1、第第3章章 隨機變量隨機變量隨機變量的概念一維隨機變量及其分布一維離散型隨機變量一維連續型隨機變量正態分布一維隨機變量函數的分布3.1 隨機變量的概念隨機變量的概念要求問題涉及的隨機事件與變量相要求問題涉及的隨機事件與變量相關，這樣可以將概率和函數建立聯系。關，這樣可以將概率和函數建立聯系。 定義定義 稱定義在樣本空間稱定義在樣本空間上的實函數上的實函數=()，是隨機變量，是隨機變量，如對任意實數如對任意實數x ，集合集合 () x 都是一隨機事件都是一隨機事件。 注注：一般一般() 簡單記為簡單記為， () x 記為記為x 隨機變量隨機變量3.2 一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布分布

2、函數分布函數設設是一個隨機變量，是一個隨機變量，x是任意實數，函數是任意實數，函數F(x)=P ()x稱為隨機變量稱為隨機變量的分布函數，的分布函數，記作記作F(x)或或F(x)。 的分布函數也常簡記為的分布函數也常簡記為F(x)= Px分布函數的性質分布函數的性質任一隨機變量的分布函數F(x)，x(，)，具有下列性質： (1)單調不減性單調不減性 若若x1x2，則則 F(x1) F(x2) 12xx根據概率的性質，得Px2 Px1 即 F(x2) F(x1) 證明：證明： 若x1x2 ，則有 0limFxFx 1limFxFx 000 xFxF (2) 0F(x) 1 ，且，且 (3) 左連

3、續性左連續性 對任意實數對任意實數 x0 ，有有 xFxFxx0lim00其中v 如某實函數具有上述如某實函數具有上述3個性質，則它可作為某隨機個性質，則它可作為某隨機變量的分布函數變量的分布函數v 由分布函數，可以計算如下概率：由分布函數，可以計算如下概率： 01)(1)(0)()(0)(aFaPaFaPaFaPaFaFaP離散型隨機變量離散型隨機變量如隨機變量的取值只有有限個或可列多個，則稱它為離散型隨機變量。3.3 一維離散型隨機變量一維離散型隨機變量隨機試驗隨機試驗：接連進行兩次射擊，表示未擊中目標，表示擊中目標。樣本空間：1, 1,0, 1,1, 0,0, 0432120112134

4、現在我們設定隨機變量表示擊中目標的次數，則 隨機試驗隨機試驗：觀察某電話交換臺單位時間內接到的呼喚次數。樣本空間=0,1,2,，以表示接到的呼喚次數，那么，=()=，是離散型隨機變量。 設離散型隨機變量的全部取值為x1,x2,xn,且P(=xi)=pi，i=1,2,則稱上式為的概率分布律。也可寫作：離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列稱為稱為的的分布列分布列,2121nnppppxxx顯然顯然1)2(2110) 1 (1iiipip，在試驗在試驗1中，假設兩次射擊是相互獨立的，且命中，假設兩次射擊是相互獨立的，且命中目標的概率為中目標的概率為0.6，則則的分布列為的分布列為012p0.

5、160.480.36例例退化分布退化分布如隨機變量只取常數C，則稱服從退化分布。顯然 P(=C)=1退化分布也稱為單點分布二項分布二項分布二項概率公式二項概率公式設在一次試驗中，事件出現的概率為設在一次試驗中，事件出現的概率為p (0p0.999 0.999 故故 nlg0.001/lg0.04=2.15 取取n=3，即需要發射即需要發射3枚導彈。枚導彈。 例例2 2 （漁佬問題）（漁佬問題） 漁佬想知道自己承包的漁佬想知道自己承包的魚塘中魚的條數。魚塘中魚的條數。漁佬先從塘中網起漁佬先從塘中網起100100條魚做上記號后條魚做上記號后放回塘里，過一段時間（使其均勻）再從中放回塘里，過一段時間

6、（使其均勻）再從中網起網起8080條，發現其中有記號者為條，發現其中有記號者為2 2條，求魚的條，求魚的總數總數N N。 解解設設8080條魚中有記號的魚的條數為條魚中有記號的魚的條數為，則則服從二項分布服從二項分布B(80B(80，100/N)100/N)。由定理由定理2 2， 80條魚中條魚中撈起的有記號的魚撈起的有記號的魚最有可能是最有可能是Int(n+1)p)Int(n+1)p)條，條，因此因此(80+1)(80+1)100/100/N=2 N=2 由此解得由此解得 N=4050N=4050（條）條） 若離散型隨機變量若離散型隨機變量的分布律為的分布律為其中其中0是常數，則稱是常數，則

7、稱服從參數為服從參數為的泊的泊松分布。記為松分布。記為P() ，稱為參數。稱為參數。, 2, 1, 0!kekkPk泊松分布泊松分布 因為因為0 ，故有，故有P(=k)0 。(k=0,1,2, )0!kkxkxe又1!000eekeekkPkkkkk即泊松分布的分布律，具備概率函數兩性質。即泊松分布的分布律，具備概率函數兩性質。在任給一段固定的時間間隔內，來到公共設施在任給一段固定的時間間隔內，來到公共設施（公共汽車站、商店、電話交換臺等）要求給予（公共汽車站、商店、電話交換臺等）要求給予服務的顧客個數；服務的顧客個數；炸彈爆炸后落在平面上某區域的碎彈片個數；炸彈爆炸后落在平面上某區域的碎彈片

8、個數；落在顯微鏡片上的某種細菌個數落在顯微鏡片上的某種細菌個數在實際問題中，有很多隨機變量都近似服從泊松分在實際問題中，有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如布。例如:由定理知：泊松分布是二項分布的極限分布由定理知：泊松分布是二項分布的極限分布設隨機變量設隨機變量n服從二項分布服從二項分布B(n,pn) (n=1,2, )，其中概率其中概率pn與有關，并且滿足與有關，并且滿足0limnnnp, 2, 1, 0,!1limkekppCkknnknknn則泊松定理泊松定理證明證明 ：npnpnnnn即令knnknknnknknnnkknnnnppC1!1211knnknknnnknknn1!112

9、111knnknnknknn1!112111 其中為一個定數。 對任意固定的非負整數，有1112111limnknnnkknnknnnplimlimeennnknnnnknnnnn111lim1lim 故得 , 2, 1, 0,!1limkekppCkknnknknn 在應用中，當很大（n10 ），很小(0.1) ，我們有下面的泊松近似公式nkekqpCkPkknkkn, 2, 1, 0,!其中=np 解解 設為擊中目標的彈數，則B(5000,0.001) ， 例例3 設每次擊中目標的概率為0.001，且各次射擊是否中目標可看作相互沒有影響，如果射擊5000次，試求：()擊中12彈的概率；()

10、至少擊中12彈的概率。下面用近似公式計算。其中=np=50000.001=5（）至少擊中12彈的概率為：0055. 0!5!125000125500012kkkkekekP（）擊中12彈的概率為：0034. 0!125!121251212eeP 例例4 設有同類設備臺，各臺工作相互獨立的，發生故障的概率都是0.01，并且一臺設備的故障可由一個人來處理，試求（）一個人負責維修臺設備時，設備發生故障而不能及時維修的概率；（）由三個人共同負責維修臺設備時，設備發生故障而不能及時維修的概率。 解：解： (1)設表示同一時刻發生故障的設備臺數。在同一時刻至少有臺設備發生故障，便不能及時處理。0169.

11、099. 001. 02099. 011111219201912020002020220ppCppCppCPkknkk 若用泊松近似公式(=np=200.01=0.2) ，則有0176. 0!2 . 0!22022 . 0202kkkkekekP（2）設表示同一時刻發生故障的設備數，則B(80,0.01)。當同一時刻至少有臺設備發生故障時，就不能及時維修。用泊松近似公式 (=np=800.01=0.8) ，得 計算結果表明，由三人共同負責維修臺，每人平均約維修臺，比一個單獨維修臺更好，既節約了人力又提高了工作效率。0091. 0!8 . 0!48048 . 0804kkkkekekP 例例5

12、某商店由過去的銷售記錄表明，某種商品每月的銷售件數可以用參數=7的泊松分布來描述，為了以0.999以上的把握保證不脫銷，問該商店在月底至少應進這種商品多少件？ 解：解：設該商店每月銷售件，月底進貨為a件，則當a 時，就不會脫銷。根據P(7) 得71!711ekaPaPakk999. 0!7171ekakk即999. 0 aP由題意有查表得 a+117即 a16 71!7001. 0ekakk這家商店至少要在月底進16件這種商品。幾何分布幾何分布 在“成功”概率是p的貝努利試驗中，若以記首次出現“成功”的試驗次數。則所服從的分布便是幾何分布。, 2 , 11),;()(1kpqpkgpqkPk1

13、11);(111qppqpkgkkk顯然顯然 例例6 一個人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把是能開此門的，現隨機地從中取出一把鑰匙來試開門，在試開時每一把鑰匙均以1/n的概率被取用，問此人直到第S次試開時方才成功的概率是多少？ 解解nAP1)(nnns111所求概率A=試開門成功幾何分布具有如下特征：幾何分布具有如下特征：如的分布律為g(k;p)，則對任意正整數s、t，有P(s+ts)= P(t)稱幾何分布具有“無記憶”性。下面證明上式。)(111)(111111tPstsPqqqppqtPqqqqqpqpqsPtsPstsPtttkktstsskktskk證明證明超幾何分布超幾何分布 例

14、例7 在一箱N件裝的產品中混進了M件次品，今從中抽取n 件 (nM) ，求從中查出次品的件數的概率分布.nkCCCkPnNknMNkM, 2 , 1 , 0,)( 解解負二項分布負二項分布 在“成功”概率是p的貝努利試驗中，出現第r次成功時所作的試驗次數所服從的分布稱為負二項分布., 2, 1,rrrkprkfqpCkPrkrrk,;)(11pq1由于f(k;r,p)是負指數二項式展開式中的項，故所服從的分布稱為負二項分布。由此也可以證明1,;rkprkfrpqp)1(llrlllrCllrrrllrrrC1) 1(!) 1() 1() 1(!) 1() 1(其中1)1 () 1(,;0011

15、11rrllrllrllrrlrrkrkrrkrkqpqpCqpCqpCprkf證明證明 例例8 兩個同類型的系統，開始時各有N個備件，一旦出現故障，就要更換一個備件。假定兩個系統的運行條件相同，不同時發生故障。試求當一個系統需用備件而發現備件已用光時，另一系統尚有r個備件的概率Ur. (r=0,1, ,N) 解解 只考慮出故障的時刻第一個系統出故障A第二個系統出故障A故障的出現看作是貝努利試驗，有21)(APp要第一個系統缺備件而第二個系統剩r件，應該是A出現N1次（前N次用去所有N個備件，最后一次故障發生時缺乏調換的備件）而A出現Nr次，這事件的概率為：對于第二個系統先缺備件的情況可同樣考

16、慮，因此所求概率Ur為：12221rNNrNCrNNrNC2221連續型隨機變量連續型隨機變量定義定義 設隨機變量的分布函數為F(x)，若存在非負函數f(x)，使得對一切實數，關系式 xdttfxF3.4 一維連續型隨機變量一維連續型隨機變量都成立，則稱為連續型隨機變量，f(x)稱為的密度函數?？梢宰C明，連續型隨機變量的分布函數是連續函數。密度函數密度函數f(x)具有下列性質：具有下列性質： 0 xf 1dxxf badxxfaFbFbaP（4） 若若f(x)在點的某鄰域內連續，則有在點的某鄰域內連續，則有（3）（2） xfxF)( （1）證明證明 （）（）由定義知f(x) 0顯然。（）（）由

17、分布函數性質知， 1limxFFx 1limlimFxFdttfdxxfxxx由廣義積分概念與定義知，aPbPbaP babadxxfdxxfdxxf（）（） aFbFaPbPbaP對任意類型的對任意類型的隨機變量均成立隨機變量均成立() xdttfdttfxxFxxFxFxxxxx00limlim xfxxxxfxdttfxxxxx00limlim例例：設是連續型隨機變量，c為任意常數，試證Pc0證明證明 hccdxxhccPcP 0lim00hcchdxxcP故0 cP即 。的密度函數為設x對任意的h，有 aFbFbaPbaPbaPbaP注：注：由Pc0 ，可知連續型隨機變量有n（）求常數

18、、；n（）判斷是否是連續型隨機變量；n（）求 P11/2例例：設隨機變量的分布函數為 0,310,312xeBxeAxFxx解：解：（）（）由分布函數性質得 AeAxFxxx31limlim0 BeBxFxxx231limlim1（）（）因為 所以F(x)不是連續函數，從而不是連續型隨機變量。 31032lim0FxFx（）（） 11132131311121211eeeFFP例例3 3 已知隨機變量的密度函數是2a(x) (x)1x (1) 確定a的值；(2) 求的分布函數F(x)；(3) 求概率P(21)。解：解： (1)根據密度的性質，有a0及注：這種分布稱為柯西(Cauchy)分布。1)

19、arctan(arctanlim11)(1)(2aaBAadxxadxxdxxBA而（2）的分布函數為： xxdxxdxxxPxFxxarctan121)2(arctan1111)(2（3）212.111111)(11111111121122dxxdxxPPP均勻分布均勻分布設a、b為有限數，且as+ts)= P(t) 稱指數分布具有“無記憶”性。指數分布是唯一具有指數分布是唯一具有“無記憶無記憶”性的連續型分布。性的連續型分布。例例5 5設到某服務窗口辦事，需排隊等候。若等待的時間是指數分布隨機變量（單位:min），則其概率密度為某人到此窗口辦事，在等待15分鐘后仍未能得到接待時，他就憤然離

20、去，若此人在一個月內共去該處10次。000101)(10ttetft試求:（1）有2次憤然離去的概率; （2）最多有2次憤然離去的概率;（3）至少有2次憤然離去的概率。 解解 首先可求出他在任一次排隊服務時，以憤然離去而告終的概率。 在10次排隊中憤然離去的次數B（10，p），即服從n=10，p=0.2231的二項分布，于是所求的概率分別為2231. 0)(101152315101510eedtePptt6238. 0101212)3(PPPP2937. 0)1 (2) 1 (82210ppCP6735. 0)1 ()1 (10)1 (2102)2(82210910ppCpppPPPP3.3.

21、5 5 正態分布正態分布若隨機變量的分布密度22/2)(21)(xexf)(x其中、0為常數，則稱服從參數為服從參數為、的的正態分布，簡記為正態分布，簡記為N(,2) 。的分布函數為的分布函數為dtexFtx22/2)(21)(特別地特別地稱N(0,1)為標準正態分布，其概率密度及分布函數常記為：2/221)(xexxtdtex2/221)(baxbadxedxxfbaP222)(21)(如N(,2)，有)()(abbaP證明：證明：時也成立?；蚪Y論當ba命題命題1)()(abbatdte2221baxxde)(21222)(xt令)(21)(,2/2xdtexFxbaxt有時，特別地，當)

22、1 , 0()()()()(NxxPxxFxPxPxF) 1 , 0(),(2NN，則如證明：證明：命題命題2例例：設N(1，4)，求P1x=0.1的x。)(1 2xxP例例2解：解：95. 010. 05 . 01211)(xPxx=1.645 例例3 設已知測量誤差N（0，102 ），現獨立重復進行100次測量，求誤差絕對值超過19.6的次數不少于3的概率。 解：解：第一步:以A表示一次測量中“誤差絕對值超過19.6”的事件，則有 05. 0)96. 1 (2296. 11016 .1916 .19)(PPPAP第二步:以表示100次獨立重復測量中，事件A發生的次數，則B（100，0.05

23、），所求概率是 P（3）=1P（3） 8754. 0! 25! 15! 051)2() 1()0(1) 3(1) 3(525150eeePPPPP 第三步:由于n=100較大而p=0.05很小，故二項分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得 例例4 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.01以下來設計的，設男子身高服從=170cm、=6cm的正態分布，即N（170，62 ），試確定車門的高度。 解：解：設車門的高度為hcm，根據設計要求應有 99. 0)(01. 0)(101. 0)(hPhPhP18433. 2617099. 09901. 0)33. 2(99. 0

24、)6170()()()6170(2hhhhPhPN得查正態分布表得，例例5：從南郊某地乘車前往北區火車站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過市區，路程較短，但交通擁擠，所需時間（單位:分鐘）服從正態分布N(50,100)，第二條沿環城公路走，路線較長，但意外堵塞較少，所需時間（單位:分鐘）服從正態分布N(60,16)，（1）如有70分鐘可用，問應走哪一條路線？（2）如只有65分鐘可用，問應走哪一條路線？解：解：應走第二條路線。的概率為：走第二條路線及時趕到9938. 0)46070(70P9772. 0)105070(7070) 1 (P的概率為：走第一條路線及時趕到分鐘可用時有表示行車時間。設9

25、332. 0)105065(6565)2(P的概率為：走第一條路線及時趕到分鐘可用時有應走第一條路線。的概率為：走第二條路線及時趕到8944. 0)46065(65P3.6 一維隨機變量函數的分布一維隨機變量函數的分布 如是隨機變量，在y=f(x)連續、分段連續或單調時，則 =f() 也是隨機變量。 例例1 設的分布律為的分布。試求出12,221012P0.150.20.20.20.25解解P0.150.20.20.20.2521012410142 將表中取相同值的部分作適當并項得0.200.40.4P41 2P0.150.20.20.20.25210122-153113 將表中取相同值的部分

26、作適當并項得P2-10.2530.210.20.20.15135例例2 設隨機變量具有連續的分布密度(y)，試求=a+b（其中a，b是常數，并且a0）的分布密度(y)。 解：解：時當的分布函數為設0) 1 ()(ayFduabuadttabyPybaPyPyFybatuaby)(1)()()(1)()(abyayFdydyduabuadttabyPybaPyPyFybatuaby)(1)()(時當0)2(a)(1)()(abyayFdydy)(1)(abyay綜上所述，例例3設隨機變量服從正態分布N(,2)，求 的分布密度(y)。 解：解：baexNx121)(),(222/)(2) 1 ,

27、0(212)()()(2/2/)(222Neeuyabyyuyabyyy由有例，由13351Pba證明：證明：),(),(222abaNbaN，則，例例42)(exp2121exp21)(1)(22222abayaabyaabyay),(22abauN作業：作業：4、5、15、18、27作業評講作業評講1、解、解 0)() 1)()(, 0,1xFaxdttfxFbaxbaxabxfx則的密度函數為：bxbxaaxabaxxFdttfdttfdttfxFbxabaxabaxdttfdttfxFbxaxbbaaxaa10)(1010)()()()() 30)()()()22、解、解0)(0)321)(10)21)(1) 1xPxFxxxPxFxxPxFx12、解、解以表示300臺分機中，向總機要外線的分機數。%62.92!9139,0