1、熱點09解析幾何【命題趨勢】解析幾何一直是高考數學中的計算量代名詞，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即兩道選擇，一道填空，一道解答題.高考中選擇部分，一道圓錐曲線相關的簡單概念以及簡單性質，另外一道是圓錐曲線的性質會與直線、圓等結合考查一道綜合題目，一般難度談中等.填空題目也是綜合題目，難度中等 .大題部分一般是以橢圓拋物線性質為主，加之直線與圓的相關性子相結合，常見題型為定值、定點、對應變量的取值范圍問題、面積問題等.雙曲線一般不出現在解答題中，一般出現在小題中.即復習解答題時也應是以橢圓、拋物線為主.本專題主要通過對高考中解析幾何的知識點的統計，整理了高考中常見的解析幾何的題型進行

2、詳細的分析與總結，通過本專題的學習，能夠掌握高考中解析幾何出題的脈略，從而能夠對于高考中這一重難點有一個比較詳細的認知，對于解析幾何的題目的做法能夠有一定的理解與應用.【滿分技巧】定值問題：采用逆推方法，先計算出結果.即一般會求直線過定點，或者是其他曲線過定點.對于此類題目一般采用特殊點求出兩組直線，或者是曲線然后求出兩組直線或者是曲線的交點即是所要求的的定點.算出結果以后，再去寫出一般情況下的步驟.定值問題：一般也是采用利用結果寫過程的形式.先求結果一般會也是采用滿足條件的特殊點進行帶入求值（最好是原點或是（1.0）此類的點）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，寫出一般情況下的過程即可

3、.注：過程中比較復雜的解答過程可以不求，因為已經知道答案，直接往答案上湊即可 .關于取值范圍問題：一般也是采用利用結果寫過程的形式.對于答案的求解，一般利用邊界點進行求解，答案即是在邊界點范圍內.知道答案以后再寫出一般情況下的步驟比較好寫.一般情況下的步驟對于復雜的計算可以不算.【考查題型】 選擇，填空，解答題【限時檢測】（建議用時： 55分鐘）221. （2019福建三明一中高三月考）已知Fi，F2為橢圓C:得 J i,（a b 0）的左、a b右焦點，過原點。且傾斜角為30的直線l與橢圓C的一個交點為 A ,若AFiAF2,S F1AF22,則橢圓C的方程是（2“ xA .8B.2y_2C

4、.2 x D.6先由題意，不妨設點x,y位于第一象限，根據AF1AF2,得到OA1 -2 F1F2C,根據OA與x軸正方向的夾角為 30 ,得到A1C，2c,從而由S F1AF2.-31c cA J3,1 ,得到1 , a b 4, a b聯立，即可求出結果因為過原點。且傾斜角為30的直線l與橢圓C的一個交點為A,不妨設點A x,y位于第一象限,1因為AFAF2 ,所以 AF1F2為直角二角形，因此 OA 3EF2 c；又OA與x軸正方向的夾角為30 ,一,.J3o 1. V3 1所以 x OA cos30c, y OAsin30 c,即 A c,-c ；2222所以 S F1Af212cle

5、 2 ,解得：c 2 ,所以 A J3,1 ；1 222一.31因止匕一22-1，a b又 a2 b2 c2 4，,一 口a2 6 、x2 y2由解得：2,因此所求橢圓方程為二£ 1.b2 262故選：CA.y【名師點睛】 本題主要考查求橢圓的標準方程，熟記橢圓的標準方程， 以及橢圓的簡單性質即可，屬于常考題型.2. （2019貴州高三月考（理）已知拋物線C：y2 4x的焦點為F, Q為拋物線上一點，連接PF并延長交拋物線的準線于點P,且點P的縱坐標為負數，若 J3| PQ| 2|QF |,則直線PF的方程為（）A. 3x y 73 0B. T3x y 73 0C.石x y 百 0或

6、 V3xyT30D.x 73y 1 0【答案】D【解析】【分析】根據P的縱坐標為負數，判斷出直線 PF斜率大于零，設直線 PF的傾斜角為 ，根據拋 物線的定義，求得 cos的值，進而求得 ，從而求得tan也即直線pf的斜率，利用 點斜式求得直線PF的方程.【詳解】由于P的縱坐標為負數，所以直線 PF斜率大于零，由此排除 B,C選項.設直線PF的傾斜角為.作出拋物線y2 4x和準線x1的圖像如下圖所示.作QA PA,交準線x 1于A點.根據拋物線的定義可知 QF QA ,且 QFxAQP.依題意30|QA |QF|PQ| |PQJ3| PQ | 2 |QF |,故在直角三角形 PQA中cos故直

7、線PF的斜率為tan: § ,所以直線PF的方程為yx 3y 1 0.故選：D.考查數形結【名師點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關系,合的數學思想方法，屬于中檔題3. （2019廣東實驗中學高三月考（理）2m (, 2)是方程m 5示的圖形為雙曲線的（A.充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條D.既不充分也不必要條件方程表示雙曲線，可得m 5m 20,解得m范圍即可判斷出結論，解得m范圍即可判斷出結論.2由方程m 52-y- 1表示的圖形為雙曲線,m m 6可得m 52m m 60,即 m 5m 3m 20即 m 2,或 3 m 5 ,2m (, 2)是

8、方程 xm 52y-2m m1表示的圖形為雙曲線的充分不必要條件,故選：A【名師點睛】本題考查了雙曲線的標準方程、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.4. （2019全國高三月考x2（理）雙曲線C: ay24一ai山二1 a 0,b 0的右焦點為F ,以F b2為圓心的圓 x 3y2 2與雙曲線C的兩條漸近線相切,則雙曲線C的方程為（）2A xA .7B.2C.82D.1由已知圓的圓心即為焦點,可得c的值,利用漸近線和圓相切,列方程求出a,b,即可得雙曲線白方程.由題意知：c 3,有 a2 b29,3,0 到 bxay0的距離為3ba2 b2得 9b2 2b

9、218b22, a2 7,故雙曲線C的方程為21.故選A.2【名師點睛】 本題考查雙曲線的標準方程和性質,考查漸近線方程的應用,考查學生計算2-yy1(a b 0)的右焦點為F 3,0 ,b2能力，是基礎題.2X5. （2019廣東高三月考（理）已知橢圓E ：-2a過點F的直線交橢圓E于A、B兩點.若AB的中點坐標為1, 1，則E的方程為（）2“ xA . 452上136B.2x362L 127C.2x272y18D.2x18【解析】設 A Xi,yi ,B x2,y2,直線AB的斜率k032 X1 -2a2 x2 -2 a2 y b2 y22 后兩式相減得xx2xx22ayy2y2yy2 y

10、1 y2x1 x2x1 x21b2_ 22b ，c 2, 29, a b18,b2182y9D.6. （2019安徽高三月考（理）已知2F2是雙曲線C :91的右焦點，動點A在雙曲線左支上，點 B為圓E:x2 （y22）1上一點，則ABAF2的最小值為（A. 9B. 8C. 5aD. 673值即為由 AF2AF1 2a, AB的最小值是AEr ,轉化為求AF1AE的最小22243, F1( 2j3,0),圓 E 半徑為雙曲線上 _y_ 1中a 3, 93r 1, E(0, 2),AF2 AF1 2a AF16, AB AE BE AE 1 (當且僅當 A, E,B共線且B在A,E間時取等號 A

11、B AF2 AF16 AE 1 AF1 AE 5EF1 5 J（2>/3）222 5 9,當且僅當A是線段EF1與雙曲線的交點時取等號. AB AF2的最小值是9.故選：A.【名師點睛】 本題考查雙曲線的標準方程，在涉及到雙曲線上的點到焦點的距離時，常常與定義聯系，雙曲線上點到一個焦點的距離可能轉化為到另一個焦點的距離，圓外一點到圓上點的距離的最大值為圓外的點到圓心距離加半徑，最小值為圓外的點到圓心距離減半徑.7. （2019河北高三月考（理）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線2 2x yC：-2 y2 1 b 0,a 0的左焦點為F,點B的坐標為（0, b）,若直線BF與雙曲線C a

12、 buuu uuur的兩條漸近線分別交于 P, Q兩點，且PB 5BQ,則雙曲線C的離心率為A . 2B. -C. 73D.23 2【答案】B【解析】【分析】uuuuuin將直線BF與雙曲線漸近線聯立，可求得 x的值；利用PB 5BQ可得Xp5xq ,將x的值代入，可得3a 2c 0,從而求得離心率.【詳解】由題可知，F c,0 , B 0,b則直線BF方程為y 1 c bb又雙曲線C漸近線方程為y -x aa y i由 c b 可解得x -aj或x -a bc a a cy X auuuumr由 PB 5BQ 可知，Xp5xqacacac nrt ac由題可知： Xp , xQ ,則 c a

13、a c c ac 3關鍵在于能夠通過向量的關系得到a, c的齊化簡得3a 2c 0,所以e a 2【名師點睛】 本題考查雙曲線離心率的求解,次方程，通過方程求得離心率8. （2019山東濟南外國語學校高考模擬（理）已知Fi, F2分別為橢圓22今 4 1（a b 0）的左、右焦點，點 P是橢圓上位于第一象限內的點，延長PF2交a b橢圓于點Q,若PFi PQ,且PFi PQ ,則橢圓的離心率為（）A.志向 B. 2 42C. V3 &D. V2 1【答案】A【解析】【分析】設PF1 m m 0 ,則PF2 2a m, QF2 2m 2a,再次利用橢圓的幾何性質可得QFj 4a 2m,利

14、用QF/ J2PF1求得m后再利用 PFR 為直角三角形得到關于a,c的方程，進而可求得橢圓的離心率【詳解】設 PF1 m m 0 ,則 PF2 2a m, QF2 2m 2a, QF1 4a 2m,因為 QEl J2PF),故 m 4 272 a.因PF1PF22224c ,故 4a 2j2a2a 4a 2j2a4c2 ，整理得到36 24J2,即 c J9 6"娓 J3,故選 A. a【名師點睛】 圓錐曲線中離心率的計算，關鍵是利用題設條件構建關于a,b,c的一個等式關系.而離心率的取值范圍， 則需要利用坐標的范圍、幾何量的范圍或點的位置關系構建關于a,b,c的不等式或不等式組.

15、二、填空題9. （2019山東高三）2直線l過拋物線C： y 2Px的焦點F 1,0，且與C交于A,B兩點，則1AF1BF由題意知,所以拋物線方程為4x.聯立方程，利用韋達定理可得結果.由題意知,所以拋物線方程為當直線AB斜率不存在時:x 1代入，解得AFBF2,從而1AF1BF1.當直線AB斜率存在時:設AB的方程為y ky，聯立2 y4x2k2 4 x.2k 0,設 Ax1，y1 , Bx2,y2x1x22k2 4k2x1x21從而1AF1BF1x1 11x2 1x1x2x2 x1x2 1Xx2 21 .x1x2 2（方法二）利用二級結論:1AF1BF2口一,即可得結果.P【名師點睛】本題

16、考查拋物線的幾何性質,直線與拋物線的位置關系，考查轉化能力與計算能力，屬于基礎題.10. （2019浙江高三期中）已知橢圓222Y2 1與雙曲線 ：J -y2 bmn1共焦點,F2分別為左、右焦點,曲線在第一象PM交點為P ,且離心率之積為1.若sin F1PF22sinPF1F2 ,則該雙曲線的離心率為根據正弦定理，可得曲線的離心率乘積為設焦距為2c在三角形PF1F2 中,PF2c,根據橢圓與雙曲線定義可求得a m c ,1,可得c2 m2根據正弦定理可得結合橢圓與雙mc 0 ,進而求得雙曲線的離心率PF2F1F2sin F1PF2sin PF1F2因為sin F1PF2 2sin PF1F

17、2,代入可得F1F2 2 PF2I，所以 PF2 c在橢圓中，PF1 PF2 PF1 c 2a在雙曲線中，PF1 PF2 PF1 c 2m所以 PF1 2a c, PF1 2m c即 2a c 2m c所以a m c因為橢圓與雙曲線的離心率乘積為1即c1 ,即a c2 a mm2所以m c m化簡得c2 m2 mc 0 ,等號兩邊同時除以 m22得 c 1 0,因為 即為雙曲線離心率 m mm所以若雙曲線離心率為 e,則上式可化為e2 e 1 0由一元二次方程求根公式可求得e 1一5-2因為雙曲線中e 1所以e 152【名師點睛】 本題考查了橢圓與雙曲線性質的綜合應用，正弦定理的應用，雙曲線離

18、心率的表示方法，計算量復雜，屬于難題.22x y11. (2019浙江局三月考)已知 F1、F2分別為橢圓C：-2 - 1(a b 0)的左、右焦 a b點，點f2關于直線y x對稱的點Q在橢圓上，則橢圓的離心率為 ;若過F1且斜ujLr urnr率為k(k 0)的直線與橢圓相交于 AB兩點，且AF1 3F1B ,則k .【答案】_212【解析】【分析】根據對稱性和中位線判斷QF1F2為等腰直角三角形，根據橢圓的定義求得離心率.設uur uurA,B X2,y2根據AF1 3F1B得到y3y2 ,設出直線AB的方程，聯立直線AB的方程和橢圓方程，根據根與系數關系列方程，解方程求得k的值.【詳解

19、】. .一 一 ，.，.一 ,一 一，一 兀.由于點f2關于直線y x對稱的點Q在橢圓上，由于y x的傾斜角為-，回出圖像如下圖所示，由于O是坐標原點，根據對稱性和中位線的知識可知QF1F2為等腰直角三角形，且Q為短軸的端點，故離心率£ cos2.不妨設a J2t,b c t,則橢圓方程化a 421為x2 2y 2t 0,設直線AB的方程為x my t m , 0 ,代入橢圓萬程并化-2_2_22mt間得 m 2 y 2mty t 0 .設 A xy ,B X2K2 ，則 yi y J，m 2t2uur uury1 y2.由于AF1 3F1B，故yi3y2.解由組成的方程組得m 1,

20、m 2rr 1即一1,k 1. k故填：（1）YI； （2）1.【名師點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查直線和橢圓相交的交點坐標有關計算，考查方程的思想，考查化歸與轉化的數學思想方法，運算能力要求較強，屬于中檔題.2212. （2019浙江高考真題）已知橢圓 y- 1的左焦點為F,點P在橢圓上且在x軸的95上方，若線段 PF的中點在以原點 。為圓心，OF為半徑的圓上，則直線 PF的斜率是【答案】15【解析】結合圖形可以發現，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔 【詳解】方法1：由題意可知|OF|=|O

21、M |= c= 2,由中位線定理可得 PFi| 2|OM| 4,設P（x,y）可得（x 2）2 y2 16,2 2聯立方程土 L i 95一一 321可解得x -,x 一（舍），點P在橢圓上且在 X軸的上萬， 22153 <15求得p ,所以kPF JT54 2PF 12方法2:焦半徑公式應用解析1：由題意可知|OF |=|OM |= c= 2 ,由中位線定理可得 PF1 210M | 4,即a exp 4 xp-_35求得p 3亞，所以卜三而.2 212【名師點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、直線與圓的位置關系，利用數形結合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑三、解答題2

22、213. (2019重慶高三月考(理)已知橢圓C:14lab0的半焦距為c，圓a bO:x2 y2 c2與橢圓C有且僅有兩個公共點，直線y 2與橢圓C只有一個公共點.(1)求橢圓C的標準方程；x軸上(2)已知動直線l過橢圓C的左焦點F ,且與橢圓C分別交于P,O兩點，試問:是否存在定點uuuR ,使得RPuumRQ為定值？若存在，求出該定值和點R的坐標；若不存在,請說明理由5uur uum1)(2)在x軸上存在點R -,0 ,使得RPgRQ為定值(1)根據已知求出a,b即得橢圓C的標準方程；(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的5方程為y k x 2 ,設R m,0 ,利用韋達定理和向量的數量

23、積求出m 5 ,此時22,求出此時點Ruuu uuir7RPgRQ為定值 一；當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x 4也滿足前面的結論，即得解.【詳解】依題意，得c b 2,則 a2 b2 c2 4 4 8，22故橢圓的標準方程為 1.842當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y k x 2 ,一 、一一 .2 , 2 一.2 一.2 一 一代人橢圓C的方程，可得 2k 1 x 8kx 8k 8 08k28k2 8設 P 為，W ,Q x2,y2 ，則 x1 x2 2， x1x2 -22k2 12k2 1uurr uurg X2m, V2設 R m,0 ,則 RPgRQx1 m, y1k

24、2 18k2 8 8k2 2k2 m2k2 12k2 14k2_222_2m 8m 4 k m 82k2 1,2m2 8m 4 k2 m2 8若22k2 1為定值，則2m28m1, 2解得,n, 2m2 8m 4 k2 m2 8此時22k2 1，5 cR點的坐標為一,02當直線l的斜率不存在時，直線的方程為x2,代人2 y4不妨設P2, .2 ,Q 2,、.25八，若 R ,02uuuRP,2uur,RQuuu uur RPgRQ綜上所述,在x軸上存在點R5uuu uuur-,0 ,使得RPgRQ為定值【名師點睛】 本題主要考查橢圓的方程的求法，考查橢圓中的定點定值問題,意在考查學生對這些知識

25、的理解掌握水平.14. （2019陜西高考模擬（理）已知拋物線C;2y 2 Px 過點 A 1,1 .1求拋物線C的方程;2過點P 3, 1的直線與拋物線C交于M, N兩個不同的點（均與點A不重合），設直線AM , AN的斜率分別為k1 ,k2,求證：kik2為定值.【答案】(1) y2 x. (2)見解析.【解析】【分析】(1)利用待定系數法，可求拋物線的標準方程;(2)設過點P (3, -1)的直線MN的方程為X t y 13,代入黃=*利用韋達定理，結合斜率公式，化簡，即可求 匕？&的值.【詳解】(1)由題意得2p 1,所以拋物線方程為 y2 X.設M x,y1 , N X2,y

26、2 ,直線MN的方程為x t y 13,代入拋物線方程得 y2 ty t 3 0.所以 t 28 0, yy2所以k k y 1 y2 1 y1 1 y21k1 k222x 1 X2 1y11 y2 1t, y1y2t 3 .1111y1 1 y2 1y y2 y y2 1 t 3 t 12所以k1 , k2是定值.【名師點睛】求定值問題常見的方法從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.22x y15. (2019江蘇金陵中學局考模擬)已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： -2 e 1a b(a>b>0)離心率為

27、盤，其短軸長為2.2(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖，A為橢圓C的左頂點，P, Q為橢圓C上兩動點，直線 PO交AQ于E,直線1 uuuruuur uuuQO交AP于D,直線OP與直線OQ的斜率分別為 k1,k2,且k1k2= - , AD DP, AE2uuuEQ (入，科為非零實數)，求 %+/的值.2【答案】（1） ± y2 1 ； （ 2） 12【解析】【分析】(1)由題意可得b=1,運用離心率公式和 a, b, c的關系，可得a, b,進而得到橢圓方程；(2)求得A的坐標，設P (X1, y1)，D (x0, y0),運用向量共線坐標表示，結合條件c1c2k2c C求得

28、P的坐標，代入橢圓方程，可得 *=2 ，同理得 長=彳，即可得 好+P1 2k21 2k；的值.【詳解】(1)因為短軸長2b= 2,所以b= 1,又離心率e= c 乂4 ,且a2- b2= c2, a 22解得a= ,72 , c= 1,則橢圓C的方程為 +y2= 1;2（2）由（1）可得點 A （ >/2 ,。），設 P （X1, y1） , D （xo, yo）,則 y1 = k1X1, yo=k2X0,uuir由ADuiu _DP 可得 Xo+72 =入（x B、X3 - xo）,yo=入（y1 一 yo）,即有 Xo=X12 , y1L 11, ，. 5、y0 , k1X1=y1

29、=yo=k2Xo=k2（X1）兩邊同乘以k1，可得k12X1= k1k2(X1- Y2 )1% 2-（X1-絲），2解得X1 =21 2k12 ,y1' 2,012-k1,將P（X1, y1）代入橢圓方程可得 f= -一3T ,2k11 2k2uuu由AEUirEQ可得j-t2k2%，可得修+ 7= 1 .1 2k222E ：當與 1(a b 0)的離心率 a b為旦，E的左頂點為 A,上頂點為 2B，點P在橢圓上，且PF1F2的周長為4 2 J3 .(D求橢圓的方程;【名師點睛】 本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式和基本量的關系，考查直線方程和向量共線 的坐標表示，以及化簡整

30、理的運算能力，屬于中檔題.16. (2019黑龍江高三期中(理)如圖，已知橢圓(I)設C,D是橢圓E上兩不同點，CD/AB ,直線CD與x軸，y軸分別交于 M,N uuur uur uuur uur兩點，且MC CN,MD DN ,求的取值范圍.2【答案】(I) L y2 1 ； ( I) (, 2(2,).4【解析】試題分析：2利用題意求得a2 4,b2 1,所以橢圓的方程為y2 1 ;4(2)利用題意求得的解析式，結合m的取值范圍可得的取值范圍是,22,試題解析：2a 2c 4 2、3(i)由題意得：c jwe a 22a2 4,b2 1,所以橢圓的方程為 土 y21 ;41(I)又 A

31、2,0 ,B 0,1 ,所以 kAB -.1由CD/AB ,可直線CD的方程為y -x m.2由已知得 M 2m,0 ,N 0,m ,設 C x1,y1 ,D x2,y21y 2x2mx 2m2 2 0.-2_22-2m4 2m220m22,2所以 x1 x22m,x1x2 2m 2 ,uuur由MCCCN 得 x12m, y1x1，m y12muuuuLULT所以x1 2m x1即 1，同理MDDNx11町x2所以2 2m 1 x12 2mx(x2x2Mx22m22m2 1 m2 1由m2 222, 所以22,【名師點睛】：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系.涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.17. （2019北京高考模擬（理）已知橢圓C的兩個焦點分別為F11,0 ,F2 1,0 ,長軸（I）