1、專題2.3函數的奇偶性與周期性【考試要求】1 .結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義;2 .結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義【知識梳理】1 .函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f (x) =f (x),那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x) = -f(x),那么函數f (x)是奇函數關于原點對稱2 .函數的周期性(1)周期函數：對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使彳導當x取定義域內的任何值時，都有 f(x+ T) =f(x),那么就稱函數 y=f(x)為周期函數，

2、稱 T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.【微點提醒】1 .(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即 f (0)有意義，那么一定有 f (0) =0.(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)=f(| x|).2 .奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性3 .函數周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：若 f(x+ a) = f(x),則 T= 2a(a>0).-1 一 _(2)若 f(x+ a),貝U T= 2a(a>0)

3、. f (x)1(3)若 f(x+ a) =-r,貝U T= 2a(a>0).I (x)4 .對稱性的三個常用結論 若函數y= f (x+a)是偶函數，則函數 y= f (x)的圖象關于直線 x= a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2a x)=f(x)或f(x)=f(2a+x),則y= f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(3)若函數y= f (x+b)是奇函數，則函數 丫=穴*)關于點(包0)中心對稱.【疑誤辨析】1 .判斷下列結論正誤(在括號內打或“x”)(1)函數y= x2在xC (0,+8)時是偶函數.()(2)若函數f(x)為奇函數，則一定有 f(0) =0.()若T是函數

4、的一個周期，則nT(nC Z, nw0)也是函數的周期.()(4)若函數y=f(x+b)是奇函數，則函數 y=f(x)的圖象關于點(b, 0)中心對稱.()【答案】(1) X (2) X (3) V (4) V【解析】(1)由于偶函數的定義域關于原點對稱，故y = x2在(0, +8)上不具有奇偶性，(1)錯.(2)由奇函數定義可知，若 f(x)為奇函數，其在x=0處有意義時才滿足f(0) =0, (2)錯.(3)由周期函數的定義，(3)正確.(4)由于y=f(x+b)的圖象關于(0, 0)對稱，根據圖象平移變換，知y=f(x)的圖象關于(b, 0)對稱，正確.【教材衍化】2 .(必修1P35

5、例5改編)下列函數中為偶函數的是 ()A. y = x2sin xB.y=x2cos x一一 一xC.y=|ln x|D.y=2【答案】 B【解析】根據偶函數的定義知偶函數滿足f(-x) =f(x)且定義域關于原點對稱，A選項為奇函數；B選項為偶函數；C選項定義域為(0, +oo),不具有奇偶性；D選項既不是奇函數，也不是偶函數 .3.(必修4P46A10改編)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x C 1 , 1)時，f (x)= 4x2+2, - K x<0,3x, 0< x<1【解析】由題意得，f 2 =f -2 =-4X -2 +2=1.【真題體驗】4. (20

6、19 濟南調研)下列函數既是偶函數又在區間 (0,+8)上單調遞增的是()B.y=xA. y = x20c.y=|x|D.y=|tan x|【答案】 C【解析】對于A, y=x3為奇函數，不符合題意；1對于B, y= x4是非奇非偶函數，不符合題意；對于D, y= |tan x|是偶函數，但在區間(0,+8)上不單調遞增.5. (2017 全國H卷)已知函數f(x)是定義在 R上的奇函數，當 xC(8, 0)時，f(x)=2x3+x1則f (2)【答案】12【解析】x ( -oo, 0)時，f (x) = 2x3+x；且f(x)在R上為奇函數，.f (2) =-f(-2)=-2X( - 2)3

7、+( 2)2 = 12.6. (2019 上海崇明區二模)設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數，當 xC0, 1時，f(x) = log2(x+1),則當 xC 1 , 2時，f(x) =.【答案】log 2(3 -x)【解析】當 xe 1 , 2時，x-2 1, 0 , 2-x 0, 1,又f(x)在R是上以2為周期的偶函數，.f (x) =f(x-2) =f (2 - x) = log 2(2 -x+1) = log 2(3 x).【考點聚焦】考點一判斷函數的奇偶性【例1】判斷下列函數的奇偶性:(2) f(x) = f(x) =lg (1 - x2)|x-2| 2， x2+x, x&l

8、t;0,x2+x, x>0.【答案】見解析3-x2>0,廠【解析】(1)由2得x2=3,解得x=±43x -3>0,即函數f(x)的定義域為3,國從而 f (x) = 3 - x2+ x2 3= 0.因此 f ( x) = f (x)且 f ( x) = f (x),函數f (x)既是奇函數又是偶函數1 -x2>0,(2)由得定義域為(一1, 0)U(0, 1),關于原點對稱.|x 一2| W2,.1 lg(1 -x2) ' x 2<0, | x 2| 2 = - x, - f (x) =*又:" 一 x)=lg1 -(-x)2lg(1

9、 -x2)=f(x),，函數f(x)為奇函數.(3)顯然函數f(x)的定義域為(8, 0)U(0, +8),關于原點對稱.當 x<0 時，一x>0,則 f( x) = (x)2 x= x2 x= f(x);當 x>0 時，一x<0,則 f( x) = ( -x)2-x=x2-x= - f (x)；綜上可知：對于定義域內的任意x,總有f(x) = f(x)成立，函數f(x)為奇函數.【規律方法】判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性

10、的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f (x) + f ( x) = 0(奇函數)或f (x) f ( x) = 0(偶函數)是否成立.【訓練1】(1)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是()A.y=x+sin 2 xB.y=x2cos xx 12C.y=2+2xD.y=x+sin x,xx 一. .一(2)已知f(x)=2x“，g(x)=2,則下列結論正確的是 ()A. f (x) + g( x)是偶函數B.f (x) + g(x)是奇函數C.f (x) g(x)是奇函數D.f (x)g(x)是偶函數【答案】(1)D(2)A【解析】(1)對于 A,定義域為 R, f ( -

11、 x) = - x + sin 2( x)=(x+sin 2 x) = f (x),為奇函數；對于B,定義域為R,f ( - x) = (-x) 2-cos( -x) =x2-cos x=f(x),為偶函數；對于C,定義域為R,f (x 1 x 12x) = 2 +2-7 = 2+1=f(x),為偶函數；對于 D, y = x+sin x既不是偶函數也不是奇函數 .(2)令 h(x) =f (x)+g(x),一.xx因為 f (x) = 27T7，g(x) = 2,一 ,、 x x x - 2 x+x 所以 h(x) = 2rZ71 +2=2 ( 2x- 1)'定義域為(00, 0)

12、U (0 , + 8).-x - 2 x-x x (1 +2x)因為 h( x) = 2(2f _ 1) = 2 (2x 1) = h( x)，所以h(x) = f(x)+g(x)是偶函數,令 F(x)=f (x)g(x) =2 (2x 1)，定義域為(00, 0) U (0 , + 8).所以F(-x) =(x) 22 (2一x1) =2 (12x)，因為 F(x)wF(x)且 F(x)w F(x),所以F(x) = g(x)f(x)既不是奇函數也不是偶函數考點二函數的周期性及其應用【例2】(1)( 一題多解)(2018 全國n卷)已知f(x)是定義域為(巴 +8)的奇函數，滿足f。x)=f

13、(l+ x).若 f(1) =2,則 f (1) +f(2) +f(3) + f(50)=()A. 50B.0C.2D.50(2)已知f (x)是R上最小正周期為 2的周期函數，且當0Wx<2時，f (x) = x3- x,則函數y = f(x)的圖象在區間0 , 6上與x軸的交點個數為 .【答案】(1)C(2)7【解析】(1)法一 :f(x)在R上是奇函數，且f (1 x) = f (1 +x). . f (x+ 1) = - f(x-1),即 f (x+2) = f(x).因此f(x + 4)=f(x),則函數f(x)是周期為4的函數，由于 f (1 -x) =f (1 +x) ,

14、f (1) =2,故令 x=1,得 f(0) =f (2) =0令 x=2,得 f(3) =f( 1)=f(1) =-2,令 x=3,得 f(4) =f( 2)=f(2) =0,故 f(1) +f (2) +f(3) +f (4) =2+0 2+0=0,所以 f(1) +f(2) +f(3) + f(50) =12X0+ f(1) +f(2) =2. 一 Ttx 一一，一 .* 一. .一.法二取一個符合題意的函數f(x) = 2sin2一,則結合該函數的圖象易知數列f(n)( nCN)是以4為周期的周期數列.故 f (1) +f (2) +f(3) + f(50) =12X f(1) +f

15、(2) +f (3) +f(4) +f(1) + f (2) = 12X 2 + 0+( 2) + 0 + 2+0=2.(2)因為當0Wx<2時，f(x)=x3x.又f(x)是R上最小正周期為 2的周期函數，且f (0) =0,則 f(6) =f (4) =f(2) =f (0) = 0.又 f(1) =0, . f(3) =f(5) =f(1) =0,故函數y = f(x)的圖象在區間0, 6上與x軸的交點有7個.【規律方法】1 .根據函數的周期性和奇偶性求給定區間上的函數值或解析式時，應根據周期性或奇偶性，由待求區間轉 化到已知區間2 .若f(x+a) = f(x)( a是常數，且a

16、w0),則2a為函數f(x)的一個周期.第(1)題法二是利用周期性構造一個特殊函數，優化了解題過程9【訓練2】(1)(2019 南充二模)設耳刈是周期為4的奇函數，當0WxWl時，f(x)=x(1+x),則f 5=()1C.41B.一4(2)(2017 山東卷)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x+4) =f(x 2).若當xC 3, 0時，f(x) =6:則 f(919)=【答案】(1)A(2)6【解析】(1) ;“*)是周期為4的奇函數,912 = f 2又0w xwi時,f (x) = x(1 + x)11132 -2 1 + 2 = - 4.(2) . f(x + 4)=f(x

17、2), .f ( x+2) + 4 =f( x+2)2,即 f(x+6) = f(x),.f (919) =f (153X6+ 1) =f(1),又f (x)在R上是偶函數，.f (1) =f( 1) = 6 (1)=6,即 f (919) =6.考點三函數性質的綜合運用 角度1函數單調性與奇偶性【例31】 (2019 石家莊模擬)設f(x)是定義在2b, 3+b上的偶函數，且在 2b, 0上為增函數，則f(x-1)>f (3)的解集為()A. -3, 3B. -2, 4C. -1, 5D.0 , 6【答案】 B【解析】 因為f(x)是定義在2b, 3+b上的偶函數，所以有一2b+3+b

18、 = 0,解得b=3,由函數f(x)在 6, 0上為增函數，得f(x)在(0 , 6上為減函數.故f(x - 1) >f(3) ? f(|x 1|) >f(3) ? |x -1| <3,故2WxW4.【規律方法】1.函數單調性與奇偶性結合.注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性.2.本題充分利用偶函數的性質f(x)=f(| x|),避免了不必要的討論，簡化了解題過程角度2函數的奇偶性與周期性【例32】 (1)(2019 山東省實驗中學檢測)已知定義在 R上的奇函數f(x)滿足f(x+5) =f(x),且當xe 0, 5 時，f(x)=x33x,則 f (2

19、018)=()A.2B. -18C.18D. -2(2)(2019 洛陽模擬)已知函數y=f(x)滿足兀y=f(x)和 y=f(x+2)是偶函數，且 f(1)=,設 F(x)=3f(x)+f(-x),則 F(3)=()A 兀A. 一3B.23C.兀4兀D.3【答案】(1)D(2)B【解析】(1) .f(x)滿足 f(x+5)=f(x),，f(x)是周期為5的函數, .f (2 018) =f (403X5+ 3) = f (3) =f(5 -2) =f( -2)53f(x)是奇函數，且當 xC 0, 2 時，f (x) = x - 3x,.f ( - 2) = -f (2) =一(2 33X2

20、) = 2,故 f(2 018) =- 2.(2)由 y = f ( x)和 y=f (x+ 2)是偶函數知 f ( -x) =f (x),且 f (x+2) = f ( x+2),則 f (x + 2) = f (x 2). . f (x+4) = f (x),則 y=f(x)的周期為 4.2兀所以 F(3) =f(3) +f( 3) = 2f (3) =2f( 1) =2f(1)=-【規律方法】周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.周期性、奇偶性與單調性結合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的

21、區間，然后利用奇偶性和單調性求解【訓練3】(1)(2019 重慶九校模擬)已知奇函數f(x)的圖象關于直線 x=3對稱，當xC0, 3時，f(x) = -x,則 f( 16)=.(2)若函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間0, +8)上是單調遞增函數.如果實數t滿足f(ln t) +1f lnFw 2 f (1),那么t的取值范圍是 .【答案】(1)2(2) -, ee【解析】(1)根據題意，函數f(x)的圖象關于直線 x= 3對稱，則有f(x) =f(6 x),又由函數為奇函數，則 f(-x)=-f(x),則有 f (x) = - f(6 -x) =f(x- 12),則f(x)的最小正

22、周期是12,故 f( 16) =f ( 4) = f(4) = f (2) = - (-2) = 2.(2)由于函數f(x)是定義在R上的偶函數，1所以 f(ln t) =f ln -,1由 f (ln t) +f In f <2 f(1),得 f(ln t)<f (1).又函數f (x)在區間0 , + °°)上是單調遞增函數，所以 11n t|w1 即一1W|n t < 1,故Iwtwe. e【反思與感悟】1 .判斷函數的奇偶性，首先應該判斷函數定義域是否關于原點對稱.定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件.2 .利用函數奇偶性可以解決以下問

23、題：(1)求函數值；(2)求解析式；(3)求函數解析式中參數的值； (4)畫函數圖象，確定函數單調性 .3 .在解決具體問題時，要注意結論“若 T是函數的周期，則 kT(kCZ且kw0)也是函數的周期”的應用 .【易錯防范】1 .f(0) =0既不是f(x)是奇函數的充分條件，也不是必要條件.f(x)滿足的關系f(a+x) =2 .函數f(x)滿足的關系f(a+x) = f(b x)表明的是函數圖象的對稱性，函數f (b+x)( aw b)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.【核心素養提升】【數學運算】一一活用函數性質中“三個二級”結論 類型1奇函數的最值性質已知函數f(x)是定

24、義在區間D上的奇函數，則對任意的xCR都有f(x)+f(x) = 0.特別地，若奇函數f(x)在 D 上有最值，則 f(x)max+ f(x)min=0,且若 0 C D,則 f (0) = 0.(x+ 1) 24 sin x【例1】 設函數f(x) = -x2的最大值為 M最小值為m則 超m=【解析】顯然函數f(x)的定義域為R,f (x)=(x+ 1) 2+ sinx2+ 12x+ sinx2+ 1設 g(x) =2x：i：X,則 g(x)= g(x),x i 11 g(x)為奇函數,由奇函數圖象的對稱性知g(x) max+ g(x) min= 0,MH m= g( x) + 1 max+

25、 g( x) + 1 min = 2 + g( x) max+ g( x) min = 2.類型2抽象函數的周期性如果f(x+a) = f (x)( aw0),那么f(x)是周期函數，其中一個周期T= 2a.,1(2)如果f(x+a) =7VV( a* °)，那么f(x)是周期函數，其中的一個周期T= 2a.f ix;(3)如果f(x+a)+f(x)=c(aw0),那么f(x)是周期函數，其中的一個周期T= 2a.【例2】已知函數f(x)為定義在R上的奇函數，當x>0時，有f(x+ 3) = f(x),且當xC (0, 3)時，f (x)= x+1,則 f(2 017) +f

26、(2 018)=()A.3B.2C.1D.0【答案】 C【解析】因為函數f(x)為定義在R上的奇函數， 所以 f (-2 017) =-f (2 017),因為當 x>0 時，有 f (x+3) =- f (x),所以f (x + 6) =f(x+3) = f (x),即當x>0時，自變量的值每增加6,對應函數值重復出現一次又當 xC (0, 3)時,f(x) =x+ 1,，f(2 017) =f (336X6+ 1) = f (1) =2,f(2 018) =f (336X6+ 2) =f(2) = 3.故 f(2 017) +f(2 018) =- f(2 017) +3=1.

27、類型3抽象函數的對稱性 已知函數f(x)是定義在R上的函數.，八 -, a+ b , , 4(1)右f(a+x) =f(bx)恒成立,則y=f (x)的圖象關于直線 x = -2一對稱，特另J地，右f(a+ x) = f(a x) 恒成立，則y=f (x)的圖象關于直線 x= a對稱.(2)若函數 y=f(x)滿足 f(a+x) + f(a x)=0,即 f (x) = - f (2 a - x),則 f(x)的圖象關于點(a, 0)對稱.【例3】(2019 日照調研)函數y = f(x)對任意xC R都有f(x + 2) =f (x)成立，且函數 y=f(x1)的圖 象關于點(1, 0)對稱

28、，f(1) =4,則 f(2 016) +f(2 017) +f(2 018)的值為.【答案】4【解析】因為函數y=f(x1)的圖象關于點(1, 0)對稱，所以函數y = f(x)的圖象關于(0, 0)對稱，所以f(x)是R上的奇函數，f (x+2) = f(x),所以 f(x+4) = f (x+2) = f (x),故 f (x)的周期為 4.所以 f(2 017) =f(504X4+ 1) =f(1) =4,所以 f(2 016) +f(2 018) =- f(2 014) +f(2 014+4)=-f(2 014) +f(2 014) =0,所以 f(2 016) +f(2 017)

29、+f(2 018) =4.【分層訓練】【基礎鞏固題組】(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2019 玉溪模擬)下列函數中，既是偶函數，又在 (0, 1)上單調遞增的函數是()3A. y= 110g 3x|B.y=xC.y=e|x|D.y=cos | x|【答案】C【解析】對于A選項，函數定義域是(0, +oo),故是非奇非偶函數，顯然 B項中，y=x3是奇函數.對于C選項，函數的定義域是R,是偶函數，且當 xC(0, +8)時，函數是增函數，故在 (0, 1)上單調遞增，正確 對于D選項，y=cos | x|在(0 , 1)上單調遞減.2 .( 一題多解)(2019 河北“五個一”名校聯盟二

30、模 )設函數f(x)是定義在 R上的奇函數，且 f(x) =則 g(8)=(log 3 (x+ 1) , x> 0,g( x)，x<0，A. 2B. 3C.2D.3【解析】法一 當x<0時，一x>0,且f(x)為奇函數, 則 f ( - x) = log 3(1 -x),所以 f(x) = - log 3(1 x).因此 g(x) = log 3(1 x) , x<0,故 g( 8) = log 39= 一 2.法二由題意知，g( - 8) = f(-8) = -f(8) =一log 39= 2.3 .已知f (x)在R上是奇函數，且滿足 f(x+4)=f(x),

31、當xC(2, 0)時，f(x)=2x：則f(2 019)等于()A. 2B.2C. 98D.98【答案】 B【解析】 由f(x+4) =f(x)知，f (x)是周期為4的函數，f (2 019) =f (504X4+ 3) =f(3),又 f(x+4)=f(x), f(3) =f(-1),由一1C ( 2, 0)得 f( 1) = 2,.f (2 019) =2.4 .( 一題多解)(2017 天津卷)已知奇函數 f(x)在R上是增函數，g(x)=xf(x).若a = g( log 25.1) , b= g(20.8), c=g(3),則 a, b, c 的大小關系為()A. a<b&l

32、t;cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a【答案】 C【解析】法一 易知g(x) = xf(x)在R上為偶函數，奇函數f(x)在R上是增函數，且f (0) = 0. g(x)在(0 , +8)上是增函數.又 3>log 25.1>2>2 0.8,且 a= g( log 25.1) = g(log 25.1),，g(3)> g(log 25.1)> g(2 0.8),則 c>a>b.法二 (特殊化)取f(x)=x,則g(x)=x 【答案】",1 為偶函數且在(0, +8)上單調遞增，又 3>

33、log25.1>2°.8, 從而可得c>a>b.5.(2019 山東、湖北部分重點中學模擬)已知定義在R上的函數f(x)在1 , +8)上單調遞減，且f(x+ 1)是偶函數，不等式f(mH 2)>f(x-1)對任意的xC1, 0恒成立，則實數 m的取值范圍是()A. 3, 1B. 4, 2C.(巴3 U 1 , +oo)D.(巴4 U 2 , i)【答案】 A【解析】因為f(x+1)是偶函數，所以f ( x+1) =f (x+1),所以f(x)的圖象關于x= 1對稱，由f(m2 ) > f(x1)得 |( m+ 2) -1| <|( x-1)-1|

34、 ,即 | m+1| < | x-2| 在 x -1, 0恒成立，所以 | m+1| < | x- 2| min,所以 | m+1| <2,解得一3W me 1.二、填空題6 .若函數f (x) =xln( x + 4a+x2)為偶函數，則a=.【答案】1【解析】f(x)為偶函數，則y=ln( x+-'a+xj為奇函數,所以 ln( x+ a+ x2) + ln( -x+ y a + xj = 0, 則 ln( a+x2x2) = 0,a= 1.v57 .若函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0Vx<1時，f(x)=4,則f -2 +f(2) =.【答

35、案】2【解析】:“*)是定義在R上的奇函數，f(0) =0,又f(x)在R上的周期為2,.f (2) =f(0) =0.5111又 f 2=f _2=_f2= _ 42=2,5. .f -2 +f (2) =- 2.8.設函數f(x)=ln(1 +|x|)不,則使得f (x) >f (2x1)成立的x的取值范圍是1+x【解析】f (x) > f (2 x - 1)即為 f (| x|) >由f(x)=ln(1 +|x|) 1 2,知f(x)為R上的偶函數，于是 1 I xf(|2 x-1|).當 x>0 時，f(x) = ln(1 + x) - J 2,所以 f (x)

36、為0 , +8)上的增函數，則由 f(| x|) >f (|2 x - 1|)得| x| 1 x>|2x1,兩邊平方得 3x2 4x+1v0,解得1vx1.3三、解答題x2 + 2x, x>0,9 .已知函數f(x)= 0, x=0,是奇函數.x2+ mx, x<0(1)求實數m的值；(2)若函數f(x)在區間1, a 2上單調遞增，求實數 a的取值范圍.【答案】見解析【解析】(1)設x<0,貝U x>0,所以 f ( x) = ( -x) 2+ 2( -x) = - x2-2x.又f(x)為奇函數，所以f ( - x) =- f (x).于是 x<0

37、 時，f (x) =x2+ 2x = x2+ mx所以m= 2.(2)要使f(x)在1, a2上單調遞增，a 2> 1,結合f(x)的圖象知所以1<aw3,a-2<1,故實數a的取值范圍是(1 , 3.3310 .設函數f(x)是定義在R上的奇函數，又任意實數x都有f 2 + x =-f 2-x成立.(1)證明V= f(x)是周期函數，并指出其周期；(2)若 f(1) =2,求 f (2) +f(3)的值；(3)若g(x) = x2+ax+ 3,且y= | f (x)| g(x)是偶函數，求實數 a的值.【答案】見解析一一 .33【解析】(1)由f 2+x =f 2x ,33

38、且 f( x) = f(x),知 f (3 + x) = f 2+ 2+x =33-f 2 2+ x = f( x) =f (x),所以y=f(x)是周期函數，且 T= 3是其一個周期.(2)因為f(x)為定義在R上的奇函數，所以f (0) =0,且 f( 1) = f(1) = 2,又 T= 3 是 y = f (x)的一個周期，所以 f (2) + f (3) =f( -1) +f (0) =- 2+0=-2.(3)因為y= | f (x)| g(x)是偶函數,且|f(x)| =| f(x)| =|f(x)| ,所以 |f(x)| 為偶函數.故g(x) =x2+ax+3為偶函數,即g( x

39、) =g(x)恒成立,于是(x) + a( x) + 3= x + ax+ 3 恒成立.于是2ax=0恒成立，所以a= 0.【能力提升題組】(建議用時：20分鐘)11. (2019 石家莊模擬)已知奇函數f(x)在(0, +8)上單調遞增，且 f(i) =0,若f(x1)>0,則x的取值范圍為()A. x|0< x<1 或 x>2B. x| x<0 或 x>2C. x| x<0或 x>3D. x| x<1 或 x>1【答案】 A【解析】由題意知函數f(x)在(8, 0)上單調遞增，且f( 1)=0,不等式 f (x1)>0? f

40、 (x-1)>f (1)或 f(x 1)>f ( 1).1. x- 1>1 或 0>x 1>- 1,解之得x>2或0<x<1.12.定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+ 2) =-f(x),且在0 , 1上是減函數，則有()3A.f 2 <f1-4<f1B.f 二 <f414<fC.f<f14<fD.f-<f - <f -424【解析】由題設知：f (x) =f (x2) = f (2 x),所以函數f(x)的圖象關于直線 x= 1對稱；函數f (x)是奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，由于函數f(x)在0, 1上是減函數，所以f(x)在1, 0上也是減函數，綜上函數 f (x)在1, 1上是減函數;331又 f 2 =f 2 2 =f