福建省廈門市第一中學2024?2025學年高一下學期3月適應性訓練數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．向量（）A． B． C． D．2．已知是虛數單位，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．在中，點是上靠近的三等分點，是上靠近的三等分點，則（

）A． B． C． D．4．在中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，若三角形有兩個解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．（6．在一堂數學實踐探究課中，同學們用鏡面反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（

）

A． B． C． D．7．已知的三個內角A、B、C滿足，當的值最大時，的值為（）A．2 B．1 C． D．8．若的三個內角均小于120°，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據以上性質，已知是平面內的任意一個向量，向量，滿足，且，，則的最小值是（

）A．9 B． C．6 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（

）A．復數的共軛復數的模為1 B．復數在復平面內對應的點在第一象限C．復數是方程的解 D．10．已知為所在平面內的一點，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則為等腰三角形C．若，則為的垂心D．若，則點的軌跡經過的重心11．東漢末年的數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”，根據面積關系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形．對于圖2．下列結論錯誤的是（

）

A．這三個全等的鈍角三角形可能是等腰三角形B．若，則C．若，則D．若是的中點，則的面積是面積的5倍三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則的面積為．13．在中，角的對邊分別為，，，且的周長為，則角為.14．如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，，．(1)若向量，能構成一組基底，求實數m的范圍；(2)若，且，求向量與的夾角大小．16．如圖，觀測站在目標的南偏西方向，經過處有一條南偏東走向的公路，在處觀測到與相距31km的處有一人正沿此公路向處行走，走20km到達處，此時測得，相距21km.(1)求；(2)求，之間的距離.17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，.(1)求的外接圓半徑；(2)若為銳角三角形，求周長的取值范圍.18．折紙是一項玩法多樣的活動.通過折疊紙張，可以創造出各種各樣的形狀和模型，如動物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術形式，還蘊含了豐富的數學知識.在紙片中，，，所對的邊分別為，，，的面積為，.(1)證明：；(2)若，求的值；(3)在（2）的條件下，若，是的中點，現需要對紙片做一次折疊，使點與點重合，求折疊后紙片重疊部分的面積.19．在數學中，雙曲函數是一類與常見的三角函數類似的函數.其中，雙曲余弦函數：，雙曲正弦函數：，雙曲正切函數：.在中，，，所對的邊分別為，，.前兩問中，已知，，，其中.(1)若，證明：，并判斷的形狀；(2)若，作平分交于點，求的長；(3)若，，，點為的內心，求點的橫坐標.

參考答案1．【答案】A【詳解】向量，故選A.2．【答案】A【詳解】當“”時，“”成立，故“”是“”的充分條件；當“”時，“”或“”，故“”是“”的不必要條件；綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選A.3．【答案】C【詳解】由點是上靠近的三等分點，是上靠近的三等分點，得.故選C.4．【答案】C【詳解】依題意，，即，由，得，所以的取值范圍是.故選C．5．【答案】C【詳解】由，，，得，解得．所以，，所以，，所以在上的投影向量為故選C．6．【答案】D【分析】設鐘樓的高度為，根據相似得到，代入數據計算得到答案.【詳解】如下圖，設鐘樓的高度為，由，可得：，由，可得：，故，故，故選D.

7．【答案】C【詳解】因為，由正弦定理得，所以，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以當的值最大時，.故選C.8．【答案】C【詳解】設，，，，，，，則，，，所以，因為為等邊三角形，由題意，等邊的費馬點為的中心，此時取最小值，所以，故選：C．9．【答案】AD【詳解】，，故A正確；復數在復平面上的對應點為，則該點在第四象限，故B錯誤；由，則，解得，故C錯誤；，故D正確.故選AD.10．【答案】BCD【詳解】A.如圖，過點作，，則由可知，，則，則，得，故A錯誤；B.該向量位于的角平分線上，因，即角平分線與BC垂直，則為等腰三角形，故B正確；C.，則，則，同理可得，故為的垂心，故C正確；D.過點作，中點為，則，則，即共線，則點的軌跡經過的重心，故D正確.故選BCD.11．【答案】ACD【分析】對于A選項：由，即可判斷A；對于B選項：在中，利用正弦定理求得，進而可判斷B；對于C選項：在中，設，利用余弦定理即可求得，進而可判斷C；對于D選項：利用三角形的面積公式，可得，進而可判斷D．【詳解】對于A，根據題意，題圖2是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A錯誤；對于B，在中，，所以，而，所以，由正弦定理得，解得，又因為，所以，故B正確；對于C，不妨設，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故C錯誤；對于D，若是的中點，，所以，故D錯誤．故選ACD．【關鍵點撥】關鍵是利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進行分析，由此即可順利得解.12．【答案】5【詳解】因為，所以，故，由向量的模長公式得，，且設的面積為，則.13．【答案】【詳解】由題意知，，由正弦定理得，，即，所以，由余弦定理得，，又，所以.14．【答案】.【詳解】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.15．【答案】(1)且(2)【詳解】（1）若向量，能構成一組基底，則向量，不共線，則，解得且；（2）因為，所以，即，解得，所以，，則，又因為，所以，即向量與的夾角為.16．【答案】(1)(2)15km【詳解】（1）由題意知：，，在中，由余弦定理因為,所以（2），,，由題意知：在中，由正弦定理得：，所以由余弦定理得：，即，解得：或（舍），之間的距離為17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，故，由于，故由余弦定理得由于，所以，，根據解得，所以的外接圓半徑為.（2）由（1）知，，，，由正弦定理有，所以，因為為銳角三角形，所以，解得

，所以，則，所以，則.所以周長的取值范圍為.18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：由正弦定理可得，則，又因為，所以；（2）將代入，得即，所以，即，解得：，又因為，所以；（3）由余弦定理得，則，即，所以解得則；設折痕為線段，其中在上，在上，設，，則，，，在中，由余弦定理得，解得在中，由余弦定理得，解得重疊部分的面積為的面積，.因為所以.所以19．【答案】(1)證明見解析，等腰三角形(2)(3)1【詳解】（1）得證，因為，則，因為，則，化簡可得，則，故，，，所以三角形為等腰三角形.（2）余弦定理得，又因，代入解得，.法1：由題可知，等面積法求：，代入整理得.在中余弦定理得，解得.法2：內角平分線，中，，中，，，所以.（3）設，，分別長為，，.法1：，注意到，故，類似地，.故.如圖，記內切圓