1、從從“后勁兒后勁兒”談起談起 足球缺少后勁足球缺少后勁 后勁不僅靠練，更要靠問題驅(qū)動、靠喜后勁不僅靠練，更要靠問題驅(qū)動、靠喜愛、想象力和創(chuàng)造性愛、想象力和創(chuàng)造性 數(shù)學的情景和足球差不多數(shù)學的情景和足球差不多 “后勁后勁”與學生學習和訓練的有效性有與學生學習和訓練的有效性有關關何謂何謂”有效有效”？1. “效效”是效率、效能、效益，是效率、效能、效益，的簡稱的簡稱2. “有效有效”直接用于對數(shù)學教學水平的考量不直接用于對數(shù)學教學水平的考量不妥。妥。 一般地，一般地，“有效有效”指投入的時間、物力與收獲指投入的時間、物力與收獲之間的正相關關系。通常用之間的正相關關系。通常用“立竿見影立竿見影”、“

2、多快好省多快好省”“”“突飛猛進突飛猛進”等形容詞，或等形容詞，或“投入產(chǎn)出比投入產(chǎn)出比”等量化指標來刻劃，主要等量化指標來刻劃，主要針對物質(zhì)實體而非精神實體。針對物質(zhì)實體而非精神實體。3. 數(shù)學教學的有效性有數(shù)學教學的有效性有“長長”和和“短短”之分。之分。 數(shù)學教學的有效性要通過學生的成長速度和質(zhì)數(shù)學教學的有效性要通過學生的成長速度和質(zhì)量衡量，需兼顧量衡量，需兼顧“當下當下”和和“今后今后”兩個方兩個方面，因此有面，因此有“長長”和和“短短”之分。之分。3. 何為何為“長長”、“短短”：（1）短效，多與考試有關。）短效，多與考試有關。密集型、機械性、重復性、速率式的手段一般收密集型、機械性

3、、重復性、速率式的手段一般收獲短效，多與考試有關。獲短效，多與考試有關。（2） “長效長效”即后勁兒。即后勁兒。過程、活動、經(jīng)驗、交流一般收獲長效，過程、活動、經(jīng)驗、交流一般收獲長效，“長效長效”即后勁兒，是判斷數(shù)學學習有效與否的一個即后勁兒，是判斷數(shù)學學習有效與否的一個基本指標。基本指標。（3）有效性是指）有效性是指“長、短長、短”合成的整體教學效合成的整體教學效果果需要解決的問題需要解決的問題 長、短如何結合？長、短如何結合？ 長、短孰輕孰重？長、短孰輕孰重？ 長、短與改革目標的關系？長、短與改革目標的關系？ 有效性的重心放在哪兒？有效性的重心放在哪兒？ 長效機制如何建立？長效機制如何建立

4、？要在彌補弱項上下大功夫要在彌補弱項上下大功夫 對傳統(tǒng)的基礎觀和訓練觀要反思對傳統(tǒng)的基礎觀和訓練觀要反思 “算算”、“證證”和和“快快”是我們的強項是我們的強項 直觀、想象、運用經(jīng)驗、抽象較弱直觀、想象、運用經(jīng)驗、抽象較弱 提問題、想辦法、主動探究更弱提問題、想辦法、主動探究更弱 而直觀、想象、經(jīng)驗、抽象、計算、演而直觀、想象、經(jīng)驗、抽象、計算、演繹對數(shù)學學習缺一不可繹對數(shù)學學習缺一不可 繼承優(yōu)秀傳統(tǒng)、與時俱進繼承優(yōu)秀傳統(tǒng)、與時俱進把握收獲長效的支撐點把握收獲長效的支撐點 喜歡和好奇喜歡和好奇 數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系 發(fā)現(xiàn)和提出問題發(fā)現(xiàn)和提出問題 解決實際問題解決實際問題 思

5、路和方法思路和方法 具體怎么辦？具體怎么辦？陳建功先生語：陳建功先生語： 教材的內(nèi)容，對于學生教材的內(nèi)容，對于學生宜富于興趣宜富于興趣；枯燥無味；枯燥無味的東西，決不能充作教材；的東西，決不能充作教材； 成人所喜之推理或?qū)嵱脝栴}，未必為未成年的成人所喜之推理或?qū)嵱脝栴}，未必為未成年的青年所滿足。吾人應該站在學生的立場；青年所滿足。吾人應該站在學生的立場；順應順應學生的心理發(fā)展學生的心理發(fā)展去教育學生，才能滿足他們的去教育學生，才能滿足他們的真實感。真實感。 某些教材某些教材,雖然具有高度的實用性價值或高度的雖然具有高度的實用性價值或高度的論理性價值論理性價值,假使學生假使學生不發(fā)生任何真實感不

6、發(fā)生任何真實感,就心就心理的原則而言理的原則而言,這些教材這些教材,簡直是沒有教育的價簡直是沒有教育的價值值。 在科學的研究當中，用數(shù)學做武器的時候，在科學的研究當中，用數(shù)學做武器的時候，往往需要各科全般的知識，假如預先有了往往需要各科全般的知識，假如預先有了有機的統(tǒng)一有機的統(tǒng)一，那就方便多了。綜合的數(shù)學，那就方便多了。綜合的數(shù)學，不但可以避免重復，學習既省時間；并且不但可以避免重復，學習既省時間；并且可以可以使學生明白生動的數(shù)學體系使學生明白生動的數(shù)學體系。 （引自（引自 “二十世紀的數(shù)學教育二十世紀的數(shù)學教育” 1956 ）幾個主要關注點：幾個主要關注點： 關注學生的成長水平與內(nèi)在的學習需

7、求關注學生的成長水平與內(nèi)在的學習需求 關注數(shù)學的現(xiàn)實性、真實感關注數(shù)學的現(xiàn)實性、真實感 關注數(shù)學的本質(zhì)關注數(shù)學的本質(zhì) 關注學以致用關注學以致用關注情景問題和數(shù)學化關注情景問題和數(shù)學化情景問題的特點情景問題的特點 與學生周圍的生活有關與學生周圍的生活有關 背景豐富且簡潔、易懂、不那么直白背景豐富且簡潔、易懂、不那么直白 與學生已經(jīng)具備的常識性、非嚴格的數(shù)與學生已經(jīng)具備的常識性、非嚴格的數(shù)學見解有關聯(lián)學見解有關聯(lián) 學生已經(jīng)習得的正規(guī)知識能派上用場學生已經(jīng)習得的正規(guī)知識能派上用場 能引起思考、提出問題、容易導向一段能引起思考、提出問題、容易導向一段發(fā)現(xiàn)和活動的過程發(fā)現(xiàn)和活動的過程 情景問題的類型情景

8、問題的類型 1 現(xiàn)實生活中學生熟悉的真情實景現(xiàn)實生活中學生熟悉的真情實景 2 現(xiàn)實生活中學生不熟悉但能引起他們現(xiàn)實生活中學生不熟悉但能引起他們探求欲望的情景探求欲望的情景 3 學生熟知和喜愛的超現(xiàn)實和虛擬的情學生熟知和喜愛的超現(xiàn)實和虛擬的情景（如科學幻想、神話傳說等等）景（如科學幻想、神話傳說等等） 4 學生已經(jīng)掌握的學科知識積累（如學生已經(jīng)掌握的學科知識積累（如“加法加法”就是發(fā)現(xiàn)就是發(fā)現(xiàn)“乘法乘法”的情景問題）的情景問題）數(shù)學化：數(shù)學化： 從情景問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題從情景問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題 利用生活中積累的常識和已習得的知識利用生活中積累的常識和已習得的知識與方法，去尋求解決問題與方法，去尋

9、求解決問題 在解決問題的過程中探索新的概念和方在解決問題的過程中探索新的概念和方法，進入未知的數(shù)學領域法，進入未知的數(shù)學領域 一步步地實現(xiàn)數(shù)學的抽象化及形式化。一步步地實現(xiàn)數(shù)學的抽象化及形式化。 使學生能使學生能通過自己的發(fā)現(xiàn)習得新的數(shù)學知通過自己的發(fā)現(xiàn)習得新的數(shù)學知識內(nèi)容識內(nèi)容 有助于發(fā)現(xiàn)數(shù)學的概念和方法是從哪里來有助于發(fā)現(xiàn)數(shù)學的概念和方法是從哪里來的？它們有什么用？可以怎么用？的？它們有什么用？可以怎么用？意義意義大體是兩步走大體是兩步走1.把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（水平數(shù)學化）（水平數(shù)學化） 確定情景問題中包含的數(shù)學成分確定情景問題中包含的數(shù)學成分建立數(shù)學成分與已

10、知的數(shù)學模型之間的建立數(shù)學成分與已知的數(shù)學模型之間的聯(lián)系聯(lián)系通過不同方法使這些數(shù)學成分形象化和通過不同方法使這些數(shù)學成分形象化和公式化公式化找出蘊含其中的關系和規(guī)則找出蘊含其中的關系和規(guī)則考慮相同數(shù)學成分在不同情景問題中的考慮相同數(shù)學成分在不同情景問題中的表現(xiàn)表現(xiàn)作出形式化的表述作出形式化的表述2.把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學形把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學形式（垂直數(shù)學化）式（垂直數(shù)學化） 用數(shù)學公式表示關系用數(shù)學公式表示關系; 對有關規(guī)則作出必要證明對有關規(guī)則作出必要證明; 嘗試不同數(shù)學模型的建立和使用嘗試不同數(shù)學模型的建立和使用; 對得出的數(shù)學模型進行調(diào)整和加工對得出的數(shù)學模型進行調(diào)整和加工;

11、 綜合不同數(shù)學模型的共性綜合不同數(shù)學模型的共性,形成功能更強形成功能更強的新模型的新模型; 用數(shù)學公式和語言精確表述得到的新概用數(shù)學公式和語言精確表述得到的新概念和新方法念和新方法;情景問題與數(shù)學化關系圖情景問題與數(shù)學化關系圖數(shù)數(shù) 學學 系系 統(tǒng)統(tǒng)數(shù)學問題數(shù)學問題概念、方法概念、方法解解 決決 問問 題題描描 述述情景問題情景問題實例實例13個小朋友分個小朋友分36塊糖果，每人能分到幾塊？塊糖果，每人能分到幾塊？ 學生探索出來的幾個結果學生探索出來的幾個結果學生的嘗試可以概括為兩個主學生的嘗試可以概括為兩個主要方法：要方法： 這兩種方法之間是緊密相關聯(lián)的：這兩種方法之間是緊密相關聯(lián)的：分成了分

12、成了3個相等的部分相當于每分一個相等的部分相當于每分一次，糖的總數(shù)以次，糖的總數(shù)以3的倍數(shù)的形式減少的倍數(shù)的形式減少 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)“分分”與已知的與已知的“減減”之間的之間的關系關系 水平數(shù)學化水平數(shù)學化實例實例2 1128名球迷要隨主隊參加客場比賽。每名球迷要隨主隊參加客場比賽。每輛大客車可以乘坐輛大客車可以乘坐36人，并且每人，并且每10輛交輛交通公司給予優(yōu)惠。通公司給予優(yōu)惠。學生的探索學生的探索除減法外，每除減法外，每10輛可以優(yōu)惠這個信息很重要，輛可以優(yōu)惠這個信息很重要，“乘乘10”自然派上用場自然派上用場36 1128 36010 768 360 10 408 360 10 48 36

13、1 12 更進一步更進一步36 1128 36010 768 720 20 48 36 1 12 稍微調(diào)整一下就是嚴格的除法稍微調(diào)整一下就是嚴格的除法算式了算式了36 1128 108030 48 36 1 12 學生自己得出的算法已經(jīng)來到抽象的豎學生自己得出的算法已經(jīng)來到抽象的豎式除法門口式除法門口 垂直數(shù)學化垂直數(shù)學化 啟示啟示 學生在解決學生在解決“分分”的問題時，傾向于重的問題時，傾向于重復做減法的方式復做減法的方式 在分的過程中自覺建立起除法與乘法、在分的過程中自覺建立起除法與乘法、減法、位值制之間的聯(lián)系減法、位值制之間的聯(lián)系 雖然還需要一些提煉和轉(zhuǎn)換工作，但核雖然還需要一些提煉和轉(zhuǎn)

14、換工作，但核心的思想和方法已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了心的思想和方法已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了與百分比有關的情景問題串與百分比有關的情景問題串 實例實例3以百分比為例以百分比為例 學生或多或少已經(jīng)在日常生活中積累了學生或多或少已經(jīng)在日常生活中積累了與百分比相關的經(jīng)驗，情景問題串能引與百分比相關的經(jīng)驗，情景問題串能引導學生從生活逐步進入數(shù)學的百分比概導學生從生活逐步進入數(shù)學的百分比概念念足球還是樂隊足球還是樂隊 小明通常在周三下午練足球，但這周串到周小明通常在周三下午練足球，但這周串到周四了。媽媽問：你周四不是歌隊有活動么？小四了。媽媽問：你周四不是歌隊有活動么？小明回答說：媽媽不必擔心，有百分之九十五的明回答說：媽媽不必擔

15、心，有百分之九十五的可能，足球訓練還得在周三進行。可能，足球訓練還得在周三進行。1你認為小明的回答會讓媽媽放心嗎？你認為小明的回答會讓媽媽放心嗎？越野賽越野賽 張麗和美華議論周六舉行的越野賽。天張麗和美華議論周六舉行的越野賽。天氣預報說比賽期間有大雨。張麗認為有氣預報說比賽期間有大雨。張麗認為有多一半?yún)①愡x手會在中途退出比賽。美多一半?yún)①愡x手會在中途退出比賽。美華同意她的看法，認為退出的人應在百華同意她的看法，認為退出的人應在百分之六十左右分之六十左右。2為什么美華同意張麗的看法？而張麗和為什么美華同意張麗的看法？而張麗和美華的說法聽起來并不一樣美華的說法聽起來并不一樣?議打折議打折雙胞胎德瑞

16、和德魯在一間音像店里購物，雙胞胎德瑞和德魯在一間音像店里購物，德瑞說，我們都是百分之十的折扣，但德瑞說，我們都是百分之十的折扣，但我們怎么沒有拿到同樣多的折扣款哪。我們怎么沒有拿到同樣多的折扣款哪。我省了四塊，你才省了一塊。德魯說，我省了四塊，你才省了一塊。德魯說，雖然比你省的少可我很滿意。雖然比你省的少可我很滿意。3同樣的折扣率會拿到不一樣的折扣款嗎？同樣的折扣率會拿到不一樣的折扣款嗎？說明你的理由。說明你的理由。最優(yōu)價格最優(yōu)價格某商店打出廣告：所有商品降價百分之某商店打出廣告：所有商品降價百分之四十！這會是最優(yōu)價格么四十！這會是最優(yōu)價格么?商店老板說：商店老板說：當然！但消費者們說：不對！

17、當然！但消費者們說：不對！4你同意誰的說法？老板還是消費者？你同意誰的說法？老板還是消費者？說明你的理由。說明你的理由。班費預算班費預算班長正在說明她的預算計劃：百分之五十的資班長正在說明她的預算計劃：百分之五十的資金用來買書，百分之二十五的資金用來增加體金用來買書，百分之二十五的資金用來增加體育設備，其余百分之三十五歸班長支配。生活育設備，其余百分之三十五歸班長支配。生活委員說：等一等，這加在一起都百分之一百一委員說：等一等，這加在一起都百分之一百一十啦！十啦！5班長的這個預算說明什么？請解釋班長的這個預算說明什么？請解釋。攢錢攢錢去年秋天魏平開始攢錢想買一輛新自行去年秋天魏平開始攢錢想買一

18、輛新自行車。今天他數(shù)完攢下的錢之后長出一口車。今天他數(shù)完攢下的錢之后長出一口氣說道：我已經(jīng)攢了百分之二百的錢了！氣說道：我已經(jīng)攢了百分之二百的錢了！弟弟在一旁聽了說：百分之二百？什么弟弟在一旁聽了說：百分之二百？什么意思意思？6魏平的話是什么意思？魏平的話是什么意思？打打 折折利華說，快來看呀，原來賣四百元的利華說，快來看呀，原來賣四百元的MP3有百分之二十五的折扣，這個正是有百分之二十五的折扣，這個正是我想買的那種，現(xiàn)在三百就可以買下啦！我想買的那種，現(xiàn)在三百就可以買下啦！湯力在一邊說：這個價錢對我來說還是湯力在一邊說：這個價錢對我來說還是不合適不合適。7如果你是利華，你會如何向湯力解釋？如

19、果你是利華，你會如何向湯力解釋？考試考試為通過考試，小南需要答對為通過考試，小南需要答對50%以上的以上的題目，但他錯了題目，但他錯了14道題。道題。8我們是否應該祝賀他？我們是否應該祝賀他？房租上漲房租上漲親愛的媽媽，親愛的媽媽， 學校很好，我也很好，但有一個消息很不學校很好，我也很好，但有一個消息很不好！雖然我不愿意聽到，但房租下月要提好！雖然我不愿意聽到，但房租下月要提百分之二十五，二百塊錢租金一個月的日百分之二十五，二百塊錢租金一個月的日子過到頭了。子過到頭了。 學校尚未告訴我準確的租金數(shù)目，我想學校尚未告訴我準確的租金數(shù)目，我想是在是在200到到300塊錢之間。保險起見請寄給塊錢之間

20、。保險起見請寄給我我300元（比本月多元（比本月多100）。）。 你的你的 兒子兒子9.他的媽媽會作何反應？他的媽媽會作何反應？價格之爭價格之爭兩家商店賣同一種手表，甲商店每只賣兩家商店賣同一種手表，甲商店每只賣100塊錢，乙商店每只賣塊錢，乙商店每只賣200塊錢。乙說：塊錢。乙說：好啊！你賣的比我貴了百分之百。甲說：好啊！你賣的比我貴了百分之百。甲說：不、不、不，我賣的僅比你便宜百分之不、不、不，我賣的僅比你便宜百分之五十五十。10他們誰說的對？他們誰說的對？思考思考 從有趣的背景出發(fā)從有趣的背景出發(fā), ,經(jīng)過一連串問題經(jīng)過一連串問題, ,不知不覺不知不覺已經(jīng)來到抽象的百分比概念門口已經(jīng)來到抽象的百分比概念門口. . 是從現(xiàn)成的結果出發(fā)是從現(xiàn)成的結果出發(fā), ,還是從豐富的情景出發(fā)，還是從豐富的情景出發(fā)，切入點不同切入點不同, ,面貌徊異面貌徊異. . 后者做起來有點難后者做起來有點難, ,但是學生感興趣，能接觸活但是學生感興趣，能接觸活生生的數(shù)學生生的數(shù)學, ,有意義有意義. . 實例實例4 國外教材片段：國外教材片段：數(shù)學、測量和我數(shù)學、測量和我 測量長度（運用正規(guī)和非正規(guī)的單