1、2022年北京市昌平市高考第一次模擬數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出 符合題目要求的一項）1. （4 分）已知集合 A=x|xl, B= - 1, 0, 1, 2,貝 IJACB=（）A. 2B. 1, 2C. 0, 1, 2 D. 巾2-12. （4分）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點為P,則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）Pi2-1 O-xA. - 1B. 2iC. 2D. - i3. （4分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0, +8）上單調(diào)遞增的是（）A. y=x>B. y=-7+lC. y=k>g”D. y=2w4. （4分）在

2、ABC中，a=2, A=* 則“8=號”是“6=2百”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5. （4分）已知雙曲線C： = l（a>0, b>0）的離心率為2,則雙曲線C的漸近線方 程為（）A. y = ±V3x B. y = ±等xC. y =D. y= ±2x6. （4分）向量七b,之在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若之為與"同方向的單TTt位向量，則（q + b） e =（A. 1.5B. 2C. -4.5D. - 37. （4 分）已知直線人：（3+）4+4y=5 - 3，b：

3、 2r+ （5+o） y=8.若 li/2 平行，則的 值為（）A. -7B. - 1C. -7 或-1 D. -2 或 48. （4分）等差數(shù)列的前項和為S.已知m= - 5, °3= - 1.記bn2,），an則數(shù)列加的（）A.最小項為加 B.最大項為加C.最小項為從 D.最大項為從9. （4分）已知直線/： ar+v-3=0經(jīng)過點（a, b - 2）,則原點到點P （a, b）的距離可以是（）V21A. 4B. 2C.D.-2210. （4分）已知函數(shù)f（x） = F -ax + 2' x-a,若對于任意正數(shù)匕關(guān)于X的方程“X） l|x + a, x<a=攵都恰有

4、兩個不相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)的個數(shù)為（）A. 0B. 1C. 2D.無數(shù)二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11. （5分）函數(shù)f（x） =lnx+Jl - x的定義域是.%? V?12. （5分）雙曲線一一一=1的離心率為.8413. （5分）已知圓C： /+y2 - 4x+4y+4=0與直線/：丘-y - A - 1 =0相交于A, 8兩點，則 |A8|的最小值是.14. （5 分）已知點 O （0, 0）, A （ 1, 2）, B （m, 0） （/n>0）,則 cos <0A, OB > =,若B是以。A為邊的矩形的頂點，則m=15. （5 分

5、）在長方體 A8CO-AiBiCiQi 中，44i=A8=3, BC=1, P 點在側(cè)面 AiABBi 上，且點P到直線A1A和CD的距離相等：點P到直線AA和CD的距離為2時，AiP值為 ；4尸的最小值是.三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16. （13 分）己知函數(shù)/（x） = V3cos2x + sin（ + x）sinx.（I）求的值；（II）求函數(shù)的f（x）最小值及相應(yīng)的X值；（III）若（-，|）,求函數(shù)/（x）的增區(qū)間（直接寫出結(jié)論）.17. (14 分)如圖，在正方體A8CD-4B1C1D1中，E為DDi的中點.(I )求證：801

6、平面ACE；1. )設(shè)M是棱8B1上一點，當二面角M-AC-E的余弦值為一堂時，求器的值. JD 818. (13分)在銳角ABC中，A, B, C的對邊分別為a, b, c,且bsirM = acos(B-沙(I )求N8；(II)若 a=8, .求 c.從6=7,/C=今這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.19. (15 分)已知函數(shù)/(x) =cv - ar2, aGR.(I )當a=l時，求曲線y=/(x)在點A (0, /(0)處的切線方程；(H)若/1 (x)在區(qū)間(0, +8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(III)當a=-l時，試寫出方程/(x) =1根的個數(shù).(只

7、需寫出結(jié)論)20. (15分)已知橢圓C；捻+4=l(a>b>0)的焦距和長半軸長都為2.過橢圓C的右焦 點尸作斜率為&(kKO)的直線/與橢圓C相交于尸，Q兩點.(1)求橢圓C的方程：(H )設(shè)點A是橢圓C的左頂點，直線AP, AQ分別與直線x=4相交于點M, N.求證： 以MN為直徑的圓恒過點凡、_*償' a.是偶數(shù)21. (15 分)在數(shù)列“”中，若 a”eN ,且即+1= 2(=1, 2, 3,)，an + 3,0n是奇數(shù)則稱的為“1/數(shù)列”.設(shè)小為“J數(shù)列”，記斯的前“項和為S”.(I )若 “1 = 10,求 S3, S6, S9 的值;(II)若S=1

8、7,求ai的值;第4頁共16頁2022年北京市昌平市高考第一次模擬數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出 符合題目要求的一項）1. （4 分）已知集合 4 = 小21, B= - 1, 0, 1, 2,貝 ijAAB=（）A. 2B. 1, 2C. 0, 1, 2 D. xx - 1【解答】解：根據(jù)題意，集合4=x|xl, 8=-1, 0, 1, 2,則 ACIB=1, 2,故選：B.2. （4分）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點為P,則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）P2A. - 1B. 2iC. 2D. - i【解答】解：由題意得，Z

9、= - 1+2/,所以復(fù)數(shù)Z的虛部為2.故選：C.3. （4分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0, +8）上單調(diào)遞增的是（）A. y=x3B. y= -7+1C. y=log2xD. y=2w【解答】解：若函數(shù)具有奇偶性，則定義域關(guān)于原點對稱，所以C錯；由偶函數(shù)的定義：（-x）3=-F#/，故A錯；y=-f+l在（0, +8）上遞減，故8錯；顯然2卜吊=2叫 故該函數(shù)是偶函數(shù)，當x>0時，y=2'是增函數(shù)，故。對.故選：D.4. （4 分）在ABC 中，”=2, A= 則 “B=T 是 "b=25'的（）ODA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要

10、條件D.既不充分也不必要條件【解答】解：當8= ?時，由正弦定理得一二=一二，."=駕學(xué)=2百，.充分性 Jsin A sinB sin/i成立,當b=2百時，由正弦定理得£ =，一，sinB=變學(xué)=織 sinA sinBa /VBG (0, tt), .*.8=5或8=冬，.必要性不成立，綜上，8=輯=2百的充分不必要條件.5. (4分)已知雙曲線C：故選:A.=l(a>0, b>0)的離心率為2,則雙曲線C的漸近線方程為()A. y = ±V3x B. y =C. y = ±1x D. y=±2x【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線C：

11、圣一/=l(a>0, b>0)的離心率為2, 其焦點在y軸上，其漸近線方程為y=±±, 又由其離心率e= - =2,則c=2cb a則 h= Vc2 a2 = y/3af 即* = y/3f a則其漸近線方程y=±岳；故選：A.6.(4分)向量Ub, 2在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若成為與之同方向的單位向量，則(a + b),e=()A. 1.5B. 2C. - 4.5D. - 3一TT【解答】解：建立坐標系如圖，a = ( - 1, 1), b = ( - 2, - 1),T T T(a + 8)e = ( - 1 - 2, 1 - 1X

12、1, 0) = -3.故選：D.7. （4 分）已知直線/i： （3+a） x+4y=5 - 3a, h： 2x+ （5+a） y=8.若 11，2平行,則 a 的值為（）A. - 7B. - 1C. -7 或-1 D. -2 或 4【解答】解：知直線/i： （3+a） x+4y=5-3a, 12： 2x+ （5+a） y=8,3+q43a5 ,若 li/2平行，則一= 7。» 求得。=-7,25+a8故選：A.8.（4分）等差數(shù)列的前n項和為Sn.己知a= - 5, 3= -1.記% =生（=1, 2,）， Qn則數(shù)列尻的（）A.最小項為加B.最大項為例C.最小項為從D.最大項為從

13、【解答】解：等差數(shù)列祈中，m=-5, «= - 1.所以 d=2, an= - 5+2 （n - 1） =2n - 7, Sn= - 5n+yx 2 =n2 - 6”，叫普留令f（x）=分苧 x>0,則/ （%）= 2（x2z7x+1）>0, （2x-7）z77故/（x）在（0, -）, （- , + oo）上單調(diào)遞增，沒有最大值，因為加=1,加=9, /?4= - 8,結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性易得，當=4時，加取得最小值.故選：C.9.（4分）已知直線/：改+勿-3=0經(jīng)過點（小b-2）,則原點到點尸（m b）的距離可以是（）V21A. 4B.2C.D.-22【解答】解：根據(jù)

14、題意，直線/： ar+v-3=0經(jīng)過點（m匕-2）,則/+/,（力-2） -3變形可得4?+ （匕-1） 2=4,則點（小b）在以（0, 1）為圓心，半徑為2的圓上,點。在圓/+ （y - 1） 2=4內(nèi)部,則 1W|OP|W3,故選：B.10. （4分）已知函數(shù)/（X）x2 - ax 4- 2, x>a ".十“*十皿,“十 缶一土口“、 ，若對于任意正數(shù)攵，關(guān)于X的方程/（X）Jx + q, x<a=k都恰有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)。的個數(shù)為（A. 0B. 1C. 2D.無數(shù)【解答】解：函數(shù)y=|x+a|的圖象形狀大致如下,當。>0時，要使/（x）

15、=&有兩個不相等的實數(shù)根，即/（x）的圖象與直線y=A有兩個交點，如圖,當y=/-ar+2的對稱軸 =?在廣。的左邊，且兩段在。處相交時，可滿足題意，此時0 <5 <a-2,解得。=1；a2 一 q q + 2 = |q + q|要滿足條件，需在x = a處相接，且，=/-6+2在x = *處的函數(shù)值為。，則/ - q q + 2 = |q + q|q2 q2,無解;2 + 2 = 0當a=0時，/(x)=x2 + 2, x-°,顯然不合題意x, x<0綜上，滿足條件的。有1個.故選：B.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11. (5 分)函

16、數(shù)/(x)的定義域是 IxIOCxWl).【解答】解：,函數(shù)f(x).(x >0U - % > 0解得0<xWl；.函數(shù)/'(x)的定義域為xIOVxWl.故答案為：30<xWl.X2 y212. (5分)雙曲線=1的離心率為 一 . 84- 2 -【解答】解：由題意知。2=8,序=4,所以 c2=a2+/>2 = 12,則 a=2 a，c=2V3,所以該雙曲線的離心率e= E =苧.V6故答案為三.13. (5分)已知圓C： /+，- 4x+4y+4=0與直線/：息-y - & - 1 =0相交于4, 8兩點，則 |A8|的最小值是 2V2 .【

17、解答】解：根據(jù)題意，圓C： /+/- 4x+4y+4=0即(x - 2) 2+ (y+2) 2=4,圓心C的坐標為(2, -2),半徑r=2,直線/： kx- y - k - 1=0,即 y+l=k(x-l),恒過定點 Af(l, - 1)»又由圓C的方程為(x- 2) 2+ (y+2) 2=4,則點M在圓內(nèi)，分析可得：當直線/與CM垂直時，弦|A劇最小，此時 |CM= (2 1)2 + (1 + 2)2 = V2,則|A8|的最小值為2V=2V2；故答案為：2夜. Vs14. (5 分)已知點。(0, 0), A (1, 2), B (m，0) (m>0),則 cos VOA

18、, 0B>=一,-5 若B是以O(shè)A為邊的矩形的頂點，則片 5 .【解答】解：根據(jù)題意，點O (0，0), A (1, 2), B (?，0),則。4= (1, 2), OB = (m, 0),則|。川=75, OB=m,OA*OB =m,T T,.,f.r*.不、 OA OB 8故 cos <0A, OB > = -5=r- = y 0A0B'若8是以O(shè)A為邊的矩形的頂點，而后與力不垂直，則必有幾_1_&,又由6=(/n - 1, - 2),則有= (/n- I) +2X ( - 2) =0,解可得 m=5,V5故答案為：j，5. 515. (5 分)在長方體

19、 A8CO-AiBiGOi 中，AA=AB=39 BC=,尸點在側(cè)面 4AB81 上,且點P到直線A1A和CD的距離相等；點P到直線4A和CD的距離為2時，AP值為_"U_;4尸的最小值是【解答】解：如圖在面4A8B1建立P面直角坐標系，設(shè)P(x, y).(0WxW3, 0WyW3) 點P到直線A4i和CO的距離相等，x= yjy2 + 1,即/=y2+i.對于可得/=>2+1 = 1,解得x=, y=o,所以P(l, 0),所以 AiP= Vl2 + 32 = VTo； AiP= V(-0)2 + (y-3)2 = .(y 告 + 號 > 孚.,4i3 3, 口V22

20、當P (, 一)時，A1P最小為 .222故答案為：三、解答題(本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16. (13 分)己知函數(shù)/(x) = Heos?% + 5山6 +(II)求函數(shù)的/(x)最小值及相應(yīng)的x值；(III)若J),求函數(shù)f(x)的增區(qū)間(直接寫出結(jié)論).【解答】解：(I )因為/'(x) = y/3cos2x + sin( + x)sinxl 1+C0S2X1TT、75= V3*+ -sin2x=sin +)+，2262所以f(看)=sin (2x5 + Q + 孚=1 +日；(II)令2x+5=2內(nèi)1一名kWZ,解得%=內(nèi)1一皋 長Z,

21、即x=Kt-E，&ez時函數(shù)f(x)取得最小值為手-1.(III)令 2fcn- J <2x+1 <2Jht+ J, keZ,解得如一號夕由+*kWZ,又xe(T，J),77 TT則函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(一2，-).D 617. (14 分)如圖，在正方體A8CO-Ai81cl£>i中，E為。D1的中點.(I )求證：8。平面ACE：/q BM(II )設(shè)M是棱BB1上一點，當二面角M-4C-E的余弦值為一早時，求常-的值.【解答】(I )證明：連接8。交4C于點O,連接OE,在正方形4BC。中，08=0。，又£為的中點,則 OE/BD,因為 B

22、/)iC平面 ACE, OEcTiffi ACE,故8£>i平面ACE；(H )解：不妨設(shè)正方體的棱長為2,以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示,則 A (0, 0, 0), E (0, 2, 1), B (2, 0, 0), B (2, 0, 2), C (2, 2, 0),>>所以AC = (2, 2, 0), 4E = (0, 2, 1),設(shè)平面ACE的法向量為7 = (x, y, z),則卜 /IC = 2x + 2y = 0(n AE = 2y + z = 0令 z=2,貝x=l,故n = (1, 1, 2),>>設(shè)BM = k88i，

23、(04W1),則B% = k(O, 0, 2),故 M (2, 0, 2k),則h= (2, 2, 0), AM = (2, 0, 2k),設(shè)平面MAC的法向量為/=(a, b, c), T Tm AC = 2q + 2b = 0m - AM = 2a + 2kc = 0令 a= - k,則 c=l, b=k,故m = (k, k, 1),因為二面角M - AC - E的余弦值為一苧,所以|cosOn, n> =-2k±2解得"I，所以的值為:218. (13 分)在銳角ABC 中，A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且bsizH = acos(B - J(

24、II )若 4=8, .求 c.從6=7,/C= /這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.a b【解答】解：（I）在ABC中，由正弦定理一一=-,得加inA=asinB, stnA sinB又bsin/ = acos（B 看），所以asinB = acos（B 1）,即sinB = cos(B_6= cosBcos瑩 + sinBsinl = cosB + sinB,所以tanB = V3,因為Be (0, TI),所以B = *(11)選，b1, a=8,由(I )知 B=號,由余弦定理,64+c2-49 _ 1-2x8c - 2整理得c2 - 8c+15=0,解得c=3或5；選，=

25、8, B=亍，C= "Tf j q4人 冗 冗 57r故A二"一可一彳=正，所以sE4 = sin(B + (7) = sincos4- cossin =2,a c由正弦定理，得%+& = F，將=8代入，得c=8(V3 - 1).%一 T19. (15 分)已知函數(shù)/ (x) =ex - ar2, nGR.(【)當。=1時，求曲線y=/(x)在點A (0, /(0)處的切線方程；(H)若f (x)在區(qū)間(0, +8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍；(III)當=-1時，試寫出方程f(x) =1根的個數(shù).(只需寫出結(jié)論)【解答】解：(I )當。=1 時，f (x)f

26、 (x) =ex - 2x,則/ (0) =1,又/(0) =1,曲線y=f(x)在點A (0, /(0)處的切線方程為y=x+l；(II ) / (x) =" - lax,若/a)在區(qū)間(o, +8)上單調(diào)遞增，則/-2辦20在(0, +8)上恒成立,即公昌在(0, +8)上恒成立，今。(X)d /- 2xex-2ex當戈 (0, 1)時，g' (x) <0,當尤(1, +8)時，g' (x) >0,：.g (x)的最小值為g (1)=1,* ci< *(III)當 4= - 1 時，f(X)="+/, f(X)=1 即/+/=1,也就是

27、/ - 1= 作出兩個函數(shù)y=" - 1與丁= -/的圖象如圖：20. （15分）已知橢圓C： 各部 l（a>b>0）的焦距和長半軸長都為2.過橢圓C的右焦 點F作斜率為k（A卉0）的直線/與橢圓C相交于尸，。兩點.（1 ）求橢圓C的方程；（II ）設(shè)點A是橢圓C的左頂點，直線AP, AQ分別與直線x=4相交于點M, N.求證:以MN為直徑的圓恒過點F.【解答】解：（I ）由焦距和長半軸長都為2,可得c=l, a=2, b= Va2 - c2 = V3,/ y2則橢圓方程為-7 + =1; 43（II ）證明：F （L 0）, A （ - 2, 0）,直線/的方程為y=« （x- 1）,聯(lián)立橢圓方程可得（3+4乒）/ - 8匹計4。- 12=0,直線/過橢圓的焦點，顯然直線/與橢圓相交.設(shè)尸（用，yi）, Q（X2, ”）,則 xi+x2= 8kxx2=孕，直線 A尸的方程為 y= 77(x+2),3+4d3+4/c，%1+N可令x=4,得叩第，即"（4,黑）,同理可得N （4,包-）,物+2所以俞=（3,翳），而=器）,又品.品=9+36yly201+2)(次+2)07241c -