1、初一數學競賽系列講座(16)邏輯原理 一、 一、知識要點邏輯原理問題，并不需要多少特別專門的知識，關鍵在于審題，要認真仔細地分析題意，弄清楚各個量之間的關系，深刻理解每句話的含義。 二、 二、例題精講例1 小明、小強、小華三人參加迎春杯賽，他們是來自金城、沙市、水鄉的選手，并分別獲得一、二、三等獎。現在知道：1. (1)    小明不是金城的選手；2. (2)    小強不是沙市的選手；3. (3)    金城的選手不是一等獎；4. (4)    沙市的選

2、手得二等獎；5. (5)    小強不是三等獎。根據上述情況，小華是 的選手，他得的是 等獎。(第三屆迎春杯決賽試題)分析：顯然選手所在城市與選手獲獎情況有聯系，我們就從這里找突破口，搞清了各個城市的選手分別獲得哪等獎，問題就解決了。解：由(4)知：金城的選手獲一等獎或三等獎，又由(3)得金城的選手獲三等獎，從而水鄉的選手獲一等獎。 由(2)知：小強是金城或水鄉的選手，又由(5)得小強是水鄉的選手， 由(1)得小明是沙市的選手，從而小華是金城的選手，他獲三等獎。 例2 教室里的椅子壞了，第二天上學時，老師發現椅子修好了。經了解，椅子是A、B、C三人中的一個人修好的

3、，老師找來這三人。 A說：“是B做的。” B說：“不是我做的。” C說：“不是我做的。” 經調查，三人中只有一個說了實話，椅子是誰修的呢？分析：因為三人中只有一個說了實話，所以可以假設椅子是某人修好的，看結論是否符合“三人中只有一個說了實話”這一條件。解：(1) 假設椅子是A修好的，那么A說的是假話，B、C說的都是實話。這樣有兩人說了實話與“三人中只有一個說了實話”這一條件相矛盾，所以椅子不是A修好的。(2) 假設椅子是B修好的，那么B說的是假話，A、C說的都是實話。這樣有兩人說了實話與“三人中只有一個說了實話”這一條件相矛盾，所以椅子不是A修好的。(3) 假設椅子是C修好的，那么A、C說的是

4、假話，B說的是實話，符合“三人中只有一個說了實話”這一條件，所以椅子是C修好的。評注：本題運用先假設，再根據假設推出一個結論；如果結論與已知條件相矛盾，說明假設不成立；如果結論符合已知條件，說明假設正確。這種假設的方法是邏輯推理中經常使用。 例3 趙、錢、孫、李四人，一個是教師，一個是售貨員，一個是工人，一個是個體戶，根據以下條件，判斷這四人的職業。(1) (1)    趙、錢是鄰居，每天一起騎車上班；(2) (2)    趙年齡比孫大；(3) (3)    趙在教李打太極拳；(4) (4)&#

5、160;   教師每天步行上班；(5) (5)    售貨員的鄰居不是個體戶；(6) (6)    個體戶和工人互不認識；(7) (7)    個體戶比售貨員和工人年齡都大。解：由(4)和(1)可知，趙、錢不是教師。由(2)和(7)知，孫不是個體戶。因為假設孫是個體戶，則由(2)和(7)知，趙不是售貨員，不是工人；由(4)和(1)可知，趙也不是教師；這樣趙也是個體戶，與假設矛盾。于是我們可得出下表： 售貨員工人教師個體戶趙  ´ 錢&#

6、160; ´ 孫   ´李            假設趙是工人，個體戶是錢或李，由(6)可知，趙與錢或李應互不認識，這與(1)、(3)相矛盾，這樣可知趙不是工人。又假設趙是個體戶，由(1)、(3)、(6)可知，孫是工人，錢是售貨員，但又與(5)矛盾，所以趙是售貨員。這樣又可得出下表： 售貨員工人教師個體戶趙´´ 錢´ ´ 孫´&

7、#160; ´李´           根據(1)、(5)繼續分析，把上面的表格填滿，可得：錢不是個體戶，則錢是工人；則孫不是工人，孫是教師，最后得李是個體戶。如下表：  售貨員工人教師個體戶趙´´´錢´´´孫´´´李´´´        最后得：趙

8、是售貨員，錢是工人，孫是教師，李是個體戶。評注：分析邏輯推理問題，借助表格，能使已知條件和推出的有用結論一目了然。在填表時通常把正確的結論打“”，錯誤的打“´”。這樣可以確保推理的速度和正確性，而且不易被錯誤信息干擾。 例4今有棋子100顆，甲、乙兩人做取棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規定每次取p顆，p為1或20以內的任一質數，不能不取。誰最后取完誰為勝者。問甲、乙兩人誰有必勝的策略。解：乙有必勝的策略。由于p為1或20以內的任一質數，所以p或者是2，或者可以表示為4 k +1或 4 k +3(k為0或正整數)形式，乙可以采取如下的策略：若甲取2顆，則乙也取

9、2顆；若甲取4 k +1顆，則乙取3顆；若甲取4 k +3顆，則乙取1顆；這樣，每次甲、乙兩人取走的棋子之和都是4的倍數。由于100是4的倍數，因此余下的棋子數必定還是4的倍數。從而經過若干回合后，剩下的棋子數必定為不超過20的4的倍數。因為p不是4的倍數，所以這時甲不能取走全部的棋子，從而最終乙可以取走全部的棋子。評注：本題中，甲雖然先取，但他沒有必勝的策略。而乙雖然后取，但他能根據甲的取法，應對有序，后發制人，最終取勝。由此看出，誰能取得最后勝利，一要看他所面臨的情形，二要看他采用的策略，兩者缺一不可。 例5 有三堆小石子。每次操作從每堆中取走同樣數目的小石子(不同次操作，取走的

10、小石子數目可以不同)，或將其中任一堆(如果其小石子數是偶數)的一半小石子移到另一堆上。開始時，第一堆有小石子1989塊，第二堆有小石子989塊，第三堆有小石子89塊。能否使 (1) 某兩堆小石子一個不剩？ (2) 三堆小石子都一個不剩？(第十五屆全俄數學奧林匹克試題)分析：(1)很容易發現三堆小石子剛開始時的小石子數的末兩位數字相同，因而首先三堆各取89塊，這樣剩下的石子數是：1900、900、0，接下來將第二堆移450塊到第三堆，石子數變為：1900、450、450，再接下來三堆各取走450塊就可以了。 (2) 發現最初三堆的石子數的和是：1989+989+89=3067，它不被3整除。而題

11、目中的兩種操作方法不改變這個特征，因而可得出結論。解：(1) 可以使某兩堆小石子一個不剩。只要按如下步驟取即可。 (1989，989，89) ® (1900，900，0) ® (1900，450，450) ® (1450，0，0)(2) 最初三堆石子的總數是1989+989+89=3067，它不能被3整除。 而進行任何一次操作后所得的三堆石子的總數被3除所得的余數不變，所以不管進行幾次操作，三堆石子的總數被3除所得的余數都不為0，即不可能將三堆石子都取光。評注：本題第二步中，抓住了三堆石子的總數被3除所得的余數不變這個特征，從而使問題得到順利解決。因而解題時應認真

12、分析，抓住關鍵。 例6 人的血型通常為A型、B型、O型、AB型。子女的血型與其父母血型間的關系如下表所示：父母的血型 子女可能的血型 O、O OO、AA、OO、B B、O O、AB A、BA、A A、OA、B A、B、AB、OA、AB A、B、ABB、B B、OB、AB A、B、ABAB、AB A、B、AB 現有三個分別身穿紅、黃、藍上衣的孩子，他們的血型依次為O、A、B。每個孩子的父母都戴著同樣顏色的帽子，顏色也分別為紅、黃、藍三種，依次表示所具有的血型為AB、A、O。問穿紅、黃、藍上衣的孩子的父母各戴什么顏色的帽子？(第五屆華杯賽復賽試題)分析：因為父母都戴著同樣顏色的帽子，所以

13、父母的血型都相同，這樣血型表只需保留一、五、八、十這4行。又由于三種顏色的帽子分別表示AB、A、O三種血型，所以第八行也可劃去。這樣血型表就比原來簡單多了，再討論這個簡表就不難得出血型間的關系，從而再得出題目結論。解：因為父母都戴著同樣顏色的帽子，所以父母的血型都相同，根據血型表，只有O、O，A、A，B、B，AB、AB符合條件。又因為父母都戴著紅、黃、藍三種顏色的帽子，而三種顏色依次表示所具有的血型為AB、A、O，所以符合條件的只有O、O，A、A，AB、AB。因而，可以得出下面的簡表：父母的血型 子女可能的血型 O、O OA、A A、OAB、AB A、B、AB從上面的簡表可以看出父母的血型為O

14、的，孩子血型一定為O，即穿紅上衣的孩子，父母戴藍帽子。劃去簡表的第一行及子女血型中的O，又三個孩子中沒有AB血型，所以子女血型中的AB也可劃去，這樣只剩第二行。由第二行，父母的血型為A的，子女的血型一定為A，即穿黃上衣的孩子，父母戴黃帽子。最后，穿藍上衣的孩子，父母戴紅帽子。評注：1、本題先將問題簡化，再從最簡單的情況入手，把結果能確定下來的先確定下來，然后再繼續討論，結果不能確定下來的，就分情況討論，這種方法叫枚舉法。枚舉法在邏輯推理中常用。 2、上面的解法是從父母的血型出發分析，從而確定孩子的血型，本題也可從孩子的血型出發分析來確定父母的血型。 例7 在某市舉行的一次乒乓球比賽中

15、,有6名選手參賽,其中專業選手與業余選手各3名.比賽采用單循環方式進行,就是說每兩名選手都要比賽一場。為公平起見,用以下方法計分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分,負者扣分：每勝專業選手一場的加2分, 每勝業余選手一場的加1分；專業選手每負一場扣2分，業余選手每負一場扣1分。現問：一位業余選手至少要勝幾場才能保證他必定進入前三名？（第六屆華杯賽復賽試題）分析：6名選手進行單循環比賽，每名選手共進行5場比賽，顯然1名業余選手只勝1場不能進入前三名，5場全勝肯定能進入前三名，因而我們只需討論1名業余選手勝二場、勝三場和勝四場三種情況，看是否能保證他必定進入前三名。解：設業余選手

16、為A、B、C，專業選手為D、E、F。 (一)、如果A只勝兩場，有三種情況： （1）A勝兩名專業選手，不妨為D、E。 在B、C、F都勝D、E，而且F勝B、C時，B、C、F的分數都比A高，因此A不能進入前三名。 （2）A勝一名專業選手，一名業余選手，不妨為D、B 在E、F、C都勝D、B，而且E、F都勝C時，E、F、C的分數都比A高，因此A不能進入前三名。 （3）A勝兩名業余選手B、C 在D、E、F都勝B、C，而且D勝E，E勝F，F勝D時，D、E、F的分數都比A高，因此A不能進入前三名。 所以如果A只勝兩場，那么他不一定能進入前三名。 (二)、如果A恰好勝三場，情況比剛才要復雜。 （1）A勝D、E、

17、F。這時A比底分10分增加2´3-24分，其中又分兩種情況： 如果有一名專業選手，比如D，勝其他四人，則D比底分10增加2´2+2´1-24分，剛好與A的得分相同。從而E、F的得分均低于A，B、C兩人即使都勝E、F，他倆比底分10增加2´2+1-1+15分與2´2+1-1-1=3分，從而A必定進入前三名。 如果每一名專業選手均未全勝其他四人，那么他們的得分都低于A，A必定進入前三名。 (2) A勝兩名專業選手，如D、E，及一名業余選手，如B。這時A比底分10分增加2´2+1-1-1=3分，其中又分多種情況。 如果F恰好勝B、C中的一個

18、，那么在F勝D、E時，F的得分比底分增加4分，名次在A 之上。假設同時B、C也都勝D、E，并且B勝F，C勝B，那么B的得分比底分增加4分，C的得分比底分增加5分，因此C、B、F的排名均在A前，即A勝3場并不能保證他進入前三名。 因為前面已得到A勝3場并不能保證他進入前三名，所以A勝3場的其他情況就不需要再討論。 (三)、如果A勝4場，分兩種情況討論。 (1) A僅負于一名專業選手，比如D，這時A比底分增加5分，而專業選手E、F由于被A 擊敗，每人至多比底分增加4分，名次均在A 后面。同時B、C中至少有一人(B、C之間的失敗者)，負的場數多于A，從而名次在A 后面。所以A必定進入前三名。 (2)

19、 A僅負于一名業余選手，比如B，按(1)中所說的理由，D、E、F的名次均在A 后面，所以A必定進入前三名。 所以，如果A勝4場，A必定進入前三名。 綜上所述，一名業余選手至少要勝4場才能保證他必定進入前三名。評注：本題也采用了枚舉法，可見枚舉法是邏輯推理問題中最常用的一種方法。枚舉一定要耐心、仔細。 例8 袋內有100只球，其中紅球28只、綠球20只、黃球12只、藍球20只、白球10只、黑球10只。任意從袋內摸球，要使一次摸出的球中，一定有15只同色的球，那么，從袋內摸出的球的只數至少應是多少？分析：如果運氣好的話，一下子從袋中摸出的15只球中都是紅球，或都是綠球，或都是藍球，問題就

20、解決了。但是，運氣不是一直這樣好的，所以要一定有15只同色的球，必須從“最壞”處考慮。解：從運氣“最壞”處考慮。若一開始12只黃球、10只白球、10只黑球全摸上了，此時已摸出32只球，但15只同色的球也沒摸到。 接下來，又摸出14只紅球、14只綠球、14只藍球，但還是沒摸到15只同色的球，此時已摸出32+14´3=74只球。 接下來再摸出任意一只，就可摸到15只同色的球，這樣從袋內摸出的球的只數至少應是74+1=75只。評注：本題應用了數學中的極端原理，也就是從問題 “最壞”的情況來分析。 例9 在黑板上寫上三個整數，然后將其中一個擦去，換上其他兩數的和與1的差，將這個過程

21、重復若干次后得到17，1983，1999.問一開始黑板上寫出的是哪三個數？分析：按照操作規則，三個整數中擦去一個，換上其他兩數的和與1的差，若擦去的是三個整數中的較大者，那么這三個整數越來越小，若擦去的是三個整數中的較小者，那么這三個整數越來越大。現在經過若干次操作后，結果是17，1983，1999，顯然我們要尋找最初最小的三個整數，因而，要擦去的是三個整數中的較大者。 因為題目告訴我們的是最后的結果，所以我們要往前推，尋找擦數的規律。解：按照題意，要擦去的是三個整數中的較大者。 因為現在的結果是17，1983，1999，由于1999=1983+17-1，所以前三數中最大的是1983，即為(1

22、7，x，1983)。根據規則，有1983=x+17-1，x=1967 所以又知再前面的三數中最大的是1967，即 (17，y，1967)，又根據規則，有1967=y+17-1 y=1951。這樣，最大的數漸漸變小，直到出現比17還小。接下來，尋找擦數的規律。 設某次操作中的一組數為(a，b，c)，且0<a<b<c，則c=a+b-1，擦去c，則有(a，d，b)，此時b=a+d-1這樣，經過一次變換后，得c=a+b-1= a-1+ a+d-1=d+2 (a-1)經過二次變換后，可得c=e +3 (a-1)，經過k+1次變換后，可得c=p+k (a-1)，這說明變換的次數與最大數c

23、及最小數a有關。 1999=31+123´16=31+123´(17-1)，1983=15+123´16=15+123´(17-1)，說明經過124次變換后1999®31，1983®15。從而可知(17，1983，1999)是由(17，15，31) 經過124次變換后得來的。現在只要考慮(17，15，31)是怎么樣變換得來的。(17，15，31)¬(3，15，17) ¬(3，13，15)¬(3,11,13)¬( 3,9,11)¬(3,7,9) ¬( 3,5,7) ¬

24、(3,3,5)¬(3,3,3),則一開始黑板上寫的三個數是3,3,3評注：本題是從最后狀況去探索初始狀況的邏輯推理問題，這是一種逆向思維的方法，關鍵是找出逆向的規律。 三、 三、鞏固練習選擇題1、 1、  某學生在暑假期間觀察了x天的天氣情況，其結果是：(1)共有7天上午是晴天；(2) 共有5天下午是晴天；(3) 下午下雨的那天，上午是晴天；(2) 共下了8次雨，在上午或下午，則x等于( ) A、9 B、8 C、10 D、122、 2、  某中學初一年級有13個課外興趣小組，各組人數如下： 組別12345678910111213人數23679101114

25、1317212224     一天下午，學校同時舉辦語文、數學兩個講座。已知12個小組去聽講座，其中，聽語文講座的人數是聽數學講座人數的6倍，還剩下一個小組在教室里討論問題，這一組是( ) A、第4組 B、第7組 C、第9組 D、第12組3、甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數，規定禁止在黑板上寫已寫過的數的約數，最后不能寫的為失敗者，如果甲第一個寫，那么，甲寫數字( )時有必勝策略。 A、10 B、9 C、8 D、64、有A、B、C、D、E五位同學一起比賽象棋，每兩人之間只比賽一盤，比賽過程中間統計比賽的盤數知A賽了4盤，B賽了3盤，C賽了2盤，D賽了1

26、盤，那么同學E賽了( )盤A、1 B、2 C、3 D、45、甲、乙、丙三個人每次從寫有整數m、n、k(0<m<n<k)三張卡片中摸出一張，并按卡片上的數字取相同數目的石子，放回卡片算做完一次游戲，然后再繼續進行。當它們做了N(N2)次游戲后，甲有20粒石子，乙有10粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次乙摸的是k，那么第一次游戲時，摸到n的( )A、必是甲 B、必是乙 C、必是丙 D、或甲或乙6、體育館內正在進行一場乒乓球雙打比賽，觀眾議論雙方運動員甲、乙、丙、丁的年齡：(1)“乙比甲的年齡大”；(2)“甲比他的伙伴的年齡大”；(3)“丙比他的兩個對手的年齡都大”；(4)“甲

27、與乙的年齡差距比乙與丙的年齡差距更大些”。根據這些議論，甲、乙、丙、丁的年齡從大到小的順序是( )A、甲、丙、乙、丁 B、丙、乙、甲、丁 C、乙、甲、丁、丙 D、乙、丙、甲、丁填空題7、甲、乙、丙三位老師分別上語文、數學、外語課。 (1) 甲上課全用漢語；(2) 外語老師是一個學生的哥哥；(3) 丙是一個女的，比數學老師年輕。則甲上 課，乙上 課，丙上 課。8、某樓住著4個女孩和2個男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲。最大的男孩比最小的女孩大4歲，最大的女孩比最小的男孩大4歲，那么最大的男孩是 歲。9、甲、乙兩人在說李偉和江海的職業。甲說：“李偉是演員，江海是教師。”乙說：“兩

28、人之中一個是演員，另一個是教師。”已知甲、乙兩人中一個說真話，另一個說假話，則李偉是 ，江海是 。10、7個男生和7個女生一起跳舞，規定男生不和男生跳舞，女生不和女生跳舞，跳舞結束后，各人記得自己跳舞的次數分別為：3，3，3，3，3，5，6，6，6，6，6，6，9，9，則其中有人記錯嗎？ 11、某參觀團根據下列約束條件，從A、B、C、D、E五個地方選定參觀地點：(1)若去A地，也必須去B地；(2) D、E兩地至少去一地；(3) B、C兩地只去一地；(4) C、D兩地都去或都不去；(5)若去E地，A、D兩地也必須去。則該參觀團最多能去的地方是 12、將1、2、3、4、5、6、7、8八個數分成兩組

29、，每組4個數，并且兩組數之和相等。從A組拿一個數到B組后，B組五個數之和將是A組剩下三數之和的2倍；從B組拿一個數到A組后，B組剩下三數之和是A組五個數之和的。則A組是 B組是 解答題13、在三個盒子里，一只裝有兩個紅球，一只裝有兩個白球，還有一只裝有一個白球一個紅球。現在三個盒子上的標簽全貼錯了。你能只從一只盒子里拿出一個球來，就確定這三個盒子里各裝的是什么嗎？14、甲、乙、丙在南京、蘇州、無錫工作，他們的職業分別是工人、農民和教師。現已知：(1) 甲不在南京工作；(2) 乙不在蘇州工作；(3) 在蘇州工作的是工人；(4) 在南京工作的不是教師；(5) 乙不是農民。問三人各在什么地方工作？各是什么職業？1