1、第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 第第6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 6.1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器6.5 數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計6.6 IIR 數字濾波器的直接設計法數字濾波器的直接設計法第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 6.1 數

2、字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念 1. 數字濾波器的分類 數字濾波器從實現的網絡結構或者從單位脈沖響應分類，可以分成無限脈沖響應(IIR)濾波器和有限脈沖響應(FIR)濾波器。它們的系統函數分別為： 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z(6.1.1) (6.1.2) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻22222222第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 2

3、數字濾波器的技術要求 我們通常用的數字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數字濾波器的傳輸函數H(e j)用下式表示： ()()()jjjH eH ee圖6.1.2 低通濾波器的技術要求第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 通帶內和阻帶內允許的衰減一般用dB數表示，通帶內允許的最大衰減用p表示，阻帶內允許的最小衰減用s表示，p和s分別定義為：00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e(6.1.3) (6.1.4) 如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：20lg()20lg()psjpjsH

4、edBH edB (6.1.5) (6.1.6) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 3. 數字濾波器設計方法概述 IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法是很不相同的。IIR濾波器設計方法有兩類，經常用的一類設計方法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。其設計步驟是：先設計模擬濾波器得到傳輸函數Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 模擬濾波器的理論和設計方法已發展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特

5、沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2.1 各種理想濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 1.模擬低通濾波器的設計指標 及逼近方法 模擬低通濾波器的設計指標有p, p,s和s。其中p和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶(=0p)中的最大

6、衰減系數，s是阻帶s的最小衰減系數，p和s一般用dB數表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj(6.2.1) (6.2.2) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 如果=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示為 以上技術指標用圖6.2.2表示。圖中c稱為3dB截止頻率，因 2210lg()10lg()papsasHjHj (6.2.3) (6.2.4) ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6

7、.2.2 低通濾波器的幅度特性第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 濾波器的技術指標給定后，需要設計一個傳輸函數Ha(s)，希望其幅度平方函數滿足給定的指標p和s，一般濾波器的單位沖激響應為實數，因此2()( ) ()()()aasjaaHjHs GsHjHj (6.2.5) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 2.巴特沃斯低通濾波器的設計方法 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(6.2.6) 圖6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的關系第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字

8、濾波器的設計濾波器的設計 將幅度平方函數|Ha(j)|2寫成s的函數： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.7) 此式表明幅度平方函數有2N個極點，極點sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje (6.2.8) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2.4 三階巴特沃斯濾波器極點分布第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 為形成穩定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構成Ha(s)，而右半平面的N個極點構成Ha(s)。 Ha(s)的表示式為10( )()NcaNkkHsss

9、設N=3，極點有6個，它們分別為第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 23012321334135jccjcjccjcsessesesse 取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)： 32233( )()()()aajjcccHssss第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。 令=/c，稱為歸一化頻率；令p=j，p稱為歸一化復變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數為101( )()

10、aNkkccHsss(6.2.10) 101( )()aNkkHppp(6.2.11) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 式中，pk為歸一化極點，用下式表示： 將極點表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示： 121()22,0,1,1kjNkpekN(6.2.12)/10/10221()101()10psapNcaNsc 將=s代入(6.2.6)式中，再將|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14) (6.2.15) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的

11、設計 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：/10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak ,則N由下式表示： lglgspspkN (6.2.16) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 用上式求出的N可能有小數部分，應取大于等于N的最小整數。關于3dB截止頻率c，如果技術指標中沒有給出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(6.2.15)式得到： (6.2.17)(6.2.18) 第第6章章 無限脈沖響

12、應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下： (1)根據技術指標p,p,s和s，用(6.2.16)式求出濾波器的階數N。 (2)按照(6.2.12)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數Ha(p)。 (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s)。 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應

13、數字濾波器的設計濾波器的設計 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 例6.2.1 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (2) 按照(6.2.12)式，其極點為3455016523754,jjjjjsesesesese按照(6.2.11)式

14、，歸一化傳輸函數為401( )()akkHppp第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5，直接查表得到： 極點：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb 式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (3) 為將Ha(p)去歸一化，先

15、求3dB截止頻率c。 按照(6.2.17)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 將c代入(6.2.18)式，得到：將p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 我們這里僅介紹切比雪夫型濾波器的設計方法。圖6.2.5分別畫出階數N為奇數與偶數時的切比雪夫型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數用A2()表示： 22221()()1()aNpAHjC (6.2.19) 第第6章章 無限脈沖

16、響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2.5 切比雪夫型濾波器幅頻特性 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 式中，為小于1的正數，表示通帶內幅度波動的程度，愈大，波動幅度也愈大。p稱為通帶截止頻率。令=/p，稱為對p的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式，定義為cos(arccos ),1( )(),1NNxxCxch NArchxx第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 當N=0時，C0(x)=1；當N=1時，C1(x)=x；當N=2時，C2(x)=2x 21；當N=3時，C3(x)=4x 33x。由此

17、可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為 C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2.6示出了階數N=0,4,5時的切比雪夫多項式特性。 由圖可見： (1)切比雪夫多項式的過零點在|x|1的范圍內； (2)當|x|1時，|CN(x)|1,在|x|1時，CN(x)是雙曲線函數，隨x單調上升。 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多項式曲線第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 按照(6.2.1

18、9)式，平方幅度函數與三個參數即,p和N有關。其中與通帶內允許的波動大小有關，定義允許的通帶波紋用下式表示： 2max2min2maxmin2()10lg()1()1,()1AAA(6.2.21) 因此 220.110lg(1)101 (6.2.22)第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2.7 切比雪夫型與巴特沃斯低通的A2()曲線第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 設阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用s表示，在s處的A2(s)用(6.2.19)式確定： 2221()1()ssNPAC(6.2.23) 令s=s/p，由s

19、1，有22211()()1()111()()1111()NsssssspsCch NArchAArchANArchArchNA (6.2.24) (6.2.25)可以解出 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 3dB截止頻率用c表示，22221()2()1,1()()ccNccpNccACCch NArch 按照(6.2.19)式，有通常取c1，因此上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計算公式： 11( )cpchArchN (6.2.26) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 以上p,和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確定Ha

20、(p)，p=s/p。求解的過程請參考有關資料。下面僅介紹一些有用的結果。 設Ha(s)的極點為si=i+ji，可以證明： 2221()1()ssNpAC(6.2.23) 令s=s/p，由s1，有22111()()1111()ssspsArchANArchArchNA (6.2.24) (6.2.25) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計算公式：11( )cpchArchN (6.2.26) 設Ha(s)的極點為si=i+ji，可以證明：21sin()2,1,2,3,21cos()2ipipichNiNichN (6.2.2

21、7) 式中 22222211( )1iippArshNshsh(6.2.28) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (6.2.28)式是一個橢圓方程，長半軸為pch(在虛軸上)，短半軸為psh(在實軸上)。令bp和ap分別表示長半軸和短半軸，可推導出： 111121()21()2111NNNNaa(6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2.8 三階切比雪夫濾波器的極點分布第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 設N=3，平方幅度函數的極點分布

22、如圖6.2.8所示(極點用X表示)。為穩定，用左半平面的極點構成Ha(p)，即11( )()aNiiHpcpp(6.2.32) 式中c是待定系數。根據幅度平方函數(6.2.19)式可導出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數為111( )2()aNNiiHppp(6.2.33a) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 按照以上分析，下面介紹切比雪夫型濾波器設計步驟。 1) 確定技術要求p,p,s和s p是=p時的衰減系數，s是=s時的衰減系數，它們為 去歸一化后的傳輸函數為11( )2()NpaNNipiHssp(6.2.33b) 221

23、10lg()110lg()ppssAA(6.2.34) (6.2.35) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 這里p就是前面定義的通帶波紋，見(6.2.21)式。歸一化頻率 2) 求濾波器階數N和參數 由(6.2.19)式，得到： 1,spsp222211()()11()()NppNssCACA 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 將以上兩式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到： 0.122220.12220.120.1101()1cos ( arccos1)1101()1()101()101psspNpNsssC

24、nCchNArchchNArch 令 0.1110.11111101101()()spaasskch NArchkArch kNArch(6.2.36) (6.2.37)第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 這樣，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出階數N，最后取大于等于N的最小整數。 按照(6.2.22)式求，這里p=。 +2=10 0.11 3) 求歸一化傳輸函數Ha(p) 為求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出歸一化極點pk,k=1,2,:,N。 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 11/

25、(21)(21)sincos221( )2()( )( )pkaNNiiaap skkpchjchNNHsppHsHp 將極點pk代入(6.2.33)式，得到： 4) 將Ha(p)去歸一化，得到實際的Ha(s)，即 (6.2.38) (6.2.39) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 例6.2.2設計低通切比雪夫濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減p=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=60dB。 解 (1) 濾波器的技術要求： 0.1,260,21,4ppppssspspdBfdBfff 第第6章章 無限脈沖響應數字無

26、限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (2) 求階數N和：110.1110.10.10.01()()1016553101(6553)9.474.6,5(4)2.061011010.1526sppsaaaArch kNArchkArchNNArch第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (3) 求Ha(p):5(5 1)11( )0.1526 2()aiiHppp由(6.2.38)式求出N=5時的極點pi，代入上式，得到：2211( )2.442(0.5389)(0.33311.1949)0.87200.6359aHpppppp (4)將Ha(p)去歸一化，得到：

27、/7261427141( )( )(1.0158 10 )(6.2788 104.2459 10 )11.6437 102.2595 10paap sHsHpsssss第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 4.模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計 為了防止符號混淆，先規定一些符號如下： 1) 低通到高通的頻率變換 和之間的關系為 上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)則用下式轉換：1(6.2.41) 1()()H jG j(6.2.40) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2

28、.9 低通與高通濾波器的幅度特性第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 模擬高通濾波器的設計步驟如下： (1)確定高通濾波器的技術指標：通帶下限頻率p，阻帶上限頻率s，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減s。 (2)確定相應低通濾波器的設計指標：按照(6.2.40)式，將高通濾波器的邊界頻率轉換成低通濾波器的邊界頻率，各項設計指標為： 低通濾波器通帶截止頻率p=1/p； 低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s； 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (3)設計歸一化低通濾波器G(p)。 (4)求模擬高通的H

29、(s)。將G(p)按照(6.2.40)式，轉換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/c代入H(q)中，得 例6.2.3 設計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。( )( )cpsH sG p(6.2.42) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 解 高通技術要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 歸一化頻率1,0.5pspsccffff低通技術要求：11,23,15psspsdBdB第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的

30、設計 設計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 求模擬高通H(s)： 2) 低通到帶通的頻率變換 低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。 33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 112220/,/,/sssslluuluBBBB 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.2.10 帶通與低通濾波器的幅度特性 表6.2.2 與的對應關系

31、 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 由與的對應關系，得到：2202201upul由表6.2.2知p對應u，代入上式中，有 (6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉換成低通的邊界頻率。下面推導由歸一化低通到帶通的轉換公式。由于 pj第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 將(6.2.43)式代入上式，得到：220220pjqpq將q=j代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：22()()( )( )luulluulspsspsH sG p (6.2.44) (6.2.45)第第6章

32、章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 上式就是由歸一化低通直接轉換成帶通的計算公式。下面總結模擬帶通的設計步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術指標，即：帶通上限頻率u，帶通下限頻率l下阻帶上限頻率 s1 ,上阻帶下限頻率 s2 通帶中心頻率20=lu，通帶寬度B=ul與以上邊界頻率對應的歸一化邊界頻率如下：121220,sslssluuluBBBB第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (2) 確定歸一化低通技術要求： s與-s的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的s，這樣保證在較大的s處更能滿足要求。 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s

33、。 (3) 設計歸一化低通G(p)。 (4) 由(6.2.45)式直接將G(p)轉換成帶通H(s)。 22222010211,sspssss第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 例6.2.4 設計模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2200rad/s，中心頻率0=21000rad/s，通帶內最大衰減p=3dB，阻帶s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻帶最小衰減s=15dB。 解 (1) 模擬帶通的技術要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s

34、1=4.15,s2=6第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (2) 模擬歸一化低通技術要求：222220103211,1.833,1.874sspsss 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)設計模擬歸一化低通濾波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkN 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 取N=3，查表6.2.1，得232()1( )221( )( )luulspsG ppppH sG p (4) 求模擬帶通H(s)： 2365224

35、2330042224610000( )2(32)(4)(32)2SH ss B sBBsBB sBsBs 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 3) 低通到帶阻的頻率變換 低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。 圖6.2.11 低通與帶阻濾波器的幅頻特性第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖中，l和u分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，s1和s2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，0為阻帶中心頻率，20=ul，阻帶帶寬B=ul，B作為歸一化參考頻率。相應的歸一化邊界頻率為 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s

36、2/B; 20=ul 表6.2.3 與的對應關系 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 根據與的對應關系，可得到： 且ul=1，p=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=j，并去歸一化，可得 上式就是直接由歸一化低通轉換成帶阻的頻率變換公式。 220(6.2.46) 2220()ululsBspss (6.2.47) 220( )( )sBpsH sG p(6.2.48) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 下面總結設計帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術要求，即：下通帶截止

37、頻率l,上通帶截止頻率u阻帶下限頻率s1，阻帶上限頻率s2阻帶中心頻率+20=ul，阻帶寬度B=ul它們相應的歸一化邊界頻率為 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (2) 確定歸一化模擬低通技術要求，即： 取s和s的絕對值較小的s；通帶最大衰減為p，阻帶最小衰減為s。 (3) 設計歸一化模擬低通G(p)。 (4) 按照(6.2.48)式直接將G(p)轉換成帶阻濾波器H(s)。12222210201,sspssss第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字

38、濾波器的設計濾波器的設計 例6.2.5 設計模擬帶阻濾波器，其技術要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。試設計巴特沃斯帶阻濾波器。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=4+21000025,B=ul=2200; 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 歸一化低

39、通的技術要求：222101,4.95,4.953,25spssspsdBdB (3)設計歸一化低通濾波器G(p):第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 0.10.121010.05621014.95lg1.8,2lg1( )21psspssppspspkkNNG ppp (4) 帶阻濾波器的H(s)為22042240042222240002( )( )2(2)2sBpssssH sG psBBsBs 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器 為了保證轉

40、換后的H(z)穩定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求： (1) 因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定的。 (2)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 設模擬濾波器的傳輸函數為Ha(s),相應的單位沖激響應是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行

41、逆拉氏變換得到ha(t)：1( )( )iNs ntaiih tAeu t(6.3.2) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 式中u(t)是單位階躍函數。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6.3.3)對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6.3.4)設ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，( )( ) ()aanhth ttnT第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 對 進行拉氏變換，得到: (

42、)aht( )( )()()staastansnTHsht edth tnT edtnT e 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 上式表示采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系可用下式表示： 我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關系滿足(1.5.5)式，重寫如下：sTze(6.

43、3.6) ( )aht()aHj第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 將s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7) (6.3.8) (6.3.9) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標準映射關系。下面進一步分析這種映射關系

44、。設jsjzre 按照(6.3.6)式，得到:jTj Treee因此得到:TreT (6.3.10) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一個周期函數，可寫成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM為任意整數第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關系第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.3.2 脈沖響應不變法的頻率混疊現象第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾

45、波器的設計 假設 沒有頻率混疊現象，即滿足 按照(6.3.9)式，并將關系式s=j代入，=T，代入得到： 令()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11( )()( )1()(/),iaNis Tijah nTh nTTAH zezH eHjT第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 一般Ha(s)的極點si是一個復數，且以共軛成對的形式出現，在(6.3.1)式中將一對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節。如果模擬濾波器的二階基本節的形式為1112211()sjs 極點為 (6.3.11) 可以推導出相應的數字濾波器二階基本節(只有實數乘法)

46、的形式為 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e (6.3.12) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 如果模擬濾波器二階基本節的形式為 1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 極點為 (6.3.13)(6.3.14) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 例6.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)為 用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHs

47、ss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj極點為12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的極點為第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 1212,s Ts Tzeze按照(6.3.4)式，并經過整理，得到 設T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，則111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz 轉換時，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進行轉換。首

48、先將Ha(s)寫成(6.3.13)式的形式，如極點s1,2=1j1,則第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 112222111110.5012( )0.6449()()aHsss再按照(6.3.14)式，H(z)為111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH zz eTz e第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.3.3 例6.3.1的幅度特性第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字數字低通濾波器低通濾波器 正切變換實現

49、頻率壓縮： 121tan()2TT (6.4.1) 式中T仍是采樣間隔，當1從/T經過0變化到/T時，則由經過0變化到+，實現了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的/T之間的轉換。這樣便有111212 1()21s Ts TesthTTTe(6.4.2) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 再通過 轉換到z平面上，得到：1s Tze112 1122zsTzsTzsT(6.4.3) (6.4.4) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 下面分析模擬頻率和數字頻率之間的關系。 圖6.4.1 雙線性變換法的映射關系第第6章章 無

50、限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有2 1121tan2jjejTeT (6.4.5) 圖6.4.2 雙線性變換法的頻率變換關系第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.4.3 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 設 112012201211120121212( )2( )( ),( )1kkakkazszkkkkAAsA sA sHsBB sB sB sH zHsCTaa za za zH zb zb zb z第第6章

51、章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 表6.4.1 系數關系表 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 例6.4.1試分別用脈沖響應不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉換成數字濾波器。 解 首先按照圖6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數Ha(s)為1( ),aHssRC 利用脈沖響應不變法轉換，數字濾波器的系統函數H1(z)為 11( )1TH zez第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 利用雙線性變換法轉換，數字濾波器的系

52、統函數H2(z)為 111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTTH1(z)和H2(z)的網絡結構分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5 例6.4.1圖H1(z)和H2(z)的網絡結構 (a)H1(z); (b)H2(z) 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 下面我們總結利用模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器的步驟。 (1)確定數字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。 21tan()2TT 如果采用雙線

53、性變換法，邊界頻率的轉換關系為第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.4.6例6.4.1 圖數字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。 (4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉換到z平面，得到數字低通濾波器系統函數H(z)。 例6.4.2 設計低通數字濾波器，要求在通帶內頻率低于0.2rad時，容許幅度誤差在1dB以內；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法

54、設計濾波器。第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 解 (1) 用脈沖響應不變法設計數字低通濾波器。 數字低通的技術指標為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術指標為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 設計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數N及3dB截止頻率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 第第6章章 無限脈沖響應

55、數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 取N=6。為求3dB截止頻率c,將p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。 根據階數N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數為234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp 為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)中，得到實際的傳輸函數Ha(s), 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 62652433425665432( )3.86377.46419.14167.

56、46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss 用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成H(z)。首先將Ha(s)進行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.4.7 例6.4

57、.2圖用脈沖響應不變法設計的數字低通濾波器的幅度特性第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (2) 用雙線性變換法設計數字低通濾波器。 數字低通技術指標仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術指標為21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 設計巴特沃斯低通濾波器。階數N計算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568sps

58、pssppspkNkN 取N=6。為求c,將s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。這樣阻帶技術指標滿足要求，通帶指標已經超過。第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 根據N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數Ha(p)與脈沖響應不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實際的Ha(s)， 用雙線性變換法將Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)：2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )(

59、 )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 圖6.4.8 例6.4.2圖用雙線性變換法設計的數字低通濾波器的幅度特性第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 6.5 數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計 例如高通數字濾波器等。具體設計步驟如下： (1) 確定所需類型數字濾波器的技術指標。 (2) 將所需類型數字濾波器的技術指標轉換成所需類型模擬濾波器的技術指標，轉換公式為 21tan2T 第第

60、6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 (3)將所需類型模擬濾波器技術指標轉換成模擬低通濾波器技術指標(具體轉換公式參考本章6.2節)。 (4)設計模擬低通濾波器。 (5)將模擬低通通過頻率變換，轉換成所需類型的模擬濾波器。 (6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉換成所需類型的數字濾波器。第第6章章 無限脈沖響應數字無限脈沖響應數字濾波器的設計濾波器的設計 例6.5.1 設計一個數字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 解 (1)數字高通的技術指