1、精選文檔專題講座高中數(shù)學(xué)“空間向量與立體幾何” 一、“空間向量與立體幾何”教學(xué)內(nèi)容的整體把握（一）從不同的角度把握“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容1.學(xué)習(xí)空間向量的必要性（1）必修課程中學(xué)習(xí)了平面對(duì)量學(xué)問，學(xué)習(xí)了用平面對(duì)量解決平面幾何等相關(guān)問題的方法. 在立體幾何的學(xué)習(xí)中理應(yīng)運(yùn)用空間向量解決更深化的問題.（2）“立體幾何初步”尚有判定定理等沒有證明，距離、角只介紹了有關(guān)概念及很簡(jiǎn)潔的求解問題，用推理論證方法解決立體幾何解決問題對(duì)于部分同學(xué)仍較困難.2. 學(xué)問結(jié)構(gòu)空間向量為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題供應(yīng)了一個(gè)格外有效的工具.同學(xué)在運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題時(shí)，可以到體會(huì)

2、向量方法在爭(zhēng)辯幾何圖形中的巨大作用，可以削減繁瑣的推理過程，直接通過公式計(jì)算解決問題.3.對(duì)“空間向量與立體幾何”的爭(zhēng)辯方法的把握向量作為一種幾何的爭(zhēng)辯工具具有與傳統(tǒng)綜合幾何方法完全不同的特征，運(yùn)用向量方法的過程是將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，通過向量計(jì)算（無論是一般的向量運(yùn)算還是向量的坐標(biāo)運(yùn)算）得到向量結(jié)論，再將向量結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論的過程.那么運(yùn)用向量方法爭(zhēng)辯立體幾何問題過程是否就是純粹向量計(jì)算的過程，空間想象與推理論證是否就不需要呢？回答是否定的.我們知道高中立體幾何課程是學(xué)校、學(xué)校與高校課程的過渡內(nèi)容，這個(gè)特點(diǎn)打算了其爭(zhēng)辯方法既具有幾何直觀與思辨的特征又具有肯定代數(shù)化的特征.事實(shí)上，我們不

3、難發(fā)覺，在爭(zhēng)辯用空間向量表示幾何元素、確定基向量、建立坐標(biāo)系以及確定點(diǎn)的坐標(biāo)或空間向量的坐標(biāo)的過程中不僅有向量計(jì)算，還有空間想象和規(guī)律推理. 因此在“空間向量與立體幾何”的教學(xué)中，我們不能只關(guān)注向量計(jì)算，而是應(yīng)將爭(zhēng)辯方法定位在綜合運(yùn)用空間想象、規(guī)律推理和向量計(jì)算.4.機(jī)敏選擇解決立體幾何問題的方法課標(biāo)指出“在教學(xué)中，可以鼓舞同學(xué)機(jī)敏選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題”（1）充分生疏綜合法與向量法各自的優(yōu)勢(shì)與不足如何理解這個(gè)“機(jī)敏選擇”？首先要使同學(xué)充分生疏綜合法與向量法各自的優(yōu)勢(shì)與不足，利用向量法，使立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量之間的代數(shù)運(yùn)算，這種解決問題的方法與綜合法相比有較強(qiáng)

4、的規(guī)律可循，并削減構(gòu)造幫助線的困擾，但向量方法并不總是簡(jiǎn)潔的，有時(shí)會(huì)加大運(yùn)算量，而且可能產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤，難以體現(xiàn)綜合法對(duì)培育同學(xué)幾何直觀力量、空間想象力量和規(guī)律思維力量應(yīng)有的價(jià)值，降低同學(xué)的愛好（2）向量更多、更重要的是供應(yīng)了一種生疏空間和圖形的新的方法新課程背景下立體幾何的教學(xué)，是否可以讓“綜合法”和“向量(坐標(biāo)法)”兩種方法體系齊頭并進(jìn)呢？明顯是不切合實(shí)際的，實(shí)踐中只會(huì)加重同學(xué)負(fù)擔(dān)，反而降低新課程背景下立體幾何的教育價(jià)值然而，綜合立體幾何的基礎(chǔ)公理、概念和定理在引入了空間向量的立體幾何方法體系中卻又仍舊是不行缺失的基礎(chǔ)，這好像是個(gè)沖突（3）“綜合法”和“向量(坐標(biāo))法”的相互支持從課程進(jìn)展的

5、整體觀點(diǎn)看，過分強(qiáng)調(diào)綜合法和向量法誰比誰好，就把它們局限在解題方法的層面上了假如從解決立體幾何問題的過程看，建立坐標(biāo)系、確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，其思維過程就是幾何直觀與綜合規(guī)律推理的過程(當(dāng)然學(xué)習(xí)的難度有所降低，學(xué)習(xí)更符合同學(xué)的認(rèn)知規(guī)律)，平行線傳遞公理結(jié)合自由向量的“相等平移”來學(xué)習(xí)，建系、定點(diǎn)要言之有據(jù)，就離不開線面平行、垂直的判定、性質(zhì)等定理，并且在很大程度上這些定理、結(jié)論必需成為問題解決過程中“直覺上的明顯”，成為更深刻的“默會(huì)學(xué)問”，信手拈來，得用就用在綜合法中，這就是目的，可在向量(坐標(biāo))法中這只是步驟總之，機(jī)敏選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法是一種思想它應(yīng)成為新課程背景下立體幾何教學(xué)中的另一

6、條重要原則其涵義是：利用“綜合法”和“向量(坐標(biāo))法”教學(xué)的關(guān)鍵是使前者涉及的基本學(xué)問、基本技能成為同學(xué)的“默會(huì)學(xué)問”，來支持后者，使其在代表立體幾何課程改革的正確方向，降低學(xué)習(xí)難度的同時(shí)不失幾何學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性（二）“空間向量與立體幾何”教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)以及爭(zhēng)辯方法1.重點(diǎn)：空間向量的概念及其運(yùn)算、空間向量基本定理；理解并把握向量方法解決立體幾何問題的一般方法（“三部曲”）.2.難點(diǎn)：空間向量基本定理；建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.3.爭(zhēng)辯方法：類比方法，向量方法.二、“空間向量與立體幾何”部分的教學(xué)爭(zhēng)辯與建議（一）“空間向量及其運(yùn)算”的教學(xué)爭(zhēng)辯與建議1整體把

7、握空間向量及其運(yùn)算的內(nèi)容課標(biāo)指出：空間向量的教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)同學(xué)運(yùn)用類比的方法，經(jīng)受向量及其運(yùn)算由平面對(duì)空間推廣的過程.教學(xué)過程中應(yīng)留意維數(shù)增加所帶來的影響.（1）通過類比加強(qiáng)對(duì)空間向量的理解有了前面平面對(duì)量和立體幾何初步的基礎(chǔ)學(xué)問，我們很簡(jiǎn)潔將平面對(duì)量及其運(yùn)算推廣到空間向量.由于同學(xué)已經(jīng)有了直線和平面平行、平面與平面平行的概念，將向量運(yùn)算從平面推廣到空間對(duì)一般同學(xué)已無困難，但平面推廣到空間不僅是讓同學(xué)留意向量形式的變化（例如坐標(biāo)由2維變成3維），更要讓同學(xué)理解維度增加帶來的變化的真正含義，這種理解仍需要一個(gè)過程，例如，如何理解空間向量？我們可以設(shè)計(jì)問題：空間兩條直線的位置關(guān)系是：平行、相交、異面，

8、空間兩個(gè)向量的關(guān)系？（共面）空間兩條平行直線確定一個(gè)平面，空間中兩個(gè)平行向量確定一個(gè)平面？（否）空間兩條相交直線確定一個(gè)平面，空間中兩個(gè)不平行向量確定一個(gè)平面？（否）因此，要讓同學(xué)一步步地驗(yàn)證空間中向量的運(yùn)算法則. 這樣做，一方面通過復(fù)習(xí)平面對(duì)量學(xué)習(xí)空間向量，另一方面進(jìn)一步培育同學(xué)的空間想象力量.（2）通過類比理解提升對(duì)向量運(yùn)算的整體生疏平面對(duì)量中的兩個(gè)向量的共線關(guān)系可以表示為：對(duì)于空間兩個(gè)向量，（），的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.這個(gè)結(jié)論我們可以理解為：在一維空間，以向量（）作為基底，則對(duì)于任何向量都存在實(shí)數(shù)，使.從聯(lián)系的觀點(diǎn)動(dòng)身，這個(gè)結(jié)論推廣到平面（二維空間）就是平面對(duì)量基本定理.平面對(duì)量基本

9、定理，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任何向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.平面對(duì)量基本定理表明，任意一個(gè)平面對(duì)量可以用與它同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示，而且這種表示是唯一的.平面對(duì)量基本定理是向量共線關(guān)系的推廣，可以看成（在肯定范圍內(nèi)）“向量分解唯一性”定理由一維向二維的推廣.由此，可以這個(gè)關(guān)系在空間呢？空間向量基本定理：假如三個(gè)向量，不共面，那么對(duì)空間任意向量，存在一個(gè)惟一的有序?qū)崝?shù)組，使.（平行六面體）從以上三個(gè)向量基本定理可以看出，基向量的個(gè)數(shù)與向量空間的維度相對(duì)應(yīng)，只有這樣，才有可能用將任何一個(gè)向量用基向量線性表示.再例如向量的夾角公式無論在平面對(duì)量還是空間向量，兩

10、個(gè)向量的夾角公式都是由向量的數(shù)量積關(guān)系獲得的，因此，平面對(duì)量的夾角公式推廣到空間向量的夾角公式時(shí)，其用一般向量表示的形式是不變的，即平面對(duì)量的夾角公式，空間向量的夾角公式均為.只有當(dāng)用向量坐標(biāo)的形式表示夾角公式時(shí)，才由二維坐標(biāo)變?yōu)槿S坐標(biāo).平面對(duì)量的夾角公式空間向量的夾角公式上面例子說明隨著維數(shù)的增加，向量基本定理的形式（基向量個(gè)數(shù)）也隨之變化，但當(dāng)向量運(yùn)算只涉及一個(gè)向量自身（如求向量的模）或兩個(gè)向量之間的運(yùn)算時(shí)（如求向量的夾角等）有些運(yùn)算的一般表示形式并沒有變化（僅在用坐標(biāo)表示時(shí)形式要變化）.這些關(guān)系說明白事物進(jìn)展變化是由自身的本質(zhì)屬性所打算的.2空間向量及運(yùn)算的應(yīng)用途徑(1)共線向量、共面

11、對(duì)量定理可用于證明空間線、面平行；(2)空間向量基本定理可用于引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示，表示空間向量等；(3)空間向量的數(shù)量積可用于爭(zhēng)辯距離、角的計(jì)算；(4)直線的方向向量與平面的法向量可用于爭(zhēng)辯線、面所成的角.（二）“立體幾何中的向量方法”的教學(xué)爭(zhēng)辯與建議1整體把握立體幾何中的向量方法學(xué)問結(jié)構(gòu)（1）利用空間向量解決立體幾何問題的必定性我們知道，首先平面對(duì)量及其運(yùn)算為利用平面對(duì)量解決平面幾何問題供應(yīng)了理論基礎(chǔ)，其次，平面對(duì)量的方法使得很多依靠傳統(tǒng)幾何方法很難解決的幾何問題變得比較的輕松，事實(shí)上，假如我們聯(lián)想平面解析幾何不難發(fā)覺，利用向量方法（有代數(shù)運(yùn)算特征）解決幾何問題使得幾何的爭(zhēng)辯范圍和深度發(fā)生很

12、大的變化.前面我們看到將向量及運(yùn)算由平面推廣到空間的過程，因此，向量及運(yùn)算由平面推廣到空間，已經(jīng)為利用空間向量解決立體幾何問題做好了理論上的預(yù)備，利用空間向量解決立體幾何問題是利用平面對(duì)量解決平面幾何問題的進(jìn)展，也必將給幾何爭(zhēng)辯帶來新的動(dòng)力.（2）梳理空間向量應(yīng)用的結(jié)論例如，關(guān)于直線的方向向量和平面的法向量利用向量表示空間直線與平面設(shè)點(diǎn)是直線上肯定點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)，是的一個(gè)方向向量，則的向量表示形式為，其中為實(shí)數(shù).（）設(shè)為平面內(nèi)肯定點(diǎn)，是內(nèi)任意一點(diǎn)，分別是內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則有向量表示形式，其中，為實(shí)數(shù).（）設(shè)為平面內(nèi)肯定點(diǎn)，是內(nèi)任意一點(diǎn)，是平面的一個(gè)法向量，則有向量表示形式（點(diǎn)法式）.利用

13、向量表示空間直線與平面的位置關(guān)系設(shè)直線，的方向向量分別為，平面，的法向量分別為，則：線線平行 ；線面平行 ；面面平行 .線線垂直 ；線面垂直 ；面面垂直 .線線夾角 ，的夾角為（），；線面夾角 ，的夾角為（），；面面夾角 ，的夾角為（），.留意：（）這里的線線平行包括重合，線面平行包括線在面內(nèi)，面面平行包括面面重合.（）這里線線夾角、線面夾角、面面夾角的范圍是.二面角的大小可以用其平面角的大小來定義，它的取值范圍是，具體取，還是取，建議結(jié)合具體問題（例如結(jié)合圖形）而定.（3）進(jìn)一步培育空間想象力量，推理論證力量利用空間向量刻畫 空間點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系的過程是運(yùn)用向量方法、綜合幾何方法解決問

14、題的過程，這個(gè)過程中對(duì)于空間想象力量，推理論證力量都有相應(yīng)的要求，建議應(yīng)不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行相應(yīng)練習(xí)，例如，在推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式的過程中建議進(jìn)一步鞏固綜合結(jié)合方法和運(yùn)用圖形的力量.例 設(shè)平面的法向量為，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為，則空間點(diǎn)到這個(gè)平面的距離：.證明：由于對(duì)上式進(jìn)行變形，則.（4） “三部曲”解決問題的基本思想方法用向量方法解決立體幾何問題的三部曲是向量應(yīng)用的一個(gè)重要思想方法，它的重要性等同于解析幾何中的解析法，我們建議它的教學(xué)可以先給出一些具體問題的解法，啟發(fā)同學(xué)歸納出過程中的這三步：建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化

15、為向量問題；進(jìn)行向量運(yùn)算，爭(zhēng)辯點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系（距離和夾角等）；依據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.例 如圖，一個(gè)結(jié)晶體的外形為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是.那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？分析：如圖，由于平行六面體的棱之間具有平行關(guān)系，所以以A為起點(diǎn)的三個(gè)向量可以將各棱用向量形式表示.依據(jù)題設(shè)，不妨設(shè)這三個(gè)向量的模都等于1.為了求出對(duì)角線的長(zhǎng)，可以將用于棱相關(guān)的向量表示出來.解：如圖，設(shè)，.化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，.進(jìn)行向量運(yùn)算=.所以.回到圖形問題這個(gè)晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的倍.2關(guān)于立體幾何中的向量方法的

16、幾個(gè)問題（1）建系中的問題向量坐標(biāo)方法在使用時(shí)建立坐標(biāo)系是重要的一環(huán)，我們應(yīng)針對(duì)幾何體的外形以有利于求向量的坐標(biāo)為原則來建系.在利用向量坐標(biāo)方法的初級(jí)階段，試題所給的幾何體都是格外規(guī)整的，一般會(huì)消滅“三個(gè)垂直”，可以直接利用題目所給的圖形和其中的線段建立坐標(biāo)系，一般不需要添加幫助線，有利于向量方法解題.但隨著課程的推動(dòng)，對(duì)題目的設(shè)計(jì)就會(huì)漸漸依據(jù)題目本身的面目消滅，而不再刻意追求規(guī)整的“三個(gè)垂直”，目的是使得大家對(duì)空間向量方法的有一個(gè)全面正確的生疏和嫻熟的使用，即生疏到向量方法中也有空間想象力量和推理論證力量的要求.因此，利用向量方法中的“算”應(yīng)當(dāng)是以肯定的空間想象和思辨論證為基礎(chǔ)的.我們看幾個(gè)

17、例子：選擇適合位置建系例 如圖，直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，（）證明：為異面直線與的公垂線；（）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的大小（）證明：依條件知. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，由于面，故設(shè)，則，.由于，故，.所以為異面直線與的公垂線.（）格外規(guī)位置放置，考查概念、空間想象力量，建系的機(jī)敏性.本題中這樣建系，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)是比較簡(jiǎn)潔求解的選擇適合位置建系.先證明后建系例 如圖，正方形和四邊形所在的平面相互垂直，.（）求證：平面；（）求證：平面；（）求二面角的大小.證明：（I） 設(shè)與交與點(diǎn).由于，且，.所以四邊形為平行四邊形

18、.所以.由于平面，AF平面，所以平面.（）由于正方形和四邊形所在的平面相互垂直，且，所以平面.如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，.所以，.所以，.所以，.所以平面.（）由（）知，是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，則，.即所以，且.令，則.所以.從而.由于二面角為銳角，所以二面角的大小為.問題的條件并沒有直接給出建立坐標(biāo)系所需要的從一點(diǎn)動(dòng)身的兩兩垂直的三條直線，因此在建系之前應(yīng)通過綜合幾何方法證明要建立坐標(biāo)系的直線滿足兩兩垂直的建系條件.在運(yùn)用向量方法解決立體幾何的問題中，很多命題者在向量方法中融入了綜合考查空間想象和推理論證的內(nèi)容，這使得一道立體幾何問題全面考查了同學(xué)解決立體幾何問題

19、的方法.例 如圖，梯形ABCD中，DCAB，AD=DC=CB=AB=1，E是AB的中點(diǎn)，將ADE沿DE折起，設(shè)點(diǎn)A折到點(diǎn)P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°，F(xiàn)是DE的中點(diǎn).（）若點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)，證明：PD平面MEC；（）證明：DEPC；（）求二面角F-PB-C大小的余弦值.解法1：（綜合幾何方法略）分析：本題的難點(diǎn)是圖形不夠規(guī)正，那么要建立坐標(biāo)系就應(yīng)當(dāng)對(duì)幾何圖形進(jìn)行肯定的說明，下面的說明主要是點(diǎn)P在底面的射影為什么在AF上.解法2：由（2）知四邊形ADCE是菱形，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，ACDE.由于PDE是由ADE折起得到的，且PD =PE，故點(diǎn)P在平面ADCE上的射影O落在A

20、C上.故以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由(2)知PFC是二面角P-DE-C的平面角.所以PFC =120°.所以二面角F-PB-C大小的余弦值為.假如依據(jù)圖中的方法建系，則必修說明點(diǎn)P在平面ADCE上的射影O落在AC上.這個(gè)過程完全是綜合幾何方法，因此建立坐標(biāo)系的向量方法不是確定的計(jì)算問題.（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)問題在建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，求向量的坐標(biāo)是運(yùn)用向量方法的其次個(gè)環(huán)節(jié)，假如幾何體比較規(guī)整，則向量的坐標(biāo)一般比較好求，但有時(shí)向量坐標(biāo)的求解也要與其他方法相結(jié)合.例 如圖1，點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線D1B上，PDA=60°.（）求DP與C1C所成

21、角的大小；（）求DP與平面A1ADD1所成角的大小.解：如圖2，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則=，=.連結(jié)BD，B1D1，在平面BB1D1D內(nèi)，延長(zhǎng)DP，交B1D1于點(diǎn)H，設(shè)=( m > 0 )， 由條件知 <，> = 60°.由·=|cos<，> 可得2m =.解得m =.所以=.（）由于cos<，>=，所以<，>=，即與所成的角的大小是.（）由于平面的一個(gè)法向量是，又cos<，>=，所以<，>=. 即DP與平面A1ADD1所成角的大小為.留意：由于點(diǎn)P在正方體ABC

22、D-A1B1C1D1的對(duì)角線D1B上且PDA=60°，直接設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)則會(huì)消滅多個(gè)變量，由于所求的兩問都是求與DP相關(guān)的角度問題，因此依據(jù)點(diǎn)P的位置特征只確定DP所在的直線的位置即可，因此消滅上面解法. 明顯盡管求解過程是用向量的坐標(biāo)方法，但空間想象與思辨論證的要求并沒有降低，體現(xiàn)了對(duì)同學(xué)全面的幾何方法的考查.當(dāng)向量的坐標(biāo)不易直接求得，而利用向量只是求夾角等（不涉及向量長(zhǎng)度），則可以將此向量轉(zhuǎn)化為與其同方向、簡(jiǎn)潔求出坐標(biāo)的向量參與運(yùn)算.（3）含參數(shù)問題的處理例 如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面，平面，且，為的中點(diǎn).（）求異面直線與所成角的余弦值；（）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？

23、若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解析：（）在如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo).依題意，得， ，.所以，.由于，所以異面直線與所成角的余弦值為.（）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面.設(shè)，又，所以.由于，由平面，得即解得，此時(shí)，.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，平面.故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).其次問中題目要求探究線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？這樣的設(shè)計(jì)使得利用向量計(jì)算之前必需從幾何圖形動(dòng)身，找到表示滿足條件的點(diǎn)的相關(guān)向量關(guān)系，命題者通過這樣的方式考查了同學(xué)的空間想象力量和推理論證力量.例：在四棱錐中，側(cè)面底面，為中點(diǎn)，底面是直角梯形，.（）求證：平面； （）求證：平面；（）設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，試確定的值

24、，使得二面角為.（）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為中點(diǎn)，所以，且.在梯形中，所以，.四邊形為平行四邊形.所以.又平面，平面，所以平面.（）證法1：提示：由條件易證明，及直角梯形中易證明.證法2：平面底面，所以平面.所以.如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則，.由于，所以，.又由平面，可得.所以平面.（）解法1：提示：過作，易證平面.過作，連結(jié)，則.由于面面，作，則為所求二面角的平面角，且面.所以.所以.即為等腰直角三角形.所以.由得.則由相像比簡(jiǎn)潔求出，.所以.解得.（）解法2：由于，且，所以.明顯為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，又，由，得所以.所以.留意到，得.與上題同理，題目要求同學(xué)必

25、需從圖形動(dòng)身，利用條件設(shè)出向量關(guān)系，用含有字母的關(guān)系表示了點(diǎn)的坐標(biāo).（4）基向量方法的運(yùn)用用坐標(biāo)向量法求解的難點(diǎn)在于建立空間直角坐標(biāo)系及求出某些點(diǎn)的坐標(biāo)（如上底面的頂點(diǎn)）；用傳統(tǒng)綜合幾何方法求解的難點(diǎn)在于作出合適的幫助線，以及需要利用某些特殊性質(zhì)作為基本性質(zhì)，而在某些狀況下利用非坐標(biāo)向量方法求解，一方面不需要作幫助線，極大地降低了難度，另一方面由于基底可以自由選擇，降低了建立空間直角坐標(biāo)系所需要的某些苛刻要求，從而使得求解過程簡(jiǎn)潔明白.例：已知矩形所在平面和矩形所在平面垂直，為公共邊.點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且|=|，|=|.證明：平面.分析：此題的證明方法很多，在向量方法中，非坐標(biāo)向量法不僅簡(jiǎn)

26、潔，而且能夠反映問題的本質(zhì).要證明線面平行，只要用平面內(nèi)2個(gè)不共線的向量線性表示向量即可.證明：如圖，依題意有=+=+=(+)+=+.即可用、線性表示.所以平面.留意：本題解法中，將證明平面的問題轉(zhuǎn)化為如何利用平面的基向量線性表示的問題，解題過程思路清楚簡(jiǎn)捷，計(jì)算量較小，體現(xiàn)了向量方法的優(yōu)越性.再看一例：例（2009四川卷）如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角的大小是 .解法1：取中點(diǎn)，連結(jié)，則面.所以是在面上的射影.由平面幾何學(xué)問簡(jiǎn)潔證明.由三垂線定理得.故異面直線和所成的角的大小是90°.解法2：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，選擇基向量，則，.所以=0.所以異

27、面直線和所成的角的大小是90°.留意：基向量的選擇應(yīng)力求已知它們的長(zhǎng)度與夾角.例：在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點(diǎn).（）求證：；（）求與平面所成的角.分析：本題不存在明顯的過同一點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線，并且?guī)缀误w棱的長(zhǎng)度不固定. 這種狀況下，使用基向量法顯得更有用，特殊是對(duì)第（）的解決.（）略（）解法1：如圖，由于，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)（由于幾何體不固定，所以建系后坐標(biāo)中要有變量），則，.，設(shè)向量與平面垂直，則，即，由于，所以，即.由于，且直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以.即直線與平面所成的角是（）解法

28、2：把，作為一組基底.由題意易得=，.設(shè)平面的法向量為，則.由得，可得；由得，得.取，則.結(jié)合圖形可知，直線與平面所成的角是45°.例：已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于 （ ）A B C D解法1：如圖，設(shè)為O為的中心，連結(jié)AO，過作面，垂足為H.分別連結(jié)OH，AH，BH，則.故為與平面所成的角.由于O為等邊的中心，所以.設(shè)，所以.所以. 所以.由于，所以在中，.所以=-=.又，所以.所以. 故選B.解法2：如圖，設(shè)為O為在底面內(nèi)的射影，明顯與底面所成的角的正弦值等于與所成的角的余弦值.設(shè)，為基向量.由于=+=+，令=1，簡(jiǎn)潔計(jì)算|

29、=，|=.又·= 0，·= 0，·=|cos30°=，所以= (+)·(+) = 3，即| =.由于·= (+)·=，所以cos<,>=.故選B.3“立體幾何中的向量方法”的案例片段課例片段二、典型例題例1 如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，是底面的中心，點(diǎn)在上，設(shè)直線與所成的角大小為.（）若是的中點(diǎn)，求的大小；（）若是上的任意點(diǎn)，求的大小.師：我們先實(shí)行哪種方法試一試？估計(jì)大部分同學(xué)答：建系，用向量坐標(biāo)法.解法1：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為原點(diǎn)（）（略）（）依題意得，.由于，所以.所以，即.問題：從圖形結(jié)構(gòu)來看，

30、在上移動(dòng)時(shí)，為什么總是有？（與y無關(guān)）（等待同學(xué)的反應(yīng)，估計(jì)有部分同學(xué)能想到或者在老師的啟發(fā)下想到是由于線面垂）下面讓我們換個(gè)思路，考慮用綜合法來解決這個(gè)問題.老師啟發(fā)：在上移動(dòng)時(shí)，形成了什么圖形？解法2：過作直線交，于，連，易證四邊形為平行四邊形，易證，則平面，由于平面，故總是有.即=90º.小結(jié)：原來是由于線面垂直，所以總有線線垂直.推廣：點(diǎn)可以移動(dòng)到，上，乃至平面內(nèi)不是點(diǎn)的任意一點(diǎn)，總是有.向量坐標(biāo)法直接可以算出結(jié)果，但是運(yùn)算過程不能很好地反映圖形本身的結(jié)構(gòu)特征，而綜合法就能彌補(bǔ)這個(gè)缺陷.向量是工具，生疏本質(zhì)是目的.設(shè)計(jì)意圖：在解決兩直線夾角問題中，經(jīng)受兩種方法解題的對(duì)比，感受

31、到向量法解題帶來的便利及綜合法解題反映出的圖形本身的結(jié)構(gòu)特征.例2 如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形， 垂直于和，側(cè)棱底面，是的中點(diǎn)，且，.（）求證：平面；（）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使平面；老師：我們可以嘗試用向量坐標(biāo)法和綜合法分別去考慮.解：（）向量法：如圖，點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，.則，.由于，所以.易證是平面的法向量，而平面，故平面.綜合法：取的中點(diǎn)，連，由于的中位線，所以四邊形是平行四邊形，所以.而平面，平面，故平面.（）向量法：依題意，設(shè)，則，.由于平面，所以，所以.同理，所以.所以.（）（綜合法）思路分析：由于E為SD的中點(diǎn)，且BS=BD，SA=AD，易證明SD平面ABME

32、.所以平面SBD平面ABME.在平面ABME內(nèi)做MNBE，MN交AE于N.所以MN平面SBD.由四邊形ABME是矩形且MNBE，簡(jiǎn)潔計(jì)算點(diǎn)N為AE的中點(diǎn).小結(jié)：在一個(gè)簡(jiǎn)單圖形中，假如建系便利，實(shí)行向量坐標(biāo)法會(huì)很便利.（課例片段完）對(duì)選擇解法及解答過程的感受：這是一節(jié)立體幾何的復(fù)習(xí)課，通過師生對(duì)例1和例2（)的解法選擇與解法過程的思考與溝通，使同學(xué)感受到在處理簡(jiǎn)單的立體幾何問題時(shí)綜合法、向量法各自的優(yōu)勢(shì). 在教學(xué)過程中，老師不僅要求同學(xué)較好地把握用向量方法解決立體幾何問題的基本方法，而且在同學(xué)力所能及的范圍內(nèi)，引導(dǎo)同學(xué)而用綜合法分析圖形、發(fā)覺問題的本質(zhì)（例如，老師沒有當(dāng)堂要求同學(xué)用綜合方法解答例

33、2（)，而只是在向量方法之后從幾何直觀的角度進(jìn)行了簡(jiǎn)潔的思路分析），體現(xiàn)了機(jī)敏運(yùn)用綜合幾何方法與向量方法的解決立體幾何問題的課程理念.三、同學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)檢測(cè)分析（一）課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“空間向量與立體幾何”的要求（1）空間向量及其運(yùn)算 經(jīng)受向量及其運(yùn)算由平面對(duì)空間推廣的過程. 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，把握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示. 把握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示. 把握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積推斷向量的共線與垂直.（2）空間向量的應(yīng)用 理解直線的方向向量與平面的法向量. 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系. 能用向量方法證明有關(guān)

34、線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）（參見例1、例2、例3）.說明與建議 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在爭(zhēng)辯幾何問題中的作用.5空間向量的教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)同學(xué)運(yùn)用類比的方法，經(jīng)受向量及其運(yùn)算由平面對(duì)空間推廣的過程.教學(xué)過程中應(yīng)留意維數(shù)增加所帶來的影響.6在教學(xué)中，可以鼓舞同學(xué)機(jī)敏選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題.（二）考試大綱對(duì)“空間向量與立體幾何”的要求（1）空間向量及其運(yùn)算 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，把握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示. 把握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示. 把握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，

35、能運(yùn)用向量的數(shù)量積推斷向量的共線與垂直.（2）空間向量的應(yīng)用 理解直線的方向向量與平面的法向量. 能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系. 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在爭(zhēng)辯幾何問題中的作用.（二）典型題目的檢測(cè)分析例：如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)，（）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面；（）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離證明：（）方法1：如圖，連結(jié)，由于為等腰三角形，為中點(diǎn)，所以.又平面平面，所以平面.又是以為斜

36、邊的等腰直角三角形，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，.由題意得.由于，可求出平面的法向量為.由于，所以.又直線不在平面內(nèi)，所以平面.方法2：連接，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，由于，分別為，的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的重心. 所以.又，所以.又平面，平面，所以平面.留意：比較兩種方法，明顯綜合法要簡(jiǎn)捷一些；另外同學(xué)利用向量方法計(jì)算時(shí)的精確率是至關(guān)重要的，要留意運(yùn)算技能的指導(dǎo)與訓(xùn)練.（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.由于平面，所以有.因此有，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面.由點(diǎn)的坐標(biāo)可知點(diǎn)到，的距離為4，

37、. 留意：本題（）解法是利用向量坐標(biāo)方法解決存在性問題的例子，要引導(dǎo)同學(xué)關(guān)注這列問題的基本方法；將立體幾何與線性規(guī)劃方法（檢驗(yàn)點(diǎn)的位置盡管簡(jiǎn)潔）綜合是考查立體幾何的新視角，同學(xué)至此往往不易想到如何檢驗(yàn)點(diǎn)M在的內(nèi)部，要留意綜合運(yùn)用學(xué)問的訓(xùn)練.例：如圖，四棱錐的底面是菱形，其對(duì)角線，都與平面垂直，.（）求二面角的大小；（）求四棱錐與四棱錐公共部分的體積.解：（）（綜合法）連接，交于菱形的中心，過作，為垂足.連接，由，得平面.故.于是平面.所以，.所以為二面角的平面角.由，得，.由，得.所以二面角的大小為.（）（向量法）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段，方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

38、系.設(shè)平面的法向量為，則由得令，得.同理，可求得平面的法向量.由于，所以平面與平面垂直.所以二面角的大小等于.留意：對(duì)于（）明顯利用綜合法找二面角的平面角比利用向量方法要困難很多，因此要依據(jù)問題的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)捷的方法；空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)還可以有多種位置，建系的原則是有利于后面的點(diǎn)、向量的求解與運(yùn)算.（）連結(jié)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，則四棱錐與四棱錐的公共部分為四棱錐.過作平面，為垂足，由于平面，平面，所以平面平面.從而，.由，得.又由于，故四棱錐的體積.留意：（II）并沒有給出所求的公共部分，由考生依據(jù)條件（特殊是圖形）探究推想出公共部分是四棱錐H-ABCD，對(duì)幾何概念和把握?qǐng)D形力量提出較高的要求.

39、 試想，若（II）用向量方法，則在確定兩個(gè)四棱錐的公共部分的過程中仍舊要借助圖形分析與推理，因此依據(jù)問題提交機(jī)敏選擇方法是解決立體幾何問題的關(guān)鍵.整體把握立體幾何主線的幾個(gè)維度老師們，前面我們分別回顧了“立體幾何初步”和“空間向量與立體幾何”的相關(guān)內(nèi)容，下面我們從整體把握幾何主線的維度再做一個(gè)簡(jiǎn)潔的說明.我們知道，不同階段的立體幾何課程是有較大區(qū)分的，但是它們并不是完全割裂的，從哪些方面來理解貫穿于立體幾何的主線的整體特征呢？我們認(rèn)為可以從如下四個(gè)維度來理解：1.從立體到平面再到立體（側(cè)重生疏方法）在義務(wù)教育的學(xué)校階段，同學(xué)首先是從立體實(shí)物觀看開頭學(xué)習(xí)幾何課程的. 比如先從直觀上生疏一些長(zhǎng)方體

40、、正方體、圓柱和球等物體，然后從這些實(shí)物中剝離出一些具體的長(zhǎng)方形、正方形和圓等平面圖形，最終在學(xué)校階段達(dá)到生疏長(zhǎng)方體等立體圖形的一些特征，如體積和表面積等.隨著同學(xué)進(jìn)入學(xué)校階段的學(xué)習(xí)，同學(xué)進(jìn)入到抽象平面圖形學(xué)習(xí)為主要內(nèi)容的階段，在這個(gè)階段，圖形特征的幾何符號(hào)語言、運(yùn)動(dòng)變換視角下和坐標(biāo)形態(tài)下的生疏成為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容.高中學(xué)習(xí)正是在同學(xué)建立大量豐富的直觀辨認(rèn)、動(dòng)手操作和初步幾何符號(hào)語言的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，進(jìn)入到又一個(gè)生疏立體圖形的學(xué)習(xí)階段，在這個(gè)階段既有對(duì)學(xué)校幾何符號(hào)語言的進(jìn)展，如直線與直線、直線與平面和平面與平面的位置關(guān)系，又有學(xué)校坐標(biāo)幾何學(xué)習(xí)的進(jìn)一步進(jìn)展，如向量幾何的學(xué)習(xí).前一個(gè)立體和后一個(gè)立體的內(nèi)涵

41、是不一樣的，前一個(gè)立體是直觀和描述性的，后一個(gè)立體具有某種特征.2.從整體到局部再到整體（側(cè)重對(duì)幾何體生疏的深度）同學(xué)生疏一個(gè)圖形（不論是立體的還是平面的，不論是直的還是曲的），首先獲得的是一個(gè)整體印象，通過對(duì)實(shí)物的觀看，進(jìn)而用自己的語言描述（這種描述起初往往是不確定的，不精確的，甚至有時(shí)是說不出來的，同學(xué)能夠區(qū)分不同的圖形），建立圖形的整體表象. 比如，兒童看到一個(gè)水杯，不需要描述它的細(xì)節(jié)和局部就知道它是一個(gè)杯子（這個(gè)杯子可能是一個(gè)圓柱形的，可能有把或無把），這個(gè)階段一般是在低班級(jí)學(xué)段，是同學(xué)首次生疏一個(gè)（一類）新的圖形時(shí)具有的過程.隨著學(xué)習(xí)的推動(dòng)，同學(xué)生疏圖形進(jìn)入到圖形的邊和頂點(diǎn)、角的生疏

42、，他們要關(guān)注圖形的局部特征，如直角、30度角的區(qū)分. 又比如，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，而一般三角形不具有這樣的特征. 再比如，正方體的六個(gè)面都相等并且都是正方形等等都是一類圖形的局部特征.生疏圖形最終的目的是為了獲得對(duì)圖形，特殊是一類圖形的“整體性質(zhì)”它們往往是區(qū)分于其他圖形的本質(zhì)屬性，或者說是在某種變換或運(yùn)動(dòng)下的不變性質(zhì). 這就是后一個(gè)“整體”，后一個(gè)整體往往是前一個(gè)整體的定量化，是更為高級(jí)的生疏.學(xué)校階段已經(jīng)有一些初步嘗試，如“三角形內(nèi)角和180度”、“三角形兩邊之和大于第三邊”都是三角形的整體性質(zhì)它們不依靠于三角形的變化.還有一些圖形的分類也是進(jìn)一步整體生疏圖形的學(xué)習(xí)內(nèi)容.學(xué)校幾何課程的

43、學(xué)習(xí)，在同學(xué)有了學(xué)校整體生疏之后，進(jìn)入到用符號(hào)語言描述圖形特征的學(xué)習(xí). 如“圓的對(duì)稱性”的符號(hào)語言就是“垂徑定理”和“圓心角定理”.高中的立體幾何課程的設(shè)置相對(duì)于義務(wù)教育階段的幾何課程，其爭(zhēng)辯的幾何對(duì)象更加深化細(xì)致，爭(zhēng)辯方法更加豐富與多樣，這就更加凸顯其后一個(gè)整體的特點(diǎn). 另一面，如前面已經(jīng)說到的，高中立體幾何課程自身也顯示了整體到局部再到整體的學(xué)問結(jié)構(gòu)特征.在高中的立體幾何課程中同學(xué)對(duì)于空間幾何體的生疏更加深刻，例如通過學(xué)習(xí)線面垂直的判定定理，祖暅原理等內(nèi)容使同學(xué)進(jìn)一步看到在空間幾何體變化的過程中，其幾何元素之間所滿足的不變關(guān)系，而正是這些關(guān)系揭示了其次個(gè)整體與第一個(gè)整體在生疏層次上的區(qū)分.

44、3.從定性到定量大致來看，在學(xué)校主要是定性的感受圖形，觀看圖形，描述圖形. 換句話說，在同學(xué)初步學(xué)習(xí)一類新圖形是往往是需要這個(gè)過程的，這個(gè)過程要充分，不要一帶而過. 隨后，同學(xué)需要從定量的角度刻畫圖形的一些特征，如邊長(zhǎng)，角度，面積和體積等，如位置的確定也是圖形定量描述的階段（平面直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)）.定性和定量都是為了生疏圖形和刻畫圖形，是不同階段的任務(wù). 當(dāng)然，圖形的生疏必需經(jīng)由定性到定量的過程，最終到達(dá)定量，不能總是處于定性的描述水平.高中同學(xué)在幾何的定量學(xué)習(xí)方面有格外多的機(jī)會(huì)，老師要重視同學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是什么？高中老師要留意調(diào)用同學(xué)定性學(xué)習(xí)的儲(chǔ)備作為教學(xué)資源.如向量坐標(biāo)幾何的學(xué)習(xí)，就是建立在

45、同學(xué)大量的定性描述基礎(chǔ)基礎(chǔ)上的，同學(xué)學(xué)習(xí)過直觀辨認(rèn)長(zhǎng)正方體的特征.綜合立體幾何的學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)2的立體幾何初步）也是定性學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是為同學(xué)學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)幾何做預(yù)備的. 從立體幾何初步到數(shù)學(xué)選修2的“空間向量與立體幾何”的連貫，就是定性到定量的全部過程. 課程改革強(qiáng)調(diào)的向量幾何的學(xué)習(xí)，也正是在豐富同學(xué)定性和定量幾何的貫穿生疏，比較過去而言豐富了同學(xué)的幾何生疏.4.從靜止到運(yùn)動(dòng)兒童生活的四周布滿了靜止和運(yùn)動(dòng)的物體和實(shí)物. 直接生疏運(yùn)動(dòng)的物體和實(shí)物是有肯定困難的，這就打算了同學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)經(jīng)由靜止到運(yùn)動(dòng)的過程. 同學(xué)需要生疏到圖形的哪些特征和性質(zhì)是在運(yùn)動(dòng)下不變的.在靜止?fàn)顟B(tài)下，三角形有三條邊，一個(gè)三角形平

46、移后與另一個(gè)三角形重合嗎？一個(gè)等腰三角形沿底邊上的高線折疊后兩邊會(huì)發(fā)生什么狀況？一個(gè)正方形折疊后是否與自己重合，一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)平行四邊形呢？運(yùn)動(dòng)的圖形，運(yùn)動(dòng)的幾何學(xué)習(xí)為同學(xué)建立變化、建立變量的生疏供應(yīng)了格外重要的直觀，運(yùn)動(dòng)也是生疏圖形的必要視角.高中課程充分進(jìn)展了靜止與運(yùn)動(dòng)關(guān)系的學(xué)習(xí)，我們前面舉過的例子充分說明，動(dòng)態(tài)地觀看某些立體幾何圖形，可以發(fā)覺比靜止?fàn)顟B(tài)下的結(jié)論具有更普遍的規(guī)律，更簡(jiǎn)潔生疏問題的本質(zhì)，因此，老師應(yīng)當(dāng)關(guān)注同學(xué)在這方面的學(xué)習(xí)閱歷有哪些，以便把立體圖形的運(yùn)動(dòng)（如旋轉(zhuǎn)體）和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成軌跡的學(xué)習(xí)建立在他們已有的基礎(chǔ)上.總之，從立體幾何課程主線的4個(gè)維度來看待立體幾何課程，更簡(jiǎn)潔使

47、得我們生疏不同階段幾何課程的共性與共性，能夠使得我們更好地把整體握立體幾何課程的本質(zhì)，有利于達(dá)成實(shí)施素養(yǎng)教育的目標(biāo).李霞：北京市和平街一中王云霞：北京市和平街一中【互動(dòng)話題】1如何生疏用空間向量方法解決立體幾何問題不是單純的計(jì)算問題要點(diǎn)：從課程角度生疏：高中承上啟下，向量方法新方法，不能太功利（轉(zhuǎn)化沖突）；從學(xué)問體系生疏：目前的向量方法不能離開綜合幾何方法（直觀與推理）的支持；從考試角度生疏：命題者會(huì)在試題設(shè)計(jì)中融入傳統(tǒng)幾何方法。例 如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.（I）求證：平面；（）若，求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng).（I）（略）（）解：設(shè).由于，所以，.如圖，以

48、為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.所以，.設(shè)與所成的角為，則.例 從一份試卷中立體幾何試題的設(shè)計(jì)看整體把握空間想象、推理論證和向量計(jì)算（1）一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為 答案C（2）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)，在棱上，動(dòng)點(diǎn)， 分別在棱，上，若，（，大于零），則四周體的體積（）與，都有關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（3）如圖，正方形和四邊形所在的平面相互垂直，.（）求證：平面；（）求證：平面；（）求二面角的大小.2. 在運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題時(shí)，如何削減向量計(jì)算的失誤要點(diǎn)：生疏向

49、量方法中計(jì)算量，例如，用向量坐標(biāo)方法求二面角需要大約40次運(yùn)算方法問題：由圖寫點(diǎn)坐標(biāo)，缺乏空間想象力量，確定點(diǎn)位置有誤;非智力問題：態(tài)度，毅力，習(xí)慣（審題、答題）;計(jì)算技能問題：把握速度（極端均不行取），把握跳步，準(zhǔn)時(shí)檢驗(yàn)。3如何理解機(jī)敏選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題要點(diǎn)：兩種方法各有優(yōu)勢(shì)：綜合幾何方法有時(shí)把握?qǐng)D形、推理論證難度高，但更簡(jiǎn)潔理解問題本質(zhì)；向量方法有時(shí)運(yùn)算量大，易產(chǎn)生錯(cuò)誤，但坐標(biāo)方法可操作性強(qiáng)例 如圖, 是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，. 設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論.方法1：由于，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.則，.

50、所以，.設(shè)平面的法向量為，則 即令，則.由于點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)，則.由于平面，所以.即，解得. 此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，符合題意.方法2：由于平面，所以平面.設(shè)，分別是，的三等分點(diǎn)，連結(jié)，由于，所以.由于平面，平面，所以平面.4如何從教育價(jià)值的角度理解高中立體幾何課程的變化要點(diǎn)：有助于進(jìn)展同學(xué)把握空間與圖形的力量，使同學(xué)更好地生疏人類生存的空間；有助于進(jìn)展同學(xué)的直覺力量，培育同學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)；有助于進(jìn)展同學(xué)的推理論證力量、合情推理力量、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行表達(dá)與溝通的力量。案例評(píng)析【案例信息】案例名稱： 綜合法與向量法在垂直問題中的應(yīng)用 授課老師： 魏 爍（北京市第十七中學(xué)） 評(píng)析老師：袁京生（ 北

51、京市朝陽(yáng)區(qū)教育爭(zhēng)辯中心） 【課堂實(shí)錄】【案例評(píng)析】本節(jié)課是高三立體幾何的復(fù)習(xí)課.在老師細(xì)心設(shè)計(jì)下，通過提前做學(xué)案、課堂上充分呈現(xiàn)、溝通、探討，不僅使同學(xué)獲得了證明相關(guān)垂直問題的基本方法：綜合法與向量法，并對(duì)如何看待兩種方法有了進(jìn)一步的生疏；通過適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，提高了同學(xué)觀看發(fā)覺、推理論證、分析問題與解決問題的力量；通過分組溝通，使同學(xué)強(qiáng)化了合作意識(shí)，體驗(yàn)到了解題與爭(zhēng)辯的歡快.下面分別從三個(gè)方面具體說明如下.一、通過典型例題的探究，正確理解綜合法與向量法的特點(diǎn)自從具有代數(shù)和幾何雙重身份的向量被引入到立體幾何問題解決中以來，向量法受到了無比的青睞，它可操作性強(qiáng)，入手好像更簡(jiǎn)潔，所

52、要求的技巧也要少一些，的確為解決空間中圖形的位置關(guān)系和度量問題供應(yīng)了新視角，與此同時(shí)，傳統(tǒng)方法就不行避開的被“擱置”了.那么到底應(yīng)如何全面的看待向量法和傳統(tǒng)法呢？主講老師做了有益的嘗試：通過一個(gè)小辨析題目，不僅使同學(xué)快速回顧了立體幾何中與垂直相關(guān)的定理及性質(zhì)；而且奇妙的引出本課的主題，而后拋出例1.例1 在正方體中，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：平面老師充分調(diào)動(dòng)同學(xué)的樂觀性，同學(xué)踴躍呈現(xiàn)自己的做法：傳統(tǒng)做法的呈現(xiàn)使傾向于向量做法的同學(xué)領(lǐng)會(huì)到推理論證、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律思維的魅力；向量做法的呈現(xiàn)也使那些樂于接受挑戰(zhàn)的同學(xué)感受到了向量強(qiáng)大的工具性作用.老師的意圖很明顯：即要鼓舞同學(xué)機(jī)敏選擇運(yùn)用向量法和綜合法，從

53、不同角度解決立體幾何問題.也就是說，必需要具體問題具體分析，不宜無條件地主觀給出向量法與綜合法各自的優(yōu)劣.二、通過變式訓(xùn)練突出思維力量培育老師在例1 和例2后面分別支配了探究問題：例1后的探究：在正方體中，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若仍要求平面，點(diǎn)還在上嗎？點(diǎn)的位置和點(diǎn)的位置是否有聯(lián)系？假如有，和的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？例2后的探究：變式1. 當(dāng)a=4時(shí)，求證：以AD為直徑的圓與直線BC相切； 變式2若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M，使PMAM，求a的取值范圍. 例1后的探究：將點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起來，由靜到動(dòng)，問題的處理也體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；例2 的變式1 和變式2更是和圓有機(jī)聯(lián)系在一起，將平面幾何學(xué)問奇妙的融合進(jìn)來

54、. 同學(xué)在變式訓(xùn)練中，所經(jīng)受的直觀感知、觀看發(fā)覺、大膽猜想、演繹證明、數(shù)據(jù)處理等過程更為豐富多彩，對(duì)自身分析問題和解決問題的力量進(jìn)展的促進(jìn)作用更為明顯.三、以同學(xué)進(jìn)展為本，充分調(diào)動(dòng)同學(xué)樂觀性新課程的一個(gè)鮮亮特點(diǎn)是以同學(xué)的進(jìn)展為本，留意學(xué)問的發(fā)生、進(jìn)展過程的揭示，關(guān)注同學(xué)思維的最近進(jìn)展區(qū)，提倡通過同學(xué)參與，自主探究爭(zhēng)辯，發(fā)覺學(xué)問，習(xí)得學(xué)問，重在同學(xué)潛能的開發(fā)、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐力量的培育.本節(jié)課，在這方面作了有益的探究.整節(jié)課不管是在綜合法與向量法的爭(zhēng)辯上，還是通過變式訓(xùn)練提高同學(xué)以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題解決問題的力量上，都有同學(xué)來完成，老師只是做適當(dāng)?shù)囊I(lǐng)和指導(dǎo).這既是對(duì)學(xué)習(xí)主體的充分敬重，使同學(xué)

55、獲得親歷學(xué)問生進(jìn)步展的體驗(yàn)，又是培育同學(xué)自我參與意識(shí)和探究發(fā)覺力量、開發(fā)同學(xué)潛能的有效方式.在數(shù)學(xué)教學(xué)中獲得結(jié)果，特殊是獲得精確的結(jié)果是重要的，但從某種意義上說，讓同學(xué)經(jīng)受和體驗(yàn)獵取學(xué)問的過程要比獲得結(jié)果更重要.這是由于，這種獵取學(xué)問的過程，不僅是學(xué)問生進(jìn)步展的動(dòng)態(tài)延長(zhǎng)，而且更是開啟才智、進(jìn)展智力、培育潛能、提高素養(yǎng)的源泉. 上述三個(gè)方面是體現(xiàn)了主講老師的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)思想，同時(shí)也體現(xiàn)了駕馭課堂教學(xué)的力量.當(dāng)然，這節(jié)課還有某些不盡如人意的地方.例如，教學(xué)語言還不夠精煉，語速也稍顯快了些等等，這些都有待于在今后的教學(xué)中不斷探究，逐步改進(jìn).思考與活動(dòng)（1）如何理解課程標(biāo)準(zhǔn)中增加“空間向量與立體幾何”這一內(nèi)容？（2）你是如何生疏在運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題的過程中，空間想象力量與推理論證力量的作用？（3）如何理解綜合幾何方法、基向量法、向量坐標(biāo)法各自的優(yōu)勢(shì)？（4）請(qǐng)結(jié)合所教同學(xué)的實(shí)際狀況寫出一節(jié)運(yùn)用向量方法立解決體幾何問題的教學(xué)設(shè)計(jì)，重點(diǎn)解決機(jī)敏選擇綜合幾何方法與向量方法解決立體幾何問題的做法（有條件時(shí)請(qǐng)與聽課老師共同探討這個(gè)問題）。參考資料【相關(guān)資源】1.幾何學(xué)的進(jìn)展歷史對(duì)幾何教育的啟示(PDF)2.應(yīng)連