1、高中物理競賽中的高等數學一、微積分初步物理學研究的是物質的運動規律，因此經常遇到的物理量大多數是變量，而要研究的正是一些變量彼此間的聯系這樣，微積分這個數學工具就成為必要的了考慮到，讀者在學習基礎物理課時若能較早地掌握一些微積分的初步知識，對于物理學的一些基本概念和規律的深入理解是很有好處的所以在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計算方法，在講述方法上不求嚴格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結合物理課的需要至于更系統和更深入地掌握微積分的知識和方法，可在通過高等數學課程的學習去完成§1函數及其圖形11 函數 自變量和因變量 絕對常量和任意常量在數學中函數的功能是這樣

2、定義的：有兩個互相聯系的變量x和y，如果每當變量x取定了某個數值后，按照一定的規律就可以確定y的對應值，那么稱y是x的函數，并記作：y=f(x)，（A1）；其中x叫做自變量，y叫做因變量，f是一個函數記號，它表示y和x數值的對應關系有時把y=f(x)也記作y=y(x)如果在同一個問題中遇到幾個不同形式的函數，也可以用其它字母作為函數記號，如j(x)、(x)等等常見的函數可以用公式來表達，例如，等等在函數的表達式中，除變量外，還往往包含一些不變的量，如上面出現的和等，它們叫做常量；常量有兩類：一類如等，它們在一切問題中出現時數值都是確定不變的，這類常量叫做絕對常量；另一類如a、b、c等，它們的數

3、值需要在具體問題中具體給定，這類常量叫做任意常量在數學中經常用拉丁字母中最前面幾個（如a、b、c）代表任意常量，最后面幾個（x、y、z）代表變量當y=f(x)的具體形式給定后，就可以確定與自變量的任一特定值x0相對應的函數值f(x0)例如：（1）若y=f(x)=3+2x，則當x=-2時y=f(-2)=3+2×(-2)=-1一般地說，當x=x0時，y=f(x0)=3+2x0（2）若，則當時，12 函數的圖形在解析幾何學和物理學中經常用平面上的曲線來表示兩個變量之間的函數關系，這種方法對于直觀地了解一個函數的特征是很有幫助的作圖的辦法是先在平面上取一直角坐標系，橫軸代表自變量x，縱軸代表

4、因變量（函數值）y=f(x)這樣一來，把坐標為（x，y）且滿足函數關系y=f(x)的那些點連接起來的軌跡就構成一條曲線，它描繪出函數的面貌圖A-1便是上面舉的第一個例子y=f(x)=3+2x的圖形，其中P1，P2，P3，P4，P5各點的坐標分別為：（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各點連接成一根直線圖A-2是第二個例子的圖形，其中P1，P2，P3，P4，P5各點的坐標分別為：、，各點連接成雙曲線的一支13 物理學中函數的實例反映任何一個物理規律的公式都是表達變量與變量之間的函數關系的下面舉幾個例子（1）勻速直線運動公式：s=s0vt（A2）此式表達了物體作勻速直

5、線運動時的位置s隨時間t變化的規律，在這里t相當于自變量x，s相當于因變量y，s是t的函數因此記作：s=s(t)s0vt，（A3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0與坐標原點的選擇有關，v對于每個勻速直線運動有一定的值，但對于不同的勻速直線運動可以取不同的值圖A-3是這個函數的圖形，它是一根傾斜的直線易知它的斜率等于v （2）勻變速直線運動公式：，（A4），v=v0at（A5）兩式中s和v是因變量，它們都是自變量t的函數，因此記作：，（A6），v=v(t)=v0at，（A7）圖A-4a、4b分別是兩個函數的圖形，其中一個是拋物線，一個是直線（A6）和（A7）式是勻變速直線運動的普遍公式，

6、式中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它們的數值要根據討論的問題來具體化例如在討論自由落體問題時，若把坐標原點選擇在開始運動的地方，則s00，v00，ag9.8Ms2，這時（A6）和（A7）式具有如下形式：,（A8）；vv(t)gt（A9）；這里的g可看作是絕對常量，式中不再有任意常量了（3）玻意耳定律：PVC（A10）上式表達了一定質量的氣體，在溫度不變的條件下，壓強P和體積V之間的函數關系，式中的C是任意常量可以選擇V為自變量，P為因變量，這樣，（A10）式就可寫作：，（A11）它的圖形和圖A-2是一樣的，只不過圖中的x、y應換成V、P在（A10）式中也可以選擇P為自變量，V為

7、因變量，這樣它就應寫成：，（A12）由此可見，在一個公式中自變量和因變量往往是相對的（4）歐姆定律：（A13）當討論一段導線中的電流I這樣隨著外加電壓U而改變的問題時，U是自變量，I是因變量，R是常量這時，（A13）式應寫作：，（A14）；即I與U成正比應當指出，任意常量與變量之間的界限也不是絕對的例如，當討論串聯電路中電壓在各電阻元件上分配問題時，由于通過各元件的電流是一樣的，（A13）式中的電流I成了常量，而R是自變量，U是因變量于是UU(R)IR，（A15）即U與R成正比但是當討論并聯電路中電流在各分支里的分配問題時，由于各分支兩端具有共同的電壓，（A13）式中的U就成了常量，而R為自變

8、量，I是因變量，于是：，（A16）即I與R成反比總之，每個物理公式都反映了一些物理量之間的函數關系，但是其中哪個是自變量，哪個是因變量，哪些是常量，有時公式本身反映不出來，需要根據所要討論的問題來具體分析§2導數21 極限若當自變量x無限趨近某一數值x0（記作xx0）時，函數f(x)的數值無限趨近某一確定的數值a，則a叫做xx0時函數f(x)的極限值，并記作：，（A17）（A17）式中的“lim”是英語“limit（極限）”一詞的縮寫，（A17）式讀作“當x趨近x0時，f（x）的極限值等于a”極限是微積分中的一個最基本的概念，它涉及的問題面很廣這里不企圖給“極限”這個概念下一個普遍而

9、嚴格的定義，只通過一個特例來說明它的意義考慮下面這個函數：，（A18），這里除x1外，計算任何其它地方的函數值都是沒有困難的例如當時，當，等等但是若問x1時函數值f（1）？，就會發現，這時（A18）式的分子和分母都等于0，即！用0去除以0，一般地說是沒有意義的所以表達式（A18）沒有直接給出f（1），但給出了x無論如何接近1時的函數值來下表列出了當x的值從小于1和大于1兩方面趨于1時f（x）值的變化情況：表A-1 x與f(x)的變化值0.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00

10、014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003從上表看，x值無論從哪邊趨近1時，分子分母的比值都趨于一個確定的數值5，這便是x1時f(x)的極限值其實計算f(x)值的極限無需這樣麻煩，只要將（A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2(3x2)(x-1)，并在x1的情況下從分子和分母中將因式(x1)消去：；即可看出：x趨于1時，函數f(x)的數值趨于：3×125所以根據函數極限的定義，22 幾個物理學中的實例（1）瞬時速度當一個物體作任意直線運動時，它的

11、位置可用它到某個坐標原點O的距離s來描述在運動過程中s是隨時間t變化的，也就是說，s是t的函數：ss(t)函數s(t)表示的是這個物體什么時刻到達什么地方形象一些說，假如物體是一列火車，則函數s(t)就是它的一張“旅行時刻表”但是，在實際中往往不滿足于一張“時刻表”，還需要知道物體運動快慢的程度，即速度或速率的概念例如，當車輛駛過繁華的街道或橋梁時，為了安全，對它的速率就要有一定的限制；一個上拋體（如高射炮彈）能夠達到怎樣的高度，也與它的初始速率有關，等等為了建立速率的概念，就要研究在一段時間間隔里物體位置的改變情況假設考慮的是從tt0到tt1的一段時間間隔，則這間隔的大小為：tt1-t0根據

12、s和t的函數關系s（t）可知，在t0和t1t0+t兩個時刻，s的數值分別為s（t0）和s（t1）s（t0+t），即在t0到t1這段時間間隔里s改變了：ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0）在同樣大小的時間間隔t里，若s的改變量s小，就表明物體運動得慢， 所以就把與之比叫做這段時間間隔里的平均速率，用來表示，則，（A19），舉例說明如下對于勻變速直線運動，根據（A4）式有和，；平均速率反映了物體在一段時間間隔內運動的快慢，除了勻速直線運動的特殊情況外，的數值或多或少與的大小有關；取得越短，就越能反映出物體在時刻運動的快慢；通常就把時的極限值叫做物體在tt0時刻的瞬時速率v，即，（A20）

13、對于勻變速直線運動來說，這就是熟悉的勻變速直線運動的速率公式（A5）（2）瞬時加速度一般地說，瞬時速度或瞬時速率v也是t的函數：vv（t）但是在許多實際問題中，只有速度和速率的概念還不夠，還需要知道速度隨時間變化的快慢，即需要建立“加速度”的概念平均加速度和瞬時加速度概念的建立與和的建立類似在直線運動中，首先取一段時間間隔t0到t1，根據瞬時速率v和時間t的函數關系v（t）可知，在tt0和tt1兩時刻的瞬時速率分別為v（t0）和v（t1）v（t0+t），因此在t0到t1這段時間間隔里v改變了v=v（t0+t）-v（t0）通常把叫做這段時間間隔里的平均加速度，記作；，（A21）舉例來說，對于勻變

14、速直線運動，根據（A5）式有，所以平均加速度為（常數）對于一般的變速運動，也是與有關的，這時為了反映出某一時刻速度變化的快慢，就需要取在時的極限，這就是物體在tt0時刻的瞬時加速度a：，（A22）（3）應用舉例水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差，這樣才能使水流動為簡單起見，假設水渠是直的，這時可以把x坐標軸取為逆水渠走向的方向（見圖A-5），于是各處渠底的高度h便是x的函數：h=h（x）知道了這個函數，就可以計算任意兩點之間的高度差在修建水渠的時候，人們經常運用“坡度”的概念譬如說，若逆水渠而上，渠底在100m的距離內升高了20cm，人們就說這水渠的坡度是，因此所謂坡度，就是指單位長

15、度內的高度差，它的大小反映著高度隨長度變化的快慢程度如果用數學語言來表達，就要取一段水渠，設它的兩端的坐標分別為x0和x1，于是這段水渠的長度為：xx1-x0根據h和x的函數關系h(x)可知，在x0和x1=x0+x兩地h的數值分別為h(x0)和h（x1）h(x0+x)，所以在x這段長度內h改變了：hh(x0+x)-h(x0)根據上述坡度的定義，這段水渠的平均坡度為：，（A23）前面所舉例子，x采用了100米的數值實際上在100米的范圍內，水渠的坡度可能各處不同為了更細致地把水渠在各處的坡度反映出來，應當取更小的長度間隔，取得越小，就越能精確反映出x=x0處的坡度所以在x=x0處的坡度k應是時的

16、平均坡度的極限值，即，（A24）23 函數的變化率導數前面舉了三個例子，在前兩個例子中自變量都是t，第三個例子中自變量是x這三個例子都表明，在研究變量與變量之間的函數關系時，除了它們數值上“靜態的”對應關系外，往往還需要有“運動”或“變化”的觀點，著眼于研究函數變化的趨勢、增減的快慢，即函數的“變化率”概念當變量由一個數值變到另一個數值時，后者減去前者，叫做這個變量的增量增量，通常用代表變量的字母前面加個“”來表示例如，當自變量x的數值由x0變到x1時，其增量就是xx1-x0（A25）與此對應因變量y的數值將由y0f(x0)變到y1=f(x1)，它的增量為yy1-y0=f(x1)f(x0)f(

17、x0+x)f(x0)（A26）應當指出，增量是可正可負的，負增量代表變量減少增量比，（A27）可以叫做函數在xx0到xx0+x這一區間內的平均變化率，它在x0時的極限值叫做函數yf(x)對x的導數或微商，記作y或f(x)，（A28）除或外，導數或微商還常常寫作、等其它形式導數與增量不同，它代表函數在一點的性質，即在該點的變化率應當指出，函數f(x)的導數f(x)本身也是x的一個函數，因此可以再取它對x的導數，這叫做函數yf(x)的二階導數，記作、等；，（A29）據此類推，則不難定義出高階的導數來有了導數的概念，前面的幾個實例中的物理量就可表示為：瞬時速率：，（A30）；瞬時加速度：，（A31）

18、；水渠坡度：，（A32）24 導數的幾何意義在幾何中切線的概念也是建立在極限的基礎上的如圖A-6所示，為了確定曲線在P0點的切線，先在曲線上P0附近選另一點P1，并設想P1點沿著曲線向P0點靠攏P0P1的聯線是曲線的一條割線，它的方向可用這直線與橫坐標軸的夾角來描述從圖上不難看出，P1點愈靠近P0點，角就愈接近一個確定的值0，當P1點完全和P0點重合的時候，割線P0P1變成切線P0T，的極限值0就是切線與橫軸的夾角 在解析幾何中，把一條直線與橫坐標軸夾角的正切叫做這條直線的斜率斜率為正時表示是銳角，從左到右直線是上坡的（見圖A-7a）；斜率為負時表示是鈍角，從左到右直線是下坡的（見圖A-7b）

19、現在來研究圖A-6中割線P0P1和切線P0T的斜率設P0和P1的坐標分別為（x0，y0）和（x0+x，y0+y），以割線P0P1為斜邊作一直角三角形P0P1M，它的水平邊P0M的長度為x，豎直邊MP1的長度為y，因此這條割線的斜率為：如果圖A-6中的曲線代表函數y=f(x)，則割線P0P1的斜率就等于函數在 附近的增量比，切線的低斜率是時，割線P0P1斜率的極限值，即；所以導數的幾何意義是切線的斜率§3導數的運算在上節里只給出了導數的定義，本節將給出以下一些公式和定理，利用它們可以把常見函數的導數求出來31 基本函數的導數公式（1）yf(x)C(常量)：；（2）yf(x)x：；（3）

20、yf(x)=x2：；（4）yf(x)x3：；（5）yf(x)： ；（6）yf(x)：上面推導的結果可以歸納成一個普遍公式：當時，（為任何數），（A33）例如：當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；等等利用（A33）式還可以計算其它冪函數的導數（見表A-2）除了冪函數外，物理學中常見的基本函數還有三角函數、對數函數和指數函數現在只給出這些函數的導數公式（見表A-2）而不推導，解題時可以直接引用32 有關導數運算的幾個定理定理一：，（A34）證明：定理二：，（A35）證明：表A-2基本導數公式函數y=f(x)導數y=f(x)函數y=f(x)導數y=f(x)c(任意常量)0 ，xn(n為任意常量)

21、nxn-1 ，n=1， x1n=2， x22xn=3， x33x2，定理三：，（A36）證明：定理四：，（A37）證明：例1求（a為常量）的導數解：例2求（a為常量）的導數 解：例3求（a為常量）的導數 解：例4求的導數 解：例5求的導數解：例6求的導數解：例7求（a、b為常量）的導數解：令，則例8求的導數解：令，則例9求（a為常量）的導數解：令，則§4微分和函數的冪級數展開41 微分自變量的微分，就是它的任意一個無限小的增量x用dx代表x的微分，則dx=x（A38）一函數y=f(x)的導數f(x)乘以自變量的微分dx即為該函數的微分，用dy或df(x)表示，即dy=df(x)=f(

22、x)dx，（A39）所以，（A40）在之前曾把導數寫成的形式，是把它作為一個整體引入的當時它雖然表面上具有分數的形式，但在運算時并不象普通分數那樣可以拆成“分子”和“分母”兩部分在引入微分的概念之后，就可把導數看成微分dy與dx之商（所謂“微商”），即一個真正的分數了把導數寫成分數形式，常常是很方便的，例如，把上節定理四（A37）式的左端簡寫成，則該式化為；此公式從形式上看和分數運算法則一致，很便于記憶下面看微分的幾何意義圖A-8是任一函數yf(x)的圖形，P0（x0，y0）和P1（x0+x，y0+y）是曲線上兩個鄰近的點，P0T是通過P0的切線直角三角形P0MP1的水平邊，豎直邊（見圖）設與

23、的交點為，則，但為切線P0T的斜率，它等于x=x0處的導數f(x0)，因此所以微分dy在幾何圖形上相當于線段MN的長度，它和增量相差一段長；從上一節計算導數時取極限的過程可以看出，是中正比于的那一部分，而則是正比于(x)2以及x更高冪次的各項之和例如對于函數y=f(x)x3，y3x2x3x(x)2()3，而dy=f(x)x=3x2x當x很小時，（x）2、（x）3、比x小得多，也就比小得多，所以可以把微分叫做增量中的線性主部也就是說，若函數在x=x0的地方像線性函數那樣增長，則它的增量就是dy42冪函數的展開已知一個函數f(x)在xx0一點的數值f(x0)，如何求得其附近的點xx0+x處的函數值

24、f(x)f(x0+x)？若f(x)為x的冪函數，可以利用牛頓的二項式定理：，（A41）此式適用于任何n（整數、非整數、正數、負數等等）若n為正整數，則上式中的級數在Mn的地方截斷，余下的項自動為0，否則上式為無窮級數不過當x<<x0時，后面的項越來越小，只需保留有限多項就足夠精確了不要以為數學表達式越精確越好如圖A-9中A、B兩點間的水平距離為l，若將B點豎直向上提高一個很小的距離a(a<<l)到達B，問AB之間的距離比AB增加了多少？利用勾股定理易得距離的增加量為這是個精確的公式，但沒有給出一個鮮明的印象，究竟l是隨a怎樣變化的？若用二項式定理將它展開，只保留到最低級

25、的非0項，則有，即l是正比于a平方增長的，屬二級小量這種用冪級數展開來分析主要變化趨勢的辦法，在物理學里是經常用到的43泰勒展開非冪函數(譬如sinx、ex)如何作冪級數展開？這要用泰勒(Taylor)展開下面用一種不太嚴格，但簡單明了的辦法將它導出假設函數f(x)在x=x0處的增量f=f(x)f(x0)能夠展成xxx0的冪級數：，（A42）則通過逐項求導可得；當xx0時，m1的項都趨于0，于是有f(x0)a1；再次求導，得，當xx0時，m2的項都趨于0，于是有f(x0)2a2；如此類推，一般地說，對于階導數有；于是(A42)式可以寫為：，(A43)若定義第0階導數f(0)(x)就是函數f(x

26、)本身，則上式還可進一步簡寫為：，(A44)上述(A43)或(A44)式稱為泰勒展開式，它在物理學中是非常有用的公式下面在表A-3中給出幾個常見函數在x00或1處的泰勒展開式表A-3 常見函數的冪級數展開式函數展開式收斂范圍 §5積分51幾個物理中的實例（1）變速直線運動的路程大家都熟悉勻速直線運動的路程公式若物體的速率是v，則它在ta到tb一段時間間隔內走過的路程是sv(tbta)，(A45)對于變速直線運動來說，物體的速率v是時間的函數：vv(t)，函數的圖形是一條曲線(見圖A-10a)，只有在勻速直線運動的特殊情況下，它才是一條直線(參見圖A-4b)對于變速直線運動，(A.45

27、)式已不適用但是，可以把tta到ttb這段時間間隔分割成許多小段，當小段足夠短時，在每小段時間內的速率都可以近似地看成是不變的這樣一來，物體在每小段時間里走過的路程都可以按照勻速直線運動的公式來計算，然后把各小段時間里走過的路程都加起來，就得到ta到tb這段時間里走過的總路程 設時間間隔(tbta)被tt1(=ta)、t2、t3、tn、tb分割成n小段，每小段時間間隔都是t，則在t1、t2、t3、tn各時刻速率分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)若把各小段時間的速率v看成是不變的，則按照勻速直線運動的公式，物體在這些小段時間走過的路程分等于v(t1)t、v(t2)t、v(t3)

28、t、v(tn)t于是，在整個(tb-ta)這段時間里的總路程是，(A46)現在再看看上式的幾何意義在函數vv(t)的圖形中，通過t=t1、t2、t3、tn各點垂線的高度分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)(見圖A-10b)，所以v(t1)t、v(t2)t、v(t3)t、v(tn)t就分別是圖中那些狹長矩形的面積，而則是所有這些矩形面積的總和，即圖中畫了斜線的階梯狀圖形的面積在上面的計算中，把各小段時間t里的速率v看做是不變的，實際上在每小段時間里v多少還是有些變化的，所以上面的計算并不精確要使計算精確，就需要把小段的數目n加大，同時所有小段的t縮短(見圖A-10c)t越短，在各

29、小段里v就改變得越少，把各小段里的運動看成勻速運動也就越接近實際情況所以要嚴格地計算變速運動的路程s，就應對(A46)式取n、t0的極限，即，(A47)當n越來越大，t越來越小的時候，圖A-10中的階梯狀圖形的面積就越來越接近v(t)曲線下面的面積(圖A-10d)所以(A47)式中的極限值等于(tbta)區間內v(t)曲線下的面積總之，在變速直線運動中，物體在任一段時間間隔(tbta)里走過的路程要用(A47)式來計算，這個極限值的幾何意義相當于這區間內v(t)曲線下的面積（2）變力的功當力與物體移動的方向一致時，在物體由位置ssa移到ssb的過程中，恒力F對它所作的功為：AF(sbsa)（A

30、48)；若力F是隨位置變化的，即F是s的函數：FF(s)，則不能運用(A48)式來計算力F的功此時，也需要象計算變速運動的路程那樣，把(sbsa)這段距離分割成n個長度為s的小段(見圖A-11)：并把各小段內力F的數值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式計算出每小段路程s上的功，然后加起來取n、s0的極限值具體地說，設力F在各小段路程內的數值分別為F(s1)、F(s2)、F(s3)、F(sn)，則在各小段路程上力F所作的功分別為F(s1)s、F(s2)s、F(s3)s、F(sn)s，在(sbsa)整段路程上力F的總功A就近似地等于；因為實際上在每一小段路程上加都是變化的，所以嚴格地計算，還應取n

31、、s0的極值，即，(A49)同上例，這極限值應是(sbsa)區間內F(s)下面的面積(見圖A-12)52定積分以上兩個例子表明，許多物理問題中需要計算象(A47)和(A49)式中給出的那類極限值概括起來說，就是要解決如下的數學問題：給定一個函數f(x)，用xx1(=a)、x2、x3、xn、b把自變量x在(ba)區間內的數值分成n小段，設每小段的大小為x，求n、x0時的極限；通常把這類形式的極限用符號來表示，即，(A50)；叫做到區間內對的定積分，叫做被積函數，b和a分別叫做定積分的上限和下限用定積分的符號來表示，(A47)和(A49)式可分別寫為，(A51)、，(A52)在變速直線運動的路程公

32、式(A51)里，自變量是t，被積函數是v(t)，積分的上、下限分別是tb和ta；在變力作功的公式(A52)里，自變量是s，被積函數是F(s)，積分的上、下限分別是sb和sa求任意函數定積分的辦法有賴于下面關于定積分的基本定理：若被積函數f(x)是某個函數(x)的導數，即f(x)=(x)，則在xa到xb區間內f(x)對x的定積分等于(x)在這區間內的增量，即，(A53)下面來證明上述定理在axb區間內任選一點xi，首先考慮(x)在x=xi到x=xi+x=xi+1區間的增量(xi)=(xi+1)-(xi)：，當時，可用(x)的導數代替；但按照定理的前提，(x)=f(x)，故(xi)(xi)x=f(

33、xi)x式中表示“近似等于”，若取x0的極限，上式就是嚴格的等式把axb區間分成n1小段，每段長x；上式適用于每小段根據積分的定義和上式，有：因x1a，xnb，于是得(A.53)式，至此定理證畢下面看看函數(x)在f-x圖(見圖A-13)中所表現的幾何意義如前所述，(xi)=(xi+1)-(xi)=f(xi)x，正是寬為x、高為的一個矩形（即圖中的）的面積它和曲線段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面積只是相差一小三角形PiNPi1的面積當x0時，可認為(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面積既然當x由xi變到xi+1時，(x)的增量的幾何意義是相應區間f-x曲線下的面積，

34、則(x)本身的幾何意義就是從原點O到x區間f-x曲線下面的面積加上一個常量C(0)例如(xi)的幾何意義是圖形OxiPiP0的面積加C，(xi1)的幾何意義是圖形Oxi+1Pi+1P0的面積加C，等等這樣，(xi)=(xi+1)-(xi)就是：(Oxi+1Pi+1P0的面積+C)-(OxiPiP0的面積+C)=xixi+1Pi+1Pi的面積，而(b)-(a)的幾何意義是：(ObPbP0的面積+C)(OaPaP0的面積+C)abPbPa的面積它相當于定積分的值53不定積分及其運算在證明了上述定積分的基本定理之后，就可以著手解決積分的運算問題了根據上述定理，只要求得函數(x)的表達式，利用(A.5

35、3)式立即可以算出定積分來，那么，給出了被積函數的表達式之后，怎樣去求(x)的表達式呢？上述定理說明，(x)=f(x)，所以這就相當于問f(x)是什么函數的導數由此可見，積分運算是求導的逆運算如果f(x)是(x)的導數，可以稱(x)是f(x)的逆導數或原函數求f(x)的定積分就可以歸結為求它的逆導數或原函數在上節里講了一些求導數的公式和定理，常見的函數都可以按照一定的法則把它們的導數求出來然而求逆導數的問題卻不像求導數那樣容易，而需要靠判斷和試探例如，知道了(x)x3的導數(x)3x2，也就知道了F(x)3x2的逆導數是(x)x3；這時，如果要問函數f(x)x2的逆導數是什么，那么就不難想到，

36、它的逆導數應該是x3/3；這里要指出一點，即對于一個給定的函數f(x)來說，它的逆導數并不是唯一的1(x)x3/3是f(x)x2的逆導數，2(x)x3/31和3(x)=x3/35也都是它的逆導數，因為1(x)、2(x)、3(x)都等于x2.一般說來，在函數f(x)的某個逆導數(x)上加一任意常量C，仍舊是f(x)的逆導數通常把一個函數f(x)的逆導數的通式(x)C叫做它的不定積分，并記作，于是，(A54)因在不定積分中包含任意常量，它代表的不是個別函數，而是一組函數表A-4基本不定積分公式函數不定積分函數不定積分當時，當時，當時，當時，當時，當時，當時，上面所給的例子太簡單了，一眼就能猜到逆導

37、數是什么在一般的情況下求逆導數，首先要求對各種函數的導數掌握得很熟練，才能確定選用那一種形式的函數去試探此外，掌握表A-4中給出的基本不定積分公式和其后的幾個有關積分運算的定理，也是很重要的(表中的公式可以通過求導運算倒過來驗證，望讀者自己去完成)下面是幾個有關積分運算的定理定理一 若(a是常量)，則，(A55)定理二 若，則，(A56)這兩個定理的證明是顯而易見的，下面利用這兩個定理和表A4中的公式計算兩個例題例10求解：例11求解：定理三 若，則，(A57)此定理表明，當f(x)具有這種形式時，就可以用v來代替x作自變量，這叫做換元法經過換元往往可以把比較復雜的積分化成表A-4中給出的現成

38、結果再看看下面幾個例題例12求解：令，經換元得：例13求解：令，則，于是例14求解：令，則，于是例15求解：令，則，于是54通過不定積分計算定積分當求得不定積分之后，再將它們的上、下限的數值代入相減，就得到所求的定積分的值：，(A58)作定積分運算時，任意常量就被消掉了例16計算：和解：因為，所以；圖A14是f(x)=sin2x的曲線，它在x0到一段是正的，在x到1一段是負的從x0到1的定積分為0，是因為橫軸上下兩塊面積大小相等，一正一負，相互抵消了例17推導勻變速直線運動的路程公式解：，例18若在(A52)式中力F(s)與距離平方成反比：F(s)，求功A解：習 題一、回答下列問題：（1）若f

39、(x)=x2，寫出f(0)、f(1)、f(2)、f(3)之值（2）若，寫出、的值（3）若f(x)abx，f(0)？x0為多少時，f(x0)=0？二、求下列函數的導數：（1）y3x42x28； （2）y=53x4x3； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）；（8）；（9）； （10）； （11）；（12）三、求第二題中y的微分四、求以下函數圍繞x0的泰勒級數中前兩個非0項：（1）； （2）；（3）； （4）五、求下列不定積分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10），提示：；（11）； （12）； （13）； （14）；（15），提示

40、：； （16）； （17）；（18）； （19）； （20）六、計算下列定積分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）二、矢量1矢量及其解析表示物理學中有各種物理量，像質量、密度、能量、溫度、壓強等，在選定單位后僅需用一個數字來表示其大小，這類物理量叫做標量；而像位移、速度、加速度、動量、力等，除數量的大小外還具有一定的方向，這類物理量叫做矢量嚴格地說，作為一個矢量，還必須遵從一定的合成法則與隨坐標變換的法則通常手寫時用字母上加箭頭（如）來表示一個矢量，印刷中則常用黑體字(如A)在作圖時，用一個加箭頭的線段來代表矢量，線段的長度正比于矢量

41、的大小，箭頭的方向表示矢量的方向(見圖B-1)直角坐標系來描述空間和表示其中的矢量，是最基本的方法n維的直角坐標系有n個相互垂直的坐標軸先從二維空間說起如圖B2所示，在平面上取二維直角坐標系xOy，在平面某點P上有矢量A，其大小為A，與x軸的夾角為則它在x、y軸上的投影分別為Ax= Acos，AyAsin，Ax和Ay分別稱為矢量A的x分量和y分量應注意，一個矢量的分量是代數量，即其值是可正可負的分別沿坐標軸Ox和Oy取單位矢量(即長度為1的矢量)i和j(見圖B2)，則有：AAxiAyj，(B1)；這里i、j稱為坐標系的基矢當坐標系及其基矢選定后，數列(Ax，Ay)可以把矢量A的全部特征確定下來

42、，所以也可以說矢量是個按一定順序排列的數列，如：數列(2，1)代表Ax2，Ay1的矢量，數列(0，5)代表Ax0，Ay5的矢量，等等矢量大小的平方等于它的分量的平方和：A2Ax2Ay2，(B2)圖B-3所示為三維空間里的直角坐標系，這里有三個相互垂直的坐標軸Ox、Oy和Oz，在空間某點P上的矢量A大小為A，方向與Ox、Oy、Oz軸的夾角分別為、，則它在Ox、Oy、Oz軸上的投影，即x、y、z三個分量，分別為AxA cos， AyA cos，AzA cos，這里cos、cos、cos稱為這矢量的方向余弦因方向余弦滿足下列恒等式：cos2cos2+cos21，(B3)三個數中只有兩個是獨立的，它們

43、把矢量的方向唯一地確定下來通常用i、j、k來代表三維直角坐標系的基矢在三維的情況下，正交基矢有左手和右手兩種系統設想基矢i沿小于180°的角度轉向基矢j.如圖B-4a所示將右手的四指彎曲，代表上述旋轉方向，則伸直的姆指指向基矢k；如此規定的正交基矢系統稱為右手系統若用左手代替上述操作過程所規定的正交基矢系統(見圖B-4b)，則是左手系統按照國際慣例，一律采用右手系統有了正交基矢，矢量可以寫成解析形式：AAxiAyj+Azk，(B4)三維的矢量要用長度為3的數列(Ax，Ay，Az)來表示，如(1，3，0)、(-2，0，1)等與二維的情況類似，有A2Ax2Ay2Az2，(B5)2矢量的加

44、減法從上面看到，一個n維的矢量可看成是一個長度為n的有序數列(A1，A2，An)從這種意義上說，標量是個一維的矢量把標量的加減運算推廣到矢量，有(A1,A2,An)±(B1,B2,Bn)(A1±B1,A2±B2,An±Bn)，(B6)從矢量的疊加圖B-5不難看出，上述運算(解析運算)與通常矢量合成的平行四邊形法則(幾何運算)是一致的用幾何法運算矢量A和B的疊加，可利用如圖B6a所示的平行四邊形，也可利用與之等價的三角形(見圖B-6b)這后一種圖示，對于兩個以上矢量的的合成特別方便，因為只需把它們首尾銜接起來就行了(見圖B7)在一個矢量前面加個負號，表示一

45、個與它大小相等、方向相反的矢量(見圖B-8a)矢量之差AB可理解為矢量A與-B的合成A+(- B)(見圖B8b)，它也可利用A和B組成的另一種方式組合成的三角形來表示(見圖B-6c)從矢量加減的解析表示(B6)式可立即看出，它們是符合通常的交換律和組合律的：ABB+A，(交換律)(B7)； A+(B+C)(AB)C，(組合律)(B8)用幾何運算法來驗證上述法則，也不算太困難，特別是利用三角形來表示的話，并不是所有帶有方向的物理量都服從上述疊加法則的(如大角度的角位移就是例外)，不符合這法則的物理量不是矢量3矢量的標積設A和B是兩個任意矢量，其標積(常用A·B表示，又稱點乘)的解析定義

46、為：A·B=AxBxAyBy+AzB，z(B9)由此定義不難看出，點乘是服從交換律和分配律的：A·BB·A，(交換律)(B10)；A·(BC)A· B A·C，(分配律)，(B11)下面看點乘的幾何意義把A、B兩矢量的起點O疊在一起，二者決定一個平面，取此平面為直角坐標系的xy面，從而Az=Bz=0；令A、B與Ox軸的夾角分別為、(見圖B9)，則Ax=Acos，AyAsin，BxB cos，By=B sin，標積：A·BAxBxAyByAB(cos cossin sin)AB cos()，即A·BAB cos，(B

47、12)式中為兩矢量之間的夾角(B12)式可看作是標積的幾何定義從這個定義可立即看出：A、B平行時，0，標積 A·BAB；A、B反平行時，=，標積A·B- AB；A、B垂直時，/2，標積A·B0；一般說來，為銳角時，標積取正值；為鈍角時，標積取負值一個矢量A與自身的標積A·AA2在物理學中標積的典型例子是功4矢量的矢積設A和B是兩個任意矢量，它們的矢積(常用A×B表示，故又稱叉乘)的解析定義為如下矢量：A×B(AyBzAzBy)i(AzBxAxBz)j(AxByAyBx)k，(B13)由此定義不難看出，點乘是服從反交換律和分配律的：A&

48、#215;B=-B×A，(反交換律)(B14) A×(BC) A×BA×C，(分配律)(B15)下面看叉乘的幾何意義同前，把A、B兩矢量的起點O疊在一起，二者決定一個平面，取此平面為直角坐標系的xy面，從而AzBz0令A、B與Ox軸的夾角分別為、，則Ax=Acos，AyAsin，BxBcos，By= Bsin，矢積：A×B(AxBy-AyBx)kAB(cossinsincos)k=AB sin(-)k；即矢積C=A×BABsink，(B16)式中=-為兩矢量之間的夾角當時，0，C沿k的正方向；當時，0，C沿k的負方向由于采用的是右手坐

49、標系，C的指向可用如圖B10a所示的右手定則來判斷：設想矢量A沿小于180°的角度轉向矢量B；將右手的四指彎曲，代表上述旋轉方向，則伸直的姆指指向它們的矢積C(B16)式可看作是矢積的幾何意義：矢量A、B的矢積CA×B的數值CAB sin，正好是由A、B為邊組成的平行四邊形的面積(見圖B10b)；C的方向與A和B組成的平面垂直，其指向由上述右手定則來規定從這個定義可立即看出：A、B平行或反平行時，0或，矢積CA×B0；A、B垂直時，/2，矢積的數值CA×BAB最大一個矢量A與自身的矢積A×A0在物理學中矢積的典型例子有角動量、力矩等5矢量的三重

50、積物理學中經常遇到矢量的三重積最常見的三重積有以下兩個（1）三重標積A·(B×C)這三重積是個標量不難驗證，此三重積的解析表達式為，(B17)從幾何上看，因B×C是以B和C為邊組成平行四邊形的面積，矢積B×C的方向沿其法線，故而再與A點乘，相當于再乘上A在法線上的投影亦即，這三重積的絕對值等于以A、B、C三矢量為棱組成的平行六面體的體積(見圖B-11)，其正負號與三矢量的循環次序有關由于計算平行六面體的體積與取哪一面為底無關，點乘又是可交換的，所以A、B、C三矢量的輪換，以及和×的位置對調，都不影響此三重積的計算結果唯一要注意的是三矢量的循環次

51、序不能變，否則差一個負號概括起來寫成公式，有：A·(B×C)B·(C×A)C·(A×B)(A×B)·C(B×C)·A(C×A)·B-A·(C×B)- C·(B×A)B·(A×C)-(A×C)·B-(C×B)·A=-(B×A)·C，(B18)從解析表達式(B17)來看(B18)式的成立，就更顯然了最后提請注意：在A、B、C三個矢量中有任意兩個平行或反平行時，三

52、重標積為0（2）三重矢積A×(B×C)這三重積是個矢量矢積B×C與B、C組成的平面垂直，而A與它的矢積又回到平面內故矢量A×(B×C)與B、C共面(見圖B-12)，前者是后面二者的線性組合：A×(B×C)a1Ba2C；用矢量的解析表達式可以直接驗證：a1A·C，a2A·B，即存在下列恒等式：A×(B×C)=(A·C)B(A·B)C，(B19)；這是有關這三重積最重要的恒等式6極矢量和軸矢量左手在鏡子中的象是右手，右手在鏡子中的象是左手左右手具有鏡象對稱一般說來，所謂對稱性，就是在某種操作下的不變性與鏡象對稱相聯系的是空間反射操作在這種操作下，沿鏡面法線方向的坐標z-z，其它方向不變，于是左手坐標系變成了右手坐標系(見圖B-13)物理學中有各種矢量，它們在空間反射操作下怎樣變換？對于位矢r來說，這是清楚的：與鏡面垂直的分量反向，平行分量不變與r相聯系的速度v、加速度a、乃至力f等矢量都應有相同的變換規律但存在另一類