1、高一物理必修 2 平拋運動常見題型及應用專題（一）平拋運動的基礎知識1.1. 定義：水平拋出的物體只在重力作用下的運動。2.2. 特點：（1 1）平拋運動是一個同時經歷水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的 合運動。（2 2） 平拋運動的軌跡是一條拋物線，其一般表達式為y ax2bx c。（3 3） 平拋運動在豎直方向上是自由落體運動，加速度a g恒定，所以豎直方向上在相等的時間內相鄰的位移的高度之比為si：s2：s31:3:5豎直方向上在相等的時間內相鄰的位移之差是一個恒量Si”S|S|sIgT2。（4 4） 在同一時刻，平拋運動的速度（與水平方向之間的夾角為）方向和位移方向（與水

2、平方向之間的夾角是）是不相同的，其關系式tan 2ta n（即任意一點的速度延長線必交于此時物體位移的水平分量的中點）。3.3. 平拋運動的規律描繪平拋運動的物理量有v0、vy、v、x、y、s、t，已知這八個物理量中的任意兩個，可以求出其它六個。運動分類加速度速度位移軌跡分運動x方向0 0v0 xvot直線y方向ggt1.2y -gt直線合運動大小g拋物線Jv：(gt)2J(vt)2(ggt2)2與x方向 的夾角90tan述votan-2vo（二）平拋運動的常見問題及求解思路關于平拋運動的問題，有直接運用平拋運動的特點、規律的問題，有平拋運動與圓周 運動組合的問題、有平拋運動與天體運動組合的問

3、題、有平拋運動與電場（包括一些復合場）組合的問題等。本文主要討論直接運用平拋運動的特點和規律來求解的問題，即有關平拋運動的常見問題。1.1.從同時經歷兩個運動的角度求平拋運動的水平速度求解一個平拋運動的水平速度的時候，我們首先想到的方法， 就應該是從豎直方向上的自由落體運動中求出時間，然后，根據水平方向做勻速直線運動，求出速度。例 1 1如圖 1 1 所示，某人騎摩托車在水平道路上行駛，要在A A 處越過x 5m的壕溝，溝面對面比 A A 處低h 1.25m，摩托車的速度至少要有多大？V-圖 1 1解析：在豎直方向上，摩托車越過壕溝經歷的時間在水平方向上，摩托車能越過壕溝的速度至少為v0- m

4、/s 10m/st 0.52.2. 從分解速度的角度進行解題對于一個做平拋運動的物體來說，如果知道了某一時刻的速度方向，則我們常常是“從分解速度”的角度來研究問題。例 2 2如圖 2 2 甲所示，以 9.8m/s9.8m/s 的初速度水平拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角 為30的斜面上。可知物體完成這段飛行的時間是（）根據平拋運動的分解可知物體水平方向的初速度是始終不變的，所以 斜面垂直、Vy與水平面垂直，所以Vt與Vy間的夾角等于斜面的傾角分解可知物體在豎直方向做自由落體運動，那么我們根據Vygt就可以求出時間t了。則2 1.25. 10S0.5sA.A.3s3B.B.23sD.D

5、.2s|30vyVxVt30解析：先將物體的末速度vt分解為水平分速度V-和豎直分速度Vy（如圖 2 2 乙所示）。v-V0;又因為。再根據平拋運動的x x甲V-tanVy所以vyVx也9.8m/s 9.8、.3m/stanta n301根據平拋運動豎直方向是自由落體運動可以寫出Vygt所以t土色8?、3sg 9.8所以答案為 C C。3.3. 從分解位移的角度進行解題對于一個做平拋運動的物體來說，如果知道了某一時刻的位移方向（如物體從已知傾 角的斜面上水平拋出，這個傾角也等于位移與水平方向之間的夾角），則我們可以把位移分解成水平方向和豎直方向， 然后運用平拋運動的運動規律來進行研究問題（這種

6、方法，暫且叫做“分解位移法”）例 3 3在傾角為的斜面上的 P P 點，以水平速度Vo向斜面下方拋出一個物體，落在斜面上的 Q Q 點，證明落在 Q Q 點物體速度v v0、1 4tan2。解析：設物體由拋出點 P P 運動到斜面上的 Q Q 點的位移是I，所用時間為t,則由“分解 位移法”可得，豎直方向上的位移為h Isin；水平方向上的位移為s I cos。又根據運動學的規律可得一12豎直方向上h gt，vygt平方向上s v0t所以 Q Q 點的速度vVv0 7：v1 4ta n2例 4 4如圖 3 3 所示，在坡度一定的斜面頂點以大小相同的速度vo同時水平向左與水平向右拋出兩個小球 A

7、 A 和 B B，兩側斜坡的傾角分別為37和53，小球均落在坡面上， 若不計空氣 阻力，則A A 和 B B 兩小球的運動時間之比為多少？ABVo入-* vo53則tan1 + 22gtsvtvy，vy2vtan2v037圖 3 3解析：37和53都是物體落在斜面上后，位移與水平方向的夾角，則運用分解位移的 方法可以得到則t1：t29:164.4. 從豎直方向是自由落體運動的角度出發求解在研究平拋運動的實驗中，由于實驗的不規范，有許多同學作出的平拋運動的軌跡， 常常不能直接找到運動的起點（這種軌跡，我們暫且叫做“殘缺軌跡”），這給求平拋運動 的初速度帶來了很大的困難。為此，我們可以運用豎直方向

8、是自由落體的規律來進行分析。例 5 5某一平拋的部分軌跡如圖 4 4 所示，已知xiX2a，yib，y2c，求vo。丄1 1 f f C C圖 4 4解析：A A 與 B B、B B 與 C C 的水平距離相等，且平拋運動的水平方向是勻速直線運動，可 設 A A 到 B B、B B到 C C 的時間為 T T,貝Ux-ix2v0T又豎直方向是自由落體運動，則y y2yigT2代入已知量，聯立可得tanVot2vo所以有tan37gti2vo同理tan53gt22voB B5.5. 從平拋運動的軌跡入手求解問題例 6 6從高為 H H 的 A A 點平拋一物體，其水平射程為2S，在 A A 點正

9、上方高為 2H2H 的 B B 點，向同一方向平拋另一物體，其水平射程為S。兩物體軌跡在同一豎直平面內且都恰好從同一屏 的頂端擦過，求屏的高度。圖 6 6解析：將平拋運動分解為沿斜面向下和垂直斜面向上的分運動，雖然分運動比較復雜 一些，但易將物體離斜面距離達到最大的物理本質凸顯出來。取沿斜面向下為x軸的正方向，垂直斜面向上為y軸的正方向，如圖 6 6 所示，在y軸上，小球做初速度為vsin、加速度為geos的勻變速直線運動，所以有2 2vy(v0sin ) 2gyeos圖 5 5解析： 本題如果用常規的“分解運動法”比較麻煩, 軌跡入手進行思考和分析，問題的求解會很容易，如圖 運動的軌跡都是頂

10、點在y軸上的拋物線，即可設 A A、如果我們換一個角度，即從運動5 5 所示，物體從 A A、B B 兩點拋出后的B B 兩方程分別為y ax2bx c，yax2bx c則把頂點坐標 A A(0(0, H H )、B B ( 0 0, 2H2H)、E E ( 2 2S, 0 0)、F F (s, 0 0)分別代入可得方程H22x4s2H2xs2H這個方程組的解的縱坐標y6H，即為屏的高。6.6.靈活分解求解平拋運動的最值問題例 7 7如圖 6 6 所示，在傾角為的斜面上以速度Vo水平拋出一小球，該斜面足夠長，則從拋出開始計時，經過多長時間小球離開斜面的距離的達到最大，最大距離為多少?”yvo

11、_ OA斜面最大距離的時間。由式可得小球運動的時間為t也tan7.7.利用平拋運動的推論求解推論 1 1 任意時刻的兩個分速度與合速度構成一個矢量直角三角形。例 8 8從空中同一點沿水平方向同時拋出兩個小球，它們的初速度大小分別為V和v2，初速度方向相反，求經過多長時間兩小球速度之間的夾角為90?V1vi；V2y圖 7 7解析：設兩小球拋出后經過時間t,它們速度之間的夾角為90，與豎直方向的夾角分別為 和，對兩小球分別構建速度矢量直角三角形如圖7 7 所示，由圖可得cot型 和VitanV2gt又因為90，所以cottan由以上各式可得 幺 吃，解得t1 一v1v2V1gtg推論 2 2: 任

12、意時刻的兩個分位移與合位移構成一個矢量直角三角形例 9 9宇航員站在一星球表面上的某高度處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為I，若拋出時初速度增大到兩倍，則拋出點與落地點之間的距離為 3l。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為 R R,萬有引力常數為 G G,求該星球的質量 M M。解析：設第一次拋出小球，小球的水平位移為x，豎直位移為h，如圖 8 8 所示，構建位Vyv0sin g cos t當Vy0時，小球在y軸上運動到最高點，即小球離開斜面的距離達到最大。由式可得小球離開斜面的最大距離,(Vosin )2Hy -2g cos當vy

13、0時，小球在y軸上運動到最高點，它所用的時間就是小球從拋出運動到離開移矢量直角三角形有h2若拋出時初速度增大到 2 2 倍，重新構建位移矢量直角三角形，如圖9 9 所示有,(2x)2h2(、3I)2由以上兩式得h11令星球上重力加速度為g，由平拋運動的規律得h丄gt22由萬有引力定律與牛頓第二定律得GMm mgR2推論 3 3:平拋運動的末速度的反向延長線交平拋運動水平位移的中點。證明：設平拋運動的初速度為Vo，經時間t后的水平位移為x，如圖 1010 所示,速度反向延長線與水平分位移的交點。根據平拋運動規律有 水平方向位移x v0t一12豎直方向Vygt和y gt由圖可知，ABC與ADE相似

14、，則Vo-DEVyy聯立以上各式可得DEx2該式表明平拋運動的末速度的反向延長線交平拋運動水平位移的中點。0 0-E E_ _* * x xy y圖 1010由以上各式解得MD D 為末2 31R例 1010如圖 1111 所示，與水平面的夾角為的直角三角形木塊固定在地面上，有一質點以初速度V。從三角形木塊的頂點上水平拋出，求在運動過程中該質點距斜面的最遠距離。解析：當質點做平拋運動的末速度方向平行于斜面時，質點距斜面的距離最遠，此時末速度的方向與初速度方向成角。如圖 1212 所示，圖中 A A 為末速度的反向延長線與水平位移的交點，ABAB 即為所求的最遠距離。根據平拋運動規律有VyVyg

15、t，XVot和tanVo由上述推論 3 3 知OAX2據圖 9 9 中幾何關系得AB AO sin由以上各式解得AB2Vo-tan sin2g推論 4 4:平拋運動的物體經時間t后，其速度vt與水平方向的夾角為，位移S與水平方向的夾角為，則有tan 2tan證明：如圖 1313,設平拋運動的初速度為Vo,經時間t后到達 A A 點的水平位移為x、速度為Vt，如圖所示，根據平拋運動規律和幾何關系:在速度三角形中tan%VogtVo在位移三角形中tanyXgt22Votgt2Vo即質點距斜面的最遠距離為v0tan sin2g圖 1111O O由上面兩式可得tan 2 tanixiA AvoV Vy

16、J一:Vt圖 1313例 1111 一質量為m的小物體從傾角為30的斜面頂點 A A 水平拋出，落在斜面上 B B 點，若物 體到達B B 點時的動能為 35J35J，試求小物體拋出時的初動能為多大？（不計運動過程中的空氣阻力）V0E EaVV V0A At t _ _ J J VtVtVyVy圖 1414解析：由題意作出圖 1414,根據推論 4 4 可得tan2tan2tan30，所以tan 2 3由三角知識可得cos又因為vtcos129所以初動能EkAmv0EkB15J221例 1212如圖 1515 所示，從傾角為 斜面足夠長的頂點 A A，先后將同一小球以不同的初速度水 平向右拋出

17、，第一次初速度為v1，球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為第二次初速度V2，球落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為 比較1和2的大小。2，若V2V1，試解析：根據上述關系式結合圖中的幾何關系可得tan( ) 2tan所以arctan(2tan )此式表明 僅與 有關，而與初速度無關，因此i2，即以不同初速度平拋的物體落在斜面上各點的速度方向是互相平行的。推論 5 5:平拋運動的物體經時間t后，位移S與水平方向的夾角為，則此時的動能與初動能的關系為EktEk0(14ta n2)證明：設質量為m的小球以vo的水平初速度從 A A 點拋出，經時間t到達 B B 點，其速度Vt與水平方

18、向的夾角為，根據平拋運動規律可作出位移和速度的合成圖，如圖1616 所示。從圖 1616 中看出Vyv0tan2v0tan小球到達 B B 點的速度為Vtyv2v：VoJl 4ta n2所以 B B 點的動能為由上面推論 4 4例 1313如圖 1717 所示，從傾角為30的斜面頂端平拋一個物體，阻力不計，物體的初動能為 9J9J。當物體與斜面距離最遠時，重力勢能減少了多少焦耳？EkB12mvt2舟mv；(14ta n2)2Eko(1 4ta n)AVB- -Vo、7t9圖 1717解析：當物體做平拋運動的末速度方向平行于斜面時，物體距斜面的距離最遠，此時末速度的方向與初速度方向成30角，如圖

19、 1717 所示1由tan2tan可得tan tan2所以當物體距斜面的距離最遠時的動能為EktEk0（1 4tan2） 9 （1 tan230 ）J 12J根據物體在做平拋運動時機械能守恒有EpEk（12 9）J 3J即重力勢能減少了 3J3J平拋運動是較為復雜的勻變速曲線運動，有關平拋運動的命題也層出不窮。若能切實掌握其基本處理方法和這些有用的推論，就不難解決平拋問題。因此在復習時應注意對平拋運動規律的總結，從而提高自己解題的能力。【模擬試題】1.1. 關于曲線運動，下列敘述正確的是（）A.A. 物體之所以做曲線運動，是由于物體受到垂直于速度方向的力（或者分力）的作用B.B. 物體只有受到

20、一個方向不斷改變的力，才可能做曲線運動C.C. 物體受到不平行于初速度方向的外力作用時，物體做曲線運動D.D. 平拋運動是一種勻變速曲線運動2.2. 關于運動的合成，下列說法中正確的是（）A.A. 合速度的大小一定比每個分速度的大小都大B.B. 合運動的時間等于兩個分運動經歷的時間C.C. 兩個勻速直線運動的合運動一定也是勻速直線運動D.D. 只要兩個分運動是直線運動，合運動一定也是直線運動3.3. 游泳運動員以恒定的速率垂直河岸橫渡，當水速突然增大時，對運動員橫渡經歷的路程、時間發生的影響是（）A.A. 路程增加、時間增加B.B. 路程增加、時間縮短C.C. 路程增加、時間不變D.D. 路程

21、、時間均與水速無關4.4. 從同一高度、同時水平拋出五個質量不同的小球，它們初速度分別為V、2v、3v、4v、5v。在小球落地前的某個時刻，小球在空中的位置關系是（）A.A. 五個小球的連線為一條直線，且連線與水平地面平行B.B. 五個小球的連線為一條直線，且連線與水平地面垂直C.C. 五個小球的連線為一條直線，且連線與水平地面既不平行，也不垂直D.D. 五個小球的連線為一條曲線5.5. 如圖 1 1 所示，在勻速轉動的圓筒內壁上緊靠著一個物體與圓筒一起運動，物體相對桶壁靜止。則（）A.A. 物體受到 4 4 個力的作用B.B. 物體所受向心力是物體所受的重力提供的C.C. 物體所受向心力是物

22、體所受的彈力提供的D.D. 物體所受向心力是物體所受的靜摩擦力提供的6.6. 一物體做平拋運動，在兩個不同時刻的速度分別為vi和V2，時間間隔為t，那么（ ）A.A.V1和V2的方向一定不同B.B. 若V2是后一時刻的速度，則ViV2C.C. 由Vi到V2的速度變化量V的方向一定豎直向下D.D. 由Vi到V2的速度變化量V的大小為g t7.7. 一個物體在光滑水平面上以初速度V做曲線運動，已知物體在運動過程中只受到水平恒力的作用，其運動軌跡如圖2 2 所示，那么，物體在由M M 點運動到 N N 點的過程中，速度大小的變化情況是（）A.A. 逐漸增大B.B. 逐漸減小C.C. 先增大后減小D.

23、D. 先減小后增大NV圖 2 28.8. 以下關于物體運動的幾個論述，其中正確的是（）A.A. 物體做勻速圓周運動的周期一定與線速度成反比B.B. 物體做勻速圓周運動的周期一定與角速度成反比C.C. 不計空氣阻力，水平拋出的物體的運動是勻變速運動D.D. 汽車關閉發動機后，繼續滑行時的加速度方向與速度方向相同r-圖 1 19.9. 如圖 3 3 所示，在河岸上用細繩拉船，為了使船勻速靠岸，拉繩的速度必須是（）A.A.加速拉 B.B.減速拉 C.C.勻速拉 D.D.先加速后減速F F 1 1 . . .v -*- -1圖 3 310.10. 將甲、乙、丙三個小球同時水平拋出后落在同一水平面上，已

24、知甲和乙拋射點的高度相同，乙和丙拋射速度相同，下列判斷中正確的是（）A.A. 甲和乙一定同時落地B.B. 乙和丙一定同時落地C.C. 甲和乙水平射程一定相同D.D. 乙和丙水平射程一定相同11.11. 一輛汽車的質量為 M M，當它通過拱形橋時，可能因為速度過快而飛離橋面，導致汽車失去控制。所以為了車內車外人的安全，我們應該限制汽車的車速。這輛汽車要想安全通過拱形橋，在橋頂處車速不應該超過。（已知拱形橋的曲率半徑為R R）112.12. 如圖 4 4 所示，圓弧形軌道 ABAB 是在豎直面內的圓周，在 B B 點，軌道的切線是水平的，4一物體自 A A 點滑下，到達 B B 點時的速度為 2.8m/s2.8m/s，已知軌道半徑為 0.4m0.4m，則在小球剛到達B B 點時的加速度大小為m/sm/s2 2，剛滑過 B B 點時的加速度大小為m/sm/s2 2。A Ob b /C/C - 1 1rIB14.14.某同學在做“研究平拋物體運動”的實驗中， 忘記了記錄小球做平拋運動的起點位置 O O, A A 為物體運動一段時間后的位置，根據如圖 5 5 所示，求出物體做平拋運動的初速度為2_ m/sm/s(g 10m/ s)x/cm2040* y/cm13.13. 一根長為I的輕繩懸吊著一個質量為動，突然懸點遇到障礙物停下來，小球將做2為_ 。（g 9.8m/s）圖 4 4m的物