1、第2章 集合與函數2.1 2.1 集合集合2.2 2.2 函數的概念及性質函數的概念及性質2.3 2.3 反函數反函數2.4 2.4 指數函數指數函數2.5 2.5 對數函數對數函數2.1 集合集合一個家庭一個家庭一籃鮮花一次考試的科目共同點：共同點：組成它們的事物（整體的成員）是被指定的。集合的概念集合的概念 在數學里，我們用集合集合（簡稱集集）這個概念來表示由一些指定的事物組成的整體。集合中的每個事物稱為該集合的元素元素。 通常，事物a是集合M的一個元素記作aM ，讀作a屬于M；事物a不是集合M的一個元素記作a M ，讀作a不屬于M。 在數學中，由數字組成的集合稱為數集數集、由方程或不等式

2、的解組成的集合稱為解集解集。 把含有有限個元素的集合稱為有限集有限集。 把含有無限個元素的集合稱為無限集無限集。 把沒有任何元素的集合稱為空集空集，記作。一些常用的數集都有特定的記法，如下表所示 集集 合合 表表 述述集集 合合 名名 稱稱集集 合合 符符 號號自然數（即非負整數）的全體自然數集自然數集（非負整數非負整數集集）正整數的全體正整數集正整數集 整數的全體整數集整數集有理數的全體有理數集有理數集實數的全體實數集實數集正實數的全體正實數集正實數集 負實數的全體負實數集負實數集 1、將符號或 填入空格中。 7 ， 7.2 ， 11.4 ， ， 3.7 ， 。22、課本P39 知識鞏固1集

3、合的表示方法集合的表示方法列舉法 通過列舉集合的每個元素來表示集合的方法叫做列列舉法舉法。李明、張靜、李俊、李虹 數學、物理、語文、英語、機械設計、金屬加工 2、4、6、8 請同學們用身邊的事物舉例請同學們用身邊的事物舉例描述法 用特定條件指定集合的元素，從而表示集合的方法叫做描述法描述法。xx是本節“導入”所舉例中花束內的花 xx5 例題解析例題解析例例 用適當的方法表示下列集合：用適當的方法表示下列集合： （1）地球上的四大洋組成的集合。單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 例題解析例題解析 （2）所有大于或等于3的整數組成的集合。單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 例題解析例題解析 （3）使分式 有意義的所有

4、x組成的集合。單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續321x 例題解析例題解析 （4）一次函數 的圖像上所有的點組成的集合。單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續32 xy 例題解析例題解析 （5）所有的平行四邊形組成的集合。單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續提高練習提高練習 單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 1用列舉法表示下列集合：（1）大于3小于10的整數的全體。（2）方程2x-3=0的解集。 2用描述法表示下列集合 ：（1）不等式x2的解集。（2）大于0小于1的實數的全體。 課本P41 知識鞏固2 1、（1）（2）（3）（6）集合與集合的關系集合與集合的關系 通常，對于集合A和集合B，如果A的任何一個元素都是B的元素，那么兩者的關系

5、就是集合A包含于包含于集合B（或集合B包含包含集合A），記作 A B（或B A） 集合A包含于集合B也可說成集合A是集合B的子集子集。 集合與集合之間還存在相等相等的關系。如 xx21=0=-1，12、4、6、84、2、6、8 例題解析例題解析 例例 分別寫出下列各題中兩個集合之間的關系： （1）A2、4、6，B2、0、2、4、6、8 （2）A2、5， Bx | (x)(x)解解 （2）集合B的元素是方程(x5)(x2)=0的解，應該是5，2。可見，集合B的每個元素都屬于集合A；反之，集合A的每一個元素都屬于集合B。所以這兩個集合的關系是A = B （1）因為集合A的每一個元素都是集合B的元素

6、，而集合B的元素并不都是集合A的元素（比如0），所以兩者的關系是A B單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 用適當的符號 填入空格 。 Q R， Z， a b、c、d 22 x | x293、3 ()、 、區間的概念區間的概念設服務員身高為x米，根據上表，這四家飯店提出的要求可表示為飯店A：1.65x1.75 ； 飯店C：1.65x1.75 ；飯店B：1.65x1.75 ； 飯店D：1.65x1.75 。 四家飯店（A、B、C、D）招聘女服務員對身高的要求：飯店飯店1.65米米1.75米米A包括包括B不包括不包括C包括不包括D不包括包括 將這四家飯店的要求推廣到一般的情況。設身高的下限為a米，身高的上限為

7、b米（ab），則這四種要求可表示為axb axb axb axb 上述四種不等式可以對應實數x的四種集合。這四種集合都可用區間區間來表示，實數a和b稱為相應區間的端端點點。我們對這四種集合的具體規定如下： 除上面提到的四種集合外，符合不等式xa，xb， xa，xb的實數x的集合也可用區間表示，其表示方法與上面四種區間類似。 需注意的是，這些區間只有一個端點，另一端對應數軸的無窮遠處。 為此，我們規定：符號“”表示無窮大，“+”表示正無窮大，“”表示負無窮大。 用區間的形式表示下列各集合： （1）x5x2 （2）x | 3x8 （3）xx1 （4）xx52.2 函數的概念及性質函數的概念及性質水

8、的高度表示體積水的高度表示體積 水的上表面面積表示半徑水的上表面面積表示半徑V15h (圓柱的體積等于底面積乘以高)h的取值范圍就是0，10 Sr2r的取值范圍就是4，7 函數的概念函數的概念 一般地，設x、y是兩個變量，當x在某個數集D（即x的取值范圍）內取任意一個確定的值，按照某個確定的對應關系f ，y都有唯一的值與x對應，那么我們就說x是自變量是自變量，y是變量是變量x的函數的函數，數集D是這個函數的定義域定義域。 通常將y是x的函數記作yf（x），xD 當自變量x在定義域中取確定的值a時，它所對應的函數值記作f (a)所有函數值組成的集合叫做函數的值域。值域。 如果一個函數的定義域沒有

9、被特別指出，那么我們就認為這個函數的定義域是使函數表達式有意義的所有實數構成的集合。 例題解析例題解析 例例1 設f(x)x22x3，求f (0)、f(3)、f (3)、f(a)。 解解f(0)022033 f(3)322336f(3)(3)22(3)318 f(a)a22 a3 單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 例例2 求函數f(x) 的定義域 。 解解2x要使函數f(x)有意義，則 x20即 x2 因此，f (x)的定義域是2，） 單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 1設f (x)2x21，求：f(1)、f(1)，f(0)、f(b)。 2求函數f(x) 的定義域。 4x函數的表示方法函數的表示方法表示一個函

10、數的方法有：解析法解析法、列表法列表法和圖像法圖像法。解析法 用代數式來表示兩個變量間的關系表示的方法叫做解析法解析法。如，yx2，y2x，y 。x列表法 所謂列表法是指用表格來表示兩個變量之間函數關系的方法。例如，學期學期序號序號123456789101112成績成績959088928783948593899496 上表中，學期序號和成績是兩個變量。表中列出了不同學期序號對應的成績。 圖像法 所謂圖像法是指用圖像來表示兩個變量之間函數關系的方法。 從圖中可看出玉米單價（即每噸玉米的價格）隨著時間的的變化而不斷起伏；任意時刻都對應著唯一的玉米單價。所以，在這里玉米單價是時間的函數。 例題解析例

11、題解析 例例 畫出函數y6x（x(0，10）的圖像。 解解 y6x是一次函數，而定義域是（0，10，由此可知圖像是一條直線段。所以只要描出函數y6x圖像上的兩個端點，然后用直尺將這兩個端點連接起來即可。 列表列表 y010 x060 描點描點：描出以（0，0）為坐標的點，再描出以（10，60）為坐標的點。 連線連線：通過點和點畫出一條直線段。這條直線段AB就是函數y6x ， x(0，10的圖像。應特別注意的是，由于圖像中不包括點（，），因此，點用空心點表示。單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 1試舉出一個用列表法表示函數的例子。 2畫函數yx3（x(，)）的圖像。 函數的單調性函數的單調性觀察yx2的圖

12、像，總結函數值隨自變量取值的變化規律。 1y軸左側，即在區間（，0上，自變量越大函數值越小。 2y軸右側，即區間0，）上，自變量越大函數值越大。 一般地，在函數f（x）定義域內某個給定區間 I上，任選兩個自變量的取值x1、x2 ，如果當x2x1時，總有f（x2）f（x1），我們就說函數f（x）在區間 I上是增增函數函數； 如果當x2x1時，總有f（x2）f（x1），我們就說函數f（x）在區間I上是減函數減函數。 如果函數yf（x）在區間I上是增函數或減函數，那么我們就說函數yf（x）在區間I上具有單調性單調性，區間I叫做函數yf（x）的單調區間單調區間。 單調區間上，增函數的圖像是上升的，減函

13、數的圖像是下降的。類類 型型（區間I上的）增函數（區間I上的）減函數條條 件件當x2x1時，有f（x2）f（x1）當x2x1時，有f（x2）f（x1）圖像特圖像特征征沿x軸正方向圖像上升沿x軸正方向圖像下降圖圖 例例 例題解析例題解析 例例 函數yf（x）的定義域是10，10，下圖是它的圖像，根據圖像指出函數yf（x）的單調區間，以及在每一個單調區間上函數yf（x）是增函數還是減函數？解解 函數yf（x）的單調區間有10，4)、4，1)、1，2)、2，8)、8，10。 其中函數yf（x）在區間 10，4)、1，2)、8，10上是減函數； 在區間4，1)、2，8)上是增函數。 1畫出下列函數的草

14、圖，指出下列函數的單調區間，并判別它們在各單調區間的增減性。 （1） （2） （3） （4）1( )63f xx 5( )f xx 2( )6f xx2( )(2)f xx 2.3 反函數反函數研究水位高隨體積變化的規律研究水位高隨體積變化的規律V15h（h0，10）15Vh （V0，150）反函數研究水面半徑隨水面面積變化研究水面半徑隨水面面積變化的規律的規律Sr2 （r4，7）Sr （S16，49）反函數圖形圖形函數關系函數關系式式自變量自變量定義域定義域值域值域V15hh0，100，150V0，1500，10Sr2r4，716，9S16，494，715Vh Sr 通常，在函數yf(x)（

15、x）中，設它的值域為，根據該函數中x、y的關系，用 y 把 x 表示出來，得到xg(y)。如果xg(y)（y）也是一個函數，那么就把函數xg(y)（y）叫做函數yf(x)（x）的反函數反函數，記作xf1(y) 一般情況下，將函數xf1(y)改寫成yf1(x) 函數yf(x)與函數yf1(x)互為反函數。 函數yf(x)的定義域是它的反函數yf1(x)的值域；函數yf(x)的值域是它的反函數yf1(x)的定義域。 例題解析例題解析 例例 求下列函數的反函數，并畫出題（1）中函數和反函數的圖像，觀察它們的對稱性。 （1）y2x1（xR） （2）yx21（x） （3） （x1）解解21xyx （1）

16、由y2x1，解得 ，所以，函數y2x1的反函數是 12yx12xy（xR） 通過描點法可畫出函數圖像。 （2）由yx21（x），解得 x2=y1由此推出 1xy這里，一定有y+1，從而推出y1。所以，函數yx21（x）的反函數是 （x1）1yx （3）解得 ，所以所求反函數為 （x2） 2yxy2xyx單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 一般地，在平面直角坐標系xOy中，函數yf（x）的圖像和它的反函數yf1（x）的圖像關于直線關于直線 yx 對稱對稱。 1求函數y2x4（xR）的反函數，并且在同一個平面直角坐標系中畫出函數y2x4（xR）和它的反函數的圖像。 2求下列函數的反函數： （1） （xR）

17、（2） 132yx13()232xyxx2.4 指數函數指數函數 細胞分裂的個數細胞分裂的個數 某種細胞的分裂規律為：一個細胞一次分裂成兩個細胞。 一個這樣的細胞經過 x 次分裂后，得到 y 個與它本身相同的細胞，那么細胞個數 y與分裂次數x的關系是怎樣的呢？關于細胞分裂問題，分析如下： 初始細胞個數是1，此時經過的分裂次數是0，即201個； 經過第1次分裂后細胞的總數是212個； 經過第2次分裂后細胞的總數是224個； 經過第3次分裂后細胞的總數是238個； 經過第4次分裂后細胞的總數是2416個； 經過第x次分裂后細胞的總數是個2x。 設細胞總數為y，有y2x。 一般地，我們把形如yax（

18、a0，a1）的函數叫做指數函數指數函數。 由實數指數冪的運算性質可知：當a0時，對于每一個實數x的值，都有唯一確定的實數值ax與它對應。因此，指數函數yax的定義域是實數集。兩函數相同的性質有兩函數相同的性質有： 1兩個圖像都在x軸上方，即值域都是。 2 兩個圖像都經過點（0，1），可見當x0時，對這兩個函數都有y1。 兩函數不同的性質兩函數不同的性質： 函數y2x的圖像沿x增大的方向是上升的，所以它在（，）上是增函數； 函數 的圖像沿x增大的方向是下降的，所以它在（，）上是減函數。1( )2xy 一般地，指數函數yax（a0，a1）的圖像和性質如下：函函數數yax，xRa10a1圖圖像像性性

19、質質（1）定義域是R ，值域是正實數集 （2）當x0時，y1（3）在（，）內是增函數（3）在（，）內是減函數 例題解析例題解析 例例1 利用指數函數的性質比較下列各題中兩個實數的大小： （1）33.6與32.8 （2） 與解解2.51( )231( )2 （1）指數函數y3x是增函數。因為3.62.8，所以33.632.8 （2）指數函數 是減函數。因為2.53，所以1( )2xy 2.5311( )( )22單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 一年后到期取出，連本帶息共有 100010002.25(120)1000(12.2580)10001.018 元 如果到期自動轉存，兩年后到期本息共有 (100

20、01.018)(10001.018)2.25(120)10001.018(12.2580)10001.0182 元 依此類推，x年后到期取出，本息的和（單位：元）用y表示，y與x的關系是y10001.018x 將x=5代入上式，可得5年后取出，連本帶息共有10001.01851093.30 元 例例2 假設銀行中一年定期的存款利率是2.25，利息的稅率是20。若把你的壓歲錢1000元存入銀行，存取方式為一年期整存整取，而且辦理了到期自動轉存業務，那么x 年后到期取出，連本帶息共有多少元？由此推算5年后應取出多少錢？（精確到0.01）解解單擊鼠標繼續單擊鼠標繼續 1指出下列指數函數在(，)內是增

21、函數還是減函數： （1）y3x （2） （3）yx （4）y0.3x 2比較下列各題中兩個實數的大小 （1）45.2與45.5（2）44與43 （3）0.72與0.37 （4）0.72與0.73 3某市現有人口500萬，人口的年自然增長率為1.2%，10年后這個城市的人口預計有多少萬？x年后這個城市的人口預計是多少萬？（精確到0.01）1( )3xy 2.5 對數函數對數函數 細胞分裂的次數細胞分裂的次數某種細胞的分裂規律為：一個細胞一次分裂成2個。1個細胞經第1次分裂成為2個；經過第2次分裂成為4個那么，第幾次分裂后恰好出現16個細胞？第幾次分裂后恰好出現128個細胞？ 設這樣的細胞經過x次

22、分裂后，得到的細胞個數是y。以分裂次數x為自變量就可以得到指數函數y2x 顯然，只要求出這個函數的反函數，上面的問題就可以解決了。 根據對數的定義，指數函數式y2x可以寫成對數的形式xlog2y顯然，給定一個y值，由上式可以得到唯一的x值，因此，xlog2y表示的是指數函數y2x的反函數。按照習慣，我們用x表示自變量，用y表示函數，這個函數就應寫成ylog2x 一般地，函數ylogax（a0，a1）與指數函數y=ax互為反函數。因為y=ax 的值域是（0，），所以函數ylogax的定義域是（0，）；y=ax 的定義域是R，所以函數ylogax 的值域是R 。我們把函數ylogax（a0，a1）

23、叫做對數函數對數函數。ylog2x的圖像特征：1圖像經過點（1，0）；2圖像在y軸右側；3圖像沿x增大的方向是上升的，即在區間（0，+）上是增函數。 圖像特征：1圖像經過點（1，0）；2圖像在y軸右側；3圖像沿x增大的方向是下降的，即在區間（0，）上函數是減函數。xy21log函函數數ylogax，x0a10a1圖圖像像性性質質 （1）定義域是 ，值域是R （2）當x1時，y0在（0，）內是增函數在（0，）內是減函數 例題解析例題解析 例例1 指出下列對數函數在區間（0，+）內是增函數還是減函數？ （1）y=log3x （2） （3）ylog10 x （4）解解13logyx110logyx （1）因為a31，所以y在區間（0，+）內是增函數。 （3）因為a101，所以y在區間（0，+）內是增函數。 （