1、第5章 數值逼近模型5.25.2節節 數值積分和數值微分數值積分和數值微分數值積分數值積分n假設函數假設函數f (x)在區間在區間a, b上延續，且原函數為上延續，且原函數為F(x)，那么可用牛頓，那么可用牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式nn來求得定積分。然而，對有些函數來說，找到原來求得定積分。然而，對有些函數來說，找到原函數往往很困難，有些原函數不能用初等函數表函數往往很困難，有些原函數不能用初等函數表示出來，例如：示出來，例如：n在實踐問題中，更多的函數是用表格或圖形表示在實踐問題中，更多的函數是用表格或圖形表示的，對這種函數，更無法用牛頓的，對這種函數，更無法用牛頓萊布尼茲公萊布尼茲公式求

2、積分。式求積分。)()()(aFbFdxxfbadxeax02數值積分數值積分n有必要研討用數值方法求定積分的問題。這種數有必要研討用數值方法求定積分的問題。這種數值積分方法也是微分方程、積分方程數值解法的值積分方法也是微分方程、積分方程數值解法的根底。根底。n數值積分的根本思想是構造一個簡單函數例如數值積分的根本思想是構造一個簡單函數例如多項式多項式Pn (x)來近似替代被積分函數來近似替代被積分函數f (x)，然后，然后經過求經過求 求得求得 的近似值。的近似值。bandxxP)(badxxf)(5.2.1 數值積分插值型求積公式插值型求積公式設設插值型求積公式就是構造插值多項式插值型求積

3、公式就是構造插值多項式Pn(x)，使，使稱右式為插值求積公式。稱右式為插值求積公式。badxxfI)(*bandxxPII)(*兩點公式兩點公式 n構造以構造以a，b為結點的線性插值多項式為結點的線性插值多項式 )()()(1bfabaxafbabxxP)()()(21)(21)()(21)()()()()()()()(221bfafabababbfbabaafdxaxabbfdxbxbaafdxbfabaxafbabxdxxPTbabababa梯形公式梯形公式 復化求積公式復化求積公式 n假設積分區間比較大，直接地運用上述求積公式，假設積分區間比較大，直接地運用上述求積公式，精度難以保證?？?/p>

4、將積分區間精度難以保證?？蓪⒎e分區間a, b分成分成n個小區個小區間，對間，對f (x)用分段線性插值，然后積分。用分段線性插值，然后積分。n常采取的方法是：常采取的方法是：n1等分求積區間，比如取步長等分求積區間，比如取步長h=(b-a)/n，分，分a, b為為n等分，分點為等分，分點為 k = 0, 1, 2, nn2在區間在區間 xk, xk+1上運用以上求積公式求得上運用以上求積公式求得Ikn3取和值，作為整個區間上的積分近似值。取和值，作為整個區間上的積分近似值。n這種求積方法稱為復化求積方法。這種求積方法稱為復化求積方法。khxxk05.2.1 數值積分x0 x1x2x3x40y0

5、y1y2y3y4xy 未 知 函 數 f(x)已 知 結 點線 性 插 值 函 數 S41(x)圖圖5.9 復化梯形求積公式表示圖復化梯形求積公式表示圖5.2.1 數值積分5.2.1 數值積分5.2.1 數值積分5.2.1 數值積分5.2.1 數值積分5.2.1 數值積分Trapezoidal numerical integration-8000 -6000-4000-200002000400060008000-8000-6000-4000-200002000400060008000圖圖5.10 衛星軌道和地球外表表示圖衛星軌道和地球外表表示圖5.2.1 數值積分5.2.1 數值積分5.2.1

6、 數值積分r=6371;d1=439;d2=2384;k=1;a=r+(d1+d2)/2;c=a-d1-r;b=sqrt(a2-c2)y=(x)sqrt(a2.*sin(x).2+b2.*cos(x).2)ezplot(y,0,pi/2)x=linspace(0,pi/2,k+1);s=4*trapz(x,y(x)5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.

7、2.2 數值微分5.2.2 數值微分5.2.3 水塔流量估計 1. 問題提出5.2.3 水塔流量估計 1. 問題提出5.2.3 水塔流量估計 2. 問題分析5.2.3 水塔流量估計 2. 問題分析5.2.3 水塔流量估計 2. 問題分析051015202588.599.51010.511水 泵 不 工 作 時 段 的 任 意 時 刻 水 位 圖時 刻 （ 小 時 ）水位（米）圖圖5.115.2.3 水塔流量估計 2. 問題分析5.2.3 水塔流量估計 2. 問題分析5.2.3 水塔流量估計 2. 問題分析5.2.3 水塔流量估計 3. 模型假設5.2.3 水塔流量估計 3. 模型假設5.2.3

8、 水塔流量估計 4. 符號闡明5.2.3 水塔流量估計 4. 符號闡明5. 模型建立和算法設計 第1步5. 模型建立和算法設計 第2步5. 模型建立和算法設計 第2步5. 模型建立和算法設計 第3步5. 模型建立和算法設計 第4步5.2.3 水塔流量估計 5. 模型建立和算法設計6. 模型求解 第1步6. 模型求解 第1步6. 模型求解 第1步051015202588.599.51010.511水 泵 不 工 作 時 段 的 任 意 時 刻 水 位 圖時 刻 （ 小 時 ）水位（米）圖圖5.116. 模型求解 第2步6. 模型求解 第2步6. 模型求解 第2步6. 模型求解 第2步6. 模型求解 第2步051015202530354045505560657075水 泵 不 工 作 時 段 的 任 意 時 刻 流 量 圖時 刻 （ 小 時 ）水流量（立方米/小時）圖圖5.126. 模型求解 第3步6. 模型求解 第3步6. 模型求解 第4步6. 模型求解 第4步6. 模型求解 第5步6. 模型求解 第5步6. 模型求解 第5步6. 模型求解 第5步051015202530354045505560657075任 意 時 刻 的 流 量 圖時