1、第一章數學思想方法概述1 .數學思維方法將思維、數學思維、數學發展中的發現、發明、創新的思維過程 作為自己的研究對象。2 .思維是人腦借助于語言對客觀事物的本質及其規律的間接與概括的反映。3 .思維的特征：方向性，概括性、間接性4 .數學思想方法的兩個源頭：歐幾里得 幾何原本和古代中國九章算術5 .數學思想方法的發展概述：從算術到代數是數學思想方法的一次重大發展。從綜合幾何到代數幾何是數學思想的一次質的飛躍。從常量數學到變量數學是數學思想方法的一次根本變革。從必然數學到或然數學是數學思想方法的一次深刻變革。從明晰數學到模糊數學是數學思想方法的一次辯證演變6 .數學思維：人腦在和數學對象交互作用

2、的過程中, 運用特殊的數學符號語言以 抽象和概括為特點，對客觀事物按照數學自身的形式或規律做出的間接概括的反 映。數學思維是由數學對象，并且主要是由數學問題推動發展的。數學思維的過程就是不斷提出問題和解決問題的過程。7 .數學思維簡單地分為：具體實踐問題的數學化思維，具體數學問題的解題思維8 .數學思維的特.征:.高度抽象性一形式化的嚴謹性表現方式的多樣性一_9 .數學思維方法是由數學的符號、概念、語言，按照數學特定的規律、法則，運用數學思維在數學領域中形成的一種方法。10.數學思維方法分類按照使用范圍不同：宏觀數學方法，微觀數學方法按照邏輯形式不同：邏輯思維方法，非邏輯思維方法按照解決問題的

3、方式不同：程式化思維方法，發現性思維方法（帶有個人特性， 主觀色彩，獨立特性）按照階段或數學分支領域的不同，可以分為不同的帶有專業特征的思維方法11數學思維方法的研究和發展與以下三個方面相聯系一一數學思維方法研究緊緊跟隨和運用數學方法論的內容數學思維方法的教學，不僅強調數學方法具有的方法論的意義，還強調說明在這些數學方法中，數學思維活動的積極意義數學思維方法的教育內容，更應該與非邏輯思維、創造性思維相聯系12 .數學思維方法的層次性：哲學，一般方法論，數學某分支，初等數學13 .在現代數學教育中，數學思維的教學有三方面的意義：數學思維的教學可以培養人對數學觀念、數學思想、數學理論的廣泛理解。數

4、學思維的教學可以使人們在處理問題是迅速抓住事物本質，從而找到解決問 題的方法。數學思維的教學可以使人們形成良好的思維習慣，增強人們在處理問題時的應變能力。14 .在中小學教育中，要通過“數學常識”和“數學思維能力”的組合來培養“數學智力”15 .中小學的數學素養:.懂得數學的價值對自己的數學能力有信心“有解決數. 學問題的能力，學會數學交流，學會數學的思維方法。16 .從數學教育的角度分析有關數學思維方法的學習，我們應該明確一下三個方面的問題：數學思維方法的學習，是對一個數學專業的學習者、數學專業未來教師應有數學能力、專業素質的培養數學思維方法是一個剛剛開始研究的領域，因此我們的學習過程也是一

5、個參與 研究和討論的過程數學思維方法可以使人了解數學理論發展變化中的數學家思維方式的變化，也 是對大學數學專業學習的一個反思過程。第二章 數學中幾種重要的思維方法1 .算術的發展演變、符號的誕生以及算術向代數的發展表現了數學思維方式中數 量形式和內容之間關系的變化與發展。2 .算術的主要內容是有關自然數、分數和小數的性質及相關的四則運算。3 .數量符號脫離了事物原有屬性，是一種抽象化、數理化的符號。4 .算術解題的思維方式的 關鍵，是把已知的數量符號運用加、減、乘、除連接起 來，簡歷其解決問題的數學算式。5 .代數解決問題的思維方式中 最關鍵的思想 是，把未知量作為一個同已知量有相 同意義的數

6、量符號同已知量一起組成關系式， 并按等量關系由符號相連列出方程， 然后通過方程的恒等變換或同解變換等求出未知量的數值。6 .數學具有高度抽象性，這種抽象性以形式化為特點。7 .對于中小學的數學教育，算術向代數發展的數學思維方式的演變可以給我們提 供兩種啟示：數學的形式與內容中，當我們認識到數學是一種形式的時候，更應注意這種數 學形式多反映的內容。數學的形式都與具體內容相關，尤其是算術與代數的學習，更應注重內容與形 式的結合。8 .在數學的思維中，最先作為思維語言符號的就是 數量與幾何圖形，數學的發展X 11 I 1 . I - E - - -a 1 - 1 - - = * . = - - -

7、* - - - . - - - 1 1 . i 1 - 1 - - 一- - - - = 3 - - 1 -I -，1 - - - - - l - r. ,也是以數與形作為兩個最基本的研究對象“www_v.rwvw. xwwwiwwwiwwwhiwwiwwmwwiwwuwww9 .空間思維轉變的意義：古希臘的思維方式，有一個從畢達哥拉斯“萬物皆數”的數量思維觀念向柏拉 圖的“世界是由幾何圖形構造”的空間思維觀念的轉變過程人們的空間思維由靜態轉向動態發展空間思維與數量思維的結合，使原來空間圖形具有的明顯直觀性和經驗性的特 征開始轉變，拓廣了人們原有的歐幾里得式的空間思維使代數的一些內容具有了直觀

8、的圖形意義，更為重要的是使人民對代數形式所表現的結果有了 一種形象直觀模型的思維追求。10變量數學的發展是由解析幾何提供直觀前提，并且由無窮小量計算方法一一 微積分的創立而最終完成的。描述非勻速運動物體的軌跡求曲線在某一點的切線求變量（函數）的極值計算曲線長度、曲變形面積，曲面體體積、物體的重心及大質量物體間的引力等。12 .變量數學思維的意義:變量數學的確立，使人們對世界的思考由靜止物體的數學思維發展到對運動物 體的數學思維變量數學的發展，對數學自身的成長起到了重要的推進作用無限的觀念、無限的數學思維在微積分中的出現，使人類認識世界的能力有了 提高13 .三大數學危機：無理數的出現無窮小的運

9、算、論證與表述所產生的如何認識無限的問題（芝諾悖論）與康托集合論相關的無限問題（羅素悖論、理發師悖論）14 .三大基礎學派：形式主義、邏輯主義、直覺主義15 .必然性研究的數學：人們知道某事物開始的原因后就可以明確地預知它的結- - . W U J-L bd - - - m-果或然性研究的數學：不能確定某些現象是否會出現- - - 4_ - - - a-, - - ,16 .概率論發展的最重要的思想是如何認識在隨機現象之后的統計規律性17 .概率論提供的數學思維方式的意義一一隨著隨機現象的研究，推動了原有的 必然性數學理論的發展，對隨機現象的數學描述，使人們對世界發展變化的客觀 規律有了深入的

10、理解18 .數學明確化的理論基礎是集合理論，它把數學對象的確定性、差異性準確無 誤地表述出來，數學各種分支都以集合論作為理論的基礎。19 .對于數學的教育而言，模糊數學的創立對我們的數學教育活動有兩個方面的 積極作用一一使人們認識到數學作為人類的理性創造是無止境的，模糊數學的思 想與方法為我們進行探究性學習、參與學習提供了新的案例。20 .中國古代數學基本上遵循了一條從生產實踐中提煉出數學問題，經過分析綜合，形成概念與方法，并上升到理論階段。21 .古代數學思維對現代教育的意義：唯理性的追求數學的形式、結構的方式不是數學的唯一發展方式直觀性、實用性是初等數學的重要特性籌算運演工具性特征的啟示第

11、三章數學思維中的邏輯思維與非邏輯思維1 .邏輯思維的主要類型：形式邏輯、數理邏輯、辯證邏輯形式邏輯的主要思維形式規律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由論主要思維方法比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹2 .邏輯思維的基本規律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由論同一律的要求：在同一思維過程中，使用概念的內容必須保持同一，不能任意改變；對正確思維的要求是必須保持判斷的同一性。充足理由論的要求：理由必須真實，理由與推斷之間要有邏輯聯系3 .數學邏輯思維的基本形式L數學概念、數學判斷、.數學推理數學概念是數學思維最基本的形式，它是對客觀事物的數量關系、空間形態或結構關系的特征的概括數學概念的相容關系有：

12、同一關系、從屬關系、交叉關系數學概念的不相容關系有：、對立關系、矛盾關系數學判斷的表現形式：公理、定理數學思維的形式。其 最終表現形式是形成邏輯形態的命題最常用的數學推理包括：歸納推理、演繹推理歸納推理分為：完全歸納推理、不完全歸納推理不完全歸納推理分為：枚舉歸納、因果關系歸納演繹推理是由一般到特殊的思維方法4 .非邏輯圈！!包括三龍呈思維二直覺思維、一靈感思維、一思理思、維_形象思維是以直觀形象和表象 來思考問題的思維，它不是以概念為單元來進行 思維，而是以直觀形象來進行思維。直覺思維的特征：非邏輯性、直接性、模糊性直覺思維的作用：選擇作用、創新作用靈感思維的特征：長期思維后的突發性（偶然性

13、、下意識性） ，模糊性與突逝- m-L -m-mj- m- . W . VU m.a-.WWMWWWWUWWWWMWWWWWWWIWWWIWWWMWWWWWWWWWWWWMWWWWUWWWWWV .J JI.-L=W-=_naIWWiWWWWVMWWlWWWWMVWWWWWWWVfVHB- W VW、- .L.I-L；-. WY,WWMWWWWWWWWb性數學想象的特征：形象性、概括性、直覺性、整體性5 .創造性思維的特點：創見性、新穎性是創造性思維的主要標志發散思維與收斂思維相結合是創造性思維的基本圖式積極地創造性想象與現實統一是創造思維的重要環節專注于靈感是創造性思維的重要特點6 .激發創

14、造性思維的發生，培養和鼓勵學生創造性思維，我們應該注意四個方面：在培養創造性因素方面，教師要設法引起學生的數學興趣，并且積極地提出問題來參與數學的教學活動在數學知識和方法的儲備方面，使學生根據自己的理解主動地掌握數學的知識和方法在數學思維方式方面，由于邏輯思維是數學知識和理論的主要表現形式，因此 應當格外注重非邏輯思維的培養在具體創新思維方面，由于創造性思維方法已經有很多成熟的廣泛運用的方 法，所以在數學教學中應當有意識地學習或運用它們，使之與數學某些具體的 問題相結合。第四章 數學的解題及發現的方法1 .觀察與實驗在數學中的意義：要求學生在數學教育、數學學習中，學會、掌握 并運用觀察和實驗的

15、能力，實際上就是要在中小學的數學教學中，培養學生數學 學習的個體經驗、運用數學解決問題的能力和對數學的興趣及信心；更為重要的 是通過學生自己的觀察與實驗，得到對數學概念、數學運算、數學理論的個體體 驗和個體理解。2 .觀察與實驗在數學中的運用：其一是解決和驗證數學理論，其二是解決具體的 數學問題3 .數學解題的目標是：通過解題加深對知識的理解，尤其是加深對基本概念、公式和理論的理解，使 抽象的數學知識具體化學會在解題中運用數學知識，增強自己解決實際問題的能力，尤其是把數學知 識運用到具體問題的能力掌握數學思維方式，培養自己數學創造性思維的能力4 .數學解題的一般程序：弄清楚問題，分析和制定解題

16、步驟，完成解題計劃并檢驗，解題后的研究5 .數學解題的一般思路：調動知識儲備把它們組織起來，按解題要求把知識重新組合6 .合情推理：一種合乎情理的推理 _=llnLTL七- - -_ ._ 一 一 一 - -一 1-合情推理強調了一種思維的 主動性、情感性和試錯性7 .合情推理中最常用的是類比推理和歸納推理。 VManjHnBBBVHBBnnnBBnAnBBnnMnr類比推理是根據兩個不同對象的某些方面（如特征、屬性、關系等）相同或相似，推導出或猜測出它們在其他方面可能具有相同或相似的思維形式。它的思維進程是特殊到特殊的推理方式。歸納推理：合情推理中的歸納推理指不完全歸納推理，是 從個別到一般

17、，從經驗事實或實驗事實到理論的一種尋找真理和發現真理的方法。8 .波利亞在論及類比合情推理的作用時，認為它可以在三個方面發揮作用：可以提出新問題和獲得新發現可以在求解問題中得到應用可以用來對猜測進行檢驗9 .經驗歸納法的作用一般可以分為：發現、猜測問題的答案；發現、猜測解題的方法10 .數學猜想：人們根據已知的某些數學知識和某些事實，對數學的某些理論、方法等提出一些猜測性的推斷11 .數學猜想的特征：待定性（可研究性），創新型12 .數學猜想一般表現：提出新問題，預見新事物，揭示新規律，創造新方法等13 .對于中小學數學教育而言，數學猜想的意義：運用數學知識、方法，鼓勵學生積極參與數學活動、增

18、強對數學的理解和學會自己動手解決具體問題第五章數學的公理化方法1 .數學的公理化方法是第一次完整地表現在幾何原本中的數學方法2 .公理化方法：也稱為公理方法，就是從盡可能少的無定義的概念（基本概念） 去定義其他的一切概念，從一組不證自明的命題（基本公理或公社）出發，經過 邏輯推理證明其他的一切命題，進而把一種學科的知識建構成為演繹系統的一種 方法。3 .由原始概念（基本概念）、公理所構成的演繹系統成為公理系統（公理體系） 公理化方法是構成公理系統的方法，公理系統是由公理化方法得到的數學理論 體系。4 .基本概念：不加定義的概念。（具有必要性、獨立性、完備性）定義概念；也稱為派牛概念、導出概念，

19、指由初始概念定義的概念原始命題或公理;一不證明的命題定理:一經過公理推演出來的命題5 .亞里士多德提出了歷史上第一個成文的三段論式的演繹方式的公理化方法。第一次把公理化方法系統用于數學中的是古希臘的歐幾里得，他把形式邏輯的 公理演繹方法應用于幾何學1899年希爾伯特的幾何基礎問世，這是公理化方法在近代發展的代表作， 它把歐幾里得幾何原本為代表的公理化方法建成了一個完備的、形式化的公 理體系6.歐幾里得列出五個公設和五個公理，公理是適用于一切科學的真理，而公設則 只用于幾何。歐幾里得幾何原本中以直觀幾何背景為基礎構成的體系，它代表的是“實質性公理體系”（也稱實體性公理體系），這種公理化方法也稱為

20、實質性公理化方 法。歐幾里得從上述的五個公設和五個公理出發，推出了 465個命題。五個公設為：由任意一點到任意一點可作直線一條有限直線可以繼續延長以任意點為中心及任意的距離為半徑可以畫圓凡直角都相等同平面內一條直線和另外兩直線相交，若在某一側的兩個內角的和小于二直角，則這二直線經無限延長后在這一側相交五個公理為：跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的等量加等量，總量仍相等等量減等量，余量仍相等彼此重合的東西是相等的整體大于部分7.羅巴切夫斯基引入了一個與第五公設完全相反的公設：過平面上一個已知直線外一點至少可以引出兩條直線與已知直線平行。8羅巴切夫斯基的新幾何一一銳角假設的雙曲式幾何黎

21、曼一一鈍角假設的橢圓式幾何從而非歐幾何被人們所承認9 .非歐幾何對公理化方法的發展產生了重大的影響：人們可以采取一個與之相反的公理并發展成為另一個新的公理體系為公理化的推廣和建立新的理論提供了已經，大大提高了公理化方法在數學中的地位非歐幾何的建立標志著從實質性公理化方法向形式化公理化方法的過渡10 .幾何基礎的問世意味著公理化方法進入到了形式化的階段。幾何基礎稱為形式化公理體系，構成幾何基礎的公理化方法稱為形式化公理化方法。11 .對于公理的選擇的基本要求：協調性.（用容性或無矛盾性）.、獨立性、完備性.協調性：一個理論體系中無矛盾獨立性：不允許有一條公理能用其他公理推導出來完備性：在一個公理

22、系統中要有確保能推導出所論述的全部命題的公理12 .公理化方法最重要的作用在于運用邏輯推理的方法。13 .布爾巴基學派認為數學是由三種基本結構構成：代數結構、序結構、拓撲結構代數結構：一個集合的代數運算體系。即一個集合上規定了一種運算，并且能夠使兩個元素按照運算得到另外一個元素。序結構：集合中的某些元素之間有了先后的排序關系拓撲結構：領域、連續、極限、連通性、維數等構成一般拓撲學的研究對象14中學教材中的公理系統平面幾何公理：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線在所有連接兩點的連線中，線段最短平行公理：經過直線外一點，有一條而且只有一條直線和該直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，

23、那么這兩條直線平行邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等矩形的面積等于它的長a和寬b的積立體幾何公理：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面 內如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面平行于同一條直線的兩條直線互相平行長方體的體積等于它的長、寬、高的積夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如 果截得的兩截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等第六章數學模型方法1 .模型方法一般分為：實物模型，思

24、想模型2 .模型方法具有可重復性、可操作性，能動地反映了客觀事物的相互關系，促進了模擬、類比方法的現代化3 .數學建構：使用數學概念、數學符號、數學語言等表述出來的被研究對象的純 關系結構4數學模型的解釋一一廣義：數學中的各種基本概念都是數學模型， 因為它們都是在各自相應的原型 實體中抽象的數學模型狹義：將具體屬性抽象出來構成一種特定的數學關系結構，只有那些反映特定問題或待定事物系統的數學結構才叫做數學模型5.數學模型方法：利用構造具體問題的數學模型來解決實踐中遇到的問題6數學模型的分類一一按來源分：理論模型、經驗模型按研究領域分：經濟模型、人口模型、生態模型、交通模型等按使用的數學工具分：函

25、數模型、方程模型、三角模型、幾何模型、概率模型等按涉及的變量狀況分：離散模型、連續模型按功能分：描述性模型、解釋性模型7 .描述性模型：從特殊到一般，即從分析具體的客觀事物及狀態中，經過數學語 言（概念、符號與公式等）的描述，得到一個數學模型。最具代表性的是“格尼斯堡七橋問題”“七橋問題”結論：如果每點引出的線都是偶數條則可以一筆畫出，如果出現 兩個奇數點也可以一筆畫，但是如果出現兩個以上的點引出的線是奇數條那就不 可能一筆畫。8 .描述性數學模型分類：確定性數學模型（如代數方程、微分方程、函數方程、積分方程）隨機性數學模型（如概率論、數理統計等；布豐的投針實驗）模糊數學模型（采用模糊數學的方

26、法）9 .解釋性數學模型：由一般到特殊，即從一般的公理化系統出發，運用數學的某種結構形式對公理系統給出某種結束的一種數學模型方法。如龐加萊給出的一個非歐幾何的數學模型10 .數學模型的構造：指對現實世界中的原型進行具體地數學建構的過程11 .數學模型建構的步驟：掌握和分析客觀原型的各種關系、數量形式確定所研究原型的本質屬性，從而抓住問題的實質建立數學模型對數學模型進行運演和檢驗12 .對中小學數學模型方法的教學的注意事項：通過對數學模型的構造能夠深入地認識和理解數學的本質特征運用數學模型的直觀、形象作用，強化學生的數學感受能力引導學生學會運用典型的數學模型方法，解決具體問題第七章化歸法1 .“

27、化歸”就可理解為 轉化、歸結的意思。數學中的化歸法是指把待解決的問題歸結到一類已經解決或者比較容易解決的.問題中，從而求得原問題解決的一種方法，化歸法有時也稱為化歸原則?；瘹w法的核心思想是指對問題的轉換化歸法的特征是轉換、轉化2 .熟化：向自己熟知、熟練的問題上轉化3 .外部的化歸法：其一是把一個實踐問題化為數學問題（建立數學模型過程）其二是解決數學問題的求解問題4 .變形法包括：等價變形，恒等變形，同解變形，參數變形5 .在中小學數學中等價變換大體有如下兩個方面：在數的方面一一有等值變換，同余變換，同解變換等在形的方面一一有合同變換，相似變換，等積變換等6 .恒等變形包括：多項式的恒等變形，

28、分式的恒等變形，有理式的恒等變形，對 數式的恒等變形，三角式的恒等變形等7 .同解變形：在等價轉化思想的指導下，通過等價的變換，使原來的等式與變形 的等式有相同的解8 .關系映射反演方法，也稱關系映射反演原則，或簡稱 RMI方法9 . RMI方法是通過映射，定映，反演三個主要步驟來解決問題的第八章逐次漸進方法1 .逐次漸進方法的分類：一類是對數學問題解法的逐次漸進方法，另一類是對數學問題本身的逐次漸進方法所謂數學問題解法的逐次漸進方法，是指對數學問題先給出一個可行的或近似 的初始解，然后以這個初始解為基礎，按一定的程序給出一個解的序列，這個解 序列的極限就是該問題的最后解。所謂數學問題本身的逐

29、次漸進方法， 是指我們在研究數學問題時，從較大的范 圍開始逐步縮小問題的范圍，通過對這些縮小范圍的數學問題的解決，并且通過 對解決問題方法的分析、綜合等獲得對原來問題解決的一種方法。2 .逐次漸進方法的應用：逐次試驗、選擇方法；逐步逼近與無限逼近的方法；遞 推法；遞歸法遞歸法：把未知對象排成一個序列，并先求得第一個未知對象的結果，然后利用已經獲得的第一個未知對象的結果，求得第二個未知對象。3 .類比猜想：依據兩類對象之間存在的某些相同或相似的特征、屬性、形式，猜 測它們可能存在其他方面相似的特征、屬性或形式的一種思維方式第九章 數學中常用的幾種方法1 .分析法：執果索因2 .綜合法：由因導果3

30、 .形式化數學形式化的教學和解決問題時應該注意兩點：強調內在規律、規則的限制具體問題的數學形式化解決答案要符合實踐要求中小學的數學是處于與實踐問題密切聯系的特殊的形式化階段中小學數學也是數學的形式，因此它必然是形式化的表現形式由于特定的年齡段學習心理的局限以及中小學數學教學目標的要求，數學的形式化都隱其后，而以現實、生動的數學問題來表現數學的形式化數學中常見的形式化的問題有：數量及關系的形式化（用字母、符號表示數量 及關系）、概念定義形式化（用符號表示數學概念）、命題及證明形式化（如數理 邏輯語言符號）等數學的形式化發展，經歷公理化方法的階段：實質公理化，形式公理化，元數學的建立元數學的目標要

31、論證數學的無矛盾性以及理論構成的嚴謹、完美4.演繹法：從一般原理推出個別結論。由大前提、小前提、結論組成的三段論式 的論證推理。演繹法的注意事項一一掌握演繹法運用的形式化特點必須嚴格遵守其形式化的規則，必須清楚每一步推理、每一步運算的前提依據 是什么應用形式化的演繹方法時，應當注意前提條件的內涵5 .構造法 數學是數學符號的表達式 構造法：也稱構造性方法，指數學中的概念和方法，按固定的方式經過有限個 步驟能夠定義的概念和能夠實現的方法。 構造法的特征：對所討論的對象能有較為直觀的描述；不僅能判明某種數學結 論的存在，而且能夠實現運演操作并求出具體的表達效果6 .反例法反例法：建立在數學證實的理

32、論與邏輯推理基礎上的并且具有一定否定作用的 例子-反例法的作用一一有助于發現原有數學理論的局限性，從而推動數學的迅速發展有助于澄清數學概念和理論，從而使人們深入理解數學的內涵有助于數學的學習，提高數學學習的興趣和研究、構造數學的能力構造反例的方法：特例選擇，性質分析，類比構造等7.數學命題的基本形式：全稱肯定判斷，全稱否定判斷，特稱肯定判斷，特稱否定判斷第十章數學建模、數學實驗中的數學思維方法1 .數學模型化方法：通過抽象、概括和一般化，把所研究的對象或問題轉化為數 學或數學結構，即轉化為本質統一的另一對象或問題加以解決的思維方法。2 .數學模型化方法的作用：對所研究的對象處理的典型化、形式化和精確化，從 而在認知方法上也起到了清晰化和簡潔化的作用。3 .最早的數學建模專著：九章算術4 .數學建模：通過對實際問題的抽象和簡化，確定變量和參數，并根據某些變化 規律建立起的變量與