1、2 1 求通項(xiàng)公式的常用方法 一、定義法： 直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法， 這種方法適應(yīng) 于已知數(shù)列類型的題目. 例 1 等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前 n 項(xiàng)和為Sn，且a!,a3,a9成等比數(shù)列， S5 a2 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 二、公式法：遞推公式為Sn與an的關(guān)系式。(或& f(an) 解法：利用 an (n 1)與 an Sn Sn 1 fQ.) f&i)消去 & Sn Sn 1 (n 2) (n 2)或與Sn f(Sn Sn 1 ) (n 2)消去an進(jìn)行求解。 例題：已知無(wú)窮數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，并且an Sn 1(n N*)，求 an的 通項(xiàng)公式？

2、 跟蹤訓(xùn)練 1、已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn，滿足關(guān)系lg Sn 1 n(n 1,2 ).試證 數(shù)列 an是等比數(shù)列. 三、待定系數(shù)法：(換元法) 類型一：an 1 pan q (其中 p，q 均為常數(shù)，(pq( p 1) 0)。解法(待 定系數(shù)法)：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an1 t p(an t)，其中t 亠，再利用 1 p 換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列a n -t的形式求解求解。 例題：1、已知數(shù)列 an中，a1 1，an 2a. 1 1(n 2)，求數(shù)列 a.的通 項(xiàng)公式. 1 2、數(shù)列a n滿足 a1=1，an= an1+1 (n 2)，求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式 2 3、 數(shù)列an滿足 ai=1,

3、 3 務(wù)1 a. 7 0,求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。 4、 已知數(shù)列 an滿足ai 1，且a. i 3a. 2，求an . 1 5、 已知數(shù)列an滿足：an 1 - an 2,n N, a1 4,求 an. 3 類型二、a. 1 pan qn （其中 p, q 均為常數(shù)，（pq（p 1）（q 1） 0）。 （或 am pan rqn,其中 p，q, r 均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式 兩邊同除以qn1，得： 崙 R?* -引入輔助數(shù)列bn （其中bn豊），得： q q q q q bn 1 -bn 1再待定系數(shù)法解決。 q q 例題：已知數(shù)列an中，a1 5 , an 1】an （-）

4、n 1，求an。 6 3 2 4 1 2 跟蹤訓(xùn)練：1、設(shè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)的和& -an 1 2n 1 -，n 1,2,3, ggg 3 3 3 求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)a.； 2、已知數(shù)列 a.滿足 a1 1， a. 3n 2a. 1 （n 2），求 a. 類型三、遞推公式為an 2 pan 1 qan （其中 p，q 均為常數(shù)）。 遞推公式為a. 2 pa. 1 qan （其中 p，q 均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn) 化為an 2 sani t(ani san)其中 s, t 滿足s t P，再應(yīng)用再利用等比數(shù)列 3 st q an san 1求解。 2 1 例題：已知數(shù)列an 中, ai

5、1忌2,an2新1 3an，求an。 2 1 跟蹤訓(xùn)練：1、已知數(shù)列an中，a1 1, a2 2 , an 2 -an 1 - an，求an。 3 3 2、 數(shù)列 an : 3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)， a1 a,a2 b,求 an 3、 已知數(shù)列 an滿足a1 1,a2 3,務(wù)2 3務(wù)1 2an(n N*). (I)證明：數(shù)列 an1 an是等比數(shù)列； (II )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式; 4、數(shù)列an滿足a1 2,a2 5,an 2 3an 1 2 an =0，求數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式 類型四遞推公式為Sn與an的關(guān)系式。(或Sn fn)與其它類型綜合 解法：利用

6、an S (n 1)與 an Sn Sn 1 fQn) fQn1)消去 S Sn Sn 1 (n 2) (n 2)或與Sn f(Sn Sn 1) (n 2)消去an進(jìn)行求解。 1 例題：數(shù)列an前 n 項(xiàng)和Sn 4 an 尹( 1)求an 1與an的關(guān)系；(2)求 通項(xiàng)公式an. 跟蹤訓(xùn)練：1、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn 2a. ( 1)n ,n 1 求數(shù)列a. 的通項(xiàng)公式。4 2、數(shù)列an中前 n 項(xiàng)的和Sn 2n an，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an. 四、累加法：利用an ai (a? aj (a. a.i)求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。 累加法是求型如an 1 an f(n)的遞推數(shù)列通項(xiàng)

7、公式的基本方法( f (n)可求前n 項(xiàng)和). 例題：已知無(wú)窮數(shù) bn滿足bi 1，bn i bn 項(xiàng)公式. 1 - (n 1),求數(shù)列 bn的通 跟蹤訓(xùn)練：1、已知數(shù)列an滿足ai -，ani a. 2 I r k k 2、已知數(shù)列 an 中,ai h且 a2k a2k 1 ( 1) , a2k 1 a2k 3，其中 k 1,2,3, 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 五、累乘法：利用恒等式an ai魚魚 a a? 雖(an an 1 0,n 2)求通項(xiàng)公式的方法稱為 累乘法，累乘法是求型如 an 1 g(n)an的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法 (數(shù)列 g(n)可求前n項(xiàng)積). 例題：已知ai 1, a

8、* n(an i an) (n N ),求數(shù)列 an通項(xiàng)公式. 5 3n 1 2、已知 a! 3 , 江K (n 1)，求 an 3n 2 3、已知數(shù)列an，滿足 ai=1, an a1 2a2 3a3 (n 1)an 1 (n 2)，則an 的通項(xiàng) an 六：雙數(shù)列型 解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求 解。 例題：已知數(shù)列an中，a1 1 ；數(shù)列bn中，bl 0。當(dāng) n 2 時(shí)， -(2an 1 bn 1), bn 鼻佝1 2*1)，求 an, bn 3 3 跟蹤訓(xùn)練：1、設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意正整數(shù) n， 都有等式：an

9、2 3 2an 4Sn成立，求a.的通項(xiàng) an. 2、設(shè)an是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且a； a；1 na. na. 1 求數(shù)列的通 2 2 3、 數(shù)列an中，a1 一，前 n 項(xiàng)的和Sn n a.，求an 1. 3 4、 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1 1，an 2a： 1 (n2).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和 一、公式法 直接利用公式求和是數(shù)列求和的最基本的方法常用的數(shù)列求和公式有： 跟蹤訓(xùn)練：1、已知數(shù)列an滿足ai an 1 n n 1習(xí) ，求 an。 0， (n N*)， 6 項(xiàng)公式 an.7 等差數(shù)列求和公式：Sn嚀nai呼)d 二、拆項(xiàng)(分組求和法) 若數(shù)列 Cn的通項(xiàng)

10、公式為Cn an g，其中、 0 中一個(gè)是等差數(shù)列, 另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般利用分組求和法 Sn C1 c2 C3 Cn b1) (a2 b2) 3 b) (an bn) (a1 a2 a3 an) (b1 b2 th bn) 例 1,求 11 21 31 L (n )的值. 2 4 8 2 例 3.已知數(shù)列 9, 99, 999,，求數(shù)列前 n 項(xiàng)和& 跟蹤訓(xùn)練：求和。 (1) an 2n ，求 a1 a2 a? an an 1 (10n 1),求 a1 a2 a3 an (2)等比數(shù)列求和公式：片 例 1、求和。 (1) a 1 2n,求 ai a n ai,(q 1) ai(1 q

11、n) a1 anq(q 1) 1 q 1 q ( a3 a100 (2) an 24 n,求 a3 a20 例 2.求和：137 2 4 8 2n 2n 8 、裂項(xiàng)（裂項(xiàng)相消法） 例題：求 叮2 21 3 3： L n(n1 1)的值 跟蹤訓(xùn)練：1、求1 1 1 L 1 的值 12 12 3 12 3 4 1 2 L (n 1) 2、求和 Sn 1 1 1 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2 n 1) 四、錯(cuò)位相減法 若數(shù)列 Cn的通項(xiàng)公式Cn an g，其中、0 中一個(gè)是等差數(shù)列，一個(gè) 是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的 公比，然后再將所得新和式與原和式相減， 轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。 這種 方法叫錯(cuò)位相減法。 Sn C1 C2 C3 c n a1b1 a2b2 a3b3 an bn 0 qSn 0 a-|b2 a?b3 an 1 bn anbn 1 -得： (1 q)Sn a1b1 d(b2 b3 b4 bn) anbn 1 a1 (1 qn) db1 d anbn 1 1 q 例 1.求和Sn 1 2 2 22 3 23