1、數學分析2期末試題庫?數學分析II?考試試題1、表達題：每題6分，共18分1、牛頓-萊不尼茲公式2、an收斂的cauchy收斂原理n 13、全微分32分二、計算題：每題8分，共X22sin t dto積。2、求由曲線x2和xy2圍成的圖形的面積和該圖形繞x軸旋轉而成的幾何體的體3、求n的收斂半徑和收斂域，并求和1 n(n 1)-2u4、u xz ，求x y三、每題10分，共30分1、寫出判別正項級數斂散性常用的三種方法并判別級數 2、討論反常積分 xP 1e xdx的斂散性)的一致收斂性03、討論函數列Sn (x) , x - 2 x ( n四、證明題每題10分，共20分xn 1.1、設 Xn

2、0,11-(n 1,2)，證明xn發散xnnn 1xy2 x2 y0f2、證明函數f (x, y)2 2x y在0, 0點連續且可偏導,2200xy但它在該點不可微。?數學分析II?考試題2、表達題：(每題5分，共10分b1、表達反常積分f(x)dx,a為奇點收斂的cauchy收斂原理a2、二元函數f (x, y)在區域D上的一致連續二、計算題：每題8分，共40分宀卻1、lim(二n n 1x2、求擺線ya(t sint) t 0,2 與x軸圍成的面積 a(1 cost)3、求(cpv)jx1 x24、求幕級數n(X 1)n21 n的收斂半徑和收斂域5、u f (xy,)，求yx y三、討論與

3、驗證題:每題10分，共30分x1、f(x,y)-x y2y，求 lim lim f (x, y), lim lim f (x, y)x 0 y 0y 0 x 0；lim(x,y)(0,0)f(x, y) 是否存在?為什么?2、討論反常積分0arctanx dx的斂散性。px3、討論n 13(1)的斂散性。bf (x)dx四、證明題：每題10分，共20分1、設fx在a,b連續，f(x) 0但不恒為0,證明2、設函數 u 和 v 可微，證明 grad (uv)= ugradv+vgradu?數學分析II?考試題3五、表達題：每題5分，共15分1、定積分2、連通集3、函數項級數的一致連續性六、計算題

4、：每題7分，共35分e1、1 sin (I n x)dx2、求三葉玫瑰線r a sin30,圍成的面積3、 求xnn cos 設正項級數 xn收斂，證明級數X；也收斂的上下極限2n 154、求幕級數2的和n 12n5、u f (x, y)為可微函數，求(一)2(-)2在極坐標下的表達式x y七、討論與驗證題:每題10分，共30分/ 2 2 11(x y )sin cosx 0, y 01、 f (x, y)xy，求 lim f (x, y)，冋(x,y)(0,0)0x 0 或 y0lim lim f (x, y),lim lim f (x, y)是否存在？為什么？x 0 y 0y 0 x 02

5、、討論反常積分011dx的斂散性。pqx x3、討論 fn(x)1nxx 0,1的一致收斂性。n x八、證明題：每題10 分?，共20分1、 設fx在a,+ x上單調增加的連續函數，f (0) 0，記它的反函數f-1 y,ab 1證明 f (x) dx f 1(y)dy ab (a 0, b 0)00 丿 丿判斷題正確的打，錯誤的打“X ；每題3分，共15分:1.閉區間a, b的全體聚點的集合是a, b本身。1x 1在區間1,內的原函數。3.假設f x在a, b上有界，那么f x在a, b上必可積。4.假設f x為連續的偶函數，貝UF xxf t dt亦為偶函數。o5.正項級數10nn 1 !

6、是收斂的。.填空題每題3分，共15分：1.數列 齡的上極限為，下極限為2Timn1n2122n222n2n2d tan x t3.et dt dx 04幕級數3n的收斂半徑R5 .將函數 f X xx展開成傅里葉級數，那么 a0an ,bn 三.計算題每題7分，共28分:1.dx2.exln xdx ；0 ，4.2 xdxx4dx ;x四.解答題每題10分，共30分:1.求由拋物線2y2x與直線 y x 4所圍圖形的面積。2判斷級數11 tan是否收斂，假設收斂，是絕對收斂還是條件收斂？n 1n3確定幕級數2n 1x的收斂域，并求其和函數。n 1 2n 1.證明題12分:證明：函數 1sin

7、nxF x4 在，上有連續的二階導函數，并求f x。判斷題正確的打“V ，錯誤的打“x;每題3分，共15分：1.設a為點集E的聚點，那么a E。2.函數 In X yX21 是 1 一在內的原函數。3有界是函數可積的必要條件。4假設f X為連續的奇函數，那么Xf t dt亦為奇函數。05.正項級數是收斂的。.填空題每題3分,共15分：1.數列的上極限為，下極限為2Timn12n n22 n 2n3. g SinXet dtdX 04幕級數4nxn的收斂半徑n 1 n 15 .將函數 f X展開成傅里葉級數，那么 aoanbn三.計算題每題7分，共28分:3X1.2 dx ;9 xdx3. 廠1

8、 xe dx;o,1 xdx4.0 .1 x22 X2 x 2四.解答題每題10分，共30分:1 求由兩拋物線 y x2與y 2 x2所圍圖形的面積。n 12判斷級數1 n ln是否收斂，假設收斂，是絕對收斂還是條件收斂?n 1n3確定幕級數n xn 1的收斂域，并求其和函數。n 1五.證明題12分:x2上連續。證明：函數 f X4 e在0,n 1 n2判斷2*7=14分1.設Xfj%f(x)在a,b上的極值點，那么f (X。)02.假設在 a,b 內 f (x) g (x), f(b)g(b),那么對xa,b,有f (x)g(x)3.假設x為點集A的聚點，那么必有x4.假設 F (x)連續，

9、那么 F (x)dx F(x)5.假設f (x)在a, b上連續，x a,b ,那么x2f(t)dtaf(x2)6.假設 an收斂，bn發散，那么(an + bn)必發散7.假設 an2收斂，那么an3必收斂填空3*7=21分1. f(lnx)2 x,那么f (x)2.sinxln (x21)dx3.設f (x)x2ex(x 0),那么 2f (x 1)dx(x 0)04 .求 lim -1 %x 0 x30sin t2dt5.求y x3 x2 1的拐點坐標(1 16 用定積分求lim nn 1n 27.幕級數1 xn的收斂半徑R =n 2n三.計算4*7=28分(要有必要的計算過程)2.1.

10、 xexdx3.oarcs inxdx4求曲線y 2 x2與y x所圍成的圖形的面積四. 判別級數的斂散性2*9=18分要有必要的過程1 .卯 n!nn i n2 .判別 1n 2 n 2在，上是否一致收斂，為什么n 1 n X五. 證明：9+10=19分1 設級數 an2與 bn2都收斂，證明：anbn絕對收斂2.設fx在a,b上二階可導，f a f b 0，證明：存在一點a,b，使得4(b a)2f(b)f (a)判斷2*7=14分1設f(X。)0，那么X。必為f(x)的極值點g(x)2.假設在 a,b 內 f (x) g (x), f (b) g(b),那么對 x a,b,有f (x)3

11、假設x為點集A的聚點，那么x可能不屬于A4.假設 F (x)連續，貝y F (x)dx F (x) Cb5.假設 f (x)在 a,b 上連續，x b, a ,那么 f(t)dt f ( x)x6.假設lim UnA l 1,那么級數un收斂n Un7.冪級數anxn至少存在一個收斂點二填空3*7=21分1. f(x+1)x2 2,那么f(x) 1 COSX1 cosx ,2. dx A,那么 .dx-1 4 A0 廠 4“.x 1. x 15x 1 (x 0)23. 設 f (x)2/ J,那么 0 f (x 1)dx x2(x 0)01 x1 cost 亠4 .求 lim dt x 0 x

12、 0 t1 15.求f (x) x3 x21的極大值為f (_)326用定積分求lim 1 . 1n n Y n7.幕級數xn的收斂半徑R二n三.計算4*7=28分(要有必要的計算過程)1. xln xdx 2.1x.x2 1dx3.xarcta nxdx4.求曲線y . x3從x 0到x 1的弧長四.判別級數的斂散性2*9=18分要有必要的過程n2n 12n2 .判別 1n在，上是否一致收斂，為什么 n 1 n X五.證明：9+10=19分1.設級數an2與 bn2都收斂，證明：an bn2收斂b0, x a,b2. 假設 f (x)在 a, b 上連續，f(x)0, f (x)dx 0,證

13、明： f(x)a三.判斷題正確的打，錯誤的打“X ；每題3分，共15分:1開區間 a,b的全體聚點的集合是a,b本身。3 假設f xa,4 假設f xa,5.正項級數.填空題1x 1b上有界，那么f x在區間b上的連續函數，那么是收斂的。每題4分，共16分:1,在a, b內的原函數。上必可積。:f t dt在a, b上可導。1. limn1 2-22-22n1n2d x t2.0e dt 。dxnx3 幕級數-的收斂半徑R n 1 n 3n4 .將函數 f X xx展開成傅里葉級數，那么 aoan ,bn .計算題每題10分，共30分:1.dx1 x2 '2.1e|nxdx ;3.四.

14、解答題每題10分，共30分:1求由拋物線 y22 判斷級數n 13 確定幕級數n 1五.證明題9分：證明：函數 f x2x與直線 y x 4所圍圖形的面積。11 n弋 是否收斂，假設收斂，是絕對收斂還是條件收斂? nnxn 1的收斂域，并求其和函數。0,上連續。f(X)在a, b連續,參考答案1F(x)是f(x)在a,b上的一個 原函數，那么成立ba f(x)dxF(b) F(a)2、0. N 0,使得 mn N，成立an 1 an 2amD R2為開集，z二、1、分子和分母同時求導x22° sintdt2xsinx4!叫x!叫zv2、兩曲線的交點為；Gx所求的面積為:所求的體積為:

15、10(x3、解：設 f (x)-1，12分f (x)xn1n 1 (n 1)x ,0f(t)dtx=0級數為0，x=1，f(x)6x50，0，x2)dxx5)dxnxn(n1)'131，13310limn1Fn(1x8分1 2 分3分3分(n 1)(n2)1，收斂半徑為1,收斂域1n(n 1)x),(01),x. “In (1x級數為1，x=-1，級數為1-2ln2 3分x),(0 x 1) (3 分f (x, y), (x, y) D是定義在D上的二元函數，x, y無關的常數A和B,使Po(Xo,yo)為D中的一定點，假設存在只與點有關而與得z A x B y oC., x2y2)那

16、么稱函數f在點P0(x°,y。)處是可微的，并稱A x B y為在點P°(X0,y。)處的全微分y I2y 1y .u T In xu T - 1 /r4、解：=xz 3 分xz In x xz (5 分y zx yzx三、1、解、有比擬判別法，Cauchy,D' Alembert,Raabe 判別法等應寫出具體的內容 4分(n 1)!.(n 1) limn n!nnlim (1ne 1 4 分由D' Alembert判別法知級數收斂1分2、解:Xp10Xdx1xp01e Xdx1xp 1e Xdx 2 分，對1xp 1e Xdx，0由于X11(x1 彳0)

17、故 p>0 時 o xp 1 ex dx收斂4分；1xp 1eXdx，由于x2x0(x4分故對一切的p1xp 1e Xdx收斂，綜上所述P>0,積分收斂3、解:Sn(X)丄收斂于Xn4分lim supn X (,Sn XX0所以函數列6分致收斂性四、證明題每題10分，共20分1、證明:X3 X4X2XnXn 12X3Xn 1X22 3XnX2,(n2)6分n 11發散,n 2 n 1由比擬判別法知級數發散4分2、證明:| I 2Xy 2 |xy |4 分 x y機0肩節=0所以函數在0,0點連續，3分又lim 0x 00， fx(0,0), fy(0,0)存在切等于X4分(xg不存

18、在,y故函數在0，0點不可微3分參考答案1、0.0,使得，成立a 2f (x)dxR2為點集，f : DRm為0.0,使X1X2,X1,X2D，成立 f (xjf(X2)二、1由于 在0，1可積，由定積分的定義知x2分1 lim( n n 11 1 1 1)=lim (2n n n 121 - 1 -01 XdX ln26分4、所求的面積為:0 a(1cosx)2dx3 a2 8 分1 x5、解：(cpv)2 dx lim1 x2AA 1 xA1 x2dx(3分4、解:1 , r=1 4 分由于x=0, x=2時，級數均收斂，所以收斂域為0, 2 4分5、解:2uX 廠八、u=f 22 3 分

19、yyx y4 Jxy f225 分yy1、解、lim limx 0 y 0 x1,lim lim y 0 x 0 x2lim 05分由于沿y kx趨于0，0y 0 y1極限為所以重極限不存在5分1 k2、解:arcta nxxpdx1 arcta nx0 xpdxac獸dx 2分，對xp1 arcta nx0 xpdx，由于p 1 arcta nx一x p1(xxpp arctanxzx-7-2(x斂0)故p<2時1 arcta nxdx收斂4分arcta nxxpdx，由于)4分故p>1arctanx J*收斂，綜上所述1<p<2，積分收1 xp3、解:limnn3

20、2( 1)nn31所以級數收斂10分四、證明題每題10分，共20分b在包含 X。的區間c,da,b，有 f (x)04 分， f (x)dxadf (x)dx 04 分1、證明：由f (x) 0但不恒為0，至少有一點X0 a, b fx在a, b連續2分，存grad (uv)(uxv vxu,UyV VyU)(uxv,UyV) WxU,VyU) v(ux,Uy) u(Vx，Vy) vgradu ugradv10 分參考答案3c2、證明：以二元函數為例1、設有定數I，0.0,使得對任意的分法Xn b和任意的點i k 1，xJ，只要 max( xj，成立1 i nf( i) Xi I2、S的任意兩

21、點x,y之間，都存在S中的一條道路r,那么稱S為連通集3、0. N()0,使得 mn N，成立an1 an 2am二、1、1esin (I n x)dxxs in ln x |：ei cos(ln x)dxesin 1 ecosl 1esin (I n x)dx5分1i sin (I nx)dx(es in1ecosl 1) 2 分6、由對稱性知，所求的面積為：6sin2 3d27 分47、解：上極限為0.5，下極限為COS25 (7分4、解：limn； n n |2n1，r=23 分2收斂域為-3 ,1，級數的和為 1 x4 分，5、解：設極坐標方程為r sinu=U x cosUy sin

22、u rsinUxr cos uy5 分-2x(U)22分三、1、解、由于 sin1 1cos 有界,x yx2y2為無窮小,(x,y)im(0,0)f(x,y)(0,0)5分2lxm0lym0(x)si ncos-x ylim (limx2 . 1x sin cosx yyim0y2si n1 cos-)x ylim x2sincosy 0 x1 一一極限不存在,y2 11lim y sin cos 極限存在, y 0xy故整體極限不存在,同理iy叫ixm0fx,y不存在5分2、解：0由于 xminp,qJ qdx x x1dx12 分，對 ：dx，0xp Xq1(x0)故 min( p,q)

23、1 dx收斂4分；0xp xq1 -yjdx ，由1 x xxmax(p,q) 1X xpxq1(x4 分故max( p,q)一 dx收斂，綜上所述 min( p,q) xq1 , max(p,q) 1時，積分收斂2分3、解:lim fn(x)nf (x) 3 分,lim sup fn (x)f (x) lim sup2X X1 n xX7分所以函數列一致收斂四、證明題每題10分，共20分證明：當b f (a)時,a0 f(x)dxb 1f 1(y)dyab(a 0,b0)4分f (a)時，0af (x)dxf(a)f 1(y)dyab (a0,b0) 3 分f (a)時，01(b)f(x)d

24、x1(y)dyab (a0,b0)3分2、證明：由于收斂Xn1故limnXn2分，于是，總存在n。使得n n° 時,Xn 1，從而,n°時,2xnXn 5分，由于級數Xn收斂,當然nXnn0收斂,2Xnn n0收斂,從而2xn也收斂n 13分四.標準答案4判斷題正確的打，錯誤的打“X ；每題3分，共15分:1.V2.V3.x二.填空題每題3分，共15 分:111,c1.2.ln 2 ;33，25 . a0 -_0_,an-0,bn4.X5.Vtan x 23. e sec x ；4. _3n 1 21n.計算題每題7分,共28分：1.Xe2x1 earcta n eexln

25、 xdx14分3分eln1xd2x2lnxxdx1xb x1o rvdx = ym opdx = 2iimbd x201 x42limarctan x22分2分22 , ?18im - x 1 22 x 1 2。!叩3a33分2分142分 分2 xdx _2 xdx _4. 1 苛 Fm aE =2分四.解答題每題10分，共30分：21.求由拋物線 y 2x與直線 yx 4所圍圖形的面積。解：兩交點為 2,2 , 8, 4，那么3分22344s 2 y4 ydy y4y y=1822623分3分1分2判斷級數1n + 1tan 是否收斂，假設收斂，是絕對收斂還是條件收斂?n 1n3解：設 an

26、 tan, a“0，貝 U a“ a“ 1, a“ Onn分分由Leibniz判別法知，級數n 1收斂。3tan而由lim1知，級數n1 丄ntan1發散，故原級數條件收斂。n 1 n4分3確定幕級數2n 1x2n 1的收斂域，并求其和函數。I n 1lxl_解:因為 lim勿2# x?, 所以n x2n 11時幕級數絕對收斂，當X 1幕級數發散，故收斂半徑R2分又當X1時幕級數發散，故收斂域為1,2分2n 1-，那么S1 2n 1X2n，從而1 X22分Sx01dx 11n1 X21,2分五.證明題12分:證明：函數sin nx上有連續的二階導函數，并求分證明：因為sin nxn 14 nc

27、os nxn3sin nx2n3都在分分而級數12都收斂，nsin nx4n 1 ncos nx31 nsin nx上一致收斂。3又級數的每一項都是連續的，故由函數項級數的連續性和可微性知都在上連續，且3cos nx3，1 nsin nx2 ，n 1 n2標準答案5五.判斷題1.x二.填空題正確的打V3分，2.每題，錯誤的打“x；每題3分，共15分：3.V15 分:4.X5.V1.32.1 In 2 ；sin xe cosx;5. aoanbn.計算題每題7分,共28分：1.2 2xdx2x9 x22.1ex dx = 22分tet dt =02td3分12分Qdt = 23.4.、.x t

28、3 分dx2x x2 = ljm2分3分1分.1xdx2x=lima 1四.解答題每題2分10分，共1.求由兩拋物線解：兩交點為1,1,3分2判斷級數In解：設anIndx2x2 二13lim3分dx = - I n 2 ；32分.1xdx2xlima 13分30 分:x21分所圍圖形的面積。1, 1，那么3分dx 2x3分1分是否收斂，假設收斂，是絕對收斂還是條件收斂?0，貝y an an 1, anOn3分分由Leibniz判別法知,而由limnn 1Inn1 _3 確定幕級數nnx解：因為分又當x分2分從而S級數n 11知，級數n|n 口收斂。n的收斂域，并求其和函數。|nmn1時幕級數

29、發散,nx1dt發散，故原級數條件收斂。4所以收斂半徑R故收斂域為1, 1。dt33xdntn 1dt01, 1。2分五.證明題12分:證明：函數 f X12nx2n20,上連續。分4分證明：因為 x而級數0,，有41-2收斂，故級數n0,致收斂又級數的每一項都是連續的，故由函數項級數的連續性知,答案61234567一XVXXXVV二2ex le2x C20e東1(%, 227)In 22三計算要有必要的計算過程1.xexdx = xex ex C2.dx令 tx . x2 11-dt12arcta nt C2 arcta nC(或arccoL C)x13. arcs inxdx1o24求曲線

30、y 2 x2與y x所圍成的圖形的面積解：；2 x2 xdx 92四.判別級數的斂散性2n n!bn n! 21 .解：lim卜1 收斂n 1nnn nne2 .判別 1n , n ,在，上是否一致收斂，為什么n 1n x解：n(1)k1即一致有界，對每一個x ,22單調遞減，且k 1n2 x22n 2 一致趨向于0(n )( 1)n 2n 2在(，)上一致收斂2.設f (x)在a,b上二階可導，f (a)n xn n2x24(b a)2f(b) f(a)提示：用泰勒公式證明：由泰勒公式知f(x) f (a) f (a)(x1a) f ( 1)(xa)2分別令f(x) f(b) f (b)(x

31、 b)1 2f ( )(x b)2,有 f(S2)f(a)b a 2 f ( 1)(/21f號)1 f(b) - f ()(專)22其中，2 1得;f(b) f(a)f ( i)(ba)20f() ja)2f(b) f(a)五.證明：1.設級數 an2與 bn2都收斂，證明：anbn絕對收斂證明：anbn1(an2 bn2),而an2 bn2收斂anbn絕對收斂f (b)0，證明：存在一點 (a,b)，使得),f ( i)(其中f答案及評分標準71234567一XXVVVXV二1 32cA500121x3x2x C一32632三.計算1.xln xdx1x2 C2.1X X2dx1令3.四.12-5 dt t212 arcta nt0xarcta nxdxfx 12arc叫廠11 1 20 arctanxd(x )4.求曲線y - x3從x0到x 1的弧長解:C(或2x2arctanx判別級數的斂散性1n 12n判別n1)nn21)k2dx解:n