) 求兩桿內力與力的關系。取節(jié)點為研究對象，其受力如圖2.34(b)所示。節(jié)點的平衡方程為，解得 (a)(2) 計算各桿的許可軸力。由型鋼表查得桿和的橫截面面積分別為，。根據強度條件得兩桿的許可軸力為(3) 求許可荷載。將和分別代入(a)式，便得到按各桿強度要求所算

10、出的許可荷載為所以該結構的許可荷載應取。【例題2.5】 已知階梯形直桿受力如圖2.37(a)所示，材料的彈性模量，桿各段的橫截面面積分別為AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：(1) 作軸力圖；(2) 計算桿的總伸長量。圖2.37 例題2.5圖解：(1) 畫軸力圖。因為在A、B、C、D處都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段桿的軸力各不相同。應用截面法得軸力圖如圖2.37(b)所示。(2) 求桿的總伸長量。因為桿各段軸力不等，且橫截面面積也不完全相同，因而必須分段計算各段的變形，然后求和。各段桿的軸向變形分別為桿的總伸長量為【例題2.6】 如圖2.38(a)所示實心圓

11、鋼桿AB和AC在桿端A鉸接，在A點作用有鉛垂向下的力。已知30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，鋼的彈性模量200GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。圖2.38 例題2.6圖解：(1) 利用靜力平衡條件求二桿的軸力。由于兩桿受力后伸長，而使A點有位移，為求出各桿的伸長，先求出各桿的軸力。在微小變形情況下，求各桿的軸力時可將角度的微小變化忽略不計。以節(jié)點A為研究對象，受力如圖2.38(b)所示，由節(jié)點A的平衡條件，有，解得各桿的軸力為， (2) 計算桿AB和AC的伸長。利用胡克定律，有(3) 利用圖解法求A點在鉛垂方向的位移。如圖2.38(c)所示，分別過AB和AC伸長后的點A1和A2作二

12、桿的垂線，相交于點，再過點作水平線，與過點A的鉛垂線交于點，則便是點A的鉛垂位移。由圖中的幾何關系得， 可得， 所以點A的鉛垂位移為 從上述計算可見，變形與位移既有聯系又有區(qū)別。位移是指其位置的移動，而變形是指構件尺寸的改變量。變形是標量，位移是矢量。【例題2.11】 兩端固定的等直桿AB，在C處承受軸向力(如圖2.37(a)所示)，桿的拉壓剛度為EA，試求兩端的支反力。解：根據前面的分析可知，該結構為一次超靜定問題，須找一個補充方程。為此，從下列3個方面來分析。圖2.38 例題2.11圖(1) 靜力方面。桿的受力如圖2.38(b)所示。可寫出一個平衡方程為， (a)(2) 幾何方面。由于是一

13、次超靜定問題，所以有一個多余約束，設取下固定端B為多余約束，暫時將它解除，以未知力來代替此約束對桿AB的作用，則得一靜定桿(如圖2.38(c)所示)，受已知力和未知力作用，并引起變形。設桿由力引起的變形為(如圖2.38(d)所示)，由引起的變形為(如圖2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移動，由此應有下列幾何關系 (b)(3) 物理方面。由胡克定律，有， (c)將式(c)代入式(b)即得補充方程 (d)最后，聯立解方程(a)和(d)得，求出反力后，即可用截面法分別求得AC段和BC段的軸力。【例題2.12】 有一鋼筋混凝土立柱，受軸向壓力作用，如圖2.39所示。、和、分別表示鋼筋

14、和混凝土的彈性模量及橫截面面積，試求鋼筋和混凝土的內力和應力各為多少？解：設鋼筋和混凝土的內力分別為和，利用截面法，根據平衡方程， (a)這是一次超靜定問題，必須根據變形協調條件再列出一個補充方程。由于立柱受力后縮短，剛性頂蓋向下平移，所以柱內兩種材料的縮短量應相等，可得變形幾何方程為 (b)由物理關系知圖2.39 例題2.12圖 ， (c)將式(c)代入式(b)得到補充方程為 (d)聯立解方程(a)和(d)得可見 即兩種材料所受內力之比等于它們的抗拉(壓)剛度之比。又 可見 即兩種材料所受應力之比等于它們的彈性模量之比。【例題2.14】 如圖2.42(a)所示，、桿用鉸相連接，當溫度升高時，

15、求各桿的溫度應力。已知：桿與桿由銅制成，GPa，線膨脹 系數，；桿由鋼制成，其長度，GPa，。解：設、分別代表三桿因溫度升高所產生的內力，假設均為拉力，考慮鉸的平衡(如圖2.42(b)所示)，則有圖2.42 例題2.14圖，得 (a)，得 (b)變形幾何關系為 (c)物理關系(溫度變形與內力彈性變形)為 (d) (e)將(d)、(e)兩式代入(c)得 (f)聯立求解(a)、(b)、(f)三式，得各桿軸力 桿與桿承受的是壓力，桿承受的是拉力，各桿的溫度應力為(MPa)(MPa)【例題2.13】 兩鑄件用兩鋼桿1、2連接，其間距為(如圖41(a)所示)現需將制造的過長的銅桿3(如圖2.41(b)所

16、示)裝入鑄件之間，并保持三桿的軸線平行且有間距。試計算各桿內的裝配應力。已知：鋼桿直徑，銅桿橫截面為的矩形，鋼的彈性模量210GPa，銅的彈性模量100GPa。鑄鐵很厚，其變形可略去不計。解：本題中三根桿的軸力均為未知，但平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。因鑄鐵可視為剛體，其變形協調條件是三桿變形后的端點須在同一直線上。由于結構對稱于桿3，故其變形關系如圖2.41(c)所示。從而可得變形幾何方程為 (a)圖2.41 例題2.13圖物理關系為 (b) (c)以上兩式中的和分別為鋼桿和銅桿的橫截面面積。式(c)中的在理論上應是桿3的原長，但由于與相比甚小，故用代替。將(b)、

17、(c)兩式代入式(a)，即得補充方程 (d)在建立平衡方程時，由于上面已判定1、2兩桿伸長而桿3縮短，故須相應地假設桿1、2的軸力為拉力而桿3的軸力為壓力。于是，鑄鐵的受力如圖2.41(d)所示。由對稱關系可知 (e)另一平衡方程為 ， (f)聯解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得裝配內力為所得結果均為正，說明原先假定桿1、2為拉力和桿3為壓力是正確的。各桿的裝配應力為【例題3.6】 兩塊鋼板用三個直徑相同的鉚釘連接，如圖2.44(a)所示。已知鋼板寬度，厚度，鉚釘直徑，鉚釘許用切應力，許用擠壓應力，鋼板許用拉應力。試求許可荷載。圖2.44 例題3.6圖解：(1) 按剪切強度條件求。由于各

18、鉚釘的材料和直徑均相同，且外力作用線通過鉚釘組受剪面的形心，可以假定各鉚釘所受剪力相同。因此，鉚釘及連接板的受力情況如圖2.44(b)所示。每個鉚釘所受的剪力為根據剪切強度條件式(3-17)可得(2) 按擠壓強度條件求。由上述分析可知，每個鉚釘承受的擠壓力為根據擠壓強度條件式(3-19) 可得(3) 按連接板抗拉強度求。由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如圖2.44(b)所示的是上板的受力情況及軸力圖。11截面內力最大而截面面積最小，為危險截面，則有由此可得根據以上計算結果，應選取最小的荷載值作為此連接結構的許用荷載。故取【例題3.7】 兩塊鋼板用鉚釘對接，如圖2.47(a)所

19、示。已知主板厚度，蓋板厚度，主板和蓋板的寬度，鉚釘直徑。鉚釘的許用切應力，試對此鉚接進行校核。解：(1) 校核鉚釘的剪切強度。此結構為對接接頭。鉚釘和主板、蓋板的受力情況如圖2.47(b)、圖2.47(c)所示。每個鉚釘有兩個剪切面，每個鉚釘的剪切面所承受的剪力為圖2.47 例題3.7圖根據剪切強度條件式(3-17)超過許用切應力1.9%，這在工程上是允許的，故安全。(2) 校核擠壓強度。由于每個鉚釘有兩個剪切面，鉚釘有三段受擠壓，上、下蓋板厚度相同，所受擠壓力也相同。而主板厚度為蓋板的1.5倍，所受擠壓力卻為蓋板的2倍，故應該校核中段擠壓強度。根據擠壓強度條件式(3-19)剪切、擠壓強度校核

20、結果表明，鉚釘安全。(3) 校核連接板的強度。為了校核連接板的強度，分別畫出一塊主板和一塊蓋板的受力圖及軸力圖，如圖2.47(b)和圖2.47(c)所示。主板在11截面所受軸力，為危險截面，即有主板在22截面所受軸力，但橫截面也較11截面為小，所以也應校核，有蓋板在33截面受軸力，橫截面被兩個鉚釘孔削弱，應該校核，有結果表明，連接板安全。扭轉【例題3.1】 傳動軸如圖3.9(a)所示，其轉速，功率由A 輪輸入，B、C兩輪輸出。若不計軸承摩擦所耗的功率，已知：，及。試作軸的扭矩圖。圖3.9 例題3.1圖解：(1) 計算外力偶矩。各輪作用于軸上的外力偶矩分別為 (2) 由軸的計算簡圖(如圖3.9(

21、b)所示)，計算各段軸的扭矩。先計算CA段內任一橫截面22上的扭矩。沿截面22將軸截開，并研究左邊一段的平衡，由圖3.9(c)可知 ， 得 同理，在BC段內 在AD段內 (3) 根據以上數據，作扭矩圖(如圖3.1(d)所示)。由扭矩圖可知，發(fā)生在段內，其值為。【例題3.2】 某傳動軸，軸內的最大扭矩，若許用切應力=50MPa，試按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。(1) 實心圓截面軸的直徑。(2) 空心圓截面軸，其內、外徑之比為。解：(1) 確定實心圓軸的直徑。由強度條件(3-13)式得 而實心圓軸的扭轉截面系數為 那么，實心圓軸的直徑為(2) 確定空心圓軸的內、外徑。由扭轉強度條

22、件以及空心圓軸的扭轉截面系數可知，空心圓軸的外徑為而其內徑為(3) 重量比較。上述空心與實心圓軸的長度與材料均相同，所以，二者的重量之比等于其橫截面之比，即上述數據充分說明，空心軸遠比實心軸輕。【例題3.3】 階梯形圓軸如圖3.18(a)所示，AB段直徑，BC段直徑。扭轉力偶矩，。已知材料的許用切應力，試校核該軸的強度。解：(1) 作扭矩圖。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩圖如圖3.18(b)所示。(2) 強度校核。由于兩段軸的直徑不同，因此需分別校核兩段軸的強度。AB段 BC段 圖3.18 例題3.3圖因此，該軸滿足強度要求。【例題3.4】 一汽車傳動軸簡圖如圖3.19(a)所示，轉動時

23、輸入的力偶矩 ，軸的內外直徑之比。鋼的許用切應力，切變模量 ，許可單位長度扭轉角。試按強度條件和剛度條件選擇軸的直徑。圖3.19 例題3.4圖解：(1) 求扭矩。用截面法截取左段為脫離體(如圖3.19(b)所示)，根據平衡條件得(2) 根據強度條件確定軸的外徑。由 和 得 (3) 根據剛度條件確定軸的外徑。由 和 得 所以，空心圓軸的外徑不能小于，內徑不能小于。彎曲內力【例題4.1】試求圖4.5(a)所示連續(xù)梁的支反力。解：靜定梁的段為基本梁或主梁，段為副梁。求支反力時，應先取副梁為脫離體求出支反力；然后，取整體為研究對象，求出處的支反力，。圖4.5 例題4.1圖(1) 取梁為脫離體，如圖4.

24、5(b)所示，由平衡方程 ， 得 (2) 取整體為脫離體，如圖4.5(a)所示，由平衡方程 ， ，得 ，上述求得的約束反力為正值，說明假定的約束反力方向與實際情況一致。為了校核所得支反力是否正確，也可取梁為脫離體，驗證所求的支反力是否滿足平衡條件。 【例題4.2】 梁的計算簡圖如圖4.8(a)所示。已知、，且，以及尺寸、和。試求梁在、點處橫截面上的剪力和彎矩。解：為求梁橫截面上的內力剪力和彎矩，首先求出支反力和(如圖4.8(a)所示)。由平衡方程，和 ，解得 ，圖4.8 例題4.2圖當計算橫截面上的剪力和彎矩時，將梁沿橫截面假想地截開，研究其左段梁，并假定和均為正向，如圖4.8(b)所示。由梁

25、段的平衡方程，可得 由 ，可得 結果為正，說明假定的剪力和彎矩的指向和轉向正確，即均為正值。讀者可以從右段梁(如圖4.8(c)所示)來計算和以驗算上述結果。計算橫截面上的剪力和彎矩時，將梁沿橫截面假想地截開，研究其右段梁，并假定和均為正向，如圖4.8(d)所示。由平衡方程，可得 由 ， 可得 結果為負，說明與假定的指向相反()；結果為正()，說明假定的轉向正確。將和代入上述各式即可確定、截面的內力值。【例題4.3】 如圖4.9(a)所示為一在整個長度上受線性分布荷載作用的懸臂梁。已知最大荷載集度，幾何尺寸如圖所示。試求、兩點處橫截面上的剪力和彎矩。圖4.9 例題4.3圖解：當求懸臂梁橫截面上的

26、內力時，若取包含自由端的截面一側的梁段來計算，則不必求出支反力。用求內力的簡便方法，可直接寫出橫截面上的剪力和彎矩。有三角形比例關系，可得 ， 則 【例題4.4】 如圖4.11(a)所示的懸臂梁，自由端處受一集中荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：為計算方便，將坐標原點取在梁的右端。利用求內力的簡便方法，考慮任意截面的右側梁段，則可寫出任意橫截面上的剪力和彎矩方程： (a) (b)由(a)式可見，剪力圖與無關，是常值，即為水平直線，只需確定線上一點，例如處，即可畫出剪力圖(如圖4.11(b)所示)。由式(b)可知，彎矩是的一次函數，彎矩圖是一斜直線，因此，只需確定線上兩點，如處，處，即可繪出

27、彎矩圖(如圖4.11(c)所示)。圖4.11 例題4.4圖【例題4.5】 如圖4.12(a)所示的簡支梁，在全梁上受集度為的均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：對于簡支梁，須先計算其支反力。由于荷載及支反力均對稱于梁跨的中點，因此，兩支反力(如圖4.12(a)所示)相等。任意橫截面處的剪力和彎矩方程可寫成 由上式可知，剪力圖為一傾斜直線，彎矩圖為拋物線。仿照例題4.4中的繪圖過程，即可繪出剪力圖和彎矩圖(如圖4.12(b)和圖4.12(c)所示)。斜直線確定線上兩點，而拋物線需要確定三個點以上。圖4.12 例題4.5圖由內力圖可見，梁在梁跨中點橫截面上的彎矩值為最大，而該截面上的；兩支座

28、內側橫截面上的剪力值為最大，(正值，負值)。【例題4.6】 如圖4.13(a)所示的簡支梁在點處受集中荷載力作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：首先由平衡方程和分別算得支反力(如圖4.13(a)所示)為，由于梁在點處有集中荷載力的作用，顯然，在集中荷載兩側的梁段，其剪力和彎矩方程均不相同，故需將梁分為和兩段，分別寫出其剪力和彎矩方程。圖4.13 例題4.6圖對于段梁，其剪力和彎矩方程分別為 (a) (b)對于段梁，剪力和彎矩方程為 (c) (d)由(a)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的剪力圖各為一條平行于軸的直線。由(b)、(d)兩式可知，左、右兩段的彎矩圖各為一條斜直線。根據這些方程繪出的剪力

29、圖和彎矩圖如圖4.13(b)和圖4.13(c)所示。由圖可見，在的情況下，段梁任一橫截面上的剪力值為最大，；而集中荷載作用處橫截面上的彎矩為最大，；在集中荷載作用處左、右兩側截面上的剪力值不相等。【例題4.7】 圖4.14(a)所示的簡支梁在點處受矩為的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：由于梁上只有一個外力偶作用，因此與之平衡的約束反力也一定構成一反力偶，即、處的約束反力為，由于力偶不影響剪力，故全梁可由一個剪力方程表示，即 (a)而彎矩則要分段建立。段： (b)段： (c)由式(a)可知，整個梁的剪力圖是一條平行于軸的直線。由(b)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的彎矩圖各為一條斜直線

30、。根據各方程的適用范圍，就可分別繪出梁的剪力圖和彎矩圖(如圖4.14(b)和圖4.14(c)所示)。由圖可見，在集中力偶作用處左、右兩側截面上的彎矩值有突變。若，則最大彎矩發(fā)生在集中力偶作用處的右側橫截面上，(負值)。圖4.14 例題4.7圖【例題4.9】 圖4.19(a)所示為一懸臂剛架，受力如圖所示。試作剛架的內力圖。解：計算內力時，一般應先求支反力。但對于懸臂梁或懸臂剛架，可以取包含自由端部分為研究對象，這樣就可以不求支反力。下面分別列出各段桿的內力方程為段： 段： 在段中假定截面彎矩使外側受拉為正。根據各段的內力方程，即可繪出軸力、剪力和彎矩圖。如圖4.19(b)、圖4.19(c)和圖

31、4.19(d)所示。 (a) (b)圖4.19 例題4.9圖 (c) (d)圖4.19 (續(xù))【例題4.10】 一端固定的四分之一圓環(huán)在其軸線平面內受集中荷載作用，如圖4.20(a)所示。試作曲桿的彎矩圖。解：對于環(huán)狀曲桿，應用極坐標表示其橫截面位置。取環(huán)的中心為極點，以為極軸，并用表示橫截面的位置(如圖4.20(a)所示)。對于曲桿，彎矩圖仍畫在受拉側。曲桿的彎矩方程為 ()在上式所適用的范圍內，對取不同的值，算出各相應橫截面上的彎矩，連接這些點，即為曲桿的彎矩圖(如圖4.20(b)所示)，由圖4.20可見，曲桿的最大彎矩在固定端處的截面上，其值為。 (a) (b)圖4.20 例題 4.10

32、 圖彎曲應力【例題5.1】 受均布荷載作用的工字形截面等直外伸梁如圖5.2()所示。試求當最大正應力為最小時的支座位置。解：首先作梁的彎矩圖(如圖5.2(b)所示)，可見，支座位置直接影響支座或處截面及跨度中央截面上的彎矩值。由于工字形截面的中性軸為截面的對稱軸，最大拉、壓應力相等，因此當截面的最大正、負彎矩相等時，梁的最大彎矩的絕對值為最小，即為最小。建立 圖5.2 例題5.1圖得 由于應為正值，所以上式中根號應取正號，從而解得 【例題5.2】 跨長的鑄鐵梁受力如圖5.3(a)所示。已知材料的拉、壓許用應力分別為和。試根據截面最為合適的要求，確定型截面梁橫截面的尺寸(如圖5.3(b)所示)，

33、并校核梁的強度。圖5.3 例題5.2圖解：要使截面最為合理，應使梁的同一危險截面上的最大拉應力與最大壓應力(如 圖5.3(c)所示)之比與相應的許用應力之比相等。由于和 ，并已知，所以 (a)式(a)就是確定中性軸即形心軸位置(如圖5.3(b)所示)的條件。考慮到(如圖5.3(b)所示)，即得 (b)顯然，值與橫截面尺寸有關，根據形心坐標公式(見附錄A)及如圖5.3(b)中所示尺寸，并利用式(b)可列出 由此求得 (c)確定后進行強度校核。為此，由平行移軸公式(見附錄A)計算截面對中性軸的慣性矩為 梁中最大彎矩在梁中點處，即于是，由式(5-7a)、式(5-7b)即得梁的最大壓應力，并據此校核強

34、度： 可見，梁滿足強度條件。【例題5.3】 試利用附錄C的型鋼表為如圖5.4所示的懸臂梁選擇一工字形截面。已知。圖5.4 例題5.3圖解：首先作懸臂梁的彎矩圖，懸臂梁的最大彎矩發(fā)生在固定端處，其值為應用式(5-7b)，計算梁所需的抗彎截面系數由附錄C型鋼表中查得，號工字鋼，其與算得的最為接近，相差不到%，這在工程設計中是允許的，故選號工字鋼。【例題5.4】 一外伸鑄鐵梁受力如圖5.5(a)所示。材料的許用拉應力為，許用壓應力為，試按正應力強度條件校核梁的強度。解：(1) 作梁的彎矩圖。由圖5.5(c)可知，最大負彎矩在截面上，其值為，最大正彎矩在截面上，其值為。圖5.5 例題5.4圖(2) 確

35、定中性軸的位置和計算截面對中性軸的慣性矩。橫截面形心位于對稱軸上，點到截面下邊緣距離為故中性軸距離底邊139mm(如圖5.5(b)所示)。截面對中性軸的慣性矩，可以利用附錄A中平行移軸公式計算。(3) 校核梁的強度。由于梁的截面對中性軸不對稱，且正、負彎矩的數值較大，故截面與都可能是危險截面，須分別算出這兩個截面上的最大拉、壓應力，然后校核強度。截面上的彎矩為負彎矩，故截面上的最大拉、壓應力分別發(fā)生在上、下邊緣(如圖5.5(d)所示)，其大小為截面E上的彎矩為正彎矩，故截面E上的最大壓、拉應力分別發(fā)生在上、下邊緣(如圖5.5(d)所示)，其大小為比較以上計算結果，可知，該梁的最大拉應力發(fā)生在截

36、面下邊緣各點，而最大壓應力發(fā)生在截面下邊緣各點，作強度校核如下。所以，該梁的抗拉和抗壓強度都是足夠的。【例題5.5】 如圖5.12所示兩端鉸支的矩形截面木梁，受均布荷載作用，荷載集度。已知木材的許用應力，順紋許用應力，設。試選擇木材的截面尺寸，并進行切應力的強度校核。圖5.12 例題5.5圖解：(1) 作梁的剪力圖和彎矩圖。木梁的剪力圖和彎矩圖如圖5.12()和圖5.12()所示。由圖可知，最大彎矩和最大的剪力分別發(fā)生在跨中截面上和支座，處，其值分別為 ，(2) 按正應力強度條件選擇截面。由彎曲正應力強度條件得 又因，則有 故可求得 (3) 校核梁的切應力強度。最大切應力發(fā)生在中性層，由矩形截

37、面梁最大切應力公 式(5-9)得 故所選木梁尺寸滿足切應力強度要求。彎曲變形【例題6.1】 如圖6.4所示一彎曲剛度為的簡支梁，在全梁上受集度為的均布荷載作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。解：由對稱關系可知梁的兩支反力為 梁的彎矩方程為 (a)將式(a)中的代入式(6-1b)圖6.4 例題6.1圖 再通過兩次積分，可得 (b) (c)在簡支梁中，邊界條件是左、右兩鉸支座處的撓度均等于零，即 在處， 在處，將邊界條件代入式(c)，可得 和 從而解出 于是，得梁的轉角方程和撓曲線方程分別為 (d)和 (e)由于梁上外力及邊界條件對于梁跨中點是對稱的，因此梁的撓曲線也應

38、是對稱的。由圖6.4可見，兩支座處的轉角絕對值相等，且均為最大值。分別以及代入 式(d)，可得最大轉角值為 又因撓曲線為一光滑曲線，故在對稱的撓曲線中，最大撓度必在梁跨中點處。所以其最大撓度值為 【例題6.2】 如圖6.5所示一彎曲剛度為的簡支梁，在點處受一集中荷載F作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。解：梁的兩個支反力為， (a)對于和兩段梁，其彎矩方程分別為 () () () ()分別求得梁段和的撓曲線微分方程及其積分，見表6.1。表6.1 梁段和的撓曲線微分方程及其積分梁段()梁段 ()撓曲線微分方程：撓曲線微分方程： () ()積分一次：積分一次： () (

39、)再積分一次：再積分一次： () ()圖6.5 例題6.2圖在對梁段進行積分運算時，對含有的彎矩項不要展開，而以作為自變量進行積分，這樣可使下面確定積分常數的工作得到簡化。利用點處的連續(xù)條件： 在處，將式，()、()和()、()代入上邊界條件可得 ，如前所述，積分常數和分別等于和，因此有 ，由于圖中簡支梁在坐標原點處是鉸支座，因此，故。另一積分常數，則可利用右支座處的約束條件，即在處，來確定。根據這一邊界條件，由梁段的式()可得即可求得 將積分常數代入()、()、()、()四式，即得兩段梁的轉角方程和撓曲線方程，見表6.2。表6.2 梁段和梁段的轉角方程和撓曲線方程梁段梁段轉角方程： ()轉角

40、方程： () 撓曲線方程： ()撓曲線方程： ()將和分別代入()和()兩式，即得左、右兩支座處截面的轉角分別為 =當時，右支座處截面的轉角絕對值為最大，其值為現確定梁的最大撓度。簡支梁的最大撓度應在處。先研究梁段，令，由式()解得 (h)當時，由式(h)可見值將小于。由此可知，最大撓度確在梁段中。將值代入式()，經簡化后即得最大撓度為 (i)由式(h)可見，b值越小，則值越大。即荷載越靠近右支座，梁的最大撓度點離中點就越遠，而且梁的最大撓度與梁跨中點撓度的差值也隨之增加。在極端情況下，當值甚小，以致與項相比可略去不計時，則從式(i)可得 (j)而梁跨中點處截面的撓度為 在這一極端情況下，兩者

41、相差也不超過梁跨中點撓度的3%。由此可知，在簡支梁中，不論它受什么荷載作用，只要撓曲線上無拐點，其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替，其精確度能滿足工程計算的要求。當集中荷載F作用在簡支梁的中點處，即時，則 【例題6.3】 一彎曲剛度為的簡支梁受荷載如圖6.6(a)所示。試按疊加原理求跨中點的撓度和支座處截面的轉角和。圖6.6 例題6.3圖 解：梁上的荷載可以分為兩項簡單荷載，如圖6.6(b)和圖6.6(c)所示。由附錄D可以查出兩者分別作用時梁的相應位移值，然后按疊加原理，即得所求的位移值。中點最大撓度為【例題6.4】 一彎曲剛度為的外伸梁受荷載如圖6.7(a)所示，試按疊加原理求C截

42、面的撓度。圖6.7 例題6.4圖解：在附錄D中給出的是簡支梁或懸臂梁的撓度和轉角，為此，將這外伸梁沿截面截開，看成是一簡支梁和懸臂梁(如圖6.7(b)和圖6.7(c)所示)。其中，F作用在支座不會使梁產生彎曲變形；由附錄D可分別查出由力偶矩和集中荷載引起的(如圖6.7(d)和圖6.7(e)所示)，得由疊加原理得原外伸梁的端撓度也可按疊加原理求得。由圖6.7(a)、圖6.7(b)和圖 6.7(c)可見，由于截面的轉動，帶動段作剛性轉動，從而使端產生撓度，而由段本身彎曲變形引起的撓度，即為懸臂梁(如圖6.7(b)所示)撓度，因此，端的總撓度為將前面的結果代入上式，得【例題6.5】 一彎曲剛度為的懸

43、臂梁受荷載如圖6.8(a)所示，試按疊加原理求C截面的撓度和轉角，。解：求C截面的撓度和轉角，可以將力F向點簡化，簡化結果是作用在處的一個力F和一個力矩(如圖6.8(b)所示)，。截面的撓度和轉角可以按疊加法求得(如圖6.8(c)、圖6.8(d)所示)，由附錄D查得則截面的撓度轉角分別為圖6.8 例題6.5圖【例題6.6】 如圖6.9所示電動葫蘆的軌道擬用一根工字型鋼制作，荷載，可沿全梁移動，已知材料；梁的許用撓度，不計梁的自重，試確定工字鋼的型號。解：(1) 畫內力圖。當荷載F移動到梁跨中點時，產生最大彎矩；當移動到支座附近，產生最大剪力。這兩種最不利位置的圖、圖如圖6.9(b)和圖6.9(

44、c)所示。 圖6.9 例題6.6圖(2) 由正應力強度條件選擇截面。梁跨中點截面的上、下邊緣各點是危險點。由得 查型鋼表，選工字鋼有 ，(3) 切應力強度校核。支座內側截面的中性軸上各點處切應力最大。 滿足切應力強度要求。(4) 剛度校核。最大撓度發(fā)生在梁跨中點，由附錄D可得 即可見，剛度條件不滿足要求，應加大工字鋼截面以減小變形。如改用25a號工字鋼號，則有剛度條件也滿足，故可選用工字鋼號。【例題6.7】 試求如圖6.12所示一端固定一端簡支的梁在均布荷載作用下的約束反力。解：該梁的約束反力共有四個，而獨立的平衡方程只有三個，有一個多余約束，因此是一次超靜定問題。首先，假設B支座為多余約束，

45、相應的多余未知力是(方向可以假設)。拆除多余約束，由相應的約束反力代替，則原結構變成懸臂梁(如圖6.12(b)所示)。將如圖6.12(b)所示的結構叫做原超靜定梁(如圖6.12(a)所示)的基本靜定系。基本靜定系與原來的超靜定梁是等效的，即受力是等效的，變形也是等效的。因此，按疊加原理，在基本靜定系上，點的撓度等于均布荷載與單獨作用引起撓度的代數和。點的變形應與原結構點的變形相等，而原結構點的撓度為零。于是可得變形幾何方程 或+=0 (a)由附錄D可得力與變形間的物理關系 (b) (c)圖6.12 簡單超靜定梁(例題6.7圖)將式(b)、(c)代入式(a)，即得補充方程-=0 (d)由此解得多

46、余反力為 為正號，表明原來假設的指向是正確的。求得后，即可在基本靜定系上(如圖6.12(b)所示)由靜力平衡方程求出固定端處的支反力，以上是將支座作為多余約束來求解的，其基本靜定系是懸臂梁。同樣，也可取支座A處的轉動約束作為“多余”約束，即將解除轉動約束并用相應的反力偶來代替，基本靜定系是一個簡支梁，如圖6.12(c)所示。變形幾何方程為 或 (e)由附錄D可知 代入式(e)得 +=0求得為 應力和應變分析 強度理論【例題7.1】 試用解析法求如圖7.5(a)所示平面應力狀態(tài)的主應力和主平面方位。解法1：(1) 求主應力 所以，。 (a) (b)圖7.5 例題7.1圖(2) 求主平面方位 因為

47、是正的，說明在第一象限，故 ，即為所在截面的方位角。和的方向如圖7.5(b)所示。解法2：先確定主平面方位 在范圍內有兩個解 即 ，下面確定哪個是、哪個是。由的判定規(guī)則可知，一定發(fā)生在0的截面上，因此在和中，滿足這一條件，故，那么所在方位角。將代入斜截面應力公式(7-1)，得 將代入斜截面應力公式(7-1)，可得。【例題7.2】 兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖7.9(a)和圖7.9(b)所示，梁的橫截面尺寸如圖7.9(c)所示。試分別繪出截面C(如圖7.9(a)所示)上a和b兩點處(如圖7.9(c)所示)的應力圓，并用應力圓求出這兩點處的主應力。圖7.9 例題7.2圖圖7.9 (續(xù))解：計

48、算支反力，并作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖7.9(d)和圖7.9(e)所示。然后根據截面C的彎矩=80kNm及截面C左側的剪力值=200kN，計算橫截面上a，b兩點處的應力。為此，先計算橫截面(如圖7.9(c)所示)的慣性矩和求a點處切應力時需用的靜矩等。 由以上各數據可算得橫截面C上a點處的應力為 據此，可繪出a點處單元體的x、y兩平面上的應力，如圖7.9(f)所示。在繪出坐標軸及選定適當的比例尺后，根據單元體上的應力值即可繪出相應的應力圓(如圖7.9(g)所示)。由此圖可見，應力圓與軸的兩交點、的橫坐標分別代表a點處的兩個主應力和，可按選定的比例尺量得，或由應力圓的幾何關系求得 和 (壓應力)

49、 故由x平面至所在的截面的夾角應為。顯然，所在的截面應垂直于所在的截面(如圖7.9(f)所示)。由此確定了a點處的主應力為=150.4MPa，=0，MPa。對于橫截面C上b點處的應力，由可得 b點處的切應力為零。據此，可繪出b點處所取單元體各面上的應力如圖7.9(h)所示，其相應的應力圓如圖7.9(i)所示。由此圖可見，b點處的三個主應力分別為，。所在的截面就是x平面，亦即梁的橫截面C。【例題7.3】 在受力物體上得某點處夾角為的兩截面上的應力如圖7.10(a)所示。試用應力圓法求：(1)夾角的值；(2)該點處的主應力和主平面方位。解：(1) 作應力圓。選比例尺，建坐標系。由截面上的應力繪點，

50、由截面上的應力繪點。連接點和，作的垂直平分線交軸于，以點為圓心，為半徑，作應力圓交軸于、兩點(如圖7.10(b)所示)。(2) 求夾角的值。在圖7.10(b)中量取，則 (a) (b)圖7.10 例題7.3圖(3) 求主應力和主平面方位。量取，其方向由斜截面法向順時針轉；，其方向與方向垂直；。【例題7.4】 單元體各面上的應力如圖7.14(a)所示。試作應力圓，并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位。圖7.14 例題7.4圖解：該單元體有一個已知的主應力。因此，與該主平面正交的各截面上的應力與主應力無關，于是，可依據x截面和y截面上的應力，畫出應力圓(如 圖7.14(b)所示)。由應力圓上可

51、得兩個主應力值為46MPa和-26MPa。將該單元體的三個主應力按其代數值的大小順序排列為 ，依據三個主應力值，便可作出三個應力圓(如圖7.14(b)所示)。在其中最大的應力圓上，B點的縱坐標(該圓的半徑)即為該單元體的最大切應力，其值為 且，據此便可確定主平面方位及其余各主平面的位置。其中最大切應力所在截面與平行，與和所在的主平面各成夾角，如圖7.14(c)所示。【例題7.5】 已知構件自由表面上某點處的兩個主應變值為，。構件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3。試求該點處的主應力數值，并求該點處另一主應變的數值和方向。解：由于主應力與主應變相對應，故根據題意可知該點

52、處，而處于平面應力狀態(tài)。因此，由平面應力狀態(tài)下的廣義胡克定律得 ，聯立上列兩式，即可解得主應變的數值可由(7-12a)求得由此可見，主應變是縮短，其方向必與及垂直，即沿構件表面的法線方向。【例題7.6】 邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大、變形可略去不計的鋼凹槽中。如圖7.15(a)所示。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=0.34。當受到F=300kN的均勻壓力作用時，試求銅塊的主應力、體應變以及最大切應力。解：銅塊的橫截面上的壓應力為 銅塊受到的軸向壓縮將產生膨脹，但受到剛性凹槽壁的阻礙，使銅塊在x和z方向的線應變等于零。于是，在銅塊與槽壁接觸面間將產生均勻的壓應力和，

53、如圖7.15(b)所示。按照廣義胡克定律公式(7-8a)可得 (a) (b)圖7.15 題7.6圖聯立求解(a)、(b)兩式，可得按主應力的代數值順序排列，得銅塊的主應力為，將以上數據帶入計算體積應變公式(7.14b)，可得銅塊的體積應變?yōu)閷⒂嘘P的主應力值代入式(7-7)，可得【例題7.7】 某鑄鐵構件危險點處的應力如圖7.17所示，若許用應力，試校核其強度。圖7.17 例題7.7圖解：由圖7.17可知，和截面的應力為 ，代入式(7-4)，得 即主應力為 ，上式表明，主應力雖為壓應力，但其絕對值小于主應力，所以，宜采用最大拉應力理論，即利用式(7-18)校核強度，顯然 說明構件強度無問題。【例

54、題7.8】 試分別根據第三與第四強度理論，確定塑性材料在純剪切時的許用 應力。解：純剪切應力狀態(tài)下的主應力為，。于是，將主應力值代入 式(7-20)與式(7-21)，分別得由此得切應力的最大允許值，即許用切應力分別為因此，塑性材料在純剪切時的許用應力通常取為。【例題7.9】 兩端簡支的工字梁承受荷載如圖7.18(a)所示。已知材料Q235鋼的許用應力為和。試按強度條件選擇工字鋼的號碼。圖7.18 工字梁承受荷載解：首先確定鋼梁的危險截面，在算得支反力后，作梁的剪力圖和彎矩圖如圖7.18(b)、圖7.18(c)所示。由圖可見，梁的C、D兩截面上的彎矩和剪力均為最大值，所以這兩個截面為危險截面。現

55、取截面C計算，其剪力和彎矩分別為和。先按正應力強度條件選擇截面。最大正應力發(fā)生在截面C的上、下邊緣各點處，其應力狀態(tài)為單軸應力狀態(tài)，由強度條件求出所需的截面系數為 如選用28a號工字鋼，則其截面的。顯然，這一截面滿足正應力強度條件的要求。再按切應力強度條件進行校核。對于28a號工字鋼的截面，由型鋼表查得 危險截面上的最大切應力發(fā)生在中性軸處，且為純剪切應力狀態(tài)，其最大切應力為 由此可見，選用28a號工字鋼滿足切應力的強度條件。以上考慮了危險截面上的最大正應力和最大切應力。但是，對于工字形截面，在腹板與翼緣交界處，正應力和切應力都相當大，且為平面應力狀態(tài)。因此，須對這些點進行強度校核。為此，截取腹板與下翼緣交界的a點處的單元體(如圖7.18(e)所示)。根據28a號工字鋼截面簡化后的尺寸(如圖7.18(d)所示)和上面查得的