1、2022年年3月月22日日2022-3-2212022-3-2221mo45121kNFFO平面任意力系平面任意力系1F2F4F341kNFF1kN mM 木板是否靜止？木板是否靜止？3F2022-3-223ABFABdF4-1 平面任意力系向作用面內一點的簡化平面任意力系向作用面內一點的簡化 MFABdF = -F = FFFMF d= 可以把作用于剛體上點可以把作用于剛體上點A的力的力 平行移到任一點平行移到任一點B，但必，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力 對對新作用點新作用點B的矩。的矩。FF( )BMF=此推導過此推導

2、過程可逆！程可逆！2022-3-224ABFMFABd2022-3-225FMF2022-3-226(b)(a)(b)FFF2022-3-2271F2F3FO2.平面任意力系向作用面內一點的簡化平面任意力系向作用面內一點的簡化 主矢主矢和和主矩主矩O1F2F3FM1M2M333FF=33()OMMF22FF=22()OMMF11FF=11()OMMF2022-3-228123FFFO2.平面任意力系向作用面內一點的簡化平面任意力系向作用面內一點的簡化 主矢主矢和和主矩主矩O1F2F3FM1M2M3RFMO33()OMMF22()OMMF11()OMMF33FF=22FF=11FF=RF 123

3、MMM123FFF123()()()OOOMFMFMFOM2022-3-2292.平面任意力系向作用面內一點的簡化平面任意力系向作用面內一點的簡化 主矢主矢和和主矩主矩ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOMRF 123MMM123FFF123FFF123()()()OOOMFMFMFOM主矢主矢主矩主矩2022-3-2210ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM主矢主矢主矩主矩22R()()ixiyFFF RRRRcos(, ),cos(, )iyixFFFiFjFFxyRRxixyiyFFFF 2022-3-2211o4512341kNFFFFO1F2F4F22()()R

4、ixiyFFF kN77. 0RxixFF 707. 0RyiyFF 145sin1o293. 0RRcos(, )iyFFjFRFo45cos1，92. 038. 0RRcos(,ixFFi)F1m3F1kN mM 2022-3-22121m1kN mM o4512341kNFFFFO1F2F3F4FRF01212R0.77kNF 1234()()()()OOOOOMMFMFMFMF0木板不會靜止不動。木板不會靜止不動。M11kN mOM此簡化結果能否進一步合成？此簡化結果能否進一步合成？2022-3-2213ABFMFABd1F2F3FOORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM(

5、)BMMF=FF=2022-3-2214ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOMxyR00OFM R00OFM R00OFM R00OFM 分四種情況討論：分四種情況討論：2022-3-2215OMOni()OOMMFi=1R00OM FORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM2022-3-2216ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM 簡化為一簡化為一合力合力，且合力的作用，且合力的作用線通過簡化中心。線通過簡化中心。R00OM FORF2022-3-2217ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOMO ORFdR00OFM ORFOMRFRFO OdRFOR

6、MdFRR()OMFF dOM()OiMFRi()()OOMFMF合力矩定理：合力矩定理：2022-3-2218（1）當力臂不好確定時，將該力分解后求力矩；）當力臂不好確定時，將該力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用線位置。）求分布力的合力作用線位置。 平面任意力系的合力對作用面內任一點的矩等于力平面任意力系的合力對作用面內任一點的矩等于力系中各力對同一點矩的代數和。系中各力對同一點矩的代數和。R()()OOiMFMF合力矩定理：合力矩定理：原力系平衡原力系平衡R00OM F2022-3-2219平面任意力系向一點簡化結果總結：平面任意力系向一點簡化結果總結：主主 矢矢主主 矩矩合成結果合

7、成結果說說 明明MO = 0MO0MO 0MO = 0合合 力力合合 力力力力 偶偶平平 衡衡此力為原力系的合力，合力的作用線此力為原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心通過簡化中心合力作用線離簡化中心的距離合力作用線離簡化中心的距離ORMdF此力偶為原力系的合力偶，在這種情此力偶為原力系的合力偶，在這種情況下主矩與簡化中心的位置無關況下主矩與簡化中心的位置無關R0F R0F 2022-3-2220平面任意力系平衡的解析條件：平面任意力系平衡的解析條件：所有各力在兩個任選的坐標軸所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數和分別等于零，以及各力對于任意一點矩的代上的投影的代數和分別等于零，以及各力

8、對于任意一點矩的代數和也等于零。數和也等于零。（1）三個方程只能求解三個未知量；）三個方程只能求解三個未知量；（2）二個投影坐標軸不一定互相垂直，只要不平行即可；）二個投影坐標軸不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐標軸盡可能與多個未知力平行或垂直；）投影坐標軸盡可能與多個未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心盡可能選多個未知力的交點。）力矩方程中，矩心盡可能選多個未知力的交點。平衡方程平衡方程R=1niiFF i=1()nOOiMMFR00OFM =1=1=100()0nixiniyinOiiFFMF2022-3-2221 已知：已知：M=Pa 求：求：A、B處約束力。處約束力。xy

9、（1）取剛架為研究對象）取剛架為研究對象解上述方程，得解上述方程，得（2）畫受力圖）畫受力圖（3）建立坐標系，列方程求解）建立坐標系，列方程求解2aaABCDPAyFAxFBF2022-3-2222A（1）固定端支座）固定端支座求：求：A處約束力。處約束力。既不能既不能移動移動，又不能，又不能轉動轉動的約束的約束 固定端（插入端）約束固定端（插入端）約束固定端約束簡圖固定端約束簡圖（三個約束分量）（三個約束分量）ABqlFAAyFAxFAAF2022-3-2223（2）分布載荷的合力）分布載荷的合力dPP0d( ) dlPhP xq x x x合力大?。汉狭Υ笮。河珊狭囟ɡ恚河珊狭囟ɡ恚?

10、0( ) d( )dllq x x xhq xxhlq(x)ABxxdxPdP0( )dlq xx2022-3-2224 兩個特例兩個特例(a) 均布載荷均布載荷h(b) 三角形分布載荷三角形分布載荷hlq0qlxxPP2l00( ) d( )dllq x x xhq xx0( )dlPq xxql23l00( ) d( )dllq x x xhq xx0( )qq xxl00001( )dd2llqPq xxx xq ll2022-3-2225解：取解：取AB梁為研究對象梁為研究對象求：求：A處約束力。處約束力。ABqlFAlBFMAAyFAxFP2022-3-2226回顧：回顧：1F2F3

11、FOORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM平衡方程：平衡方程：R00OFM =1=1=100()0nixiniyinOiiFFMF2022-3-2227解上述方程，得解上述方程，得 解解 法法 2解上述方程，得解上述方程，得2aaABCDPAyFAxFBF= 0,= 0= 0,= 0( ) = 0,2= 0 xAxyAyBABFFPFFFMFFaPaM=AxAxBFPFPFP =AxAxBFPFPFP= 0,= 0( ) = 0,2= 0( ) = 0,2= 0 xAxABBAyFFPMFFaPaMMFFaPaM2022-3-2228解上述方程，得解上述方程，得 解解 法法 3解上述

12、方程，得解上述方程，得2aaABCDPAyFAxFBF( ) = 0,2= 0( ) = 0,2= 0( ) = 0,2 = 0ABBAyCAxBMFFaMPaMFFaMPaMFF aMFa=AxAxBFPFPFP=AxAxBFPFPFP = 0,= 0= 0,= 0( ) = 0,2= 0 xAxyAyBABFFPFFFMFFaPaM2022-3-2229ABRF( ) = 0,( ) = 0,( ) = 0ABCMFMFMF（A、B、C 三點不得共線）三點不得共線）（x 軸不得垂直于軸不得垂直于A、B 兩點的連線）兩點的連線）= 0,= 0,( ) = 0 xyAFFMF=0,( ) =0

13、,( ) =0 xABFMFMF xRF否存在三投影式？否存在三投影式？= 0= 0= 0 xyzFFF2022-3-2230AFCFBFACaaaBPFDECBAaaaP2022-3-2231yxo=0( ) =0yOFMF( ) = 0( ) = 0ABMFMF0 xF1F2F3F4F2022-3-2232( ) = 0,BMFNN-250N,3750NABFF已知：已知：F = 2kN，q = 1kN/m求：求： A、B支座力。支座力。D1m2m1mABCFqPNBFNAFN121= 0APFF NN= 0ABFFFP132Pq其其中中= 0,yF2022-3-2233已知：已知：起重機

14、自重起重機自重 P要求最大起重量要求最大起重量 P1各段長度：各段長度：a 、b、e、l。求：求：P2的范圍的范圍ABbealP1P2P2022-3-2234 2N1( )0,()= 0BAMFP abF bPePl2N( )0,() = 0ABMFPaF bP eb12()PePlP ebPabaABbealP1P2PNBFNAF12PePlPab解解得得: :2()P ebPa解解得得: :2022-3-22351. 幾個概念幾個概念2. 物體系統平衡方程的數目物體系統平衡方程的數目2022-3-2236ABCPu靜定問題靜定問題 當系統中未知量數目等于或少于獨立平衡方程當系統中未知量數目

15、等于或少于獨立平衡方程數目時，所有未知量可以全部由平衡方程求出，稱為靜定問題。數目時，所有未知量可以全部由平衡方程求出，稱為靜定問題。u靜不定問題靜不定問題 當系統中未知量數目多于獨立平衡方程數目當系統中未知量數目多于獨立平衡方程數目時，不能求出全部未知量的問題。時，不能求出全部未知量的問題。EDE3. 靜定與靜不定的概念靜定與靜不定的概念ABPAFBFAFBFCFD1m2m1mABCFACB1F2F2022-3-2237靜不定次數靜不定次數 未知量數目未知量數目 獨立的平衡方程數目獨立的平衡方程數目一次靜不定一次靜不定二次靜不定二次靜不定一次靜不定一次靜不定一次靜不定一次靜不定ABCPAFB

16、FCF1m2m1mABCEFBA1F2FDEACB1F2F2022-3-2238ABP0.3kNAxF 1.2kNCxF ( ) = 0,AMF解：解：(1)取整體為研究對象取整體為研究對象0.2kN,0.6kNAyCyFF ( )0,BMF = 0,= 0(2)yAyCyFFFP= 0,= 0(3)xAxCxFFFQ已知：已知：P=0.4kN，Q=1.5kN， sin=4/5,求：支座求：支座A、C的約束力。的約束力。ACBPQAB=BC=lAyFAxFCyFCxFAyFAxFByFBxF2 coscossin= 0(1)22CyllFlPQsincoscos02AxAylF lPF2022

17、-3-2239( ) = 0,( ) = 0,( ) = 0ABCMFMFMF（A、B、C 三點不得共線）三點不得共線）（x 軸不得垂直于軸不得垂直于A、B 兩點的連線）兩點的連線）0,0,( )0 xyAFFMF= 0,( ) = 0,( ) = 0 xABFMFMF 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式2022-3-2240求：求：A、E的約束力和的約束力和BC桿內力。桿內力。CDq解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象解得：解得：(2) 取曲桿取曲桿CD為研究對象為研究對象解得：解得：EqaaaaaABCDEDCBAGHAyFAxFEFCFDyFDxF2022-

18、3-2241BCqMCAq1m1mAC1m1mMqB0,0( )0,21 0.500,10 xCxCByCyBFFMFFqFFFq 0.5kN,0,1.5kNBCxCyFFF0,00,10( )0,1 1.520 xAxCxyAyCyAACyFFFFFFqMFMMqF 0,3.5kN,4kN mAxAyAFFM MAAyFAxFBFBFCyFCxFMAAyFAxFCyFCxF2022-3-2242500NDCE500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m求：求：D、E 的約束力。的約束力。解：解：(1)取取CDE為研究對象為研究對象( )0,2 500 40(1)0,5000(2)0

19、,0(3)EDyyDyEyxDxExMFFFFFFFF 解上述方程，得解上述方程，得1000N,500NDyEyFF (2)取整體為研究對象取整體為研究對象( )0,4 500 2 500 60ABMFF 1000NBF 解得解得:DyFDxFEyFExFAyFAxFBF2022-3-2243GEBExFEyF(3) 取取BEG為研究對象為研究對象( )0,GMF 1500NExF 解得解得:1500NDxF 代入（代入（3）式得）式得:1500N1000NDxDyFF 1500N500NExEyFF 1000N,500N,1000NDyEyBFFF 500NDCE500N500NAHDCGE

20、B2m2m2m2m2m2mDyFDxFEyFExFAyFAxFBFBFGyFGxF4220BExEyFFF 2022-3-2244DFEP解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象( )0,200CByByMFFaF得(2) 取取DEF桿為研究對象桿為研究對象( )0,0( )0,20EDyBDxMFFaP aMFFaPa 解得：解得：,2DyDxFPFPDxFDyF求：求：A、D、B的約束力。的約束力。CaBDAFEaaaPByFBxFCyFCxFBNEF2022-3-2245BDA(3) 取取ADB桿為研究對象桿為研究對象( )0,200,00,0ABxDxxAxDxBxyAyDyB

21、yMFFaFaFFFFFFFF解得：解得：,BxAxAyFPFPFP DFEP(2) 取取DEF桿為研究對象桿為研究對象( )0,0( )0,20EDyBDxMFFaP aMFFaPa 解得：解得：DyDx,2FPFPBNEFDxFDyFByFBxFDyFDxFAyFAxF2022-3-2246aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)aBCDAFEaaa(a)PaBCDAFEaaa(b)P2022-3-2247求：求：A、D的約束力。的約束力。解：解：(1)取取BC桿為研究對象桿為研究對象( )0,20(1)0,0(2)0,0(3)CByyByCyxBxCxMFPaFaFFFP

22、FFF 解得：解得：0.5ByCyFFPABCDaaaa2a2aPPBCPCyFCxFByFBxF2022-3-2248(2)取取AB桿為研究對象桿為研究對象0,0( )0,2200,0yAyByBAxAyxAxBxFFFPMFFaFaPaFFF解得：解得：,1.5 ,AxAyBxFP FP FP代入（代入（3）式解得：）式解得：CxFP ABCDaaaa2a2aPPByFBxFABAxFAxFP0,0(3)xBxCxFFF 求：求：A、D的約束力。的約束力。解：解：(1)取取BC桿為研究對象桿為研究對象2022-3-2249(3)取取CD桿為研究對象桿為研究對象0,00,0( )0,220

23、xDxCxyDyCyDDCxCyFFFFFFMFMFaFa解得：解得：0.5DxDyDFPFPMPa CxFCyFABCDaaaa2a2aPP解：解：MDDxFDyF求：求：A、D的約束力。的約束力。2022-3-2250qMABCDEH2m2m2m2m1m1m解：解：(1) 取取DE桿為研究對象桿為研究對象( )0,22 30110kNHDxDxMFM FqF 求：求： A、B的約束力。的約束力。已知：已知：q=50kN/m, M=80kNmqMEDHDxFDyFHEF2022-3-2251qMABCDEH2m2m2m2m1m1m(2) 取取BDC桿為研究對象桿為研究對象NN( )0,130

24、110kN3CDxBBMFFFF (3) 取整體為研究對象取整體為研究對象NN0,00,20( )0,62 30 xAxByAyAABFFFFFqMFMM Fq 110kN,100kN,30AxAyAFFM解得：解得：BCDDxFDyFCyFCxFNBFMAAxFAyFNBF2022-3-2252求：求： A、E處的約束力。處的約束力。已知：已知：G=1000 NFAx= 2075 N, FAy= -1000 N FEx= -2075 N, FEy= 2000 NGAxFAyFExFEyFExFEyFBxFByFTF2022-3-2253求：求： A、B 、C處的約束力。BCMNBCMFFl2

25、00 250 2 N250 2 NN mAxAyAFFM 300+ 1000 2-300已知：已知：F = 500 N, M = 600 N.m q = 250 N/mBCDA2mMq2m3mFBqDAFMAAxFAyFBFCFBF2022-3-2254 桁架的桿件都是直的；桁架的桿件都是直的； 桿件用光滑的鉸鏈連接；桿件用光滑的鉸鏈連接；載荷均作用在節點上；載荷均作用在節點上； 重量平均分配在節點上。重量平均分配在節點上。理想桁架理想桁架 桁架是一種由桿件彼此在兩端桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結構，它在受力用鉸鏈連接而成的結構，它在受力后幾何形狀不變。桁架中桿件的鉸后幾何形狀不

26、變。桁架中桿件的鉸鏈接頭稱為鏈接頭稱為節點節點。4-6 平面簡單桁架的內力計算平面簡單桁架的內力計算桁架的優點是桁架的優點是：桿件主要承受拉力：桿件主要承受拉力或壓力，可以充分發揮材料的作用，或壓力，可以充分發揮材料的作用，節約材料，減輕結構的重量。節約材料，減輕結構的重量。桁架中各桿均為桁架中各桿均為二力桿二力桿平面桁架平面桁架空間桁架空間桁架2022-3-2255 節點法節點法 截面法截面法 在一個基本三角形框架上每增加在一個基本三角形框架上每增加二個桿件的同時增加一個節點而二個桿件的同時增加一個節點而形成的桁架。如圖示。形成的桁架。如圖示。計算桁架桿件內力的方法：計算桁架桿件內力的方法：

27、逐個考慮桁架中所有節點的平衡，利用平面匯逐個考慮桁架中所有節點的平衡，利用平面匯交力系的平衡方程求出各桿的內力。交力系的平衡方程求出各桿的內力。截斷待求內力的桿件，將桁架截割為兩部分，截斷待求內力的桿件，將桁架截割為兩部分，取其中的一部分為研究對象，應用平面任意力取其中的一部分為研究對象，應用平面任意力系的平衡方程求出被截割各桿件的內力。系的平衡方程求出被截割各桿件的內力。2022-3-2256求：求： 桁架各桿件的內力。桁架各桿件的內力。已知：已知：F=10kN解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象42 = 0BFF = 0AxF1= 0,= 5KN2AxAyBFFFF42 = 0

28、AyFF ( )0BMF，( )0AMF，0 xF，解得：解得：(2) 取節點取節點A為研究對象為研究對象A= 0 xF= 0yF12cos30= 0FF1sin30 = 0AyFF解得：解得：12= 10KN,= 8.66KNFFAyFAxF30A21DCB54330FByFAyF1F2F2022-3-22575F3FF143() sin30= 0FFF(4) 再再取節點取節點D為研究對象為研究對象(3) 取節點取節點C為研究對象為研究對象= 0 xF= 0yF14cos30cos30 = 0FF解得：解得：43= 10KN,=10KNFFCF2D= 0 xF52= 0FF解得：解得：522

29、= 8.66KNFFF 綜上，桿綜上，桿1 1和桿和桿4 4受壓力，大小均為受壓力，大小均為1010KN；桿；桿2 2、3 3、5 5受拉力，大小分別為受拉力，大小分別為8.66 8.66 KN，10 10 KN，8.66 8.66 KN。30A21DCB54330FByFAyFAxF4F1F3F2022-3-2258求：圖示桁架各桿的力。求：圖示桁架各桿的力。 解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象= 0,20= 0= 0,40= 0( ) = 0,5 120= 0 xAxyAyByAByFFFFFMFF 20kN16kN24kNAxAyByFFF 解得：解得：10kN10kN10

30、kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNCAyFAxFByF2022-3-2259(2) 取節點取節點C為研究對象為研究對象21= 0,20= 0= 0,= 0 xyFFFF解得：解得：kN20021FF(3) 取節點取節點 A為研究對象為研究對象4313= 0,cos45 = 0= 0,sin45 = 0 xAxyAyFFFFFFFF3416 2 KN36 KNFF 解得：解得：依此類推，可求得依此類推，可求得其余各桿內力。其余各桿內力。10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020

31、kNCAyFAxFByF20kNC1F2FA1F3F4FAyFAxF2022-3-2260解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象= 0,20= 0= 0,40= 0( ) = 0,5 120= 0 xAxyAyByAByFFFFFMFF 20kN16kN24kNAxAyByFFF 解得：解得：10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNCAyFAxFByF求：桁架求：桁架6、7、8各桿的力。各桿的力。 2022-3-226110kN10kN10kN10kNAB123456789101114121315161718192

32、12020kNC(2) 根據解題的需根據解題的需要，假想用一截面要，假想用一截面截斷體系。截斷體系。(3) 取某一部分為研究對象，計算所求桿件內力。取某一部分為研究對象，計算所求桿件內力。mn7687= 0,sin4510= 0( ) = 0,11 20 1= 0( )0,121 10 1= 0yAyDAyCAxFFFMFFFMFFFF 67836KN,6 2 KN,42KN.FFF AyFAxFByFD220kNC10kNA13458F6F7FAyFAxF2022-3-2262aaaaaa21ABECD求：桁架求：桁架1、2桿的力。桿的力。 解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象N

33、N= 0,= 0= 0,= 0( ) = 0,3= 0 xAxyAyBABFFFFFPMFFaP a= 0,= 2/3,=/3AxAyByFFPFP解得：解得：(2) 取內部三角形為研究對象取內部三角形為研究對象22( ) = 0,0.5cos0.5sin0.5 = 0EMFPaFaFa3/52PF 解得：解得：AyFAxFNBFPPE3F2F4F5F2022-3-2263aaaaaa21ABECD(2) 取內部三角形為研究對象取內部三角形為研究對象22( ) = 0,0.5cos0.5sin0.5 = 0EMFPaFaFa3/52PF 解得：解得：AyFAxFNBFPPE3F2F4F5F(3

34、)取節點取節點 A 為研究對象為研究對象12= 0,sin= 0yAyFFFFPF1解得：解得：A2F6F1FAyFAxF2022-3-2264123456789101112131415161718192021222324求：圖示桁架中受力求：圖示桁架中受力為零的桿件。為零的桿件。 解：由節點法可知解：由節點法可知(a) 圖中受力為零的圖中受力為零的桿件有：桿件有：3、12、9。(b) 圖中受力為零的圖中受力為零的桿件有：桿件有：1、3、4、13、14、12、11、17、21。123456789101112132F1F2022-3-22651. 力的平移定理：力的平移定理：平移一力的同時必須附加一力偶，附加力偶的平移一力的同時必須附加一力偶，附加力偶的矩等于原來的力對新作用點的矩。矩等于原來的力對新作用點的矩。2. 平面任意力系向平面內任選一點平面任意力系向平面內任選一點O簡化，一般情況下，可得一簡化，一般情況下，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，即個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，即R=1=1=1nnnixy