1、第二輪中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)題的選擇與利用王亞權(quán) （浙江省杭州文瀾中學(xué)）摘要：學(xué)好數(shù)學(xué)必須多做題.進(jìn)入中考第二輪的復(fù)習(xí)階段，學(xué)生已經(jīng)做了相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，怎樣才能做到從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化，這是長期以來一直困擾著教師和學(xué)生的亟需解決的問題.精選習(xí)題是提高復(fù)習(xí)效率的前提；改編習(xí)題是提高復(fù)習(xí)效率的重要手段；有效利用習(xí)題是提高復(fù)習(xí)效率的保證. 有效利用習(xí)題的原則：“量不在多，在于落實(shí)；題不在新，在于利用！”關(guān)鍵詞：第二輪復(fù)習(xí)；精選習(xí)題；改編習(xí)題；利用習(xí)題長期以來，廣大數(shù)學(xué)教師似乎已經(jīng)形成了這樣一種共識(shí)：要學(xué)好數(shù)學(xué)必須多做題，而且應(yīng)該大量做題！學(xué)生更是埋頭做題，因?yàn)槔蠋煾嬖V他（她）們，只有多做

2、題數(shù)學(xué)才能考取高分.事實(shí)也是如此！數(shù)學(xué)大師陳省身先生在一次焦點(diǎn)訪談節(jié)目中說：“做數(shù)學(xué)，要做得很熟練，要多做，要反復(fù)地做，要做很長時(shí)間，你就明白其中的奧妙，你就可以創(chuàng)新了.靈感完全是苦功的結(jié)果，要不靈感不會(huì)來.”可見，學(xué)好數(shù)學(xué)必須多做題，提高解題能力必須多做題，這是眾多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家共同的認(rèn)識(shí).但在有限的時(shí)間里，特別是進(jìn)入中考第二輪的復(fù)習(xí)階段，學(xué)生已經(jīng)做了相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，怎樣才能做到從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化，這是長期以來一直困擾著教師和學(xué)生的亟需解決的問題.我們認(rèn)為，在要求學(xué)生做一定數(shù)量習(xí)題的同時(shí)，更應(yīng)該考慮所選習(xí)題的質(zhì)量，更應(yīng)講究習(xí)題利用的方法和策略！一、精選習(xí)題是提高復(fù)習(xí)

3、效率的前提選題是復(fù)習(xí)階段非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié).許多時(shí)候老師們普遍認(rèn)為，題目那么多，只要讓學(xué)生做或者只要讓學(xué)生照著復(fù)習(xí)用書（或資料）上的習(xí)題做就可以了.其實(shí)這是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)誤區(qū).無論是新課教學(xué)還是復(fù)習(xí)課教學(xué)，我們都必須精選習(xí)題，使所選習(xí)題更好地為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)服務(wù)，進(jìn)入中考復(fù)習(xí)的第二階段，更應(yīng)該將功夫用在這“刀刃”上.選題時(shí)我們可以從以下幾個(gè)方面考慮：1、從教科書的典型習(xí)題中選題著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生在關(guān)于數(shù)學(xué)打基礎(chǔ)問題一文中指出：“中小學(xué)生要想在解數(shù)學(xué)習(xí)題上做到既正確又迅速，必須牢固地學(xué)好這四門學(xué)科（注：指算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角）的基礎(chǔ)知識(shí)，這應(yīng)該說是唯一的秘訣罷.所謂學(xué)好是指把各學(xué)科內(nèi)容即教科書內(nèi)

4、容包括其中所有習(xí)題學(xué)得深透、演得爛熟，真正做到?jīng)]有一個(gè)定理不會(huì)證，沒有一個(gè)習(xí)題不會(huì)做的程度”1.教科書上有許許多多典型的習(xí)題，常被我們稱之為“基本題”或“典型題”，各地歷年的中考試卷都有一定數(shù)量的試題來自于教科書原題或改編.因此，復(fù)習(xí)階段的選題，我們應(yīng)立足課本，關(guān)注教科書上的習(xí)題.例1 浙教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)七年級下冊（以下簡稱“浙教版七下”，其他年級的教科書依次類推）第57頁作業(yè)題5：要在一條河上架一座橋（橋通常與河岸垂直），小聰、小明、小慧分別提供了一種設(shè)計(jì)方案（如圖1（1）.哪一種方案能使從A地到B地的路程最短？請說明理由.（1）（2）圖1分析：由于河寬（即橋的

5、長度）是不變的，所以要使從A地到B地的路程最短，只需考慮線段BC與AD的和最小即可.將線段BC作平移變換即可求解.解：小明的方案能使從A地到B地的路程最短.過點(diǎn)B作河岸的垂線，并截取BB/等于河寬CD（如圖1（2），連接AB/，交河岸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為橋的位置.理由是兩點(diǎn)之間線段最短.本題的原型是“飲馬問題”2，與此相關(guān)的習(xí)題很多，屢屢出現(xiàn)在各地的中考試卷上.變式1（2006年四川·內(nèi)江卷)閱讀并解答下面問題 (1)如圖2所示，直線的同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，在上求作點(diǎn)P，使AP+BP的值最小(要求尺規(guī)作圖，保留完整的作圖痕跡，不寫畫法和證明) (2)如圖3，A、B兩個(gè)化工廠位于一段直線形河

6、堤的同側(cè)，A工廠至河堤的距離AC為1 km，B工廠到河堤的距離BD為2 km，經(jīng)測量河堤上C、D兩地間的距離為6 km現(xiàn)準(zhǔn)備在河堤邊修建一個(gè)污水處理廠，為使A、B兩廠到污水處理廠的排污管道最短，污水處理廠應(yīng)建在距C地多遠(yuǎn)的地方? (3)通過以上解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請你嘗試解決下面問題：若，當(dāng)為何值時(shí)，的值最小，并求出這個(gè)最小值圖2圖3解：(1)略；圖4(2)如圖4，由(1)知點(diǎn)A/與點(diǎn)A關(guān)于CD對稱，連接A/B交CD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為污水處理廠的位置.設(shè)由A/CPBDP得，即.解得.所以污水處理廠應(yīng)建在距C地2 km的河堤邊.(3)參照圖4，在直線CD的同側(cè)取兩個(gè)點(diǎn)A,B,過A

7、,B分別作直線CD的垂線AC,BD,垂足分別為C,D.設(shè)AC=1，BD=2，CD=9，則，由(2)知，當(dāng)A/，P，B共線時(shí)，PA/+PB=的值最小 .同（2）可求得.所以當(dāng)時(shí)，值最小，最小值為3.【評注】本例從最基本的“飲馬問題”的作圖入手，設(shè)計(jì)了三個(gè)層層遞進(jìn)的問題，既考查了學(xué)生對基本問題的掌握情況，又考查了學(xué)生運(yùn)用基本技能解決實(shí)際問題的能力.特別是問題（3），考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力以及知識(shí)、方法的遷移能力.試題較好地體現(xiàn)了能力立意.本例給我們的教學(xué)啟示是：在注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本問題教學(xué)的同時(shí)，要運(yùn)用類比、聯(lián)想、歸納、拓展等策略提高學(xué)生的解題能力.變式2（2009年湖北·孝感

8、卷）在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n = 時(shí)，AC + BC的值最小答案：.【評注】該變式將“飲馬問題”放置到平面直角坐標(biāo)系中，通過求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)解析式及兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)等問題完成解答.圖5變式3（2009年陜西卷）如圖5，在銳角ABC中，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 .分析：作點(diǎn)N關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)N/，根據(jù)對稱性可知點(diǎn)N/在邊AC上.連接MN/，則MN/=MN，這時(shí)BM+MN=BM+MN/.要使BM+MN/的值最小，必須使點(diǎn)M，N/，B在同一直線上，且

9、這個(gè)最小值就是過B作AC的垂線段BE的長.在RtABE中，求得.【評注】該變式將原先“兩個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的求最小值問題，設(shè)計(jì)成“一個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的求最小值問題，難度有所加大.變式4 已知A，B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)（如圖6(1)），試用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)在上找出兩點(diǎn)C和D（CD的長度為定值），使得AC+CD+DB最短（不要求寫畫法）.（1）（2）圖6分析：由于線段CD的長度已經(jīng)確定，所以要使AC+CD+DB最短，只要使AC+DB最短即可.將線段BD平移（如圖6（2）至B/C的位置，問題就轉(zhuǎn)化為求AC+B/C的最小值，這由“飲馬問題”的基本模型即可求解.【評注】該變式中的線段CD相當(dāng)于例1中

10、的河寬，只不過將例1中河岸兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)變?yōu)橥瑐?cè)的兩個(gè)點(diǎn)而已. 圖7變式5 如圖7（1），桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯，高12cm，底面周長18cm，在杯內(nèi)壁離杯口3cm的A處有一滴蜜糖，一條小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3cm的B處時(shí)（即點(diǎn)A，B在同一軸截面上），突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖，問小蟲怎樣爬行到蜜糖的路徑最短？并求出這個(gè)最短路徑.圖8分析：很明顯，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑，應(yīng)該是在圓柱的側(cè)面展開圖上，連接點(diǎn)A與點(diǎn)B所用的線段.但這里有一個(gè)問題：A，B兩點(diǎn)，一個(gè)在杯子的內(nèi)側(cè)，一個(gè)在杯子的外側(cè)，小蟲必須先爬到杯子上口的邊沿，才能從杯的外側(cè)進(jìn)入內(nèi)側(cè).在邊沿上的這一點(diǎn)如何確定？如圖7（

11、2），沿經(jīng)過點(diǎn)A的母線將圓柱形杯的側(cè)面展開，展開圖是矩形MEGH，則點(diǎn)B在MH，EG的中點(diǎn)的連線上.畫出點(diǎn)A關(guān)于直線MH的對稱點(diǎn)A/，利用勾股定理求得AC+BC=A/B=15cm，這個(gè)值就是所求的最小值.【評注】該變式有兩個(gè)難點(diǎn)：一是如何將杯子內(nèi)側(cè)和外側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一側(cè)？二是杯子的側(cè)面展開圖該如何畫？突破了這兩個(gè)難點(diǎn)，才能用前面的模型來解決這個(gè)問題.變式6 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），設(shè)點(diǎn)C（1，-3），請?jiān)趻佄锞€的對稱軸上確定一點(diǎn)D，使的值最大，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).分析：先求得拋物線的解析式為，對稱軸為直線，所以點(diǎn)A關(guān)于這條對稱軸的對稱點(diǎn)就是原點(diǎn).根據(jù)“三角形的兩邊之和大于第三邊”可

12、知，當(dāng)點(diǎn)O，C，D在同一直線上時(shí)，的值最大，所以直線OC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D（如圖8）.【評注】該變式將原先的求最小值問題改為求最大值問題，方法仍然是以相應(yīng)直線為對稱軸，作出一個(gè)已知點(diǎn)的對稱點(diǎn)，利用兩直線的交點(diǎn)來求解.從以上幾個(gè)變式中我們可以看到，由一個(gè)簡單的問題（“飲馬問題”）可以演變出一系列的問題，而解決此類問題的關(guān)鍵就是找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn).像這類習(xí)題，我們可以在教科書上找到很多，命題者往往以這些習(xí)題作為基本題或基本模型，進(jìn)行改編或拓展延伸，所以我們必須重視教科書上的習(xí)題.另一方面，我們應(yīng)該意識(shí)到復(fù)習(xí)階段的解題教學(xué)，不能為解題而解題，而應(yīng)該通過解題，使學(xué)生進(jìn)一步理解

13、數(shù)學(xué)基本概念、定義和定理，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，提高解題能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊度和深刻性，滲透探究意識(shí)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，這是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)更重要的方面.2、圍繞專題中心選題如果說第一輪復(fù)習(xí)是以縱向知識(shí)為主的話，那么第二輪復(fù)習(xí)就應(yīng)該以橫向知識(shí)為主，把初中階段的各部分知識(shí)進(jìn)行橫向聯(lián)系，編制成一張縱橫交錯(cuò)的知識(shí)網(wǎng).這種橫向的聯(lián)系可以從以下幾個(gè)方面考慮：（1）按相近知識(shí)進(jìn)行分塊.如代數(shù)式（包括整式、分式、根式等）、方程與不等式、三角形與四邊形、圖形與變換、統(tǒng)計(jì)與概率等；（2）按題型進(jìn)行分塊.如開放題、操作題、探究題、應(yīng)用題、情境題、閱讀理解題等；（3）按數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分塊.如數(shù)形結(jié)

14、合思想、分類討論思想、函數(shù)思想等.如果說第一輪是復(fù)習(xí)基礎(chǔ)為主的話,那么第二輪就應(yīng)該以小綜合加提高為主，做到既系統(tǒng)地復(fù)習(xí)主干知識(shí)和核心內(nèi)容，又突出能力立意.下面以數(shù)形結(jié)合思想為例，列舉選題的策略.例2 已知實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是（ ）（A） （B） （C） （D） 分析：可以借助于數(shù)軸來比較這四個(gè)實(shí)數(shù)的大小.由條件可知：，且.因此，實(shí)數(shù)在原點(diǎn)的左側(cè)，實(shí)數(shù)在原點(diǎn)的右側(cè)，并且表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離大于表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離（如圖9（1）所示）.根據(jù)相反數(shù)的意義，實(shí)數(shù)的位置也可以在數(shù)軸上表示出來（如圖9（2）所示）.再根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則：“數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”可得答案D.圖

15、9【評注】數(shù)軸是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想最經(jīng)典的例子之一.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）提到“能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會(huì)比較有理數(shù)的大小.借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義”.教科書在處理有理數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，大多結(jié)合數(shù)軸，以幫助學(xué)生直觀地理解法則.本題借助數(shù)軸，非常直觀地看到了四個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.圖10例3（2006年山東·濱州卷）已知方程的一個(gè)根小于1，而另一個(gè)根大于1，則的取值范圍是 .分析：方程的兩個(gè)根就是函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由條件可知，這兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)（1，0）的左側(cè)和右側(cè)，大致位置如圖10所示.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)值.把代入函數(shù)解析式，即可得.【評注】本題雖說是一個(gè)方程

16、問題，解答時(shí)巧妙地將方程與函數(shù)問題結(jié)合起來，借助函數(shù)圖形直觀地判斷出當(dāng)時(shí)函數(shù)圖象的大致位置，從而達(dá)到快速而正確地解答.例4 如圖11，在正方形ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)G，則BGC與四邊形CGFD的面積之比是 .分析：由條件易知AFGBCG，其相似比為1：2.若設(shè)AFG的面積為，則可以根據(jù)相似比用的代數(shù)式分別表示各個(gè)三角形和四邊形的面積，從而求出BGC與四邊形CGFD的面積之比. 圖11解 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以ADBC,AD=BC.所以AFGBCG.因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以AFBC=12. 所以.設(shè)AFG的面積為，則BCG的面積為.因?yàn)锳FG與ABG同高，所以.所

17、以ABG的面積為，ABC的面積為.所以四邊形CGFD的面積為.所以BGC與四邊形CGFD的面積之比是45. 【評注】本題是一個(gè)幾何問題，解答時(shí)用含的代數(shù)式來表示三角形和四邊形的面積，借助代數(shù)方法有效地解決幾何問題，充分體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的思想.例5 某中學(xué)八年級（1）班的全體同學(xué)在假期里開展了自主學(xué)習(xí)活動(dòng)，在學(xué)習(xí)的過程中，全班每兩名同學(xué)都通了一次電話，互相交流學(xué)習(xí)體會(huì)，共同提高.如果該班有45名同學(xué)，那么同學(xué)之間共通了多少次電話？分析：為方便這個(gè)問題的解決，我們可以把該班人數(shù)n與通電話次數(shù)s間的關(guān)系用下面的模型（如圖12）來表示:圖12n與s之間到底存在著怎樣的關(guān)系呢？我們可以利用圖象來獲得

18、經(jīng)驗(yàn)公式：如圖13，以n作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，s作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，并用平滑的曲線連接起來；根據(jù)圖中各點(diǎn)排列的規(guī)律，猜想這些點(diǎn)在某個(gè)二次函數(shù)的圖象上；把（2，1），（3，3），（4，6）代入二次函數(shù)解析式，解得；把點(diǎn)（5，10），（6，15）代入函數(shù)解析式驗(yàn)證后符合；確定所求的關(guān)系，把n=45代入解析式得s=990.圖13 【評注】用多邊形的頂點(diǎn)表示該班的人數(shù)，則多邊形的各頂點(diǎn)連線數(shù)就對應(yīng)通話次數(shù).這里的多邊形就是一種幾何模型，借助這種幾何模型，使數(shù)與形得到了有效地轉(zhuǎn)化.另外，本例的解答還給我們另一點(diǎn)啟示：利用圖象去獲取經(jīng)驗(yàn)公式是確定兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的一種有效方法.從上述

19、幾個(gè)例題中我們可以看到，在復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想的專題時(shí)，所選的習(xí)題必須緊緊圍繞能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合這一中心.這就要求我們在平時(shí)的教學(xué)中善于積累，善于歸納，特別是在學(xué)生的作業(yè)或測試中出錯(cuò)時(shí)把它記錄下來，以作為復(fù)習(xí)的資料，這樣的復(fù)習(xí)效果會(huì)更佳.圍繞專題中心進(jìn)行選題時(shí)，我們應(yīng)采取的策略主要有兩條：一是所選習(xí)題的解答能較好地凸現(xiàn)專題的中心；二是所選習(xí)題能較好體現(xiàn)主干知識(shí)和核心內(nèi)容.3、圍繞知識(shí)點(diǎn)選題有時(shí)我們還應(yīng)該圍繞學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)或知識(shí)上的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行選題.下面以不等式為例，列舉選題的策略. 例6 （1）（2010 年浙江·衢州卷）不等式x2在數(shù)軸上表示正確的是（）-10123B-10123D-1012

20、3A-10123C（A） （B） （C） （D）（2）（2010年湖南·益陽卷）解不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來答案：（1）A；（2）.例7（2010年山東·威海卷）解不等式組： 答案：-2x5例8（2010年山東·青島卷）某學(xué)校組織八年級學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，若單獨(dú)租用35座客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨(dú)租用55座客車，則可以少租一輛，且余45個(gè)空座位（1）求該校八年級學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的人數(shù)；（2）已知35座客車的租金為每輛320元，55座客車的租金為每輛400元根據(jù)租車資金不超過1500元的預(yù)算，學(xué)校決定同時(shí)租用這兩種客車共4輛（可以坐不滿）請你計(jì)算本次

21、社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)所需車輛的租金答案：（1）175人；（2）1440元.例9 （2010年湖北·荊門卷）試確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解.解 由不等式兩邊同乘以6，得3x+2（x+1）0，解得.由不等式兩邊同乘以3, 得3x+5a+44x+4+3a ,解得x2a.所以不等式組的解集為.因?yàn)樵摬坏仁浇M恰有兩個(gè)整數(shù)解，所以12a2.所以a1.【評注】本題的難點(diǎn)在于如何確定的范圍，我們可以借助數(shù)軸.畫出如圖14所示的數(shù)軸，其中一端的數(shù)值（）已經(jīng)確定，要使該不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解，從數(shù)軸上可以直觀地看出，另一端（）必須在1和2之間，且包含2，所以12a2.圖14上述四個(gè)例題分別選取了

22、不等式解的數(shù)軸表示、解一元一次不等式、解一元一次不等式組及不等式（組）的應(yīng)用等內(nèi)容.可以看出，所選取的習(xí)題都圍繞不等式（組）專題的核心知識(shí)點(diǎn)，特別是例，既考查了解不等式組，又考查了整數(shù)解的問題，更體現(xiàn)了能力的考查.在選取這一專題的習(xí)題時(shí)我們應(yīng)采取的策略是：一是所選的習(xí)題能涵蓋本專題的主要內(nèi)容；二是所選習(xí)題應(yīng)與學(xué)生的實(shí)際需要相結(jié)合（即能針對學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)、易錯(cuò)點(diǎn)等）.4、圍繞能力培養(yǎng)選題體現(xiàn)公平性是中考命題的原則之一.為了體現(xiàn)這種公平性，所編制的試題大多都是學(xué)生所熟悉的，或創(chuàng)設(shè)一些學(xué)生能理解的問題情境，或在考查知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)側(cè)重于能力立意.因此，我們在復(fù)習(xí)中所選取的習(xí)題既要兼顧知識(shí)的落實(shí)，更要兼顧

23、能力的培養(yǎng).（1）從培養(yǎng)學(xué)生的類比、聯(lián)想能力方面考慮.荷蘭數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題一書中提到：“僅有材料不足以蓋一幢房屋，但不收集必需的材料就蓋不了一幢房屋.求解某個(gè)數(shù)學(xué)題目所需要的材料是我們以前所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)中某些與之有關(guān)的內(nèi)容，比如以前求解過的某些題目或以前證明過的某些定理.因此，從下列問題開始工作常常是合適的：你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”3這就要求學(xué)生養(yǎng)成聯(lián)想的習(xí)慣，在解題時(shí)想一想與本題相似或相近的題目、所用的方法是什么等.要培養(yǎng)學(xué)生的這種習(xí)慣和能力，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中就應(yīng)該自覺地滲透這樣的意識(shí)，在選題中學(xué)會(huì)組題，為學(xué)生的類比、聯(lián)想提供可能.所謂組題，就是教師根據(jù)復(fù)習(xí)的專題、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)

24、生的實(shí)際，選取一些有代表性的習(xí)題（相同的或相似、相近的），重新進(jìn)行組合，通過一題多解、一題多變等方式組織教學(xué)，以達(dá)到復(fù)習(xí)的目的.例10 如圖15（1），在ABC中，AD是BC邊上的中線，在AD上取一點(diǎn)E，使BE=AC，BE的延長線交AC于點(diǎn)F，求證：AF=EF.圖15證法1：如圖15（2），延長AD至點(diǎn)P，使DP=AD.由ADCPDB得BP=AC，3=P，進(jìn)而有BP=BE，所以P=1.所以2=3.命題得證.證法2：如圖15（3），延長AD至點(diǎn)Q，使DQ=DE，同上可證.例11 如圖16（1），在ABC中，AD是BAC的平分線，點(diǎn)M是BC邊上的中點(diǎn)，MEAD交BA的延長線于點(diǎn)E，求證：.圖16證

25、法1:如圖16（2），延長FM至點(diǎn)P，使MP=MF.由條件易知AEF是等腰三角形，進(jìn)一步可證得BPMCFM,從而可得結(jié)論.證法2:如圖16（3），延長FM至點(diǎn)Q，使MQ=ME，同上可證.【評注】從條件和結(jié)論上看，這兩個(gè)例題似乎并沒有多大的聯(lián)系，但證明的方法（包括所添的輔助線）基本相同.如果學(xué)生在平時(shí)的練習(xí)中已經(jīng)做過其中的一道題目，并且在解答另一道題目時(shí)能聯(lián)想到這道題目，那么這種聯(lián)想的能力就已經(jīng)得到了鍛煉.這種聯(lián)想能力對學(xué)生解題能力的提高是非常重要的.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們?nèi)绻苡幸庾R(shí)地將這樣的例題組合在一起，能更有效地發(fā)揮例題教學(xué)的功效，對提高學(xué)生的解題能力無疑也是大有裨益的.（2）從培養(yǎng)學(xué)生的抽

26、象、概括能力方面考慮.抽象、概括能力是數(shù)學(xué)中兩種重要的能力.培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括能力的途徑很多，這里僅從基本題（圖）的角度談選題.例12 我們知道：若ABCD, 則在下列三個(gè)圖中，ABE,E,CDE之間的關(guān)系分別是：在圖17（1）中，ABE+E+CDE=360°；在圖17（2）中，E=ABE+CDE；（1） （2） （3） 圖17在圖17（3）中，E=ABE-CDE. 圖18進(jìn)一步我們可以得到：如圖18，若CB1，則：.這是一個(gè)基本題，也可以說是基本結(jié)論.如果學(xué)生知道這個(gè)基本結(jié)論，并掌握其推導(dǎo)過程，那么許多類似的問題都可以迎刃而解.變式1 如圖19（1），如果ABCD，則、之間的關(guān)系是

27、（ ）（A）+=360° （B）+=180° 圖1912（C）-+=180° （D）+-=180°分析：如圖19（2）,若延長BA，則=1+，即=（180°-）+，所以+-=180°，選D.如圖19（3），若延長CD，則+2=360°，即+（180°-）=360°，同樣可得+-=180°.變式2 如圖20，已知GFDE，HGF=120°，B=30°，C=45°，CDE=30°，求A的度數(shù).圖20分析：先求得AGF=60°.由前面的結(jié)論可知，AGF

28、+B+CDE =C+A，所以A=75°.變式3 如圖21（1），已知ABCD，ABE和CDE的平分線相交于點(diǎn)F，E=140°，求BFD的度數(shù).分析：若將圖21（1）分解成圖21（2）、圖21（3），則不難發(fā)現(xiàn)：在圖21（2）中，ABE+CDE=360°-140°=220°；在圖21（3）中，BFD=B+D，所以BFD=×220°=110°.圖21變式4 三個(gè)正方形連成如圖22（1）所示的圖形，則的度數(shù)為 .分析：由于A+B=180°，所以ADBC.若將圖22（1）看成圖22（2），則有40°+1

29、24°+75°+=3×90°，解得31°.（1） （2） 圖22圖23上述這一組變式題，都是從一個(gè)基本圖形出發(fā)的.換句話說,從這幾個(gè)變式題圖中都可以抽象出類似于圖17那樣的基本圖形.我們平時(shí)遇到的大多題目（無論是代數(shù)的還是幾何的），都可以看成由若干個(gè)小題（或圖形）復(fù)合而成的一個(gè)整體，要從這個(gè)整體中分離出一個(gè)基本的、熟悉的小題（或圖形）并非簡單的事情，學(xué)生需要具備一定的觀察能力、分析能力和判斷能力.比如變式4，學(xué)生首先想到的方法是依次連接三個(gè)正方形外側(cè)的三個(gè)頂點(diǎn)，得到一個(gè)七邊形，利用多邊形的內(nèi)角和來求的值.運(yùn)用這種方法求解時(shí)，同樣需要圖形的分解：

30、如圖23，M+N=GEH.如果學(xué)生能夠抽象出圖22（2），則已經(jīng)具備了較高的抽象能力.因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們既需要培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，也需要培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，重視了選題的針對性，就為教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成作好了鋪墊.（3）從培養(yǎng)學(xué)生的反思能力方面考慮.案例1：（浙教版九上“相似三角形”第116頁例3）數(shù)學(xué)興趣小組測校園內(nèi)的一棵樹高，有以下兩種方法：方法一：如圖24（1），把鏡子放在離樹（AB）8m的點(diǎn)E處，然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE=2.8m，觀察者目高CD=1.6m；方法二：如圖24（2），把長為2.40m的標(biāo)桿CD直立在地面上，量出樹的影長為2

31、.80m，標(biāo)桿的影長為1.47m.分別根據(jù)上述兩種不同方法求出樹高.請你自己寫出求解過程，并與同伴探討還有其他測量樹高的方法嗎？圖24第一節(jié)課：教師按教材的方法處理，順利完成教學(xué)內(nèi)容.第二節(jié)課：教師先給出問題“校園內(nèi)有一棵大樹如圖（25（1），要求用相似三角形的知識(shí)求出這棵樹的高度，你能想到哪些方法？”生1：爬上樹頂.顯然，這位男生沒有聽清老師的要求.生2：在與AB垂直的方向上取一點(diǎn)E，再往前走到點(diǎn)C，然后再沿與BC垂直的方向走到點(diǎn)D，使點(diǎn)D，E，A在一條直線上，分別量出線段BE，CE，CD的長度就可算出樹的高度AB.學(xué)生一邊說，一邊在黑板上畫圖（如圖25（2），沒等這位同學(xué)說完，就已經(jīng)有許多

32、學(xué)生提出異議，因?yàn)檫@位同學(xué)用測量河寬的方法來測量樹高了，真可謂是“盤觀者清，當(dāng)局者謎”.圖25生3：在樹頂裝一盞燈，到晚上利用燈光生4：如果能夠在樹頂裝燈，那么就可以直接量出樹的高度了.我認(rèn)為利用太陽光線更好.設(shè)樹在太陽光線照射下的影子為BE，再在地上豎一根桿子這位學(xué)生到黑板上畫出如圖25（3）所示的圖形. 最后，在教師的啟發(fā)下，學(xué)生又給出了如圖25（4）、（5）所示的方法.圖25圖26接著，教師再給出了如下練習(xí)（××版教科書相應(yīng)章節(jié)的一個(gè)例題）：“古代一位數(shù)學(xué)家想出了一種測量金字塔高度的方法：如圖26所示，為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒OB，比較棒子的影

33、長AB與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB如果OB1，AB2，AB274，求金字塔的高度OB”.這時(shí)，竟有學(xué)生馬上提出了意見：這個(gè)圖不符合實(shí)際！因?yàn)?，木棒在金字塔的影子里，太陽光線剛好被擋住了.我們不得不佩服學(xué)生的觀察和思考能力！執(zhí)教者當(dāng)時(shí)沒有注意到這個(gè)問題，教材編寫者也沒有意識(shí)到這一生活實(shí)際，但學(xué)生注意到了，這是了不得的.再看看學(xué)生是在什么情況下提出這一問題的？在前面第一個(gè)問題的教學(xué)中，我們反復(fù)運(yùn)用了太陽光線，太陽光線是學(xué)生熟悉的，可以說此時(shí)學(xué)生已積累了一定的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，他們已經(jīng)具備這個(gè)判別能力.另一方面，也正是有了前面“爬上樹頂”、“用測河寬的方法”以及“樹頂裝燈”等方法的判別

34、，學(xué)生有了這種批判的意識(shí)和反思的能力，這是難能可貴的！學(xué)生需要這種批判意識(shí)和反思能力，這就需要我們在平常的課堂教學(xué)中有意識(shí)地去創(chuàng)設(shè)和培養(yǎng).案例2：在一次單元測試中出現(xiàn)這樣一道題目：“如圖27是一個(gè)棱長為4cm的正方體盒子，一只螞蟻在D1C1的中點(diǎn)M處，它到BB1的中點(diǎn)N的最短距離是（ ）圖27（1） （2） （3） 圖28（A） 8cm （B） cm （C） cm ( D) （）cm”老師給出的答案是B，學(xué)生大多選C.試卷講評時(shí)，老師先畫出如圖28所示的三種展開圖，依次求得MN的長為cm、cm、cm，由于，所以選B，學(xué)生恍然大悟.不知是誰忽然冒出一句：螞蟻怎么會(huì)從正方體的底下爬過去呢？有道理！

35、老師馬上作出反應(yīng)，其他學(xué)生也醒悟過來.這時(shí)，老師不失時(shí)機(jī)地說：根據(jù)這個(gè)實(shí)際情況，本題應(yīng)該選C.我們能否把題中的條件作一改進(jìn)，使該題的答案是cm呢？生5：把正方體用繩子懸空.生6：M，N分別是DC，BB1的中點(diǎn).一個(gè)意想不到的問題得到了圓滿的解決.長期以來，我們所接觸的實(shí)際問題都是理想化了的問題情境，教師和學(xué)生都已經(jīng)形成了習(xí)慣性思維，導(dǎo)致我們的課堂教學(xué)許多時(shí)候忽視了現(xiàn)實(shí)的問題背景（或教學(xué)情景），避免不了地進(jìn)行純數(shù)學(xué)教學(xué)，以至于大多學(xué)生仍對問題的結(jié)果不加反思.如以籃球?yàn)楸尘暗哪扯魏瘮?shù)的應(yīng)用問題，進(jìn)攻隊(duì)員進(jìn)行跳投，問跳起的高度是多少米時(shí)才能投籃筐？學(xué)生對自己求得的1.2米、4.1米等答案絲毫沒有懷

36、疑，這不能不說是一種失敗.案例3：在某練習(xí)卷上有這樣一道題目：“拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有 個(gè).”老師的答案是“3”，大多學(xué)生的答案是“2” .講評時(shí)教師特意強(qiáng)調(diào)了分類討論的思想：“坐標(biāo)軸”包括軸和軸.拋物線與軸相交時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；拋物線與軸相交時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn).因此，拋物線與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn).答錯(cuò)的學(xué)生都為自己因疏忽了一種情形而后悔不已.生7：老師，我覺得答案“2”也對. 師：為什么？說說你的理由.生7：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，這時(shí)拋物線與軸的交點(diǎn)和拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)總數(shù)就只有2個(gè)交點(diǎn).師：真聰明！老師也沒有考慮到這一點(diǎn).我們不禁被學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)所折服！從考慮問題不全面得到“2

37、個(gè)”交點(diǎn)，到分類討論得到的“3個(gè)”交點(diǎn)，最后到“2個(gè)或3個(gè)”交點(diǎn)，思維層次在不斷提升，學(xué)生的反思能力就是在這樣的情境中得到有效鍛煉的.案例4 已知一張等腰直角三角形紙板能剪出面積為24cm2的最大正方形，則該紙板的最長邊為（ ）（A）8cm （B）6cm （C）6cm （D）4cm學(xué)生的解答思路主要有以下幾種：生8：畫出如圖29（1）所示的圖形，若內(nèi)接正方形的面積為24cm2，則cm，這時(shí)cm，cm，故選A.生9：畫出如圖29（2）所示的圖形，若內(nèi)接正方形的面積為24cm2，則cm，這時(shí) cm，故選C.生10：畫出如圖29（1）、（2）所示的圖形，分別求得AB的長為cm、cm，而，故選C.圖2

38、9顯然，前兩位學(xué)生的解答都不嚴(yán)密，因?yàn)樗麄兛紤]問題不全面.那么第三位學(xué)生的解答是否就是正確的？書本提供的答案是A，是不是錯(cuò)了？帶著這個(gè)問題，我們作進(jìn)一步思考：首先考慮在等腰直角三角形中截取一個(gè)正方形，怎樣截取才能使正方形的面積最大？我們畫出如圖29所示的兩個(gè)圖形，計(jì)算如下：不妨設(shè)AC=BC=1，則AB=.如圖29（1），設(shè)正方形的邊長為，則AD=DC=，即，.如圖29（2），設(shè)正方形的邊長為，則AE=EF=FB=，即，.所以，在一個(gè)已知的等腰直角三角形中，按圖29（1）的方式截取所得的正方形面積最大. 第三位學(xué)生的解答就錯(cuò)在沒有考慮到“剪出面積為24cm2的最大正方形”這一條件.至于第一位學(xué)生

39、，雖說答案是對的，但其思考過程是錯(cuò)的，屬于歪打正著，我們應(yīng)該給予糾正.上述幾個(gè)案例給我們的啟示是：進(jìn)入中考第二階段的復(fù)習(xí)教學(xué)，教師不能停留在（或滿足于）把一道一道的題目講清楚、講完整，更應(yīng)該從學(xué)生的反饋中發(fā)現(xiàn)問題，深挖細(xì)究，真正幫助學(xué)生解決問題.二、改編習(xí)題是提高復(fù)習(xí)效率的有效手段在中考第二輪的復(fù)習(xí)中，老師們普遍存在的心理是千方百計(jì)地去找一些平時(shí)沒做過的、新穎的題目讓學(xué)生做，唯恐中考出現(xiàn)這樣的題目.這樣做的后果必然導(dǎo)致選取的題目缺乏系統(tǒng)性和針對性，免不了會(huì)出現(xiàn)一些偏題、怪題、難題，學(xué)生越做越覺得沒有信心，最終導(dǎo)致我們的復(fù)習(xí)走偏.其實(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，提高思維靈活性，教師可以從變題、編題、

40、聯(lián)題（即聯(lián)系不同或相同的題目）等角度去做.如何進(jìn)行習(xí)題的改編呢？我們可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行考慮：1、從變換條件或結(jié)論的角度改編例13如圖30，已知E、F、G、H分別為正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是正方形.圖32圖31圖30改編1如圖31，已知E、F、G、H分別為正方形ABCD各邊的三等分點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH是正方形.改編2 如圖31，已知E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH是正方形.改編3 （蘇教版九上“3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定”的例題）已知：如圖3

41、2， E、F、G、H分別為正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，AF、BG、CH、DE分別相交于點(diǎn)A/、B/、C/、D/，求證：四邊形A/B/C/D/是正方形.改編4 分別求出圖30-圖32中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比.答案：依次為12，59，15.【說明】從改編1到改編2、3，點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，但四條線段圍成的四邊形的形狀不變. 這三個(gè)改編都是從條件的角度入手的，而改編4則是從結(jié)論的角度考慮的.象這樣能體現(xiàn)從特殊到一般的變化過程、從改變問題的條件和結(jié)論的角度考慮，都是最常見的習(xí)題改編方法.2、從變換設(shè)問方式的角度改編例14（浙教版七下“分式”第170頁作業(yè)題5）現(xiàn)有甲、乙、丙三種糖果混合

42、而成的什錦糖50千克，其中各種糖果的千克數(shù)和單價(jià)如下表： 表1甲種糖果乙種糖果丙種糖果千克數(shù)102020單價(jià)（元/千克）252015 商店以糖果的平均價(jià)作為什錦糖的單價(jià)，若要使什錦糖的單價(jià)提高1元/千克，問需要加入甲種糖果多少千克？答案：10千克.改編1 現(xiàn)有甲、乙、丙三種糖果混合而成的什錦糖50千克，其中各種糖果的千克數(shù)和單價(jià)如下表： 表2甲種糖果乙種糖果丙種糖果千克數(shù)202010單價(jià)（元/千克）151824商店以糖果的平均價(jià)作為什錦糖的單價(jià)，若要使什錦糖的單價(jià)提高1元/千克，計(jì)劃從甲、乙、丙三種糖果中再加入一種糖果，問需要加入的糖果是哪一種？請求出需加入該種糖果的千克數(shù).解：（元/千克），

43、因?yàn)橹挥斜N糖果的單價(jià)大于18元/千克，所以必須加入丙種糖果.設(shè)需要加入丙種糖果x千克，則，解得x=10，經(jīng)檢驗(yàn)，【說明】改編題與原題相比，一是數(shù)據(jù)的大小和順序作了調(diào)整；二是加入的糖果是哪一種需要作出選擇，因?yàn)樘醿r(jià)前什錦糖的單價(jià)為18元/千克，所以加入的糖果單價(jià)應(yīng)該高于18元千克，故應(yīng)該選丙.改編2 （浙教版七下“分式”第165頁探究活動(dòng)）商店通常用以下方法來確定兩種糖混合而成的什錦糖的價(jià)格：設(shè)A種糖的單價(jià)為元/千克，B種糖的單價(jià)為元/千克，則千克A種糖和千克B種糖混合而成的什錦糖的單價(jià)為（平均價(jià)）.現(xiàn)有甲、乙兩種什錦糖，均由A,B兩種糖混合而成.其中甲種什錦糖由10千克A種糖和10千克B種糖

44、混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元B種糖混合而成.你認(rèn)為哪一種什錦糖的單價(jià)較高？為什么？解：甲種什錦糖的單價(jià)是：（元千克）；乙種什錦糖的單價(jià)是：（元千克）.因?yàn)?，所以.所以，若，則甲種什錦糖單價(jià)較高；若，則甲、乙兩種什錦糖的單價(jià)相同.【說明】 從具體的數(shù)據(jù)計(jì)算到抽象的字母化簡，從平均價(jià)的計(jì)算到分式的大小比較，都是題目改編的考慮角度.3、從變換問題情景的角度改編例15 (浙教版八下“二次根式”第16頁例7) 如圖33是一張等腰直角三角形彩色紙，AC=BC=40cm.將斜邊上的高CD四等分，然后裁出3張寬度相等的長方形紙條. （1）分別求出3張長方形紙條的長度；（2）若用這些紙條為一

45、幅正方形美術(shù)作品鑲邊（紙條不重疊），如圖34，正方形美術(shù)作品的面積最大不能超過多少cm2？CABD圖33圖34答案：（1）3張長方形紙條的長度分別為cm，cm，cm.（2）不能超過200cm2.改編1 (浙教版九上“相似三角形”第112頁作業(yè)題6) 給一版墻報(bào)鑲邊，需要4cm寬的彩色紙條48cm.現(xiàn)有如圖35所示的一張三角形彩色零料，其中BC=25cm，BC邊上的高為20cm.小慧給出一種裁紙方法：將AB,AC分別五等分，然后如圖連接兩邊對應(yīng)的點(diǎn)，并以這些連接線為一邊作矩形.剪出這些小矩形紙條，用來為墻報(bào)鑲邊.問小慧這種方法能滿足這版墻報(bào)鑲邊需要嗎？請說明理由.圖36圖35答案：通過計(jì)算：B1

46、C1+B2C2+B3C3+B4C4=2BC=50(cm)48（cm）. 所以這種方法能滿足這版墻報(bào)鑲邊的需要.改編2（2009年浙江·溫州卷）一張等腰三角形紙片，底邊長l5cm，底邊上的高長225cm現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖36所示已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是( )（A）第4張 （B）第5張 （C）第6張 （D）第7張答案：C.【說明】原題的情景是一個(gè)剪紙問題，考查的知識(shí)是直角三角形的性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算以及圖形面積的計(jì)算問題；改編1將三角形的形狀、計(jì)算每一張矩形紙條長度的方法及已知線段的長度等作了改變，側(cè)重于考查相似三角形的知識(shí)；

47、改編2是在改編1的基礎(chǔ)上，對三角形的形狀、矩形紙條的數(shù)量再次改變，并且體現(xiàn)了探究性.這樣的題目改編是值得我們借鑒的.例16（見例14）.改編3 甲、乙兩人兩次都同時(shí)到某米店買米，甲每次買米100kg，乙每次買米100元.由于市場因素，雖然這兩次米店售出同樣的米，但單價(jià)卻不同.若規(guī)定誰兩次購糧的平均單價(jià)低，誰的購糧方式就更合算，問甲、乙兩人誰的購糧方式更合算？為什么？分析：設(shè)前后兩次購糧的實(shí)際單價(jià)分別為元/千克，元/千克，則甲的平均單價(jià)為元/千克，乙的平均單價(jià)為元/千克.類似于例14改編2的方法可以求得乙的購糧方式更合算.【說明】本改編與例14的解答方法基本相同，只是問題情景作了變化.4、從對原

48、題的延伸（挖掘）角度改編例17（浙教版七下“二元一次方程組”第93頁例1）用如圖37（1）中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖37（2）的豎式和橫式兩種無蓋紙盒.現(xiàn)在倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫存的紙板用完？（1） （2） 圖37答案：橫式紙盒200個(gè)，豎式紙盒400個(gè).改編1 （浙教版七下“二元一次方程組”第94頁課內(nèi)練習(xí)1）如果將上述例題中的條件改為倉庫里有正方形紙板500張，長方形紙板1001張，那么能否做成若干只所說的兩種紙盒后，恰好把庫存的紙板用完？說明你的理由.學(xué)生參照例題，通過填表，給出解答：表3：只豎式紙盒中只橫式紙

49、盒中 合計(jì)正方形紙板張數(shù) 2 500 長方形紙板張數(shù) 1001設(shè)做豎式紙盒只，橫式紙盒只.根據(jù)題意，得 解之得師：根據(jù)上述解答，本題的結(jié)論該如何作答？馬上有學(xué)生舉起了手.生11：能做豎式紙盒只，橫式紙盒只.教師不表態(tài)，學(xué)生感到疑惑，稍后馬上有人發(fā)現(xiàn)答案不對.生12：能做豎式紙盒約100只，橫式紙盒約200只.教師仍不表態(tài)，學(xué)生困惑了.這時(shí)教師提醒學(xué)生仔細(xì)讀題，自己判斷上述作答是否正確.有一部分學(xué)生開始醒悟.生13：因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以庫存紙板不能恰好用完.至此，問題已圓滿解決，并且思維也得到了鍛煉，但教師并沒有因此而結(jié)束該問題的教學(xué)，繼續(xù)進(jìn)行引導(dǎo).師：你能否不解方程就作出判斷？生14：（1）+（

50、2）得：，因?yàn)檫@個(gè)方程的左邊是5的倍數(shù)，右邊不是5的倍數(shù)，所以此方程無整數(shù)解，所以庫存紙板不能恰好用完.【評注】題目改編是一個(gè)方面，組織教學(xué)是更重要的一個(gè)方面.改編是形式上的，教學(xué)是方法上的.在中考第二輪的復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們同樣需要學(xué)生的參與，需要暴露學(xué)生的思維過程，這就要求教師積極創(chuàng)設(shè)學(xué)生暴露思維的機(jī)會(huì).改編2（2009年浙江·溫州卷）某工廠用如圖37（1）所示的長方形和正方形紙板，做成如圖37（2）所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒(1)現(xiàn)有正方形紙板162張，長方形紙板340張若要做兩種紙盒共l00個(gè)，設(shè)做豎式紙盒2個(gè)根據(jù)題意，完成以下表格： 表4：豎式紙盒(個(gè))橫式紙盒(

51、個(gè)) 正方形紙板(張) 長方形紙板(張) 按兩種紙盒的生產(chǎn)個(gè)數(shù)來分，有哪幾種生產(chǎn)方案?(2)若有正方形紙板162張，長方形紙板張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完已知290<<306則的值是 (寫出一個(gè)即可)答案：（1）從上往下依次填：，.有三種生產(chǎn)方案：豎式紙盒38個(gè)，橫式紙盒62個(gè)；豎式紙盒39個(gè)，橫式紙盒61個(gè)；豎式紙盒40個(gè)，橫式紙盒60個(gè).（2）設(shè)做橫式紙盒個(gè)，豎式紙盒個(gè)，則 由（1）得. （3） 將（3）代入（2）得. 即.因?yàn)?90306，所以290306.所以.因?yàn)闉檎麛?shù)，且為偶數(shù)，所以=20,22,24.所以=293,298,303.【說明】原題是一個(gè)二元一次方程

52、組的應(yīng)用問題，改編1只是將題目中的數(shù)據(jù)作了改變，出現(xiàn)的方程組無整數(shù)解，難度并不大，但思維層次要求更高.改編2則是對原題進(jìn)行了延伸拓展，把方程組的問題改編為一元一次不等式組的問題，并且增加了一個(gè)未知數(shù)，思維層次高，難度大.從上可以看出，教師無論是命題，還是在平常的教學(xué)中，都應(yīng)該有這樣一種意識(shí)和能力學(xué)會(huì)編題，不能都是拿來主義.當(dāng)然，編題對教師的要求更高：首先教師必須大量地解題，教師只有積累了相當(dāng)數(shù)量的題目，才能把相關(guān)的題目聯(lián)系起來，才能開闊思路；其次教師應(yīng)有編題的意識(shí)，千萬不能就題論題，把現(xiàn)成的題目進(jìn)行簡單的捆綁；第三教師必須研究學(xué)生，只有了解了學(xué)生的情況，才能編制出符合學(xué)生能力和水平的高質(zhì)量問題

53、. 三、有效利用習(xí)題是提高復(fù)習(xí)效率的保證精選習(xí)題，是提高復(fù)習(xí)效果的第一步.有效利用習(xí)題，是提高復(fù)習(xí)效果的第二步，而且是關(guān)鍵的一步.特別是進(jìn)入中考第二輪的復(fù)習(xí)階段，更講究這種方法和策略，以起到以一當(dāng)十、事半功倍的作用.1、通過對題目的挖掘，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度例18 在如圖38所示的格點(diǎn)中找一點(diǎn)C，使得ABC是等腰三角形，且AB為其中一腰.圖38圖39這是一道有關(guān)等腰三角形專題復(fù)習(xí)的作業(yè)題，屬簡單題.學(xué)生都給出了如圖39（1）（3）中的一個(gè)答案，按理不需要講評.如果我們對它稍加挖掘，又會(huì)是怎樣的一種情形？延伸1：上題圖中符合條件的點(diǎn)有幾個(gè)？90%的學(xué)生回答是2個(gè).如果我們把問題改成“請你求出

54、所有符合條件的點(diǎn)”，相信大多學(xué)生能夠給出完整的答案. 這說明學(xué)生大多還是停留在就題論題上，設(shè)問的角度、方式不同，對學(xué)生思維的導(dǎo)向就不同，即使是這么一個(gè)簡單的問題也能反映出學(xué)生思維的廣度和深度. 圖40延伸2：如果將線段AB放在如圖40所示的7×7的方格中，符合條件的點(diǎn)又有幾個(gè)？這個(gè)問題對學(xué)生的思維層次要求更高.從知識(shí)的角度上講，學(xué)生要考慮哪個(gè)角是等腰三角形的頂角，體現(xiàn)分類討論的思想；從能力的角度上講，學(xué)生要在這么多的網(wǎng)格中找出符合要求的格點(diǎn)，從而把所求的問題轉(zhuǎn)化為分別以點(diǎn)A,B為圓心，以線段AB的長為半徑的圓與網(wǎng)格的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 2、通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性例19 如圖41，白棋和黑棋按如下的方式擺成正方形，則第個(gè)圖中白棋的顆數(shù)為 .圖41(1) (2) (3)解法1：觀察黑棋的顆數(shù)規(guī)律：圖41(1)：；圖41(2)：；圖41(3)：；圖41()：. 所以第個(gè)圖中白棋的顆數(shù)為，即.解法2：按如圖42所