1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、直角坐標系中二重積分的計算一、直角坐標系中二重積分的計算二、極坐標中二重積分的計算二、極坐標中二重積分的計算 二重積分的計算法目錄 上頁 下頁 返回 結束 X型區域的特點：穿過區域且平行于型區域的特點：穿過區域且平行于y軸的直軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點線與區域邊界相交不多于兩個交點. .bxaxyxyxD, )()(,21O)(1xy)(2xyxbyDax目錄 上頁 下頁 返回 結束 Y型區域的特點：穿過區域且平行于型區域的特點：穿過區域且平行于x軸的直軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點線與區域邊界相交不多于兩個交點.dycyxyyxD, )()(

2、,21Oydcx)(2yx)(1yxy目錄 上頁 下頁 返回 結束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為( , )dDVf x yyyxfxAxxd),()()()(000201截面積為截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的截柱體的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO記作記作 0),(yxf當被積函數且在且在D上連續上連續 時，時，bxaxyxyxD),()(,21目錄 上頁 下頁 返回 結束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣同樣, 曲頂柱

3、體的底為曲頂柱體的底為則其體積可按如下兩次積分計算則其體積可按如下兩次積分計算( , )dDVf x yxyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy記作記作 Oy)(1yx)(2yxxdc目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負1( , )d d( , )d dDDf x yx yf x yx y在在D上變號時上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于由于2( , )d dDfx yx y目

4、錄 上頁 下頁 返回 結束 xyOxyDODyxyxfdd),(為計算方便為計算方便,可選擇積分序可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序必要時還可以交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復雜若積分域較復雜,可將它分成若干可將它分成若干2D1D3DX - 型域或型域或Y - 型域型域 , 321DDDD則則 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xy 1解解積分區域如圖積分區域如圖例例1. 改變積分改變積分1100d,dxxf x yy的次序的次序 .1100d,dyyf

5、x yx原原式式= =目錄 上頁 下頁 返回 結束 xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區域如圖積分區域如圖目錄 上頁 下頁 返回 結束 222802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為視為Y - 型區域型區域 , 則則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)

6、0 , 0(22 yxxyd dDx y210ddxxxy120dxxx312xy 2yx 2xy 2yx 例例 4. 求由拋物線求由拋物線2xy 和2yx 所圍平面閉所圍平面閉區域區域 D 的面積的面積. 目錄 上頁 下頁 返回 結束 121221d yd ,DIxy其中其中D 是直線是直線 y1, x2, 及及yx 所圍的閉區域所圍的閉區域. 解法解法1. 將將D看作看作X - 型區域型區域, 則則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將D看作看作Y - 型區域型區域, 則則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy8

7、91xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目錄 上頁 下頁 返回 結束 d ,Dxy其中其中D 是拋物線是拋物線xy 2所圍成的閉區域所圍成的閉區域. 解解: 為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,:Dxyx ddDxy21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線及直線則則 目錄 上頁 下頁 返回 結束 sind d ,Dxx yx其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區域所圍成的閉區域.OxyDxxy 解解: 由被積

8、函數可知由被積函數可知,因此取因此取D 為為X - 型域型域 :00:xxyDsind dDxx yxxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對先對 x 積分不行積分不行, 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序22ed dyDxx y21200dedyyyxx2310ed3yyy22120ed6yyy12(1).6e例例 8. 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為為頂點的三角形頂點的三角形. . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解 121)(dxeexx.2183ee 2xy x

9、y 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2ln1d d ,DIxyyx y其中其中D 由由,42xy1,3xxy所圍成所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示如圖所示)顯然顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxf12ln1d dDIxyyx y0422ln1d dDxyyx y目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: 設兩個直圓柱方程為設兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性利用對稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為228d dDVRxx y22

10、0dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目錄 上頁 下頁 返回 結束 Oxkkkkkkkkksin,cos對應有對應有在極坐標系下在極坐標系下, 用同心圓用同心圓 =常數常數則除包含邊界點的小區域外則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積小區域的面積kkkkkk)(21),2, 1(nkk在在k),(kkkkkkkkk221內取點內取點kkk221)(及射線及射線 =常數常數, 分劃區域分劃區域D 為為目錄 上頁 下頁 返回 結束 kkkkkkknkf)sin,cos(lim10kk

11、nkkf),(lim10( , )dDf x ydd即即Df)sin,cos(ddddO目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1)如果極點如果極點O在積分區域在積分區域D的內部的內部20)(0:DDfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(f20dx)(DO目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)()(:21D且且Dfdd)sin,cos(d)(2D)(1Ox)()(21d)sin,cos(f)(1OxD)(2目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考思考: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點軸相切于原點,試試答答: ;0) 1 (問問 的變化范圍是什么的變化范圍是什么?

12、(1)(2)22)2(D)(yxO)(DyxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 22,xRRyRRxRyyx222(2) D2 :(1) D1 :目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyO36sin422d dDxyx ysin4sin22d)32(15yyx422yyx22203 yx其中其中D 為由圓為由圓所圍成的所圍成的22d d ,Dxyx y,222yyxyyx42203 xy及直線及直線, 03yx解：解：平面閉區域平面閉區域.03 xysin22436dD目錄 上頁 下頁 返回 結束 22ed d ,xyDx y其中其中222:,0,0.D xyRxy解解: 在極坐標系下在極坐標系下0:,

13、02RD原式原式D20edR201e22R2(1e)4R2ex的原函數不是初等函數的原函數不是初等函數 , 故本題無法用直角故本題無法用直角2edd20d由于由于故故坐標計算坐標計算.目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2目錄 上頁 下頁 返回 結束 2200ededRRxyxy220(ed ) ;Rxx2200dedRrr r2(1e);4R);1(422Re 目錄

14、上頁 下頁 返回 結束 當當 R時時,41 I,42 I故故當當 R時時,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22224azyx被圓柱面被圓柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面內的含在柱面內的)立體的體積立體的體積. 解解: 設設由對稱性可知由對稱性可知20,cos20:aD2244d dDVa 20d4cos2022d4aad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DO2 cosaxyza2O目錄 上頁 下頁 返回

15、結束 ,dd)sin(2222yxyxyxD2226yxz所圍成所圍成的立體體積的立體體積. 222yxz及及 其中積分區域其中積分區域.41),(22yxyxD例例17.計算二重積分計算二重積分目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 二重積分化為二次積分的方法二重積分化為二次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區域為若積分區域為bxaxyyxyyxD, )()(),(21則則21( )( )( , )dd( , )dbyxayxDf x yxf x yy 若積分區域為若積分區域為dycyxxyxyxD, )()(),(21則則21( )( )( , )dd( , )ddxycxy

16、Df x yyf x yx)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目錄 上頁 下頁 返回 結束 , )()(),(21D( , )d( cos ,sin)DDf x yf 則則)()(21d)sin,cos(dfdd)(2D)(1Ox目錄 上頁 下頁 返回 結束 畫出積分域畫出積分域 選擇坐標系選擇坐標系 確定積分序確定積分序 寫出積分限寫出積分限 計算要簡便計算要簡便,域邊界應盡量多為坐標線域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少積分域分塊要少累次積分好算為妙累次積分好算為妙圖示法圖示法不等式不等式充分利用對稱性充分利用對稱性目錄 上頁 下頁 返回 結束 yx1xy 1O1. 設設, 1 ,0)(Cxf且且,d)(10Axxf求求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積分順序后交換積分順序后, x , y互換互換 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A目錄 上頁 下頁 返回 結束 )0(d),(dcos022afIa提示提示: 積分域如圖積分域如圖cosaxaOaarccosa0daarccosaar