1、Matlab課程設計 目錄摘要2ABSTRACT31 MATLAB簡介41.1 MATLAB的概況41.2 MATLAB產生的歷史背景41.3 MATLAB的語言特點51.4 MATLAB界面介紹61.4.1工作環境窗口61.4.2當前路徑窗口72. 數字濾波器82.1數字濾波器的概念82.2數字濾波器的分類82.3數字濾波器的設計要求103. IIR數字濾波器的設計103.1設計原理103.2設計步驟114.切比雪夫IIR數字濾波器125.雙線性變換法設計IIR數字濾波器135.1設計原理135.2雙線性變換的優缺點156. 數字切比雪夫高通IIR濾波器設計186.1設計流程圖186.2程序

2、設計及運行結果196.2.1設計過程196.2.2運行結果217小結238參考文獻24Matlab課程設計摘要在現代通信系統中，由于信號中經常混有各種復雜成分，所以很多信號分析都是基于濾波器而進行的，而數字濾波器是通過數值運算實現濾波，具有處理精度高、穩定、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現模擬濾波器無法實現的特殊濾波功能。數字濾波器根據其沖激響應函數的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)數字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數字濾波器。實現IIR濾波器的階次較低，所用的存儲單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優良特性，因此應用很廣。Matlab軟件以矩陣運算為基礎

3、，把計算、可視化及程序設計有機融合到交互式工作環境中，并且為數字濾波的研究和應用提供了一個直觀、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信號處理工具箱使各個領域的研究人員可以直觀方便地進行科學研究與工程應用。本文首先介紹了數字濾波器的概念，分類以及設計要求。接著又逐步介紹了IIR數字濾波器，切比雪夫IIR數字濾波器，以及用雙線性變換法設計IIR數字濾波器。本文重點設計了基于雙線性變換的數字切比雪夫高通IIR濾波器。關鍵詞：Matlab 雙線性 切比雪夫IIR 高通濾波器ABSTRACTIn modern communication systems, Because often mixed wi

4、th various signal complex components, So many signal analysis is based on filters, and the digital filter is realized through numerical computation, digital filters filter with high precision, stability and flexibility, don't exist, can realize the impedance matching simulating the special filte

5、r cannot achieve filter function. Digital filter according to its impulse response function and characteristics of the time can be divided into two kinds, namely the infinite impulse response (IIR) digital filter and finite impulse response (FIR digital filters). The order of realizing IIR filter is

6、 used, low and high efficiency less storage unit, high precision, and can keep some simulation characteristics of filter, so it is widely used. Matlab software based on matrix computation, the calculation, visualization and program design of organic integration to interactive environment for digital

7、 filter, and the research and application of provides an intuitive, efficient and convenient tool. Especially in the Matlab signal processing to all areas of research toolbox personnel can easily for scientific research and engineering application. This paper introduces the concept of digital filter

8、s, classification and design requirements.Then he gradually introduced the IIR digital filter, Chebyshev IIR digital filters, and using the bilinear transform IIR digital filter design.This article focuses on the design of the figures based on the bilinear transform Chebyshev high-pass IIR filter. K

9、eywords: Matlab bilinear IIR Chebyshev high-pass filter1 MATLAB簡介 1.1 MATLAB的概況 MATLAB是矩陣實驗室（MatrixLaboratory）之意。除具備卓越的數值計算能力外，它還提供了專業水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。 MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學，工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C、FORTRAN等語言完相同的事情簡捷得多。 MATLAB包括擁有數百個內部函數的主包和三十幾種工具包(Toolbox)。工具包又可以分為功能性工具包和學科

10、工具包。功能工具包用來擴充MATLAB的符號計算、可視化建模仿真、文字處理及實時控制等功能。學科工具包是專業性比較強的工具包、控制工具包、信號處理工具包、通信工具包等都屬于此類。開放性使MATLAB廣受用戶歡迎.除內部函數外，所有MATLAB主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件，用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構造新的專用工具包。 1.2 MATLAB產生的歷史背景 在70年代中期，Cleve Moler博士和其同事在美國國家科學基金的資助下開發了調用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序庫。到70年代后期，身為美國New Mexico大學計算機系系主任的Cleve

11、Moler，利用業余時間為學生編寫EISPACK和LINPACK的接口程序。Cleve Moler給這個接口程序取名為MATLAB。在以后的數年里，MATLAB在多所大學里作為教學輔助軟件使用，并作為面向大眾的免費軟件廣為流傳。1983年，工程師John Little.John Little和Cleve Moler，Steve Bangert一起，用C語言開發了第二代專業版。這一代的MATLAB語言同時具備了數值計算和數據圖示化的功能。 1984年，Cleve Moler和John Little成立了Math Works公司，正式把MATLAB推向市場，并繼續進行MATLAB的研究和開發。Ma

12、thWorks公司順應多功能需求之潮流，在其卓越數值計算和圖示能力的基礎上又率先在專業水平上開拓了其符號計算、文字處理、可視化建模和實時控制能力，開發了適合多學科、多部門要求的新一代科技應用軟件MATLAB。 時至今日，經過MathWorks公司的不斷完善，MATLAB已經發展成為適合多學科，多種工作平臺的功能強大大大型軟件。在國外，MATLAB已經成為線性代數，自動控制理論，數理統計，數字信號處理，時間序列分析，動態系統仿真等高級課程的基本教學工具；成為攻讀學位的大學生，碩士生，博士生必須掌握的基本技能。在設計研究單位和工業部門，MATLAB被廣泛用于科學研究和解決各種具體問題。在國內，特別

13、是工程界，MATLAB一定會盛行起來。可以說，無論你從事工程方面的哪個學科，都能在MATLAB里找到合適的功能。 1.3 MATLAB的語言特點 MATLAB最突出的特點就是簡潔。MATLAB用更直觀的，符合人們思維習慣的代碼，代替了C和FORTRAN語言的冗長代碼。MATLAB給用戶帶來的是最直觀，最簡潔的程序開發環境。以下簡單介紹一下MATLAB的主要特點： 1語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數極其豐富。MATLAB程序書寫形式自由，利用起豐富的庫函數避開繁雜的子程序編程任務，壓縮了一切不必要的編程工作。由于庫函數都由本領域的專家編寫，用戶不必擔心函數的可靠性。 2運算符豐富。由于MATL

14、AB是用C語言編寫的，MATLAB提供了和C語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用MATLAB的運算符將使程序變得極為簡短。 3MATLAB既具有結構化的控制語句（如for循環，while循環，break語句和if語句），又有面向對象編程的特性。 4程序限制不嚴格，程序設計自由度大。例如，在MATLAB里，用戶無需對矩陣預定義就可使用。 5程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計算機和操作系統上運行。 6MATLAB的圖形功能強大。在FORTRAN和C語言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數據的可視化非常簡單。MATLAB還具有較強的編輯圖形界面的能力。 7MATLAB的缺點是，

15、它和其他高級程序相比，程序的執行速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預處理，也不生成可執行文件，程序為解釋執行，所以速度較慢。 8功能強大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLAB包含兩個部分：核心部分和各種可選的工具箱。核心部分中有數百個核心內部函數。其工具箱又分為兩類：功能性工具箱和學科性工具箱。 9源程序的開放性。開放性也許是MATLAB最受人們歡迎的特點。除內部函數以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件，用戶可通過對源文件的修改以及加入自己的文件構成新的工具箱。 1.4 MATLAB界面介紹 1.4.1工作環境窗口 MATLAB7.0啟動后，產生的工

16、作環境界面如圖所示，它包含一個工具欄、三個區域、四個工作窗口。四個工作窗口分別為指令窗口(Command Windows)、指令歷史窗口(command history)、工作空間窗口(workspace)和當前路徑窗口(current directory)。MATLAB工作環境窗口如圖1所示：圖1.1 MATLAB工作環境窗口 1.4.2當前路徑窗口 當前路徑窗口如圖2所示：圖1.2 當前路徑窗口2. 數字濾波器 2.1數字濾波器的概念 濾波器是指用來對輸入信號進行濾波的硬件和軟件。數字濾波器是對數字信號實現濾波的線性時不變系統。數字濾波器可以理解為是一個計算程序或算法，將代表輸入信號的數字

17、時間序列轉化為代表輸出信號的數字時間序列，并在轉化過程中，使信號按預定的形式變化。數字濾波實質上是一種運算過程，實現對信號的運算處理。數字濾波器和模擬濾波器相比，因為信號的形式和實現濾波的方法不同，數字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優點。輸入數字信號（數字序列）通過特定的運算轉變為輸出的數字序列，因此，數字濾波器本質上是一個完成特定運算的數字計算過程，也可以理解為是一臺計算機。描述離散系統輸出與輸入關系的卷積和差分方程只是給數字信號濾波器提供運算規則，使其按照這個規則完成對輸入數據的處理。時域離散系統的頻域特性：（式2.1）其中、分別是數字濾波器的輸

18、出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜經過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇，使得濾波后的滿足設計的要求，這就是數字濾波器的濾波原理。 2.2數字濾波器的分類 按照不同的分類方法，數字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經典濾波器和現代濾波器。經典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達到濾波的目的。但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復信號

19、，這時就需要現代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器。現代濾波器是根據隨機信號的一些統計特性，在某種最佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地回復信號，從而達到最佳濾波的目的。 經典數字濾波器從濾波特性上分類，可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。圖2.1 各種理想濾波器的幅頻特性 數字濾波器根據其沖激響應函數的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)數字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數字濾波器。IIR 數字濾波器的特征是，具有無限持續時間沖激響應，需要用遞歸模型來實現，其差分方程為： （式2.2）系統函數為： （式2.3）設計IIR

20、濾波器的任務就是尋求一個物理上可實現的系統函數H(z)，使其頻率響應H(z)滿足所希望得到的頻域指標，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數和阻帶衰減系數。 2.3數字濾波器的設計要求 濾波器的指標常常在頻域給出。數字濾波器的頻響特性函數一般為復函數，所以通常表示為：（式2.4） 其中，|稱為幅頻特性函數，(w)稱為相頻特性函數。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時間上的延時情況。一般IIR數字濾波器，通常只用幅頻響應函數|來描述設計指標，相頻特性一般不作要求。 IIR濾波器指標參數如下圖所示。圖中，p和s分別為通帶邊界頻率和阻

21、帶邊界頻率；1和2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數表示，通帶內所允許的最大衰減（dB）和阻帶內允許的最小衰減（dB）分別為p和s表示：（式2.5）（式2.6）一般要求： 當時，；當時，。3. IIR數字濾波器的設計 3.1設計原理 IIR數字濾波器是一種離散時間系統，其系統函數為：（式3.1）假設MN，當MN時,系統函數可以看作一個IIR的子系統和一個(M-N)的FIR子系統的級聯。IIR數字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數和，它是數學上的一種逼近問題，即在規定意義上（通常采用最小均方誤差準則）去逼近系統的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，

22、就得到數字濾波器。 3.2設計步驟 IIR數字濾波器的設計一般有兩種方法：一個是借助模擬濾波器的設計方法進行。其設計步驟是，先設計模擬濾波器，再按照某種方法轉換成數字濾波器。這種方法比較容易一些，因為模擬濾波器的設計方法已經非常成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時域內進行，由于需要解聯立方程，設計時需要計算機做輔助設計。其設計步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統函數，然后將按某種方法轉換成數字濾波器的系統函數。這是因為模擬濾波器的設計方法已經很成熟，不僅有完整設計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優良濾波器類型可供我們使用。 為了保證轉

23、換后的穩定且滿足技術指標要求，對轉換關系提出兩點要求: 因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定的。 數字濾波器的頻率相應模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應的頻率之間呈線性關系。 利用模擬濾波器成熟的理論設計IIR數字濾波器的過程是： (1)確定數字低通濾波器的技術指標：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。 (2)將數字低通濾波器的技術指標轉換成相應的模擬低通濾波器的技術指標。 (3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計過渡模擬低通濾波器。(4)用所選的轉換方法，將模擬濾波器轉換成數字低通濾波器系統函數。成熟的模擬濾波器設計方法主要有脈沖

24、響應不變法和雙線性變換法。4.切比雪夫IIR數字濾波器在巴特沃茲濾波器中，幅度響應在通帶和阻帶內都是單調的。因此，若濾波器的技術要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會超出技術指標。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內，或同時在通帶和阻帶內都均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾波器階次。通過選擇一種具有等波紋特性而不是單調特性的逼近方法可以實現這一點。切比雪夫型濾波器就具有這種性質：其頻率響應的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調的（稱為I型切比雪夫濾波器），也可以在通帶中是單調的，而在阻帶中是等波紋的（稱為II

25、型切比雪夫濾波器）。I型切比雪夫濾波器的幅度平方函數是： = (4.1)式中為N階切比雪夫多項式，定義為： (4.2)從定義切比雪夫多項式的 (4.5)式可以直接得出由和求的遞推公式。將三角恒等式代入 (4.2)式，得： =2x- (4.3)從 (4.5)式我們注意到，當0<x<1時，在0和1之間變化；當x>1時，是虛數，所以像雙曲余弦一樣單調地增加。參考(4.1)式，對于01呈現出在1和1/（）之間的波動；而對于1單調地減小。需要用三個參量來確定該濾波器：，和N。在典型的設計中，用容許的通帶波紋來確定，而用希望的通帶截止頻率來確定。然后選擇合適的階次N，以便阻帶的技術要求得

26、到滿足。切比雪夫濾波器的極點在S平面上呈橢圓分布。他們的直徑分別等于橢圓短軸和長軸。短軸的長度等于2a ,其中： a=-Error! Reference source not found.) (4.4) 式中： =+ (4.5)長軸的長度等于2b，其中： B=(+Error! Reference source not found.) (4.6)為了求切比雪夫濾波器在橢圓上極點的位置，我們首先要這樣確定，在大圓和小圓上以等角度 等間隔排列的那些點：這些點對于虛軸呈對稱分布，并且沒有一個點落在虛軸上；但當N為奇數時要有一個點落在實軸上，而當N為偶數時，就都不會落在實軸上。切比雪夫濾波器的極點落在橢

27、圓上，起縱坐標由相應的大圓上點的縱坐標來表示，起橫坐標由相應的小圓上點的橫坐標來表示。切比雪夫濾波器是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。在通帶波動的為“I型切比雪夫濾波器”，在阻帶波動的為“II型切比雪夫濾波器”。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內存在幅度波動。5.雙線性變換法設計IIR數字濾波器 5.1設計原理 脈沖響應不變法的主要缺點是產生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率

28、軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象。圖5.1雙線性變換的映射關系 為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現： （式5.1） 式中,T仍是采樣間隔。 當1由-/T經過0變化到/T時，由-經過0變化到+，也即映射了整個j軸。將式（5.1）寫成（式5.2）將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，

29、令j=s，j1=s1，則得： （式5.3） 再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面：（式5.4） 從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為：（式5.5）（式5.6）式（5.5）與式（5.6）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換。式（5.1）與式（5.5）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。 首先,把z=ej，可得：（式5.7） 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。 其次，將s=+j代入式（5.7），得： （式5.8） 因此： （式5.9）由此看出，當<0時，|z|<1；當>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半

30、平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是穩定的。 5.2雙線性變換的優缺點雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關系。S平面整個j軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（5.5）所示，重寫如下： （式5.10）上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關系，如圖5.1所示。由圖5.1看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數字頻率之間的變換關系接近于線性關系；但當進一步增加時，

31、增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象，從而消除了頻率混疊現象。圖5.2雙線性變換法的頻率變換關系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，如式（5.7）及圖5.1所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字

32、濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖5.2所示。圖5.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上。6. 數字切比雪夫高通IIR濾波器設計 6.1設計流程圖 數字切比雪夫高通IIR濾波器設計流程圖如下：開始確定數字濾波器的技術指標把數字濾波器頻率特征轉換成模擬濾波器的頻率特征Chebyshev II型濾波器參數計算（模擬域）創建Chebyshev濾

33、波器原型表達式從零極點增益形式轉換成狀態方程形式實現低通到高通濾波器類型的轉換采用雙線性變換法，從模擬高通到數字高通繪出頻率響應及幅頻曲線繪出輸入信號及輸出信號波形繪出輸入信號及輸出信號頻譜圖結束圖6.1數字切比雪夫高通IIR濾波器設計流程圖 6.2程序設計及運行結果 6.2.1設計過程數字濾波器的各項指標：fp=3000;fr=1500;fs=15000;rp=1;rs=50;把數字濾波器的頻率特征轉換成模擬濾波器的頻率特征：WP=fp*2*pi;WR=fr*2*pi;Chebyshev II型濾波器參數計算（模擬域）：N,wn=cheb1ord(WP,WR,rp,rs,'s'

34、;);創建Chebyshev濾波器原型：Z,P,K=cheb1ap(N,rp);表達式從零極點增益形式轉換成狀態方程形式：A,B,C,D=zp2ss(Z,P,K);實現低通到高通濾波器類型的轉換：AA,BB,CC,DD=lp2hp(A,B,C,D,wn);采用雙線性變換法，從模擬高通到數字高通：a,b,c,d=bilinear(AA,BB,CC,DD,fs); 表達式從狀態方程形形式轉換成傳輸函數形式：P,Q=ss2tf(a,b,c,d);繪出頻率響應及幅頻曲線：figure(1);subplot(211);freqz(P,Q);H,W=freqz(P,Q);axis(0,1,-100,20)

35、;subplot(212);plot(W*fs/(2*pi),abs(H);grid on;xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅值');繪出輸入信號及輸出信號波形：n=0:399;t=n/fs;x=sin(2*pi*1500*t)+2*sin(2*pi*3000*t)+3*sin(2*pi*4000*t);figure(2);subplot(211);plot(t,x);axis(0,0.005,-6,6);title('輸入信號');grid on;y=filter(P,Q,x);ya=y*sinc(fs*(ones(length(n),1)*t-(n/fs)'*ones(1,length(t);subplot(212);plot(t,ya); axis(0,0.005,-6