1、實用文檔西安樂童教育中心八年級數學因式分解常見方法講解和經典題型常見方法一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b);(2) (a土b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a土b)2;(3) (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4) (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再補充兩個

2、常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);.一_2.22.例.已知a,b,c是ABC的二邊，且abcabbcca,則ABC的形狀是()A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形222222解：abcabbcca2a2b2c2ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)20abc三、分組分解法.(一)分組后能直接提公因式例1、分解因式：amanbmbn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局大全實用文檔部”看，這個多項式

3、前兩項都含有a,后兩項都含有b,因此可以考慮將前兩項分為一組,后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯系。解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！=(mn)(ab)例2、分解因式：2ax10ay5bybx解法一：第一、二項為一組；第三、四項為一組。解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)=2a(x5y)b(x5y)=(x5y)(2ab)原式=(2axbx)(10ay5by)=x(2ab)5y(2ab)=(2ab)(x5y)2練習：分解因式1、aabacbc2、xyxy1(二)分組后能直接運用公式22例3、分解

4、因式：xyaxay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續分解，所以只能另外分組。,22、，、解：原式=(xy)(axay)=(xy)(xy)a(xy)=(xy)(xya)222例4、分斛因式：a2abbc222斛：原式=(a2abb)c22=(ab)c=(abc)(abc)22練習：分解因式3、xx9y3y222-4、xyz2yz綜合練習：(1)3x223xyxyy，一2(2)axbx2bxaxab(3)2x6xy9y2_2_16a8a1,、2(4)a6ab12b9b24a4a2a32a9.2(6)4a:x4a2yb2xb2y(7)2x2xyxz2

5、yzy一2(8)a2ab22b2ab1(9)y(y2)(m1)(m1)(10)(ac)(ac)b(b2a)大全實用文檔3c3abc2223.3(11)a(bc)b(ac)c(ab)2abc(12)ab四、十字相乘法.(一)二次項系數為1的二次三項式2直接利用公式x(pq)xpq(xp)(xq)進行分解。特點：(1)二次項系數是1;(2)常數項是兩個數的乘積；(3)一次項系數是常數項的兩因數的和。思考：十字相乘有什么基本規律？例.已知0vaW5,且a為整數，若2x23xa能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c,都要求b24ac>0而且是一個

6、完全平方數。于是98a為完全平方數，a12.例5、分解因式：x5x6分析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),從中可以發現只有2X3的分解適合，即2+3=5。12X._2_2_解：x5x6=x(23)x2313=(x2)(x3)1X2+1X3=5用此方法進行分解的關鍵：將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和要等于一2例6、分斛因式：x7x62解：原式=x2(1)(=(x1)(x6)2練習5、分解因式(1)x14x練習6、分解因式(1)x2x2次項的系數。6)x(1)(6)1-11-6(-1)+(-6)=-7_22

7、24(2)a15a36(3)x4x522(2)y2y15(3)x10x24大全實用文檔(二)二次項系數不為1的二次三項式2.axbxc條件：(1)aaa?(2) cc1c2ba1c22分解結果：axbxa2。c=(a1xciaxc2)2例7、分解因式：3x11x10分析：1-23-5(-6)+(-5)=-112解：3x11x10=(x2)(3x5)22練習7、分解因式：(1)5x7x6(2)3x7x2，、一2一(3) 10x17x3，、一2一(4) 6y11y10(三)二次項系數為1的齊次多項式2一一2例8、分解因式：a8ab128b分析：將b看成常數，把原多項式看成關于a的二次三項式，利用十

8、字相乘法進行分解。1二：一二8b1-16b8b+(-16b)=-8b,2一一22_解：a8ab128b=a8b(16b)a8b(16b)=(a8b)(a16b)練習8、分解因式(1)x2222223xy2y(2)m6mn8n(3)aab6b(四)二次項系數不為1的齊次多項式，22例10、xy3xy2一,_2_42例9、2x7xy6y大全1-2y2-3y把xy看作一個整體X-11-2實用文檔(-3y)+(-4y)=-7y解：原式=(x2y)(2x3y),一2_2練習9、分解因式：(1)15x7xy4y(-1)+(-2)=-3解：原式=(xy1)(xy2)22(2)ax6ax8綜合練習10、(1)

9、8x67x312(3)(xy)23(xy)102222(5)xy5xy6x，一、2.2(7)x4xy4y2x4y22(9)4x4xy6x3yy22(2)12x11xy15y(4)(ab)24a4b32,2(6)m4mn4n3m6n23(8)5(ab)223(a2b2)10(ab)2_222_210(10)12(xy)11(xy)2(xy)2.2.22、.思考：分解因式：abcx(abc)xabc五、換元法。22例13、分解因式(1)2005x(20051)x2005(2)(x1)(x2)(x3)(x6)x222解：(1)設2005=a,則原式=ax(a1)xa=(ax1)(xa)=(2005x

10、1)(x2005)(2)型如abcde的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。222原式=(x7x6)(x5x6)x、一2一.2設x5x6A,則x7x6A2x.原式=(A2x)Ax2=A22Axx2=(Ax)2=(x26x6)222222練習13、分解因式(1)(xxyy)4xy(xy)2_2_(2)(x3x2)(4x8x3)9022222_2(a21)2(a25)24(a23)2432例14、分解因式(1)2xx6xx2觀察：此多項式的牛I點一一是關于x的降哥排列，每一項的次數依次少1,并且系數成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數，保留系數，然

11、后再用換元法。一一，2_2_112_211_解：原式=x(2xx62)=x2(x)(x-)6xxxx大全實用文檔1919設xt,則xtxx一.2_,2_2_2.原式二x2(t2)t6=x2t109921=x2t5t2=x2x-5x一xx212=x2x5x-x-2=2x5xxx2_=(x1)(2x1)(x2)432(2)x4xx4x12241221解：原式=x(x4x12)=xxxxx1212設xy,貝Uxy2xx一，22_2-.原式=x(y4y3)=x(y1)(y3)=x2(x練習14、(1)6x47x3121)(x3)=xx2_36x7x61x222x22x114x1x3x14322、(2)

12、x2xx12(xx)六、添項、拆項、配方法。例15、分解因式（1）x33x24解法1拆項。原式=x313x23=(x1)(x2x1)3(x1)(x=(x1)(x2x13x3)2、=(x1)(x4x4)_2=(x1)(x2)解法2添項o原式=x33x24x1)=2=(x1)(x4x_2=(x1)(x2)4x4，2一、，、x(x3x4)(4x4)x(x1)(x4)4(x1)4)(2)x9x6x33963解：原式=(x1)(x1)(x1)363333=(x1)(xx1)(x1)(x1)(x1)=(x31)(x6x31x311)=(x1)(x2x1)(x62x33)練習15、分解因式3x39x842(

13、3)x7x1x4y4(xy)44224(x1)(x1)(x1)42c2(4)xx2ax1a2,222224(6)2ab2ac2bca,44bc大全實用文檔七、待定系數法。一一2_2_,例16、分解因式xxy6yx13y622分析：原式的前3項xxy6y可以分為(x3y)(x2y),則原多項式必定可分為(x3ym)(x2yn)22解：設xxy6yx13y6=(x3ym)(x2yn)22(x3ym)(x2yn)=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn2222xxy6yx13y6=xxy6y(mn)x(3n2m)ymnmn1m2對比左右兩邊相同項的系數可得3n2m13,解得n3mn6.原式=(x3y

14、2)(x2y3)22例17、(1)當m為何值時，多項式xy.一32.(2)如果xaxbx8有兩個因式為mx5y6能分解因式，并分解此多項式。x1和x2,求ab的值。(1)分析：前兩項可以分解為(xy)(xy),故此多項式分解的形式必為2解：設x則x2(xya)(xyb)2ymx5y6=(x22ymx5y6=xya)(xyb)2y(ab)x(ba)yababma2a2比較對應的系數可得:ba5,解得:ab6b3或b3m1m1當m1時，原多項式可以分解；當m1時，原式=(xy2)(xy3);當m1時，原式=(xy2)(xy3)(2)分析：x3ax2bx8是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，

15、因此第三個因式必為形如xc的一次二項式。解：設x3則x32axbx8=(x1)(x2)(xc)2322caxbx8=x(3c)x(23c)xa3ca7b23c解得b14,2c8c4ab=21大全實用文檔一2一2一練習17、(1)分解因式x3xy10yx9y222(2)分解因式x3xy2y5x7y6(3)已知：x22xy3y26x14yp能分解成兩個一次因式之積，求常數p并且分解因式。22(4) k為何值時，x2xyky3x5y2能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。經典題型例01選擇題：對2mmpnp2n運用分組分解法分解因式，分組正確的是()(A)(2m2nnp)mp(B)(2mnp)

16、(2nmp)(C)(2m2n)(mpnm)(D)(2m2nmp)np分析本組題目用來判斷分組是否適當.(A)的兩組之間沒有公因式可以提取，因而(A)不正確；(B)的兩組，每一組第一次就沒有公因式可提，故(B)不正確；(D)中兩組也無公因式可提，故(D)不正確.(C)中第一組可提取公因式2,剩下因式(mn)；第二組可提取p,剩下因式(mn),這樣組間可提公因式(mn),故(C)正確.典型例題二例02用分組分解法分解因式：,.、-2八2.2(1) 7x3yxy21x；(2)1x4xy4y.分析本題所給多項式為四項多項式，屬于分組分解法的基本題型，通過分組后提公因式或分組后運用公式可以達到分解的目的

17、2解7x3yxy21x2(7x21x)(3yxy)(合理分組)7x(x3)y(x3)(組內提公因式)(x3)(7xy)(組間提公因式)大全實用文檔221x4xy4y1 (x24xy4y2)(注意符號)2 一1(x2y)(組內運用公式)1(x2y)1(x2y)(組間運用公式)(1x2y)(1x2y)說明分組分解法應用較為靈活，分組時要有預見性，可根據分組后“求同”一一有公因式或可運用公式的原則來合理分組，達到分解的目的另外在應用分組分解法時還應注意：運用分組分解法時，可靈活選擇分組方法，通常一個多項式分組方法不只一種，只要能達到分解法時，殊途同歸分組時要添加帶“-”的括號時，各項要注意改變符號，

18、如的第一步典型例題三32例03分解因式：5x15xx3分析本題按字母x的降募排列整齊，且沒有缺項，系數分別為5,15,1,3.系數5151532-32比相等的有或，因而可分組為(5xx)、(15x3)或(5x15x)、15313(x3).,一.32.解法一5x15xx332(5x315x2)(x3)(學會分組的技巧)2-一5x(x3)(x3)，2、(x3)(5x1)3解法二5x15xx3(5x3x)(15x23)x(5x21)3(5x21)大全實用文檔(5x21)(x3)說明根據“對應系數成比例”的原則合理分組，可謂分組的一大技巧！典型例題四2例04分解因式：7x3yxy21x分析本例為四項多

19、項式，可考慮用分組分解法來分解.見前例，可用“系數成比例”的規律來達到合理分組的目的.2解法一7x3yxy21x2(7x21x)(3yxy)7x(x3)y(x3)(x3)(7xy)2解法二7x3yxy21x(7x2xy)(3y2僅)x(7xy)3(7xy)(x3)(7xy)說明本例屬于靈活選擇分組方法來進行因式分解的應用題，對于四項式，并不是只要所分組的項數相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考慮到分組后能否繼續分解.本小題利用“對應系數成比例”的規律進行巧妙分組，可謂思維的獨到之處，這樣避免了盲目性，提高了分解的速度.典型例題五例05把下列各式分解因式：22(1) xyxzy2yzz；2

20、.22_,(2) abc2bc2a1；大全實用文檔2.22.，(3)x4xy4y2x4y1.分析此組題項數較多，考慮用分組法來分解.22解法(1)xyxzy2yzz22(xyxz)(y2yzz)2x(yz)(yz)(yz)(xyz)222_,(2)abc2bc2a12_2_2(a2a1)(b2bcc)22(a1)(bc)(a1bc)(a1bc)22(3)x4xy4y2x4y122(x4xy4y)(2x4y)12(x2y)2(x2y)1(x2y1)2說明對于項數較多的多項式合理分組時，以“交叉項”為突破口，尋找“相應的平方項”進行分組，這使分組有了一定的針對性，省時提速22如中，交叉項為2yz,

21、相應的平萬項為y、z；中，交叉項為2bc,相應的22平方項為b、c.典型例題六例06分解因式：22(1) a5a6；(2)m3m10.2分析本題兩例屬于x(pq)xpq型的二次三項式，可用規律公式來加以分解.大全實用文檔解(1)6(2)(3),(2)(3)5,a25a6a2(23)a(2)(3)(a2)(a3)(2) 1025,253,m23m10m25(2)m(5)(2)(m5)(n2).說明抓住符號變化的規律，直接運用規律.典型例題七例07分解因式：2(1) (ab)5(ab)4；22(2) p7pq12q.2分析對(1),利用整體思想，將(ab)看作一個子母，則運用x(pq)xpq型分2

22、解；對(2),將其看作關于p的二次三項式，則一次項系數為7p,常數項為12q,仍可用2x(pq)xpq型的二次三項式的規律公式達到分解的目的2解(1)(ab)5(ab)4(ab1)(ab4)2(2)12q(3q)(4q),3q(4q)7q,2_22_2p7pq12qp7pq12q(p3q)(p4q).典型例題八例08分解因式：大全實用文檔x4x3x1;.2L八2八p5pq6qp3q;a(a1)(a1)b(b1)(b1)；222(4)a4ba2b4bccc.分析本組題有較強的綜合性，且每小題均超過三項，因而可考慮通過分組來分解43解法一：xxx1(x4x3)(x1)3x(x1)(x1)3333(

23、x1)(x1)(x1可繼續分解，萬法很簡單：(xx)(x1),對于x1萬法類似，可以自己探索)(x1)(x1)(x2x1)法二：x4x3x1(x41)(x3x)222(x1)(x1)x(x1)22(x21)(x21x)(x1)(x1)(x2x1)法三：x4x3x143(xx)(x1)33x(x31)(x31)3(x1)(x1)(x1)(x2x1)(x1)22p5pq6qp3q大全實用文檔,2.2.一、2.(p5pq6q)(p3q)(看作x(ab)xab型式子分解)(P2q)(p3q)(p3q)(P3q)(p2q1)a(a1)(a1)b(b1)(b1)22a(a1)b(b1)a3ab3b(a3b

24、3)(ab)22(ab)(aabb)(ab)22(ab)(aabb1)(4)a4ba2b4bccca2(4b24bcc2)(a2bc)a2(2bc)2(a2bc)a(2bc)a(2bc)(a2bc)(a2bc)(a2bc)(a2bc)(a2bc)(a2bc1)說明中，雖然三法均達到分解目的，但從目前同學們知識范圍來看，方法二較好，分組既要合理又要巧妙，使分組不僅達到分解目的，又能簡化分解過程，降低思維難度式雖超過四項，但通過分組仍可巧妙分解，只是分組后不是通常的提公因式或運用公式，2,、,2-2而是利用了x(ab)xab型二次三項式的因式分解.將p5pq6q看做關于p的二次一2_2_22一、_

25、二項式6q2q3q,p5qp6qp(2q3q)p2q3q.式表面看無法分解，既找不到公因式，又不符合公式特點，對待此類題目，應采用“先破后立”的方式來解決.即先做多項式乘法打破原式結構，然后尋找合適的方法大全實用文檔式項數多，但仔細觀察，項與項之間有著內在聯系，可通過巧妙分組以求突破.但應注意：不可混淆因式分解與整式乘法的意義.如小題中做乘法的目的是為了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.善于將外在形式復雜的題目看做熟悉類型，如小題,2八2中p5pq6q.典型例題九例09分解因式：.2.2.2.(1) x(x1)(x2)6；(2)ab(x1)x(ab)分析本組兩個小題既無公因式可提又不符

26、合公式特點，原題本身給出的分組形式無法繼續進行，達到分解的目的，對此類型題，可采用先去括號，再重新分組來進行因式分解.解x(x1)(x2)6x(x23x2)632x3x2x6(乘法運算，去括號)32(x3x)(2x6)(重新分組)x2(x3)2(x3)2(x3)(x2)ab(x1)x(ab)222abxabaxbx(乘法運算去括號)222(abxax)(abbx)(重新分組)ax(bxa)b(bxa)(axb)(abx)說明“先破后立，不破不立”.思維的獨創性使表面看來無法分解的多項式找到最佳的分解方式.大全實用文檔典型例題十一一一3_一例10分解因式a7a6分析因式分解一般思路是：“一提、二

27、代、三分組、其次考慮規律式(十字相乘法)”.即：首先考慮是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考慮可否套用公式，用公式法分解；再考慮是否可以分組分解；對形如二次三項式或準二次三項式可以考慮用“規律式”(或十字相乘法)分解.按照這樣的思路，本題首應考慮用分組分解來嘗試,3_3_解a7a6a7a17(a1)(7a7)(a1)(a2a1)7(a1)2(a1)(a2a17)(a1)(a2a6)(a1)(a2)(a3)說明當a1時，多項式a37a6值為0,因而(a1)是a37a6的一個因式，因此，可從“湊因子”(a1)的角度考慮，把6拆成17,使分組可行，分解成功.運用“湊因子”的技巧還可得出

28、以下分解方法3法二：a7a6a3a6a6(a3a)(6a6)2a(a21)6(a1)a(a1)(a1)6(a1)2(a1)(aa6)(a1)(a2)(a3)3法三：a7a6大全實用文檔a37a814(a38)(7a14)(湊立方項)一2一一(a2)(a2a4)7(a2)(a2)(a22a47)2(a2)(a2a3)(a2)(a1)(a3)3法四：a37a633a37a2721(與a3湊立方項)3(a327)(7a21)233(a3)(a23a9)7(a3)(套用a3b3公式)(a3)(a23a97)(a3)(a23a2)(a3)(a1)(a2)3法五：a7a63a4a3a6(拆7a項)(a34

29、a)(3a6)a(a24)3(a2)a(a2)(a2)3(a2)2(a2)(a2a3)(a2)(a1)(a3)3法六：a7a63a9a2a6(湊平方差公式變7a項)大全實用文檔(a39a)(2a6)a(a29)2(a3)a(a3)(a3)2(a3)(a3)(a23a2)(a3)(a1)(a2)法七：令ax1則(a1為多項式一個因式，做變換xa1)a37a6(x1)37(x1)632x33x23x17x76(做乘法展開)32x3x4x2x(x3x4)x(x1)(x4)(x11)(x12)(x13)(a1)(a2)(a3)(還原回a)說明以上七種方法中，前六種運用了因式分解的一種常用技巧一一“拆項

30、”(或添項)，這種技巧以基本方法為線索，通過湊因式、湊公式等形式達到可分組繼而能分解的目的.“湊”時，需思、需悟、觸發靈感.第七種運用了變換的方法，通過換元尋找突破點本題還可以如下變形：a37a6=(a3a2)(a27a6)a2(a1)(a1)(a6)=典型例題十一2例11若4x2kx25是完全平方式，求k的值.2222分析原式為完全平方式，由4x(2x),255即知為(2x5),展開即得k值.2解4xkx25是完全平方式2應為(2x5)大全實用文檔一一_、22_又(2x5)4x20x25,故k20.說明完全平方式分為完全平方和與完全平方差，確定k值時不要漏掉各種情況.此題為因_,222.,一

31、式分解的逆向思維類，運用a2abb(ab)來求解.典型例題十一例11把下列各式分解因式：(1)x28x16；(2)a414a2b349b62(3)9(2ab)6(2ab)12解：(1)由于16可以看作4,于是有222x28x16x22x442(x4)2；(2)由募的乘方公式，a4可以看作(a2)2,49b6可以看作(7b3)2,于是有a414a2b349b6(a2)22a27b3(7b3)2232(a7b)；22(3)由積的乘方公式，9(2ab)可以看作3(2ab),于是有9(2ab)26(2ab)13(2ab)223(2ab)1123(2ab)1_2(6a3b1)說明(1)多項式具有如下特征

32、時，可以運用完全平方公式作因式分解：可以看成是關于某個字母的二次三項式；其中有兩項可以分別看作是兩數的平方形式，且符號相同；其余的一項恰是這兩數乘積的2倍，或這兩數乘積2倍的相反數.而結果是“和”的平方還是“差”的大全實用文檔平方，取決于它的符號與平方項前的符號是否相同(2)在運用完全平方公式的過程中，再次體現換元思想的應用，可見換元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，學會運用典型例題十例12求證：對于任意自然數n,3n22n33n2n1一定是10的倍數.分析欲證是10的倍數，看原式可否化成含10的因式的積的形式證明3n22n33n2n1大全(3n2*n、/_n3_n1、3)(22)3n(

33、321)2n(232)3n102n1010(3n2n)10(3n2n)是10的倍數，3n22n33n2n1一定是10的倍數.典型例題十三e>八,、22.2.2,、2例13因式分解(1)axaybxby；(2)mxmxnnx，一222,222.2.2解：(1)axaybxby(axab)(bxby)22a(xy)b(xy)22(xy)(ab)或22222222axaybxby(axbx)(ayby)2222x(ab)y(ab)22(ab)(xy)；實用文檔-2,2、，、(2)mxmxnnx(mxmx)(nnx)mx(1x)n(1x)(1x)(mxn)或22mxmxnnx(mxnx)(nxn)x(mxn)(mxn)(mxn)(x1)說明：(1)把有公因式的各項歸為一組，并使組之間產生新的公因式，這是正確分組的關鍵所在。因此，分組分解因式要有預見性；(2)分組的方法不唯一，而合理的選擇分組方案，會使分解過程簡單；(3)分組時要用到添括號法則，注意在添加帶有負號的括號時，括號內每項的符號都要改變；(4)實際上，分組只是為實際分解創造了條件，并沒有直接達到分解典型例題十四例14把下列各式分解因式：,、3222c,2(1) a4ba2b；(2