1、課 題：平面向量的數量積及運算律（1）教學目的：1掌握平面向量的數量積及其幾何意義；2掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；3了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內容分析：   本節學習的關鍵是啟發學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數量積的認識主要知識點：平面向量數量積的定義及幾何意義；平面向量數量積的5

2、個重要性質；平面向量數量積的運算律教學過程：一、復習引入： 1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數，使=2平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數1，2使=1+23平面向量的坐標表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數、，使得把叫做向量的（直角）坐標，記作4平面向量的坐標運算若，則，若，則5 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點及 P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數，使

3、=，叫做點P分所成的比，有三種情況：>0(內分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7定比分點坐標公式：若點P(x1,y1) ，(x2,y2)，為實數，且，則點P的坐標為（），我們稱為點P分所成的比8點P的位置與的范圍的關系：當時，與同向共線，這時稱點P為的內分點當()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點9線段定比分點坐標公式的向量形式：在平面內任取一點O，設，可得=10力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角二、講解新課：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角說明：（1）當時，與同向

4、；（2）當時，與反向；（3）當時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的范圍0°q180°C2平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量|a|b|cosq叫與的數量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并規定0與任何向量的數量積為0×探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosq的符號所決定（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成a×b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數量

5、的積，書寫時要嚴格區分符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在實數中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因為其中cosq有可能為0（4）已知實數a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a &

6、#185; c (5)在實數中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為 -|b|4向量的數量積的幾何意義：數量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積5兩個向量的數量

7、積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量1°e×a = a×e =|a|cosq2°ab Û a×b = 03°當a與b同向時，a×b = |a|b|；當a與b反向時，a×b = -|a|b| 特別的a×a = |a|2或4°cosq =5°|a×b| |a|b|三、講解范例：例1 判斷正誤，并簡要說明理由·00；0·；0；·；若0，則對任一非零有·；·，則與中至少有一個為0；對任意向量，都有（

8、83;）（·）；與是兩個單位向量，則解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數量積是一個實數，應有0·；對于：應有·0；對于：由數量積定義有···cos，這里是與的夾角，只有或時，才有··；對于：若非零向量、垂直，有·；對于：由·可知可以都非零；對于：若與共線，記則·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若與不共線，則(·)（·）評述：這一類型題，要求學生確實把握好數量積的定

9、義、性質、運算律例2 已知，當，與的夾角是60°時，分別求·解：當時，若與同向，則它們的夾角°，··cos0°3×6×118；若與反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1）18；當時，它們的夾角90°，·；當與的夾角是60°時，有·cos60°3×6×9評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是0°，180°，因此，當時，有0°或180

10、6;兩種可能四、課堂練習：五、小結 通過本節學習，要求大家掌握平面向量的數量積的定義、重要性質、運算律，并能運用它們解決相關的問題六、課后作業：七、板書設計（略）八、課后記及備用資料：1概念辨析：正確理解向量夾角定義對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發的兩個向量所構成的較小的非負角，因對向量夾角定義理解不清而造成解題錯誤是一些易見的錯誤，如：1已知ABC中，°，求·對此題，有同學求解如下：解：如圖，°，··cos5×8cos60°20分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定

11、義，即上例中與兩向量的起點并不同，因此，并不是它們的夾角，而正確的夾角應當是C的補角120°2向量的數量積不滿足結合律分析：若有（·）·（·），設、夾角為，、夾角為，則(·)·cos·，·(·)·cos若，則，進而有：（·）·(·)這是一種特殊情形，一般情況則不成立舉反例如下：已知，與夾角是60°，與夾角是45°，則：(·)·（·cos60°），·(·)（·cos45°

12、;）而，故（·）··（·）課 題：平面向量的數量積及運算律（2）教學目的：1掌握平面向量數量積運算規律；2能利用數量積的5個重要性質及數量積運算規律解決有關問題；3掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題 教學重點：平面向量數量積及運算規律教學難點：平面向量數量積的應用授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內容分析：  啟發學生在理解數量積的運算特點的基礎上，逐步把握數量積的運算律，引導學生注意數量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數量積的性質 教學過程：一、復習引入：1兩個非零

13、向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角C2平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量|a|b|cosq叫與的數量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并規定0與任何向量的數量積為0 3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為 -|b|4向量的數量積的幾何意義：數量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|

14、cosq的乘積5兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量1°e×a = a×e =|a|cosq；2°ab Û a×b = 03°當a與b同向時，a×b = |a|b|；當a與b反向時，a×b = -|a|b| 特別的a×a = |a|2或4°cosq = ；5°|a×b| |a|b|7判斷下列各題正確與否：1°若a = 0，則對任一向量b，有a×b = 0 ( )2°若a ¹ 0，則對任一非零向

15、量b，有a×b ¹ 0 ( × )3°若a ¹ 0，a×b = 0，則b = 0 ( × )4°若a×b = 0，則a 、b至少有一個為零 ( × )5°若a ¹ 0，a×b = a×c，則b = c ( × )6°若a×b = a×c，則b = c當且僅當a ¹ 0時成立 ( × )7°對任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×(b

16、5;c) ( × )8°對任意向量a，有a2 = |a|2 ( )二、講解新課：平面向量數量積的運算律1交換律：a × b = b × a證：設a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2數乘結合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)

17、×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內取一點O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和， 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c

18、| |b| cosq2 c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質：，（）（）····()·三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0

19、 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2代入或得：a2 = b2設a、b的夾角為q，則cosq = q = 60°例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和解：如圖：ABCD中，=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，且····，試問四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量解：四邊形ABCD是矩形，這是因為：一方面：0，（），()

20、（）即··由于··，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由··，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得·(2)即·，也即ABBC綜上所述，四邊形ABCD是矩形評述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應注意這一隱含條件應用；(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因為數量積的定義式中含有邊、角兩種關系四、課堂練習：1下列敘述不正確的是（ ）A向量的數量積滿足交換律 B向量的數量積滿足分配律C向量的數量積滿足結合律 Da

21、3;b是一個實數2已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為°，則(a+2b)·(a-3b)等于（ ）A72 B-72 C36 D-363|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關系為（ ）A平行 B垂直 C夾角為 D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150°，則(a+b) 5已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,則|a+b|=_,|a-b|= 6設|a|=3,|b|=5,且a+b與ab垂直，則 參考答案：1C 2B 3B 4 +2 5 6±五、小結 通過本節學習，要求大家掌握平面向量數量積的運算規律，掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數量積的5個重要性質解決相關問題六、課后作業1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A60° B30° C135° D°2已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件 D