1、四年級上冊疑難問題解答一、教材第20頁提到“0也是自然數，最小的自然數是0”，這與九年義務教育小學數學教科書中的說法不一致。這什么要做出這樣的改動？從歷史上看，國內外數學界對于自然數的定義一直存在著兩種觀點。一種觀點認為0不是自然數。例如, 意大利數學家皮亞諾于1889年提出了一組刻畫自然數特征的公理，包括以下五條：（1）1是自然數。（2）任一自然數都有唯一自然數為其后繼數。（3）沒有兩個相異的自然數有同一后繼數。（4）1不是任何自然數的后繼數。（5）如果1具有性質P，且任何具有性質P的自然數其后繼數也具有性質P，則一切自然數都具有性質P。從這組公理可以清楚地看到，皮亞諾把0劃歸在自然數之外的

2、。再如，上海辭書出版社出版的辭海（1999年版）把自然數解釋為：在人類歷史發展的最初階段，由于計量的需要，用以表示個數的數目。首先有數目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，統稱為“自然數”。建國以來，我國的中小學教材一直采用自然數的這種定義，用N=1，2，3，4，5，來表示自然數集，而用N*=0，1，2，3，4，5，表示擴展的自然數集。還有一種觀點把0劃歸為自然數的范疇。例如，對現代數學基礎有很大影響的法國布爾巴基學派的數學原本中，從集合論的角度，把0作為空集的基數，這樣，所有有限集合的基數就都可以用自然數來刻畫了。目前，國際上大多數國家也把0納入自然數集中。為了國際交流的方便，國家技術監督

3、局于1993年12月27日發布的中華人民共和國國家標準（GB31003102-93）量和單位第311頁，就已經規定自然數集N=0，1，2，3，。在現代漢語詞典2005年6月第5版中也把自然數定義成：零和大于零的整數，即0，1，2，3，4，5，。根據上述原因，教材研究編寫人員在對原九年義務教育教材進行修訂和編寫課程標準實驗教材時，依據有關國家標準對自然數的定義進行了修改，規定0屬于自然數。二、對于億這樣比較大的計數單位，怎樣幫助學生建立相應的數感？新課標非常強調對學生數感的培養，教材中也在相關的單元編入了大量幫助學生建立數感的素材。例如，在認識20以內的數、100以內的數時，教材就注意通過估一估

4、、數一數等活動幫助學生形成對十、百等數量大小的感覺。但是，對于一些比較大的計數單位（如萬、億），如何建立相應的數感？確實成為教師們教學中的困惑。首先要說明一點，為了敘述方便，這兒所講的數感僅僅指對一個數量相對大小的感覺（事實上，數感有著更豐富的內涵，指的是關于數與數量表示、數量大小比較、數量和運算結果的估計、數量關系等方面的感悟）。數感的培養不是一兩堂課就能達到目標的。因此，在日常教學中，需要時時處處進行這方面的滲透，不斷積累這方面的經驗。例如，為了幫助學生形成對100這個數的感覺，教師可以通過讓學生看百羊圖、數100粒花生、數100根小棒、估計一堆水果的數量等活動，來建立相應的數感。由上面的

5、例子也可以看出，數感的培養不可能是一個抽象的過程。空泛地讓學生說一說“1萬有多大？1億有多大？”并沒有太大的意義，應該借助大量的生活經驗，幫助學生感受某種具體事物某個數量的相對大小。即便是借助直觀的物體，學生也未必能建立起很好的數感。例如，我們可以讓學生觀察一個由1000（10×10×10）個小正方體組成的大正方體，感受1千有多大，也可以讓他們看十個這樣的正方體，感受1萬有多大，但如果想通過同樣的方式來建立1億的數感，恐怕在操作層面上是難以實行的。要建立1億的數感，需要發揮學生的想像力，憑借生活經驗，形成一種大致的感覺就可以了，教學時要求不宜過高。 教材中提供了一

6、些幫助學生建立數感的范例，教學時可以參考借鑒。例如，第12頁的第15題，讓學生通過一些數學策略和生活經驗判斷某個數據信息的合理性，就是一種很好的建立數感的方式。再如，第4頁的“你知道嗎”以及第33頁的“1億有多大”，都是借助一些具體活動，通過計算，幫助學生感受1億的相對大小。但要感受1億，并不像較小的計數單位那樣，僅僅憑用眼看、用手摸等直觀活動就能達到目的，還需要學生能更好地利用數學工具，同時，要具備很好的長度觀念、質量觀念、時間觀念，更需要學生有較強的想像能力，所有這些，都可以輔助學生較好地建立1億的數感。例如，1億名小學生手拉手可以繞地球赤道3圈半，學生雖然不可能對地球赤道的長度有親身體驗

7、，但可以利用想像和簡單的科學知識，進行粗略的感受。除了教材上提供的這些素材以外，教師還可以充分發揮學生的創造性，讓學生自行選擇素材，設計各種活動，感受豐富多樣的“1億”，如：一億名小學生站在一起，占地面積大約是多少；1億粒大米有多少；1億粒黃豆有多少；1億滴水有多少；等等。三、教材中介紹了計算器的使用，但實際教學中一般不允許使用計算器，應如何處理這一矛盾？隨著經濟、科技的快速發展，計算器、計算機在生活中的使用越來越廣泛。對于社會生活中一些大數目、多步驟的復雜計算，紙筆運算、珠算等顯然已經不能完全滿足新的要求，需要有更先進的計算工具來代替。因此，計算器乃至計算機的使用已經成為現代社會公民的一項基

8、本技能要求，在小學階段要求學生學會使用計算器，是符合社會發展的要求的。新課標在第二學段中明確要求學生：“能借助計算器進行較復雜的運算，解決簡單的實際問題，探索簡單的數學規律。”根據社會的發展狀況和課標的精神，教科書中除了介紹計算器的基本使用方法以外，還編入了一些利用計算器探索數學規律的習題。與此同時，我們也應看到，在小學階段，學生的主要任務是較好地掌握口算、筆算、估算技能。在此次小學數學課程和教材改革中，雖然刪去了大量的數目較大、步驟較多的計算內容，計算要求也相應降低，但是值得注意的是，基本的計算能力仍然要求學生熟練掌握，這一點不會因為教材中引入計算器而有所改變。學生對四則運算的意義、算理、算

9、法的理解和掌握，仍然是小學數學教學的重點。因此，要求學生熟練掌握口算、筆算、估算技能與學習使用計算器不是對立的，而應該和諧統一、互為促進。在計算教學中，首先要使學生學會判斷何時使用口算，何時使用筆算，何時使用估算就足夠了，何時又最好使用計算器。根據不同的情境、不同的要求，選擇合適的算法，是對學生計算能力的基本要求。試想一下，學生學會計算器以后，如果面對6×7這樣的簡單計算也用計算器去計算，我們該如何評價其計算能力呢？但如果碰到的是像3284×2367.7這樣的計算，又何必為難學生，非得要求他們用筆算呢？我們認為除了學習基本的按鍵方法以外，學生可以在以下情況使用計算器：計算涉

10、及到的數目較大，計算涉及的步數較多，驗算（要求筆算驗算的除外），利用計算器探索和驗證數學規律。當然，計算器不是萬能的。有時，對于一些特殊的題目，如1998+1999+2000+2001+2002，運用巧妙的簡算方法，速度更快，準確率更高。再如，有時由于按鍵失誤，反而引起錯誤，此時利用口算、估算的技能，也可以幫助驗證計算器計算的準確性，如計算325×125，如果積的個位不是5，就可以判斷一定是按錯鍵了。 因此，在學習這部分內容時，要避免兩種極端的做法。一是因為教材中編入了計算器的內容，一遇計算就使用計算器，使得學生的口算、筆算能力大幅滑坡。二是怕學生養成對計算器過分依賴的壞習

11、慣，索性就不教學生使用計算器，這種諱疾忌醫的做法也是沒有必要的。關鍵是在教學中根據具體情況靈活把握尺度，既要保證學生的基本計算能力得以牢固掌握，又要使學生掌握先進的計算工具，在一個信息化的時代，這種技能的培養也是不可或缺的。 四、教材第60頁的問題解決中，運用了乘法估算，并把兩種估算方法加以比較。估算方法有好壞之分嗎？應怎樣展開估算教學？ 估算能力是學生計算能力中很重要的一個方面，新課改中加大了估算內容的比重，這也是符合各國數學課改的潮流的。 估算的功能分為兩方面，一是數學上的功能，例如培養數感（如判斷24×12=2408計算結果的合理性），為精確計算作

12、準備（如要計算492÷12時，往往先用480÷10或490÷10或500÷10來試商）。二是估算在生活中的應用，當無法精確計算或沒有必要精確計算時，有時用估算也能解決問題。下面談的主要是第二種情況。在進行估算教學時，可以從以下幾方面去思考，以供參考。一、估算意識與估算技能的培養同樣重要，前者的重要性有時甚至超過后者。過去的教學中，教師往往把更多的注意力放在“如何估算”上，例如，先用“四舍五入法”求出算式中的近似數，再對近似數進行精確計算，這樣，估算就變成了一種僵化的固定的方法。對于“為什么要估算”，過去關注得比較少。實際上，學生能否根據不同的情境靈活選擇

13、合適的算法，是考查其解決問題能力的重要方面。對面對一個數據模糊不清甚至殘缺的問題情境時，有的學生束手無策，因為數據不完整，無法精確計算，但有的學生卻能利用已有信息，靈活運用估算策略，把問題解決，這就反映出兩類學生不同層次的解決問題水平。二、估算策略的靈活性問題。上面已經談到，過去教學估算，策略往往是唯一的、固定的，但實際生活中解決一個現實問題時，常常是“條條大路通羅馬”，選擇何種估算策略，并沒有一定之規。例如，要解決這樣一個問題：“燕鷗每天飛735千米，從北極到南極行程17000米，20天能飛到嗎？”可以把735看成750，也可以把735看成800，都能達到解決問題的目的。三、估算策略的有效性

14、問題。抽象地討論估算方法的優劣似乎意義不大，因為判斷優劣的標準本身就不好定。但對于一個具體的問題情境而言，這種討論還是有必要的。要判斷某種估算策略是否合理，其標準就是利用該策略能否解決該問題。就拿教材第60頁例5來說，第一種解法是典型的“四舍五入”的估算方法，但在這兒卻對解決問題無效，因為把一個因數估小了，另一個因數估大了，不能把最后的估算結果5000作為解決問題的依據。第二種解法是把兩個因數都估大了，估算出要準備5500元錢，一定能解決問題。 四、要明確一點，估算不是萬能的。有時候，某種估算策略能在某一問題情境中加以應用，是因為無需利用精確計算就可解決該問題。但有的時候，用若干估算

15、策略仍然不能解決問題，說明該問題僅用估算是不夠的，必須進行精確計算。例如，要解決這樣一個問題：“89個同學去公園，門票9元一張，帶800元夠嗎？”如果把89估成90，90×9=810，如果把9估成10，89×10=890，如果把89估成80，80×9=720，這三種策略都不能很好地解決這個問題。在這種時候，說明用估算不足以解決問題，要精確計算。 總之，在解決某一具體問題時，可能存在多種可用的估算策略，也可能用任何一種估算策略都不能解決問題。估算策略是否可用，完全是視問題情境（包括其中的數據）靈活而定，在某一情境中適用的策略，在另一情境中不一定適用。

16、60;五、如何理解教材第114頁“做一做”第1題中的優化問題？關于飯館做菜問題，我們可以從兩方面來談優化的問題。一是讓顧客等待的時間問題，二是飯館的客流問題。我們可以用一個最簡單的模型來描述教材上所描述的問題。共有兩個廚師，三位顧客，每位顧客點兩個菜。假設做每個菜的時間是3分鐘，吃每個菜的時間是5分鐘。（當然這只是假設，實際情形要復雜得多。）方案一：先做顧客1的兩個菜，再做顧客2的兩個菜，最后做顧客3的兩個菜。方案二：先做顧客1和2的第一個菜，再做顧客1的第二個菜和顧客3的第一個菜，最后做顧客2和3的第二個菜。那么可以算出兩種方案中每位顧客的等候時間和離開時間。方案1： 顧客1顧客2

17、顧客3吃上第一個菜的時間第4分鐘第7分鐘第10分鐘吃上第二個菜的時間第4分鐘第7分鐘第10分鐘離開飯館的時間第14分鐘第17分鐘第20分鐘方案2：  顧客1顧客2顧客3吃上第一個菜的時間第4分鐘第4分鐘第7分鐘吃上第二個菜的時間第7分鐘第10分鐘第10分鐘離開飯館的時間第14分鐘第15分鐘第17分鐘由此可以看出，在這個最簡單的模型里，如果把方案一的炒菜和上菜的順序改為方案二，第一是客人等候第一個菜上來的時間都減少了，就不會有那么多怨言。第二是大部分人離開的時間都會提前，這樣，作為飯館而言，客流就會比較快，就可以接待新的顧客進來。當然，以上只是在假設炒菜為3分鐘和吃菜為5分鐘

18、的情況，作為一個一般模型，還可以假設炒一個菜為x分鐘和吃一個菜為y分鐘，那情況就很復雜了。如果把整個飯館的客流問題做成一個數學模型，就更復雜了。 當然，我們不要求小學生解釋以上這些道理，但學生可以根據生活經驗加以解釋，如：如果一個人一個人地上菜，那最后一個人等候的時間太長了，就會有意見了，時間都浪費在等待上了。等等。六、如何理解第115頁例3碼頭問題的實際意義？關于碼頭上貨問題，主要是從碼頭調度的角度來考慮排隊問題的意義，而不是從船老板的“感受”角度來考慮，因為任何一條船都希望自己是第一個卸貨。排隊論在公共汽車、機場等交通調度方面有很重要的意義。 為了敘述方便，我們把8小時卸完的那條船叫船1，4小時卸完的叫船2，1小時卸完的叫船3，我們假設