1、人教版高中數學知識與鞏固對數函數及其性質（提高）【學習目標】1 理解對數函數的概念，體會對數函數是一類很重要的函數模型；2探索對數函數的單調性與特殊點，掌握對數函數的性質，會進行同底對數和不同底對數大小的比較；3. 了解反函數的概念，知道指數函數/與對數函數y = logn .V互為反函數（dO,dHl）.【要點梳理】要點一、對數函數的概念1. 函數y=logax（a0, aWl）叫做對數函數其中x是自變量，函數的泄義域是（0,乜），值域為&2. 判斷一個函數是對數函數是形如y = logfl x（6/0,K1）的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數為1:（2）底數為大于0且不等于1的常數：（

2、3）對數的真數僅有自變量兀要點詮釋：（1）只有形如y=logax（a0, aWl）的函數才叫做對數函數，像y = logfl（x +1）,y = 2logfl x,y = loga x+3等函 數，它們是由對數函數變化得到的，都不是對數函數.（2）求對數函數的立義域時應注意：對數函數的真數要求大于零，底數大于零且不等于1：對含有字母的 式子要注意分類討論要點二、對數函數的圖象與性質al0al圖象。懷 1.0）：性質定義域：（0, +00）值域：R過定點（1, 0）,即x=l時，y=0在（0, +00）上增函數在（0, +00）上是減函數當 0xl 時，y0當 OVxVl 時，y0, 當總1時，

3、y0：當a, N異側時,logaNl時，隨a的增大，對數函數的圖像愈靠近x軸：當0a)在x =)中，y是自變量，x是y的函數，習慣上改寫成y = fx) ( xe B,y e A )的形式.函數x = fy)與函y = fx) (xB.yeA )為同一函數，因為自變量的取值范圍即立義域都是B,對應法則都為/-*.由定義可以看岀，函數y = /(x)的左義域A正好是它的反函數y = fx)的值域；函數y = /(x)的值域B正 好是它的反函數y = fx)的泄義域.要點詮釋：并不是每個函數都有反函數，有些函數沒有反函數，如y = x2. 一般說來，單調函數有反函數.2. 反函數的性質(1) 互為

4、反函數的兩個函數的圖象關于直線y = x對稱.(2) 若函數y = 圖象上有一點(a,b),貝ij(b,c)必在其反函數圖象上，反之，若(b,o)在反函數圖象上， 貝9(d,b)必在原函數圖象上.【典型例題】類型一、函數的定義域求含有對數函數的復合函數的左義域、值域，其方法與一般函數的立義域、值域的求法類似，但要注意對數函 數本身的性質(如定義域、值域及單調性)在解題中的重要作用.例1.求下列函數的定義域：(Dy = log x2:(2) y = log (4 - x)(a 0且Hi).【答案】(1)xlxHO： (2) xx0, 4x0,解出不等式就可求岀立義域.因為疋0,即xhO,所以函數

5、y = log“F的定義域為xlxHO：(2) 因為4一兀0,即x4,所以函數y = logn(4-x)的定義域為xlx0舉一反三：【變式1】求下列函數的泄義域.(l) y=(2) y = ln(R-k2) ( a 0 且) -133【答案】(1)(1,二)U( ，2： (2)略22【解析】(1)因為&x-l0 iog(x-i)no,0x-l 2(2)因為 宀肛2、0,所以(勺 k. 當k0時，若a2,則函數定義域為(log/, +oc)(ii) 若0a2f且。工1,則函數定義域為(8 log)；2(iii) 若a = 2,則當0 vkv 1時，函數左義域為R：當khl時，此時不能構成函數，否

6、則泄義域為0.【變式2】函數y = /(2X)的定義域為卜1, 2,求y = /(log2%)的定義域.【答案】邁，16.【解析】由一 lx2,可得y = /(x)的泄義域為,4,再由丄 log, a- 0且&H1)【思路點撥】利用函數的單調性比較函數值大小。【答案】(1) : (2)： (4)： (5)略【解析】由數形結合的方法或利用函數的單調性來完成.(1)解法1：畫出對數函數y = log3x的圖象，橫坐標為3.6的點在橫坐標為8.9的點的下方，所以， log33.6 Iog3 8.9 ；解法2：由函數y = log3x在R+上是單調增函數，且3.68.9,所以log3 3.6 log3

7、 8.9 ；(2)與第小題類似，y = log02 x在R*上是單調減函數,且19 log02 3.5 ：函數y = Iog2 x和y = log?x的圖象如圖所示.當xl時，y = log2 x的圖象 在y - lg7x 的圖象上方，這里x = 5 log2 5 log7 5 . logs 5 log3 3 = 1 = log6 6 log6 4, logs 5 log6 4（5）注：底數是常數，但要分類討論a的范圍，再由函數單調性判斷大小.解法 1：當。1 時，y = log“x在（0, +8）上是增函數，且 5.15.9,所以,log4.2logn4.8當0a 1 時，y=logaX在（

8、0, +8）上是減函數,且4.2logfl4.8 解法2：轉化為指數函數，再由指數函數的單調性判斷大小，令 b、= logfl 4.2,則 ab, =4.2,令 $ = log。4.8 ,則 a1 = 4.8,當。1時，y = x在R上是增函數，且4.24.8, 所以，bj 即 logfl 4.2 logn 4.8當時0 vavl. y = ax在R上是減函數，且4.2b2,即loga4.2loga4.8.【總結升華】比較兩個對數值的大小的基本方法是：（1）比較同底的兩個對數值的大小，常利用對數函數的單調性.（2）比較同真數的兩個對數值的大小，常有兩種方法：先利用對數換底公式化為同底的對數，再

9、利用對數 函數的單調性和倒數關系比較大小：利用對數函數圖象的互相位置關系比較大小.（3）若底數與真數都不同，則通過一個恰當的中間量來比較大小.例3.比較log/Moglog丄log其中0/ll的大小.b a【答案】logfl b logh a log - logfl -【解析】由0 ci t b = log6 - bg b log/, - log。a b logb a1 log。b log b log” a log” - bcB bac C a cb D cab【答案】c【解析】另加=log, 3.4 , ” = log4 3.6, / = log3歲,在同一坐標系下作出三個函數圖像，由圖像可

10、得加lny=iogs又V y = 51為單調遞增函數./. acb故選C_【變式2】比較a = logs兀,b = log2羽,c = log3的大小.【答案】cba【解析】.log近 log3 V5 log2 餡 V 1 = log3 3 log? 7T:.cba例4.已知電義在R上的函數y = /(x)是偶函數，且丘0時，/(x) = In(x2-2x + 2),(1) 當x0時，求/(x)解析式；(2) 寫出/G)的單調遞增區間.【思路點撥(1) a0,代入已知總0 時，f(x) = n(x2-2x+2)t 可得/(-x) = ln(x2+2x4-2),根據偶函數的性質可求得f(x) =

11、 ln(x2 + 2x + 2)(2)根據復合函數的單調性及二次函數的單調性分別求解兩段函數的單調增區間即可【答案】(1)； (2)單調增區間為：(一 1, 0), (1, +8)【解析】(1)xVO時，一x0V.r0 時 /(a) = ln(x2-2x + 2)= ln(x2 + 2x + 2)VW (x)是偶函數,/./(-x) =f(x)xVO 時，/(x) = ln(x2 + 2x + 2)(2)由(1)知x0時，/(x) = ln(x2 + 2A + 2)，根據復合函數的單調性可得函數的單調增區間(一1, 0).00時/(x) = ln(x2-2x + 2)，根據復合函數的單調性可得

12、函數的單調增區間(1, +00)所以函數的單調增區間為：(一 1, 0), (1, +00)【總結升華】本題主要考査了利用偶函數的對稱性求解函數的解析式，復合函數的單調區間的求解，(2)中對 每段函數求解單調區間時要注意函數的定義域.研%y = /(log.x)型復合函數的單調性，一般用復合法來判左即可.復合函數的單調性就是內函數與外函數 的單調性“同增異減研究對數型復合函數的單調性，一立要注意先研究函數的左義域，也就是要堅持“立義域優先“的原則.舉一反三：【變式1】求函數y = log2(X2 +4)的值域和單調區間.【答案】2,+8)；減區間為(-4, V y=log2t 為增函數，.10

13、2=1002(疋+4)1002 4 = 2y = log, (x +4)的值域為2,+oo).再由：y = log2(x2+4)的定義域為R./ = F + 4在(0 g)上是遞增而在(yq o)上遞減，而y= log21為增函數函數y=log2(x2+4)的減區間為(-8,0),增區間為(0,-ko).【變式2】求函數y = loga(a-ax)的單調區間【答案】減區間是：(y,1)和(1,)【解析】若“1,則y = logj遞增，且t = a-ax遞減,而一/0,即ax a,：. x0,即1,y = log (a 一 t/)在(1, +oc)上遞減.綜上所述，函數y = oa-ax)的單調

14、遞減區間是：(一。,1)和(1,燉).類型三、函數的奇偶性例5.判斷下列函數的奇偶性.2 _ yI(l) /(x) = ln;/(x) = lg(Vl+x2 -x)2 + x【思路點撥】判斷函數奇偶性的步驟是：(1)先求函數的怎義域，如果左義域關于原點對稱，則進行(2),如 果丘文域不關于原點對稱，則函數為菲奇IF偶函數。(2)求/(-a),如果/(-x) = f(x).則函數是偶函數. 如果/(-A)=-/(X),則函數是奇函數。【答案】(1)奇函數：(2)奇函數.【解析】首先要注意左義域的考査，然后嚴格按照證明奇偶性基本步驟進行.2 - r(1)由0可得2vxv22 + x所以函數的左義域

15、為：(-2, 2)關于原點對稱又 /(-x) = ln2-x2-x2 + x=-/(AB|J/(-x) = -f(x)9 - r所以函數f(x) = ln一是奇函數；2 + x【總結升華】此題確左泄義域即解簡單分式不等式，函數解析式恒等變形需利用對數的運算性質說明判斷對數 形式的復合函數的奇偶性，不能輕易直接下結論，而應注意對數式的恒等變形.【解析】由J1 +宀x0可得所以函數的定義域為R關于原點對稱又 f(-x)=ig(Vi77+A-)=ig 蟲耳mgiHL衛=ig = -ig(Vi77 - A-)=-/Ul + JT -X(l + JT -X即f(-X)=.f(X)：所以函數是奇函數.【總

16、結升華】此題上義威的確左可能稍有困難，函數解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 類型四.反西數例6(2016春河北衡水月考)已知點(2, 99)在函數f(x) =lg (x+b)的反函數的圖象上.(1)求實數的值；(2) 若 0/(l-2x) -/(x) 1,求x 的取值范圍.【思路點撥】(1)根據點(2, 99)在函數/(x) =lg (x+b)的反函數的圖象上，可得：點(99, 2)在函數/(X)=/g (x+b)的圖象上，代入構造關于b的方程，解得實數b的值：(2)若 0/(l-2x) -/ (x) -1,解得x的取值范圍.12_2xx + 1 x 1 則 0/(l-2r) -

17、/ (x) VI 可化為：0lg2 2xx + 1-112-2xx + 10,且呼1)的反函數，且/(2) = 1,則f(x)=()(A) log 2 兀(B)二 (C)log, x (D)2X-22t【答案】A【解析】解法1： 函數y = f(x)是函數y =(“0,且a*l)的反函數/. f(x) = loga X ,又 /=1 loga 2 = 1, d = 2 ,故選A.解法2： 函數y = f(x)是函數y = b (0,且洋1)的反函數，且/(2) = 1.點(1, 2)在函數y = ax的圖象上，二。=2故選A類型五.利用函數圖象解題例7.若不等式2X-Iogflx0,當j時恒成

18、立，求實數a的取值范用.【思路點撥】畫出函izy = 2Y的圖象仃函數y = logflx的圖象，糾后借叫求借。(1【答案】一 a 【答案】要使不等式r 一 log。x v 0在X w0,1 時恒成立，即函數y = log。X的圖在內恒在函數y = 2x圖象的上方，而y = 2v圖象過點I 1,2 |.由右圖可知，log。丄巴血，顯然這2里 0Vay/2= logn , :, ,2 2( XTId即a1 V2所求的a的取值范囤為【總結升華】數是數學的特征，它精確、量化，最有說服力；而“形，則形彖、直觀，能簡化思維過程，降低 題目的難度，簡化解題過程，把它們的優點集中在一起就是最佳組合.本例中，

19、利用圖形的形象直觀快速地得 到答案，簡化了解題過程.正因為如此，數形結合成為中學數學的四個最基本的數學思想方法之一，因此我們 必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運用它來分析和解決問題.在涉及方程與不等式的問題時，往往構造兩個函數/(X)與g(x),則/(X)= g(x)的實數解等價于兩個函數y = /(x)與y = g(x)的圖象的交點的橫坐標:而/(x) g(x)的的解等價于函數y = f(x)的圖象在y = gM的圖象下方的點的橫坐標的取值范圍.利用圖象的形象性、直觀性，可使問題得到順利地解決，而且分散了問題解決的難度、簡化了思維過程.因此，我們要善于用數形結合的方法來解決方程與不等式

20、的問 題.舉一反三：6/X + /?(X0),【變式1】函數f(x) = 0)的圖象如右圖所示.(1) 求d+b+c的值：(2) 若= 求加的值.Q Q A 【答案】(1)a+h + c = , (2) 一二或一329【解析】(1)當xSO時，f(x) = cix + b 根據圖像/(-I) = 0, /(0) = 2,所以a=b = 2.當 x0時，/(x) = logt.(x + |). 根據圖像，/(0) = 2 ,即 logr(0 + |) = 2，c = * ., c c 1 13 a + /? + c = 2 + 2 =332x + 2 (x 0).793 當m 0時，由log1(

21、?n + -) = -l 解得 m =.399綜上所述，川的值為-。或色29類型六.對數函數性質的綜合應用例& (1)已知函數y = g(x2+2x+a)的左義域為求實數的取值范用;(2)已知函數y = g(x2+2x + a)的值域為D 求實數。的取值范圍:(3) /(x) = log0的解集為R,這是不等式中的常規問題.子(兀)的值域為R與疋+2兀+&恒為正值是不等價的,因為這里要求/(%)取遍一切實數，即要求i( = x2+2x+a取遍一切正數，考察此函數的圖象的各種情況，如圖，我們會發現，使“能取遍一切正數的條件是zWO.【答案】(1)al：心1；(3)r/e丄丄j|_32 2)【解析

22、】(1) v y = lg(x2 +2x + a)的定義域為 R,. x2 +2x+a0恒成立，. = 4-4g .(2) v y = lg(x2 +2x + a)的值域為 R, /. x2 +2x + a 取遍一切正數,/. A = 4-40 /. a .i(3) 由題意，問題可等價轉化為不等式x2-log2flx0的解集為0,-,記C.y = xC2:y = og2ax,作圖 2)形C|與C2,如圖所示，只需C?過點.Ov2dVl,即滿足0 VV丄，且log2fl- = (-)2即可，解12 4 丿222得“=丄.所以由圖象可以看岀若C| 丄，所以e322232【總結升華】如果函數/(X)

23、的左義域為某個區間D,則函數/(x)在這個區間D的任何子集內部都有意義；如 果函數/(x)在區間E上有意義，而于的泄義域為D,則必有EgD.舉一反三：【變式1】已知函數/(x) = lg(ax2+2x4-1).(1)若函數/(兀)的左義域為R，求實數“的取值范風(2)若函數/(勸的值域為R,求實數的取值范風【解析1 (1) f(x)的定義域為R,即：關于x的不等式ax2+2x + l0的解集為R,當a=0時，此不等式變為2x+l0,其解集不是R：a 0當aR時，有彳 al.A a的取值范囤為al = 4 一 4。 0f(x)的值域為R, RP u=ax2+2x+l能取遍一切正數U *0或0a

24、0 a的取值范圍為0alb0）（1）求y = f （x）的定義域;（2）在函數y = /（工）的圖象上是否存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸：（3）當a, b滿足什么關系時，/（勸在（1,+8）上恒取正值.【思路點撥】本題為對數指數問題的綜合題，求定義域首先保證對數的貞數為正，再利用指數運算性質求出左 義域.（2）中證明是否存在要由單調性來確定，若單調遞增或遞減，就不存在兩點兩線平行于兀軸.【答案】（1）（0,*o）（2）不存在（3） ab+【解析】（1）由ax-bx0,得轉j 1,由ab0,得碁1,故x0,即函數/（x）的泄義域為（0,-ko）.（2）設 Xj x2 0/.- ab0

25、 .:.aXl aX1 I產 bXl 0、故 aXl -bXl aX1 -bh 0,盧-夕）lg（瀘-滬），:.f（x）在（0,*o）上為增函數.假設函數y = f（x）的圖象上存在不同的兩點4（召切），B（七,旳），使直線AB平行于x軸，即 Xi豐x, y = y2,這與f（x）是增函數矛盾.故函數y = /（a）的圖象上不存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸.（3）由（2）知/（勸在（0,+s）上是增函數f（x）在（1,+s）上也是增函數.當（1,乜）時，fM /（D只需/（1）0,即 u-b）0,a-h.當ab+1時，/（x）在（1,+s）上恒取正值.【總結升華】此題綜合性較強，綜

26、合考査對數函數性質和指數函數性質的關系，提問方式靈活.靈活掌握轉化 的思想，基礎知識扎實是解決此類問題的關鍵.舉一反三：+ ax + b ,【變式1】已知/（X）= log.：-一,xe（0.+co）,是否存在實數s b、使/（x）同時滿足下列兩個條件: 在（0,1上是減函數，1,XO）上是增函數：/（X）的最小值是1.若存在，求岀、的值，若不存在，說 明理由.【答案】a = Vb = 【解析】設存在滿足條件的“、bV /（%）在（0,1上是減函數，1,4-0）上是增函數，二當x=l 時，/（x）最小，從而logs 1 + ； b = =a+b = 2、設0則f（x2）9x；+oY+/? x；

27、 +ax2 +b恒成立,即（卄切（牡）0恒成立,又 x-x2 v0,x$2 ，因此 xAx2-b.設1 召“，則/$)/(些)恒成立，化簡得(-)(聞)0恒成立，X內又3-兀0,所以x3x4 b恒成立，故b. 綜上，a = 1,Z? = 1【鞏固練習】1. 已知logn-b那么a的取值范圍是()2A. 0 Cal2 2 2 22. 函數/(x) = Iog2(x2 + 2x-3)的左義域是A.C.3.A.B.C.D.一 3, 1(8, 3 U 1, +a)x + 3 為了得到函數y = lg 10 向左平移3個單位長度， 向右平移3個單位長度， 向左平移3個單位長度， 向右平移3個單位長度，B

28、. (一3, 1)D. ( oc, 3) U (l,+oo)的圖象，只需把函數y = lgx的圖象上所有的點()再向上平移1個單位長度 再向上平移1個單位長度 再向下平移1個單位長度 再向下平移1個單位長度4. 函數y = lg二一 1)的圖象關于()ll + x )A. x軸對稱 B. y軸對稱C.原點對稱 D.直線y = x對稱5. 函數 y = log(x2 -6.X + 17)的值域是()A. RB. &+08. (2016哈爾濱一模)已知函數f(x) = ,則不等式f (x) W5的解集為(JT -X-l,X0A一1, 1 B(一8, -2U (0, 4)C一2, 4 D. (一8,

29、 2U0, 419. 函數/(x) = ，% 0.210.函數/(x) = d+log,x + l)在0, 1上的最大值和最小值之和為/則的值為x+l,xQ.12.已知函數y=loga(kx2+4kx+3),若函數的泄義域為R,則k的取值范圍是:若函數的值域為R,則k的取值范囤是13已知/(x) = 2 + log3x, xGl, 9(1) 求 y = f(x)2+f(x2)的定義域;(2) 求y = /(x)2 + /(x2)的最大值及當y取最大值時x的值.(IX 214.已知函數/(x) = logl一(么為常數). -x-l(1) 若常數*2且“H0,求f (x)的定義域：(2) 若/(

30、x)在區間(2, 4)上是減函數，求“的取值范圍.15一片森林的面枳為，計劃每年砍伐一批木材，每年砍伐而積的百分比相等，則砍伐到原面積的一半時， 所用時間是50年.為了保護生態環境，森林而積至少要保留原而積的丄.已知到今年為止，森林剩余面積 4為a. (1)問到今年為止，該片森林已砍伐了多少年？ (2)問今后最多還能砍伐多少年？2【答案與解析】1.【答案】D【解析】當al時，由logfl - l；當0al時，由logfl - logfl a知0a,故2 2 2 20 l.2 22. 【答案】D【解析】由 x2+2x-3 0,即(x+3)(a-1)0解得A 1 O故選：D.3. 【答案】CY +

31、 3【解析】函數y = lg=lg(x+3)-l,由“左加右減知,選C.4. 【答案】C【解析】此函數是奇函數，奇函數圖象關于原點對稱.5. 【答案】C【解析】令u = x2-6x + n,的值域是&+8),所以y = log, H的值域是(y,_3.6. 【答案】D【解析】用圖象法解決，將y = nx的圖象關于y軸對稱得到y = ln(-x),再向右平移兩個單位，得到 y = ln(-(x-2),將得到的圖象在x軸下方的部分翻折上來,即得到/(x) =1 ln(2-x)l&9圖象.由圖象,選項中f(x)是增函數的顯然只有D.7. 【答案】C【解析】將方程整理得2Jx+3, log2X=x+3

32、,如圖所示，可知&是指數函 數戶，的圖 象與直線y=x+3的交點A的橫坐標：0是對數函數y=log2x的圖彖與直線y=-x+3的交點 B的橫坐標.由于函數y=2與函數y=log2x互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱， 所以A, B兩點也關于直線戶x對稱，所以A(a 0)，3(0, a).注意到4(a,尸)在 直線y=x+3上，所以有0 = a + 3,即a + 0 = 38. 【答案】C3 + log. 0【解析】由于f(x) =?2對-x-l,x0 時，3 + log2x5 ,即 log2 x 解得 0xW4,當 xWO 時，x2-x-1 1上的最值分別為/ 【解析】由y = x + l(xv0)得x = y l(yvl),由y = exx0)得x = lny(Jl) 因此原函數的反函數是 v 1,y = 5In x, x 1.3、312.【答案】0,二)；二,+ s)44【解析】要使函數的定義域為R，只需對一切實數x, kx2+4kx+30恒成立，其充要條件是k=0或 ，33解得k=o或0 k二，故k的取值范圍是0.-). = 16，一12比 0,3要使函數的值域為R，只需kxMkx+3能取遍一切