1、專題1.3 集合間的基本關系-重難點題型精講1子集的概念2真子集的概念3集合相等的概念如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作AB.也就是說，若AB且BA，則AB.4空集的概念 【題型1 子集、真子集的概念】【方法點撥】集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由xA能推出xB，這是判斷AB的常用方法不能簡單地把“AB”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A時，則A中不含任何元素；若AB，則A中含有B中的所有元素在真子集的定義中，AB首先要滿足AB，其次至少有一個xB，但xA.【例1】（2020秋寧縣校級月考）對

2、于集合A，B，“AB”不成立的含義是（）AB是A的子集BA中的元素都不是B的元素CA中至少有一個元素不屬于BDB中至少有一個元素不屬于A【分析】“AB”不成立，是對命題的否定，任何的反面是至少，即可得到結論【解答】解：“AB”成立的含義是集合A中的任何一個元素都是B的元素，不成立的含義是A中至少有一個元素不屬于B，故選：C【點評】本題考查集合的包含關系，考查命題的否定，屬于基礎題【變式1-1】（2020秋海淀區期末）已知集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，集合A與B的關系如圖所示，則集合B可能是（）A2，4，5B1，2，5C1，6D1，3【分析】根據Venn圖表達集合的關系可得集合A與

3、集合B的關系，然后根據選項找符號條件的即可【解答】解：由圖可知BA，而1，31，2，3故選：D【點評】本題主要考查了集合之間的關系，弄清元素與集合的隸屬關系以及集合之間的包含關系是解題的關鍵【變式1-2】（2020秋東湖區校級期中）下列各式：aaØ0001，33，4，其中正確的有（）ABCD【分析】根據子集，真子集的定義，以及元素與集合的關系即可判斷每個式子的正誤，從而找到正確選項【解答】解：任何集合是它本身的子集，正確；空集是任何非空集合的真子集，正確；0表示元素，應為00，錯誤；13，4，1，3不是3，4的真子集，錯誤；正確的為故選：B【點評】考查任何集合和它本身的關系，空集和任

4、何非空集合的關系，以及元素與集合的關系，真子集的定義【變式1-3】多選題下列命題中，正確的有（）A空集是任何集合的真子集；B若AB，BC，則AC；C任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集；D如果不屬于B的元素也不屬于A，則AB【分析】根據集合的相關知識，可以進行判斷【解答】解：空集是不是空集的真子集，A錯；真子集具有傳遞性，B對；空集沒有真子集，C錯；如果不屬于B的元素也不屬于A，則AB，D對，故選：BD【點評】本題考查集合的相關知識，屬于基礎題【題型2 集合的相等與空集】【方法點撥】利用集合相等的定義和集合中的元素的性質去解題利用空集的定義去解題.【例2】（2020秋雨花區校級月考）多選題下

5、列選項中的兩個集合相等的有（）APx|x2n，nZ，Qx|x2（n+1），nZBPx|x2n1，nN*，Qx|x2n+1，nN+CPx|x2x0，Qx|x=1+(-1)n2，nZDPx|yx+1，Q（x，y）|yx+1【分析】利用集合相等的定義和集合中的元素的性質，對各個選項逐個判斷即可【解答】解：選項A：因為集合P，Q表示的都是所有偶數組成的集合，所以PQ；選項B：集合P中的元素是由1，3，5，所有正奇數組成的集合，集合Q是由3，5，7，所有大于1的正奇數組成的集合，即1Q，所以PQ；選項C：集合P0，1，集合Q中：當n為奇數時，x0，當n為偶數時，x1，所以Q0，1，則PQ；選項D：集合P

6、表示的是數集，集合Q表示的是點集，所以PQ；綜上，選項AC表示的集合相等，故選：AC【點評】本題考查了集合相等的性質，考查了學生對集合的元素的理解，屬于基礎題【變式2-1】（2020秋五華區校級期中）已知集合A1，a，b，Ba2，a，ab，若AB，則a2021+b2020（）A1B0C1D2【分析】根據集合元素的互異性得到關于a的方程組1=abb=a2或1=a2b=ab，通過解方程組求得a、b的值，則易求a2021+b2020的值【解答】解：由題意得組1=abb=a2或1=a2b=ab，由得a±1，當a1時，A1，1，b，不符合，舍去；當a1時，b0，A1，1，0，B1，1，0，符合

7、題意由得a1，舍去，所以a1，b0a2021+b20201故選：A【點評】本題考查了集合相等的應用，注意要驗證集合中元素的互異性，屬于基礎題【變式2-2】（2020秋武邑縣校級期末）下列四個集合中，是空集的是（）Ax|x+33B（x，y）|y2x2，x，yRCx|x20Dx|x2x+10，xR【分析】根據空集的定義，分別對各個選項進行判斷即可【解答】解：根據題意，由于空集中沒有任何元素，對于選項A，x0；對于選項B，（0，0）是集合中的元素；對于選項C，由于x0成立；對于選項D，方程無解故選：D【點評】本題考查了集合的概念，是一道基礎題【變式2-3】（2020春保定期中）如果Ax|ax2ax+

8、10，則實數a的取值范圍為（）A0a4B0a4C0a4D0a4【分析】由A得不等式ax2ax+10的解集是空集，然后利用不等式進行求解【解答】解：因為Ax|ax2ax+10，所以不等式ax2ax+10的解集是空集，當a0，不等式等價為10，無解，所以a0成立當a0時，要使ax2ax+10的解集是空集，則a0=a2-4a0，解得0a4綜上實數a的取值范圍0a4故選：D【點評】本題主要考查一元二次不等式的應用，將集合關系轉化為一元二次不等式是解決本題的關鍵【題型3 集合間關系的判斷】【方法點撥】列舉法：用列舉法將兩個集合表示出來，再通過比較兩集合中的元素來判斷兩集合之間的關系元素特征法：根據集合中

9、元素滿足的性質特征之間的關系判斷圖示法：利用數軸或Venn圖判斷兩集合間的關系【例3】（2021春江油市校級期末）在下列選項中，能正確表示集合A2，0，2和Bx|x2+2x0關系的是（）AABBABCABDAB【分析】先求出集合B，然后利用兩個集合之間的關系進行判斷即可【解答】解：解方程x2+2x0，得x0或x2，所以B2，0，又A12，0，2，所以AB故選：C【點評】本題考查了集合之間關系的判斷，屬于基礎題【變式3-1】（2021市中區校級模擬）設集合Py|yx2+1），Mx|yx2+1，則集合M與集合P的關系是（）AMPBPMCMPDPM【分析】由函數得：Py|y1，MR，即PM，得解【解

10、答】解：因為yx2+11，即Py|y1，Mx|yx2+1R，所以PM，故選：D【點評】本題考查了集合的表示及函數，屬簡單題.【變式3-2】（2020春九龍坡區校級期中）已知集合Ax|x22x30，集合Bx|x1|3，集合C=x|x-4x+50，則集合A，B，C的關系為（）ABABABCCBDAC【分析】解出不等式，從而得出集合A，B，C，再根據子集的定義判斷A，B，C的關系【解答】解：x22x30，即（x3）（x+1）0，1x3，則A1，3，又|x1|3，即3x13，2x4，則B2，4，x-4x+50(x-4)(x+5)0x+50，5x4，則C（5，4，AC，BC，故選：D【點評】本題主要考查

11、集合間的基本關系的判斷，考查一元二次不等式、絕對值不等式、分式不等式的解法，屬于基礎題【變式3-3】（2020秋湖北期中）多選題集合Mx|x2k1，kZ，Py|y3n+1，nZ，Sz|z6m+1，mZ之間的關系表述正確的有（）ASPBSMCMSDPS【分析】根據題意判斷集合M，P，S表示的意義，進行判斷【解答】解：Mx|x2k1，kZ表示被2整除余1的數的集合；Py|y3n+1，nZ表示被3整除余1的數的集合；Sz|z6m+1，mZz|z3×（2m）+1，mZz|z2×（3m）+1，mZ，表示被6整除余1的集合；故SP，SM故SP，SM，正確，即AB正確故選：AB【點評】本

12、題考查了集合的交集、補集問題，屬于基礎題【題型4 有限集合子集、真子集的確定】【方法點撥】確定所求集合，是子集還是真子集合理分類，按照子集所含元素的個數依次寫出注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集假設集合A中含有n個元素，則有：A的子集的個數為2n個；A的真子集的個數為2n1個；A的非空真子集的個數為2n2個【例4】（2020秋南昌縣校級月考）已知集合M2，4，8，N1，2，Px|x=ab，aM，bN，則集合P的子集個數為（）A4B6C16D63【分析】由集合M2，4，8，N1，2，Px|x=ab，aM，bN，求出集合P，由此能求出集合P的子集個數【

13、解答】解：集合M2，4，8，N1，2，Px|x=ab，aM，bN，P1，2，4，8，集合P的子集個數為：2416故選：C【點評】本題考查集合的子集個數的求法，考查子集的定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題【變式4-1】（2020秋南沙區校級月考）已知集合Ax|x23x+20，Bx|0x6，xN，則滿足ACB的集合C的個數為（）A4B8C7D16【分析】求出集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，由此利用列舉法能求出滿足ACB的集合C的個數【解答】解：集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，滿足ACB的集合C有：1，2，1，2，3

14、，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，5，共8個故選：B【點評】本題考查滿足條件的集合的個數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意子集定義、列舉法的合理運用【變式4-2】（2020秋臨猗縣校級月考）已知集合Ax|x23x+20，Bx|0x6，xN，則滿足ACB的集合C的個數為（）A4B7C8D16【分析】求出集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，由此利用列舉法能求出滿足ACB的集合C的個數【解答】解：集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，滿足ACB的集合C有：1，2，3，1，2

15、，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，5，共7個故選：B【點評】本題考查滿足條件的集合的個數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意子集定義、列舉法的合理運用【變式4-3】（2020秋海曙區校級期中）已知集合Ax|（a1）x2+3x20，若A的子集個數為2個，則實數a 【分析】推導出（a1）x2+3x20只有一個實數解，當a10時，a1，（a1）x2+3x20即3x20，當a10時，（a1）x2+3x20只有一個實數根，9+8（a1）0，由此能求出實數a的值【解答】解：集合Ax|（a1）x2+3x20，且A的子集個數為2個，（a1）x2+3x20只有

16、一個實數解，當a10時，a1，（a1）x2+3x20即3x20，解得x=23，當a10時，（a1）x2+3x20只有一個實數根，9+8（a1）0，解得a=-18實數a的值為1或-18故答案為：1或-18【點評】本題考查實數值的求法，考查子集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題【題型5 利用集合間的關系求參數】【方法點撥】當集合為連續數集時，常借助數軸來建立不等關系求解，此時應注意端點處是實點還是虛點當集合為不連續數集時，常根據集合包含關系的意義，建立方程求解，此時應注意分類討論思想的運用【例5】（2020秋南開區校級月考）設集合Ax|1x+16，Bx|m1x2m+1，若AB，則m的取值范

17、圍是 【分析】BA，則說明B是A的子集，然后分m2和m2兩種情況求出m的取值范圍【解答】解：Ax|1x+16x|2x5，當m12m+1，即m2時，B滿足BA當m12m+1，即m2時，要使BA成立，需 m-1-22m+15，可得1m2，即1m2，綜上，m2或1m2時有BA故答案為：m|m2或1m2【點評】本題考查實數的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集的性質的合理運用【變式5-1】（2020秋武漢期中）已知關于x不等式x22mx+m+20（mR）的解集為M（1）1，2M，求實數m的取值范圍；（2）當M不為空集，且M1，4時，求實數m的取值范圍【分析】（1）由題意得到關于m的不等

18、式組，求解不等式組確定實數m的取值范圍即可；（2）由題意分類討論即可求得實數m的取值范圍【解答】解：（1）由題意1，2M 可知，令 f（x）x22mx+m+2，則f(1)0f(2)00，解得：m3（2）M不為空集，且M1，4，當0 時，則f(1)0f(4)001m4，解得：2m187，當0 時，m2也符合題目要求：綜上：2m187【點評】本題主要考查集合的包含關系，分類討論的數學思想，二次方程根的分布等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力【變式5-2】（2020秋南陽期中）集合Ax|3x7，Bx|m+1x2m1（1）若BA，求實數m的取值范圍；（2）當xR時，沒有元素x使xA與xB同時成

19、立，求實數m的取值范圍【分析】（1）根據BA可討論B是否為空集：B時，m+12m1；B時，m+12m-1m+1-32m-17，解出m的范圍即可；（2）根據題意可知AB，討論B是否為空集：B時，m2；B時，m2m+17或m22m-1-3，然后解出m的范圍即可【解答】解：（1）BA，B時，m+12m1，解得m2；B時，m2m+1-32m-17，解得2m4，綜上，實數m的取值范圍為（，4；（2）由題意知，AB，B時，m2；B時，m2m+17或m22m-1-3，解得m6，實數m的取值范圍為（，2）（6，+）【點評】本題考查了描述法的定義，子集的定義，空集的定義，分類討論的思想，考查了計算能力，屬于基礎

20、題【變式5-3】（2020春荔灣區校級期中）已知不等式x2（a+1）x+a0的解集為A（1）若a2，求集合A；（2）若集合A是集合x|4x2的真子集，求實數a的取值范圍【分析】（1）代入a的值，根據一元二次不等式的解法即可求解；（2）對a分類討論，進而可以確定集合A，再根據集合的子集關系即可求解【解答】解：（1）由題意，當a2時，不等式x2（a+1）x+a0，即x23x+20，解得1x2，所以集合Ax|1x2；（2）設集合Bx|4x2，由x2（a+1）x+a0，可得（x1）（xa）0，當a1時，不等式（x1）（xa）0的解集x|ax1，由已知AB可得a4，所以4a1；當a1時，不等式（x1）（

21、xa）0的解集x|x1，滿足題意；當a1時，不等式（x1）（xa）0的解集x|1xa，由AB可得a2，所以1a2；綜上可得4a2，即實數a的取值范圍為4，2【點評】本題考查了求解一元二次不等式以及子集的應用，考查了分類討論思想，屬于基礎題【題型6 集合間關系中的新定義問題】【例6】（2020秋沭陽縣期中）已知非空集合A，若對于任意xA，都有4xA，則稱集合A具有“反射性”則在集合1，2，4，8的所有子集中，具有“反射性”的集合個數為 【分析】利用列舉法能求出在集合1，2，4，8的所有子集中，具有“反射性”的集合個數【解答】解：在集合1，2，4，8的所有子集中，具有“反射性”的集合有：1，4，2

22、，1，2，4，在集合1，2，4，8的所有子集中，具有“反射性”的集合個數為3故答案為：3【點評】本題考查集合的子集中具有“反射性”的集合個數的求法，考查子集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題【變式6-1】（2020秋山東期中）若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構成“蠶食”，對于集合A1，2，Bx|ax22，a0，若這兩個集合構成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為 【分析】討論a0和a0，求得集合B，再由新定義，得到a的方程，即可解得a的值【解答】解：集合A1，2，Bx|ax22，a0，若a0，則B，即有BA；若a0，可得B