1、第9課時 函數(shù)與方程1.函數(shù)的零點函數(shù)的零點(1)對于函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，我們把，我們把使使f(x)0的實數(shù)的實數(shù)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)yf(x)的的 (2)方程方程f(x)0有解有解函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象的圖象 函數(shù)函數(shù)yf(x)有零點有零點基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理零點零點與與x軸有交點軸有交點基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理1.所有的函數(shù)都有零點嗎？所有的函數(shù)都有零點嗎？【思考思考提示提示】并非任意并非任意函數(shù)都有零點，只有函數(shù)都有零點，只有f(x)0有根有根的函數(shù)的函數(shù)yf(x)才有零點才有零點(3)如果函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并上的圖象是連續(xù)不斷

2、的一條曲線，并且有且有 ，那么函數(shù)，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)有零點，即存在內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得，使得 ，這個，這個 也就也就是方程是方程f(x)0的根的根基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理f (a)f(b)0(a，b)f(c)0c基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理2.在上面的條件下，在上面的條件下，(a，b)內(nèi)的零點有幾個？內(nèi)的零點有幾個？【思考思考提示提示】在上面的在上面的條件下，條件下，(a，b)內(nèi)的零點至少有內(nèi)的零點至少有一個一個c，還可能有其他零點，個，還可能有其他零點，個數(shù)不確定數(shù)不確定 2二分法二分法 (1)二分法的定義二分法的定義 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且上連續(xù)

3、不斷且 的函數(shù)的函數(shù)yf(x)，通過不斷地，通過不斷地把函數(shù)把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間的零點所在的區(qū)間 ，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點零點，進而，進而得到零點近似值的方法叫做二分法得到零點近似值的方法叫做二分法基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理f(a)f(b)0一分為二一分為二基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理 (2)用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)f(x)零點近似零點近似值的步驟值的步驟 第一步：確定區(qū)間第一步：確定區(qū)間a，b，驗證，驗證 ，給定精確度，給定精確度. 第二步：求區(qū)間第二步：求區(qū)間(a，b)的中點的中點x1.f(a)f(b)0第三步：計算第三步：計算 ：若若 ，則，則x1就

4、是函數(shù)的就是函數(shù)的零點；零點；若若 ，則令，則令bx1(此此時零點時零點x0(a，x1)；若若 ，則令，則令ax1(此此時零點時零點x0(x1，b)；基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理f(x1)0f(a)f(x1)0f(x1)f(b)0f(x1)第四步：判斷是否達到精確度第四步：判斷是否達到精確度：即若即若|ab|0且且a1)有兩個零有兩個零點，則實數(shù)點，則實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_答案：答案：a1三基能力強化三基能力強化函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法：種方法：(1)直接求零點：令直接求零點：令f(x)0，如，如果能求出解，則有幾個解就有幾個果能求出解，則有幾個解就有幾

5、個零點零點課堂互動講練課堂互動講練考點一考點一函數(shù)的零點函數(shù)的零點(2)零點存在性定理：利用該定零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在理不僅要求函數(shù)在a，b上是連續(xù)的上是連續(xù)的曲線，且曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性如單調(diào)性)才能確定才能確定函數(shù)有多少個零點函數(shù)有多少個零點課堂互動講練課堂互動講練(3)畫兩個函數(shù)圖象，看其交畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點不同的零點課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練判斷下列函

6、數(shù)在給定區(qū)間上是否存判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點在零點(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)x3x1，x1,2；(3)f(x)log2(x2)x，x1,3【思路點撥思路點撥】判定函數(shù)在端判定函數(shù)在端點處的函數(shù)值正負，然后判斷是否點處的函數(shù)值正負，然后判斷是否存在零點存在零點課堂互動講練課堂互動講練【解解】(1)(1)法一法一：因為：因為f(1)200，所以所以f(1)f(8)0，故故f(x)x23x18，x1,8存在零點存在零點法二法二：令：令x23x180，解得解得x3或或6，所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)x23x18，x1,8存在零點存在零點課堂互動講練課堂互動講練(2)f

7、(1)10，f(1)f(2)log2210.f(3)log2(32)3log2830.f(1)f(3)0.故故f(x)log2(x2)x，x1,3存在零點存在零點課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】函數(shù)的零點函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種：存在性問題常用的辦法有三種：一是用定理，二是解方程，三是一是用定理，二是解方程，三是用圖象用圖象課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】借助函數(shù)零點借助函數(shù)零點存在性定理和函數(shù)在存在性定理和函數(shù)在 1,11,1上的上的單調(diào)性來判斷單調(diào)性來判斷f(x)在在1,1上是單調(diào)遞增函數(shù)，上是單調(diào)遞增函數(shù)，f(x)在在1,1上有

8、且只有一個零點上有且只有一個零點課堂互動講練課堂互動講練【規(guī)律小結(jié)規(guī)律小結(jié)】方程的根或函數(shù)零方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以根據(jù)區(qū)間端點處點的存在性問題，可以根據(jù)區(qū)間端點處的函數(shù)值的正負來確定，但要確定零點的函數(shù)值的正負來確定，但要確定零點的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)是單調(diào)性，在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)是單調(diào)的，它至多有一個零點，如果不是單調(diào)的，它至多有一個零點，如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)細分出小的單調(diào)區(qū)間，單調(diào)的，可繼續(xù)細分出小的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合這些小的區(qū)間的端點處函數(shù)值的再結(jié)合這些小的區(qū)間的端點處函數(shù)值的正負，作出正確判

9、斷正負，作出正確判斷課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練若例若例2中中x的范圍改為的范圍改為R，試，試回答原來問題回答原來問題解：解：f(x)42x2x2，令令f(x)0，x2，1.x2是是f(x)的極大值點的極大值點課堂互動講練課堂互動講練1用二分法求函數(shù)的零點時，最用二分法求函數(shù)的零點時，最好是利用表格，將計算過程所得到各好是利用表格，將計算過程所得到各個區(qū)間、中點坐標(biāo)、區(qū)間中點的函數(shù)個區(qū)間、中點坐標(biāo)、區(qū)間中點的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也可利用數(shù)軸來表示這一過程；可利用數(shù)軸

10、來表示這一過程；課堂互動講練課堂互動講練考點二考點二用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解2在確定方程近似解所在的區(qū)在確定方程近似解所在的區(qū)間時，轉(zhuǎn)化為求方程對應(yīng)函數(shù)的零點間時，轉(zhuǎn)化為求方程對應(yīng)函數(shù)的零點所在的區(qū)間，找出的區(qū)間所在的區(qū)間，找出的區(qū)間a，b長度長度盡可能小，且滿足盡可能小，且滿足f(a)f(b)0.課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練求方程求方程2x33x30的一個的一個近似解近似解(精確度為精確度為0.1)【思路點撥思路點撥】令方程左邊令方程左邊為為f(x)，找，找f(x)存在零點的區(qū)間存在零點的區(qū)間a，b用二分法求用二分法求f(x)的零點的零點得方得方程的近

11、似解程的近似解【解解】設(shè)設(shè)f(x)2x33x3.經(jīng)計算經(jīng)計算，f(0)30，所以函數(shù)在所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點內(nèi)存在零點，即方程即方程2x33x30在在(0,1)內(nèi)有解內(nèi)有解取取(0,1)的中點的中點0.5，經(jīng)計算經(jīng)計算f(0.5)0，所以方程所以方程2x33x30在在(0.5,1)內(nèi)有解內(nèi)有解，課堂互動講練課堂互動講練如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表數(shù)解所在的區(qū)間，如下表. .課堂互動講練課堂互動講練至此，可以看出方程的根落在至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長度小于區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間的區(qū)間(0.6875,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點

12、內(nèi)，可以將區(qū)間端點0.6875作為函數(shù)作為函數(shù)f(x)零點的近似值因此零點的近似值因此0.6875是方是方程程2x33x30精確度為精確度為0.1的一個的一個近似解近似解課堂互動講練課堂互動講練【思維總結(jié)思維總結(jié)】求函數(shù)零點的求函數(shù)零點的近似值的關(guān)鍵是利用二分法求值過近似值的關(guān)鍵是利用二分法求值過程中，區(qū)間長度是否小于精確度程中，區(qū)間長度是否小于精確度，當(dāng)區(qū)間長度小于精確度，當(dāng)區(qū)間長度小于精確度時，時，運算即告結(jié)束運算即告結(jié)束課堂互動講練課堂互動講練有些問題利用零點求參數(shù)的范有些問題利用零點求參數(shù)的范圍，可利用方程，但有時不易甚至圍，可利用方程，但有時不易甚至不可能解出，而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩函數(shù)不可

13、能解出，而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩函數(shù)圖象求解，使得問題簡單明了這圖象求解，使得問題簡單明了這也體現(xiàn)了當(dāng)不是求零點，而是求零也體現(xiàn)了當(dāng)不是求零點，而是求零點的個數(shù)，或有零點時求參數(shù)的范點的個數(shù)，或有零點時求參數(shù)的范圍，一般采用數(shù)形結(jié)合法求解圍，一般采用數(shù)形結(jié)合法求解課堂互動講練課堂互動講練考點三考點三函數(shù)零點的綜合應(yīng)用函數(shù)零點的綜合應(yīng)用課堂互動講練課堂互動講練(解題示范解題示范)(本題滿分本題滿分12分分)(1)若若g(x)m有零點，求有零點，求m的取的取值范圍；值范圍；(2)確定確定m的取值范圍，使得的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個相異實根有兩個相異實根【思路點撥思路點撥】(1)g(x)m有零有

14、零點，可以結(jié)合圖象也可以解方程點，可以結(jié)合圖象也可以解方程(2)利用圖象求解利用圖象求解課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練等號成立的條件是等號成立的條件是xe， 3分分故故g(x)的值域是的值域是2e，)，因而只需因而只需m2e，則，則g(x)m就有就有零點零點. 5分分課堂互動講練課堂互動講練 3分分可知若使可知若使g(x)m有零點，則有零點，則只需只需m2e. 5分分課堂互動講練課堂互動講練(2)若若g(x)f(x)0有兩個相異的有兩個相異的實根實根，即即g(x)f(x)中中g(shù)(x)與與f(x)的圖象有的圖象有兩個不同的交點兩個不同的交點課堂互動講練課堂互動講練f(x)x22

15、exm1(xe)2m1e2.課堂互動講練課堂互動講練其圖象對稱軸為其圖象對稱軸為xe，開口，開口向下，最大值為向下，最大值為m1e2. 10分分故當(dāng)故當(dāng)m1e22e，即即me22e1時，時，g(x)與與f(x)有兩個交點，有兩個交點，即即g(x)f(x)0有兩個相異實有兩個相異實根根m的取值范圍是的取值范圍是(e22e1，). 12分分【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】在討論在討論g(x)f(x)0有兩個相異實數(shù)根時，求有兩個相異實數(shù)根時，求g(x)的最小值小于的最小值小于f(x)的最大值時的最大值時不能取到等號不能取到等號課堂互動講練課堂互動講練(本題滿分本題滿分12分分)若函數(shù)若函數(shù)f(x)|4xx2|

16、a，求滿足下列條件，求滿足下列條件a的值的值(1)有兩個零點；有兩個零點；(2)有三個零點；有三個零點；(3)無零點；無零點；(4)有四個零點有四個零點課堂互動講練課堂互動講練解解：函數(shù)：函數(shù)f(x)|4xx2|a有零點，有零點，等價于等價于|4xx2|a0有實根，即有實根，即|4xx2|a有實根，令有實根，令g(x)|4xx2|，h(x)a，則上述問題等價于則上述問題等價于g(x)與與h(x)有交有交點，故作出點，故作出g(x)的圖象，由圖象可知：的圖象，由圖象可知：課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練(1)當(dāng)當(dāng)-a=0或或-a4，即，即a=0或或a-4時，時，g(x)與與h(x

17、)有兩個交點，即有兩個交點，即f(x)有兩個零點；有兩個零點； 4分分(2)當(dāng)當(dāng)a4，即，即a4時，時，h(x)與與g(x)的圖象有三個交的圖象有三個交點，即點，即f(x)有三個零點有三個零點. 6 分分課堂互動講練課堂互動講練(3)當(dāng)當(dāng)a0，即，即a0時，時，g(x)與與h(x)圖象無交點；圖象無交點；即即f(x)無零點無零點. 8分分(4)當(dāng)當(dāng)0a4，即，即4a0時，時，g(x)與與h(x)圖象有四個交點，圖象有四個交點，即即f(x)有四個零點有四個零點. 10分分綜上所述：綜上所述：(1)當(dāng)當(dāng)a0或或a4時，時，f(x)有兩個零點有兩個零點(2)當(dāng)當(dāng)a4時，時，f(x)有三個零點；有三個

18、零點；(3)當(dāng)當(dāng)a0時，時，f(x)無零點無零點(4)當(dāng)當(dāng)4a0時，時，f(x)有四個零點有四個零點. 12分分課堂互動講練課堂互動講練1函數(shù)零點的理解函數(shù)零點的理解(1)函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，實質(zhì)是軸的交點的橫坐標(biāo)，實質(zhì)是同一個問題的三種不同表達形式，方同一個問題的三種不同表達形式，方程根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，亦程根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，亦即函數(shù)圖象與即函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)軸交點的個數(shù)規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)(2)變號零點與不變號零點變號零點與不變號零點若函數(shù)若函數(shù)f(x)在零點在零點x0左右兩側(cè)的函數(shù)值左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則稱該零點為函數(shù)異號，則稱該零點為函數(shù)f(x)的變號零點的變號零點若函數(shù)若函數(shù)f(x)在零點在零點x0左右兩側(cè)的函數(shù)值左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，則稱該零點為函數(shù)同號，則稱該零點為函數(shù)f(x)的不變