1、中學數學教育學概論課后習題及答案第一章課后習題答案1.你認為目前我國中小學數學課程存在的突出問題主要表現在那些方面？答：（1）不注重數學的應用性和實用性； （2）不注重學生主體的活動性；（3）過于強調接受學習，死記硬背，機械訓練； （4）過分強調甄別與選拔的功能（5）過于注重知識傳授； （6）教師水平不高，不夠專業化2.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）的基本理念和課程總體目標是什么？答：標準1的基本理念：（1）數學課程應突出體現基礎性普及性和發展性，使數學教育面向全體學生，實現-人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展；（2）數學是人類生活的工具，用于交流

2、的語言，是一種人類文化，能賦予人創造性；數學學習的內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，有利于學生主動的進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動；（3）數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上；（4）評價的目的是為了全面了解學生的數學學習歷程，激勵學生的學習和教師的教學；（5）現代信息技術的發展對數學教育的價值目標內容以及學與教的方式產生了重大的影響 。標準1中確定的的義務教育數學課程的總體目標是，通過義務教育階段的數學學習，學生能夠：（1）獲得適應未來社會生活和進一步發展所必須要的重要數學知識（包括數學事實，數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用

3、技能（2）初步學會運用數學的思維方式去觀察，分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識；（3）體會數學與自然以及人類社會的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和學好數學的信心；（4）具有初步的創新精神和實踐能力，在情感態度和一般能力方面都能得到充分發展。（具體可看41頁下面的表格）3.普通高中數學課程標準（實驗）的基本理念和課程總體目標是什么？答：標準2的基本理念：（1）構建共同基礎,提供發展平臺；（2）提供多樣課程,適應個性選擇；（3）倡導積極主動,勇于探索的學習方式；（4）注重提高學生的數學思維能力；（5）發展學生的數學應用意識；（6）與時俱進地認識雙基

4、；（7）強調本質，注意適度形式化；（8）體現數學的文化價值；（9）注重信息技術與數學課程的整合；（10）建立合理、科學的評價體系.標準2中確定的普通高中數學課程的總目標是：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要。4.你認為數學課程標準下的數學教師的主要任務有哪些？答：（1）為學生創設適宜的問題情境；（2）鼓勵學生爭論數學問題，展開思維活動，幫助學習解決疑難（3）組織學生小組活動，發展學生合作學習的互動意識；（4）幫助學生建構數學知識，掌握科學的思維方法（5）指導學生數學應用，增強學生對數學的體驗和感受；（6）根據學生的年齡特

5、征和認知特點組織教學5.確定數學課程目標的依據主要有哪些？答：教育的性質，任務和目標和數學學科的特點是確定初中數學課程目標的主要依據。6.談談你對“情感與態度”這一課程目標的認識答：數學課通過“經歷（感受），體驗（體會），探索”等活動來實現情感與態度這一目標，以往的數學課程過分重視數學學科自身體系的完整和學生對基礎知識技能的理解和掌握，在很大程度上忽視了學生情感態度的培養。就在進行新的一輪課程改革的今天，知識技能教學為主的傳統教學理念仍然在影響數學課堂教學，情感態度這一目標依然沒有被大多數老師重視。我們在重視學生認知目標的達成和知識技能的形成時，不要忽視了對學生情感與態度的培養。提出了數學課堂

6、上實現情感與態度目標的做法和要求：（1）重視情境引入，讓學生感受數學與現實生活的密切聯系，逐步形成樂于接觸社會環境中的數學信息，愿意談論數學話題，并能在數學活動中發揮作用。（2）在生活中學習和運用數學知識，讓學生認識到數學是人們解決實際問題和進行交流的重要工具，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用（3）加強課堂上學生的操作實踐，豐富學生的情感體驗（4）鼓勵學生在課堂上積極進行交流與合作培養學生的集體意識和團結協作的精神，強調重視培養學生學習數學的情感與態度，更有利于學生學好數學知識和形成數學技能，它們是相輔相成的。實踐中需要提高對國家基礎教育課程改革的認識，深刻理會新課程的理念。真正

7、認識數學課不僅要實現知識技能和數學的思想方法的掌握，還要體驗數學知識形成的過程，培養學生數學的情感態度。7.談談你對數學文化的認識答：我覺得可以從以下幾點說明數學是文化：（1）數學是工具，生活和社會科學中必不可少的工具（2）數學是方法，對生活社會科學中各個問題合理解析和聯系（3）數學是創造性活動，數學來源與創造，更好的為社會生活服務（4）數學是對美的追求，例如：對稱性，黃金比例等無一不體現數學是一門具有其特有完美性的藝術（5）數學是精確而簡練的語言，數學語言，符號表達和研究數學思想有助于思維的效率（6）數學是一門有豐富內容的知識體系，更是一種精神（7）數學與人類文明共同發展，數學史追溯到最原始

8、的部落（8）數學的發展和特色受環境文化的影響，體現羅馬希臘數學史的發展總之，數學文化作為一種特定的文化研究，體現了其超自然性，社會性，廣闊性，發展繼承延續性等。第二章課后習題答案1.談談你對數學教育價值的認識答：關于數學教育價值的認識，一般從以下幾方面展開：（1）工具價值數學教育追求的宏偉目標之一就是，使學生能夠在日常生活中和工作中，把數學作為生活的基礎，認識世界的工具和交往的媒介，數學教育本身也是一種選擇好的教育的工具，是認識數學的一種工具，也是一種交流的工具。（2）文化價值通過數學教育培養學生求真，求實，客觀的精神，合理懷疑，批判，創新的精神，民主，平等，合作的精神，不斷探索頑強執著，鍥而

9、不舍的科學精神等等，是數學教育文化價值的一個重要方面。富有特色，充滿活力的數學教育本身就是人類文化的重要組成部分。（3）育人價值育人是數學教育教師的根本：通過數學教育是學生樹立辯證唯物主義世界觀，鍛煉求真，嚴謹，刻苦的良好品質；通過數學教育激發學生學習數學的興趣，讓學生感受數學學習成功的喜悅，建立良好的自信心；通過數學教育培養學生正確的審美觀。成功的數學教育應使學生在德智體美全面發展。從上面我們可以知道，數學教育的價值，其根本就是通過數學教育促進人的發展，但是在價值層面上它的內涵還需要更新與豐富，整個數學教育的價值理念還需要提升，數學教育的功能還需要進一步拓展。2.在數學教學中如何弘揚數學文化

10、的作用答：隨著新課程改革的進一步發展，數學文化在數學教學中的價值在逐步得到確認，它不僅是在數學中穿插一些數學史的小故事，或者數學家的趣聞軼事，還在于如何更好地發揮數學文化的內在價值，特別是通過具體數學知識的學習，幫助學生逐步形成一定的思維方式與品質，培養學生勇于探索，積極進取的精神，從而具有一定數學美學意識和正確的價值取向。那么如何在數學課堂教學中滲透數學文化，讓數學文化點亮學生的數學學習的熱情呢？我們可以從以下三方面在課堂教學中滲透數學文化：（1）通過創設情境，展現數學知識的產生背景和尋找數學家的足跡，滲透數學文化。（2）課中解決問題，通過數學學習讓學生感受到思維的樂趣，使學生領悟到數學思考

11、的美妙，數學方法的精巧，數學思想的博大，這樣就可以觸摸到數學文化的脈搏。（3）課尾歸納小結，讓學生體會共性的數學文化3.20世紀我國數學教學觀有什么重要變化？ 答：（1）由關心教師的“教”轉向也關注學生的“學”（2）從“雙基”與“三大能力”觀點的形成發展到更寬廣的能力觀和素質觀（3）從聽課，閱讀，演題，到提倡實驗，討論，探索的學習方式（4）從看重數學的抽象和嚴謹，到關注數學的文化，數學探索和數學應用4.你認為我國大學教學教育面臨哪些挑戰和問題？答：（1）高等教育的生存與競爭問題我國高等教育在總體實力上遠低于歐美等國高等教育的總體實力。使得我國在WTO的框架和游戲規則內，在與歐美高等教育的生存競

12、爭中處于“歷史性的弱勢地位”。（2）高等教育的公平與效率問題當前，我國高等教育無論是從起點、過程之中，還是從結果上都是不公平的。如果處理不好，就可能給高等教育的健康發展帶來不可預見的損失。而高等教育資源利用效率的低下，也無疑加劇了有限的高等教育的資源緊張和匱乏程度；另一方面，在公平第一還是效率第一的爭論上，還沒一個很好的定論，也是高等教育發展不穩的一個誘因。（3）高等教育大眾化與質量監控問題高等教育質量問題總是伴隨著高等教育發展的大眾化而不斷被人們關注，如果不能處理好由于高等教育的大眾化導致的質量監控問題，我國高等教育的發展就有可能走別人走過的彎路。（4）教育部門的發展目標盲目追求高層次，偏離

13、了社會需求。高等教育人才培養與社會人才需求不相適應，培養與需求相脫節，引發了人們對教育的懷疑，對社會的不滿，甚至上升到對改革的抱怨，貧困地區新的讀書無用論正在抬頭，影響了我們這個民族整體素質的提高（5）是高等教育自身的道德與科學精神問題。一教育者方面，學術造假及學術腐敗問題將直接影響到在校學生，進而影響到整個未來社會的道德水準及社會誠信。二學生方面，校園暴力事件頻繁發生，學生思想道德水平不斷下降，法律意識淡薄，綜合素質不高。5.對弗賴登塔爾的教學理論談談你的想法答：弗賴登塔爾的數學教學理論可以用三個詞進行概括現實，數學化，再創造弗賴登塔爾的數學教學理論不是“數學+數學例子”式的論述，而是抓住數

14、學教育的特征，緊扣數學教育的特殊過程，因而有“數學現實”，“數學化”“數學反思”，“思辨數學”等諸多特有的概念。他的著作多數根據自己研究數學的體會，以及觀察兒童學習數學的經歷，思辨性的論述比較多。于是有人批評說弗賴登塔爾的數學教育理論缺乏實踐背景和實驗數據。其實，他的許多研究成果尚未被大家仔細研究。6.設計一個解決某類問題的解題表答：第一步，必須了解問題 未知數是什么？已知數據是什么？條件是什么？可能滿足什么條件？畫一個圖，引入適當記號。第二步，找出已知數和未知數間的關系。假使你不能找出關系，就要考慮輔助問題，最后應想出一個計劃你以前曾見過它嗎？你知道什么有關的問題嗎？注視未知數！試

15、想出一個有相同或相似的未知數的熟悉的問題。這里有一個與你有關而且以前解過的問題，你能應用它嗎？你可以改述這問題嗎？回到定義。你若不能解這問題，先解一個有關的問題。你用了全部條件嗎？第三步，實行你的計劃第四步，校核所得的解答 7根據你解題經歷，選一個典型的例子，詳細介紹其解題的具體過程答：例：已知k>a>b>c>0,求證：k2-(a+b+c)k+ab+bc+ca>0（1）讀清題目（2）拋物線y=x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca的判別式=(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)（3）滿足<0（4）那么拋物線與X軸沒有交點，從而在X軸上方，恒有=

16、x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca>0（5）檢驗8.實踐解題表，求解下題：如果3個相同半徑的圓過一點，則通過它們的另外3個交點的圓具有相同的半徑解：9.舉例談談你所感受的數學美答：古希臘數學家普洛克拉斯說過，哪里有數學，哪里就有美.挖掘數學所具有的動態的神奇之美，給我們以美的熏陶、美的啟迪、美的享受，使我們不僅僅掌握數學，應用數學，而且還要鑒賞數學，品味數學.下面就黃金分割之美舉例供欣賞.黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為10.618或1.6181，即長段為全段的0.618。0.618被公

17、認為最具有審美意義的比例數字。例如我們的門窗寬長之比，舞蹈演員的腿和身體的比例近似等于0.618的比值，凡是有這個比值的圖案，事物都會給我們一種美的感受10你認為數學教育教學中應怎樣加強數學審美教育？答：（1）提高數學教師的美學修養（2）挖掘教材中潛在的美學因素，使學生自覺認識什么是數學美，數學教材中有許多潛在的美學因素，如集合論中關于交集的運算規律呈現出結構上的對稱美（3）數學教學要為學生提供創造數學美的機會（4）提高學生的基本素質11.建構主義數學教學理論你是否贊同？說說自己的看法答：對于建構主義數學教學理論我對它持保留的態度，即不贊成也不反對！因為建構主義確實對人的認識過程，包括學生的學

18、習過程進行了深入的分析，具有科學的價值。但是，建構主義也具有主觀唯心主義的成分。在如何將建構主義運用到數學教學時，也有一些過分極端的提法。例如，在美國的數學論壇網站上對“什么是建構主義？”的回答是：“學生需要對每一個數學概念構造自己的理解，使得教的作用不再是演講、解釋，或者企圖去傳送知識，而是為促使學生進行心智建構創設學習環境和條件。這種教學方法的關鍵，是將每一個數學概念按皮亞杰的知識理論分解成許多發展性的步驟，這些步驟的確定要基于對學生的觀察和談話。”在這里，教師不要演講了，也不能傳送知識了，教師只要創設環境讓學生去建構就行了。于是，教師在課堂上的“主導作用”不能再提了，教師只能是“組織者、

19、合作者、引導者”。這樣的提法是有害的。我們主張“學生是學習的主體”。俗話說“師傅領進門，修行在個人”，就是這個意思。但是，教師有傳承前人經驗的任務，教師在課堂上賦有“傳授”知識的任務，也具有主導課堂教學的責任。所需要的是教學應當應用啟發式，符合學生主體認識的規律。總之，對于建構主義學說，我們應當吸取精華，拒絕一些“極端的”、“唯心的”成分，以便真正有助于我國的教育改革。我們不應該以建構主義的教學理論來抹殺傳統的、優秀的教學思想和教學方法。12.收集關于建構主義數學教學理論的資料，比較全面的了解一下建構主義答：建構主義對于數學教育的一些基本認識有：（1）數學知識是什么？數學知識是人們對客觀世界的

20、一種解析，假設或假說，隨著人們認識程度的深入會出現新的解析和假說；數學知識是學習者自身基于自己經驗背景而建構起來的（2）兒童如何學習數學：學習是由學生自己建構知識的過程；學習是根據自己的經驗背景，對外部信息進行主動選擇加工和處理，從而獲得自己的意義；學習意義的獲得，是每個學習者以自己原有的知識經驗為基礎，對新信息重新認識和編碼，建構自己的理解。（3）教師如何開展課堂教學：教師要關注學生的思想以及他們對自己研究的問題建構的數學意義，鼓勵學生提出多種解題的方式，尋求對別人解法的理解，承擔發現和改正錯誤的責任，教師必須理解學生的數學現實，理解人類思考數學的現實13.中國的雙基數學教學是否能成為一種理

21、論？如何才能使它成為一種科學的理論？答：“雙基”數學教學即關注學生的“數學基礎知識”和“數學基本技能”的培養我覺得中國的雙基數學教學能成為一種理論。我國雙基教學理論的特點是：1.運算速度；2.知識的記憶；3.適度形式化的邏輯要求；4.重復訓練，以上是關于數學雙基教學的四個認識維度，已經有了一些研究成果，但是還需要進一步做分析研究，以求得更加科學的認識。要使它成為科學的理論，就應該做到在數學教學中既注意邏輯訓練，又能用創新的思想駕馭邏輯方法；主義“基本程式”的掌握和加強“自主探究”之間的平衡等14.閱讀波利亞的怎樣解題，寫一篇心得體會答：為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困擾的問題，

22、波利亞專門研究解題的思維過程，并把研究所得寫成怎樣解題一書。這本書的核心是他分析解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表，并以例題表明這張表的實際應用。書中各部分基本上是配合這張表的，也可以說是對該表的進一步闡述和注釋。在這張包括弄清問題擬定計劃實現計劃回顧四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最引人入勝的。他指出尋找解法實際上就是“找出已知數與未知數之間的聯系，如果找不出直接聯系，你可能不得不考慮輔助問題，最終得出一個求解計劃”波利亞認為，“對你自己提出問題是解決你的問題的開始”，“當你有目的地向自己提出問題時，它就變成你的問題”。而“假使能適當地應用同樣的問句和提示來

23、問你的學生，你就可以幫他解決他的問題”他還把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見摸得著。仔細想想，我們在解題時，為了找到解法，實際上也考慮過表中某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了。現在波利亞用這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。而這個過程是比任何具體的數學知識重要得多的東西。第三章課后習題答案1.什么是學習？現當代有哪幾種代表性的學習觀？答：廣義上講：學習是人類和動物所共有的一種心理活

24、動，是指經驗的獲得，以及比較持久的行為變化過程。狹義上講：學習僅指人類的學習。現當代有三種代表性的學習觀，分別是：行為主義學習觀：認為學習就是通過強化建立刺激與反應之間的聯系；認知論點學習觀：認為學習是一種“領悟”的過程，強調知覺整體性； 建構主義學習觀：認為人們對客觀的認識是一個主動建構的過程，是在已有知識基礎上的“生成”過程，而不是思維對于外部事物或現象的簡單的，被動的反應。2.中學數學學習有何特點，試舉例說明中學數學學習與數學發現區別？答：中學數學學習是學生學習的重要組成部分，是指中學生通過獲得數學知識經驗而引起行為，能力和傾向變化的全過程。它呈現出以下的特點：（1）需要不斷提高運用抽象

25、概括思維方面的水平（2）數學學習中再發現的要求比其他學科高，需要教師的點拔與指導（3）數學學習中需要發展學生的邏輯思維能力，應突出解題練習這個環節學生的數學學習很大程度上是表現為在教師指導下的數學再發現過程，例如在學校通過學習，我們可以知道11-5=6，1+5=6；但是細心的同學會發現這樣的規律：12-6=7，1+6=73.中學數學學習有哪些類型，你認為采取什么類型的學習為宜，為什么？答：中學數學學習的類型：從認知過程出發，把學習分為三類：符號學習，概念學習和命題學習；根據學習水平的高低以及學習內容的復雜程度吧學習分成八類：信號學習，刺激反應學習，連鎖學習，言語聯合學習，辨別學習，概念學習，規

26、則學習和問題解決學習按學習目標將學習分成六類：知識學習，理解學習，應用學習，分析學習，綜合學習和評價學習從學習需要的智力不同的特點出發，可分為：知識學習，技能學習和問題解決學習按不同層次數學內容的表現形態將數學學習分為：知識學習，數學活動經驗學習和創造性數學活動經驗學習按學習效果不同可分為：有意義學習和機械學習根據學習方式不同可分為接受學習和發現學習4.你認為中學數學學習中應抓好那些環節，在每一環節中又要注意哪些方法？答：我覺得中學數學學習應抓好以下五個環節：預習上課復習作業系統復習預習方法：（1）要認真讀書，先將教材精讀一遍，然后反復細讀；（2）要認真思考；（3）虛心請教。上課要注意努力做到

27、：（1）集中精力專心聽講，力圖通過提高課堂學習效率來減輕課下負擔（2）積極思考，努力把握獲取知識的主動權（3）對老師未能講清或自己尚未理解的問題要善于及時提出（4）要理清老師的講課思路復習一般是指學生在教師的指導要求下，對已學過的知識再一次學習，以強化記憶，加深理解，融會貫通，從而使知識系統化的學習方法。復習的方法有：（1）嘗試回憶，即把老師上課所講的內容重現一遍；（2）整理課堂筆記；（3）看參考書。作業：（1）在做各類習題時，要做到準確，規范，快速；（2）在教師指導下，組織和參加一些有益的數學實踐活動，是數學進入生活，增強數學的應用意識和數學的創新意識；系統復習：主要包括單元，其中和學年復習

28、。一般的，系統復習可分為回憶，閱讀，熟記，整理和練習五個階段5.什么是知識結構與認知結構，兩者之間有何關系？答：所謂的數學認知結構，指的是學生頭腦中的數學知識按照自己理解的深度，廣度，結合著自己的感覺，知覺，記憶，思維，聯想等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構。簡單的說就是學生頭腦中的數學知識結構數學知識結構是由數學概念，公理，定理，法則和方法形成的知識體系，是一種客觀存在。數學認知結構是數學知識結構和學生心理結構相互作用的產物。6.試舉例說明，中學數學學習的大致過程，在此過程中的各個階段中你認為應注意些什么問題？答：我們認為數學學習的過程是一個數學認知過程，依據學生認知結構的變化，

29、數學學習過程可以概括為如下的一般模式形成新的數學認知結構產生新的數學認識結構原數學認知結構新學習內容情 輸 入 相互作 操作 境 階 段 用階段 階段 從上圖可以看出數學學習過程包括三個階段：輸入階段，新舊知識相互作用和操作階段，這三個階段是緊密聯系的，任一階段的學習出現障礙，都會影響學習的質量。其中第二階段是關鍵，無論是新知識的接受，還是納入，都取決于學生原有數學認知結構，教學中，教師首先要考慮到學生知道了什么？掌握到什么程度？然后再考慮數學內容的難易程度和呈現序列等問題，促進學生原有認知結構和新知識互相作用的順利進行。7.簡述中學數學課堂學法指導的基本要求答：在課堂教學中對學生進行學法指導

30、，是為了提高學法指導的技藝效果。對學生進行學法指導應遵循下列基本要求：（1）明確學法指導的目的，調動學生學習的積極主動性；（2）學法指導要遵循學習規律，運用學習理論；（3）學法指導要與學情研究相結合，注意因材施教；（4）學法指導應滲透于課堂教學之中，使其經常化，具體化。8.舉例說明中學數學學習的方法有哪些？各有何利弊？答：中學數學學習的方法有：（1）五環節學習法：預習上課復習作業系統復習；（2）四結合學習法：學與思的結合；學與問的結合；學與習的結合；學與行的結合；（3）自我激勵學習法。第四章課后習題答案1.什么是數學概念？數學概念是怎么產生的？舉例說明答：數學概念是從空間形式與數量關系方面揭示

31、事物本質屬性特征的思維形式。數學概念的產生，一般來說有兩種情形：一種是直接從對客觀事物的空間形式或數量關系的反映而得到的，如自然數、點、線、面等；另一種是在已有數學概念的基礎上，經過逐級的抽象概括而形成的，如“三角函數”、“平行四邊形”等。2.數學概念的內涵和外延是什么？指出方程，矩形，圓，無理數，根式等概念的內涵和外延答：內涵是概念所反映的事物的共同本質屬性，即確定的含義；而外延是概念所反映的事物的全體的總和，即確定的對象范圍。3.指出下列每對概念之間的關系答：質數和合數：不相容關系，且是對立關系。無限小數和無理數：相容關系，且是屬種關系。無限小數是無理數的屬概念，無理數是無限小數的種概念。

32、有理數和無理數：不相容關系，且是矛盾關系。有理式和無理式：不相容關系，且是矛盾關系。大于與小于：不相容關系，且是對立關系。直角三角形與等腰三角形：相容關系，且是交叉關系。冪與乘方：相容關系，且是同一關系。方程與恒等式：相容關系，且是屬種關系。方程是恒等式的屬概念，恒等式是方程的種概念。三角函數與周期函數：相容關系，且是屬種關系。周期函數是三角函數的屬概念，三角函數是周期函數的種概念。4.數學中常用的定義方式有哪些？正確的定義要符合哪些要求？答：常用的定義方式有：（1）屬加種差定義方式；（2）發生定義方式；（3）關系定義方式；（4）約定式定義方式；（5）遞歸定義方式。要符合的要求：（1）定義要相

33、稱，即被定義項與定義項的外延必須完全相同，否則定義項外延大于被定義項外，即犯定義“過寬”的錯誤，反之，將視為“過窄”。比如，無限小數叫無理數，就是定義“過寬”；開不盡的方根叫做無理數，則是定義“過窄”。（2）定義不能循環，即定義項不能直接或間接地包含被定義項，否則，就犯了循環定義的錯誤。比如，既用兩直線垂直來定義直角，又用直角來定義兩直線垂直就是不允許的。（3）定義應當確切、簡明、完整。確切就是定義不能似是而非；簡明就是指定定義項既不能包括互相推出的本質屬性，也不能有多余的詞語；完整就是不能漏掉必須的條件。（4）定義一般不用否定形式。通常要求用肯定形式來表示被定義項具有的本質屬性，但也有極特殊

34、的情況，事物的本質屬性揭示的就是它缺乏某種特性，那就是只有用否定形式了，比如，同平面內不相交的兩直線叫做平行線。5.下列定義符合要求嗎？為什么？（1）大于90度的角是鈍角； （2）最簡單的根式叫做最簡根式；（3）有理數開不盡的方根叫做無理數； （4）不能表示成分數的數叫做無理數。答：（1）不符合要求。因為角度是周期性變化的，每變化360度，所確定的角與原來的重合，故變化后的角度大于90度，但可以不是鈍角。（2）不符合要求。此定義不確切。（3）不符合要求。定義“過窄”了。（4）6.何為概念的劃分？正確的劃分符合哪些要求 ？答：概念的劃分（分類）是揭示概念外延的邏輯方法，就是將一個屬概念根據一定的

35、標準（屬性）劃分為若干外延不相重合的種概念以達到明確概念的目的。一個正確的概念劃分，通常由三個要素構成，即劃分的母項、子項和根據。要符合的要求：（1）劃分應當是相稱的，即各子項外延之和必須等于母項外延。例如，將自然數劃分為質數與合數就是不相稱的。（2）子項必須不相容，即各子項外延集不能有相容的情況，否則會出現母項中某個體落入兩個以上子項外延的情況。（3）每次劃分只能用一個根據標準，否則會造成混亂，甚至錯誤。（4）劃分要逐級進行，不能越級。每次劃分，母項與子項必須具有最鄰近的屬種關系。7.指出下列劃分錯誤的原因：（1）代數式分為整式、分式和無理式； （2）自然數分為質數與合數； （3）凸四邊形分

36、為平行四邊形與梯形。答：（1）違反劃分要逐級進行不能越級的原則；（2）違反“劃分應當是相稱的”的原則；（3）違反“劃分應當是相稱的”的原則8.舉例說明什么是判斷？數學判斷有哪些形式？答：判斷是對客觀事物的一種認識，是對客觀事物有所肯定或否定的思維形式，通常用一個陳述句表達。9.命題的四種基本形式是怎樣的？它們之間有什么聯系？答：四種基本形式分別是：（1）原命題；（2）否命題；（3）逆命題；（4）逆否命題。聯系：原命題的真實性與其否命題和逆命題的真實性無必然聯系，而原命題也逆否命題、逆命題與否命題是等價的，它們必定同真或同假。10.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題。(1)全等三角形一定相似

37、。答：逆命題：相似三角形一定全等； 否命題：不是全等三角形一定不相似；逆否命題：如果兩個三角形不想似，那么這兩個三角形一定不全等。（2）如果a2+b2=0,那么a=b=0(a,bR)。答：逆命題：如果a=b=0(a,bR)，那么a2+b2=0； 否命題：如果a2+b20，那么a0或b0(a,bR)；逆否命題：如果a0或b0(a,bR)，那么a2+b20。（3）如果a和b都是奇數，則ab也是奇數。答：逆命題：如果ab是奇數，則a和b也都是奇數； 否命題：如果a和b不都是奇數，則ab也不是奇數；逆否命題：如果ab不是奇數，則a和b不都是奇數11.證明下列等價命題：（1）； （2）答：（1）（2）1

38、2.一下說法對嗎？若不對，正確的說法應是什么？（1）a2>4是a>2的充分條件； （2）a>b是>1的必要條件；（3）a=b是的充要條件； （4）cos>0是為銳角的必要條件。答：（1）此說法不對。正確說法應是：a2>4是a>2的必要而非充分條件；（2）此說法不對。正確說法應是：a>b是>1的不充分也非必要條件；（3）此說法不對。正確說法應是：a=b是的充分而非必要條件；（4）此說法正確。13舉“分斷式命題”兩例（限于中學課本內容）。答：（1）（2）14何謂推理？推理有哪些種類？答：推理是由一個或幾個已知判斷得出一個新判斷的思維形式。推理的

39、種類：（1）演繹推理，包括三段論和關系推理；（2）完全歸納推理；（3）不完全歸納推理；（4）類比推理。12L1L2L315.證明如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直。（用“三段論”證明，且不省略大前提和小前提）證明：如圖，l1l2，l3l1兩直線垂直，其所成的角必為90°（大前提）l3l1（小前提）1=90°（結論）兩直線平行，同位角相等。（大前提）l1l2（小前提）2=1=90°（結論）l3l2命題成立。第五章課后習題答案1.你認為影響中學數學課堂實施的因素有哪些？答：（1）概念理解對中學數學課堂實施的影響數學是一門基礎學科，學生對定

40、義，定理，概念把握不到位會影響數學課堂實施。（2）自主學習與有效學習對中學數學課堂實施的影響自主學習，是指學生個體在學習過程中一種主動而積極自覺的學習行為,教師必須結合數學教學引導學生逐步理解和掌握獲取數學知識的方法，使學生形成一種自主學習的技能。（3）例題與練習的安排對中學數學課堂實施的影響精選適量的例題與練習能使教師和學生在花費最少時間和精力的情況下獲得最好的教學效果，從而提高課堂有效性。（4）情景創設與創新授課對課堂有效性的影響知識是學生在一定的情境，借助別人的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式而獲得。所以教師對課堂的情景創設與創新授課也會影響到課堂實施2.何謂中學數學的教學原

41、則？確立中學數學教學原則的依據是什么？研究中學數學教學原則有何意義？答：（1）數學教學原則是依據數學教學目的和教學過程的客觀規律而制定的指導數學教學工作的一般原理它是數學教學經驗的概括總結，它來自于數學教學實踐，反過來又指導數學教學實踐（2）根據數學教學目的和數學學科特點，及學生學習數學心理特點來確定（3）數學教學原則是依據數學教學目的和教學過程的客觀規律而制定的指導數學教學工作的一般原理，它是數學教學經驗的概括總結，它來自數學教學實踐，反過來又指導數學教學實踐，貫徹正確的數學教學原則，有利于提高教學質量，實現教學目的。3、五種基本數學教學原則的關系如何？談談在教學實踐中如何具體落實這些原則？

42、答：（1）認真了解學生的心理特點與接受能力，是貫徹嚴謹性和量力性相結合的原則的前提在教學中，對嚴謹性要求，應設法安排使學生逐步適應的過程與機會，逐步提高其嚴謹程度，做到立論有據。（2）應用理論與實踐相結合的原則，要求我們在數學教學中遵循實踐認識再實踐再認識的規律，充分注意數學應用的廣泛性，充分注意數學原理與數學應用的辨證關系，充分注意數學理論來源于實踐又應用于實踐（3）鞏固與發展相結合原則這一原則是適合學生的心理發展規律的在數學學習中，學生心理發展既有連續不斷的繼承性特點，又有產生質變的階段性特點以心理發展動力看，也產生于兩方面，一是已有的知識、智力水平或結構，二是在一定智力水平上所產生的新的

43、動機和需要，這兩方面相互依存不具備一定的知識，智力水平就不可能產生新的動機和需要，而當已具備了一定知識，智力水平后，不及時加以引導、激發新的動機和需要，就會阻礙知識、智力水平的發展因此貫徹這一原則，對形成學生心理發展的內部動因，促進學生心理發展中“新質”的出現是有積極意義的4、簡述五種基本數學教學模式的特點。談談數學教學模式與數學教學方法的關系。（P179）答：依據教師在課堂上所起作用的強弱，學生參與程度的大小、數學教學模式可以分為五種基本教學模式：（1）講解傳授模式：組織教學導入新課講授新課鞏固練習布置作業。講授模式是一種以教師單面活動為主要方式的教學模式，其主要特點是注重知識系統傳授和教師

44、的主導地位。（2）討論交流模式：提出問題啟發引導學生分析思考問題鼓勵學生討論和爭辯，對學生得出的各種想法及時糾正認可對學生所得結果進行評價，得出正確的問題解決方案。特點：教師變為教學活動的組織者，引導者，學生由知識的被動接受者變成了某種程度的參與者，建構者。（3）活動參與模式：指在教師的指導下，通過自主參與教學實驗，數學游戲，問題解決等活動方式，來獲取數學知識，培養數學能力的一種教學模式。特點：能直接利用感官和肢體活動帶動思維，容易提高學生的學習興趣。（4）引導發現模式：提出問題，創設情境探究分析，發現猜想歸納討論，得出規律回歸問題，形成新知。特點：注重知識的的發生，發展過程，讓學生自主發現問

45、題，主動獲取知識。（5）自學輔導模式：在教師輔導下，學生通過自學，自練，自改作業，自主獲得知識技能，發展能力的一種教學模式 。特點：有利于培養學生的自學能力和習慣，是學生學會獨立思考。關系：教師根據課堂教學的內容，組合所需運用的教學模式，制定出相應的教學策略和措施，即為教學方法5、何謂教學方法？研究中學數學教學方法有何意義？答：教師依據課堂教學內容，組合所需運用的教學模式，制定出相應的教學策略和措施，稱之為教學方法。意義：數學教學方法是教學過程中師生之間相互聯系的活動方式。教學方式和性質多樣化，決定了教學方法也必然有多種多樣。隨著新課程標準理念的逐步貫徹，數學教學實踐的進一步發展，各種行之有效

46、的數學教學方法會不斷出現，推動數學教育教學水平的提高。在教學實踐中，教師必須根據自身的素質條件和學生實際情況，針對不同教學內容教學目標不斷做出選擇和優化創新，教師在學習吸取別人優秀教學經驗的同時，切勿機械模仿，死搬硬套，既要遵循教學規范，又要因地制宜，揚長避短，逐步創造形成具有個性特征的教學方法體系。6、中學數學教學中傳統的教學方法有哪些？各有哪些優缺點？答：在長期的傳統教學實踐中形成的，以傳授知識為主要目標的課堂教學方法，稱之為傳統教學方法。主要有講解法、談話法、練習法、講練結合法、教具演示法、讀書指導法等。這些方法各有優點和不足之處。由于傳統教法都是相對基本的教學方法，具有操作性強的特點。需注意的是不論采用哪種教學方法，都要注意貫徹啟發性教學原則，注意調動學生學習的積極性、主動性，啟發學生的思維。另外，要注意對學生學法的研究，每一種教法都和相應的學法相聯系，重視對學生學法的指導。 7、你所了解的在數學教學改革中產生的新的數學教學方法有哪些？其核心要求是什么？答：（1）傳統數學教學法：以傳授知識為主要目