1、曲線擬合(curve-fitting):工程實踐中,用測量到的一些離散的數據(Xi,yi),i0,1,2,.m)求一個近似的函數(x)來擬合這組數據,要求所得的擬合曲線能最好的反映數據的根本趨勢(即使(x)最好地逼近fx,而不必滿足插值原那么.因此沒必(xi)yi盡可能地小).(x)o并且使得近似曲線與fx的偏yi,i=1,2,.,m.要取(x)=yi,只要使i原理：給定數據點(xi,yi),i0,1,2,.m.求近似曲線i(xi)差最小.近似曲線在該點處的偏差常見的曲線擬合方法：1. 使偏差絕對值之和最小2. 使偏差絕對值最大的最小3. 使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原那么選

2、取擬合曲線,并且采取二項式方程為擬合曲線的方法,稱為最小二乘法.推導過程：1. 設擬合多項式為：2. 各點到這條曲線的距離之和,即偏差平方和如下：3. 問題轉化為求待定系數a.ak對等式右邊求ai偏導數,因而我們得到了：4. 、把這些等式化簡并表示成矩陣的形式,就可以得到下面的矩陣:5. 將這個范德蒙得矩陣化簡后可得到：6.也就是說X*A=Y,那么A=(X'*X)-1*X'*Y,便得到了系數矩陣A,同時,我們也就得到了擬合曲線.MATLA改現：MATLA掘供了polyfit()函數命令進行最小二乘曲線擬合.調用格式：p=polyfit(x,y,n)p,s=polyfit(x,y

3、,n)p,s,mu=polyfit(x,y,n)x,y為數據點,n為多項式階數,返回p為幕次從高到低的多項式系數向量p.x必須是單調的.矩陣s包括R(又tx進行QRb解的三角元素)、df(自由度)、normr(殘差)用于生成預測值的誤差估計.p,s,mu=polyfit(x,y,n)在擬合過程中,首先對x進行數據標準化處理,以在擬合中消除量綱等影響,mu包含標準化處理過程中使用的x的均值和標準差.polyval()為多項式曲線求值函數,調用格式：y=polyval(p,x)y,DELTA=polyval(p,x,s)y=polyval(p,x)為返回對應自變量x在給定系數P的多項式的值.y,D

4、ELTA=polyval(p,x,s)使用polyfit函數的選項輸出s得出誤差估計YDELTA它假設polyfit函數數據輸入的誤差是獨立正態的,并且方差為常數.那么YDELTA將至少包含50%勺預測值.如下給定數據的擬合曲線：x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60.解：MATLA毓序如下：x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0;y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60;p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y

5、,'*r',x1,y1,'-b')運行結果如圖1計算結果為：p=0.56140.82871.1560即所得多項式為y=0.5614xA2+0.08287x+1.15560圖1最小二乘法曲線擬合例如比照檢驗擬合的有效性：例：在0,句區間上對正弦函數進行擬合,然后在0,2句區間畫出圖形,比擬擬合區間和非擬合區間的圖形,考察擬合的有效性.在MATLAB中輸入如下代碼：clearx=0:0.1:pi;y=sin(x);p,mu=polyfit(x,y,9)x1=0:0.1:2*pi;y1=sin(x1);%實際曲線y2=polyval(p,x1);%根據由區間0到pi上

6、進行擬合得到的多項式計算0到2pi上的函數值,%需要注意的是polyval()返回的函數值在pi到2pi上并沒有進行擬合plot(x1,y2,'k*',x1,y1,'k-')運行結果：p=0.00000.0000-0.00030.00020.00800.0002-0.16680.00001.00000.0000mu=R:10x10doubledf:22normr:1.6178e-07MATLAB勺最優化工具箱還提供了lsqcurvefit()函數命令進行最小二乘曲線擬合(Solvenonlinearcurve-fitting(data-fitting)probl

7、emsinleast-squaressense).調用格式：x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)x=lsqcurvefit(problem)x,resnorm=lsqcurvefit(.)x,resnorm,residual=lsqcurvefit(.)x,resnorm,residual,exitflag=lsqcurvefit(.)x,resnorm,residual,exitflag,ou

8、tput=lsqcurvefit(.)x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda=lsqcurvefit(.)x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian=x0為初始解向量;xdata,ydata為滿足關系ydata=F(x,xdata)的數據；lb、ub為解向量的下界和上界,假設沒有指定界,那么lb=,ub=;options為指定的優化參數；fun為擬合函數,其定義方式為:x=lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata)其中myfun已定義為functionF=myfun(x

9、,xdata)F=計算x處擬合函數值fun的用法與前面相同；resnorm=sum(fun(x,xdata)-ydata).A2),即在x處殘差的平方和residual=fun(x,xdata)-ydata,即在x處的殘差;exitflag為終止迭代的條件；output為輸出的優化信息；lambda為解x處的Lagrange乘子;jacobian為解x處擬合函數fun的jacobian矩陣.例：lsqcurvefit()優化程序Data=.0.00005.89550.10003.56390.20002.51730.30001.97900.40001.89900.50001.39380.6000

10、1.13590.70001.00960.80001.03430.90000.84351.10000.61001.20000.53921.30000.39461.40000.39031.50000.54741.60000.34591.70000.13701.80000.22111.90000.17042.00000.2636;t=Data(:,1);y=Data(:,2);%axis(02-0.56)plot(t,y,'ro')title('Datapoints')%Wewouldliketofitthefunctiony=c(1)*exp(-lam(1)*t)+

11、c(2)*exp(-lam(2)*t)tothedata%Thelsqcurvefitfunctionsolvesthistypeofproblemeasily.%Tobegin,definetheparametersintermsofonevariablex:%x(1)=c(1)%x(2)=lam(1)%x(4)=lam(2)%Thendefinethecurveasafunctionoftheparametersxandthedatat:F=(x,xdata)x(1)*exp(-x(2)*xdata)+x(3)*exp(-x(4)*xdata);x0=1110;x,resnorm,exit

12、flag,output=lsqcurvefit(F,x0,t,y)holdonplot(t,F(x,t)holdoffFsumsquares=(x)sum(F(x,t)-y).A2);opts=optimset('LargeScale','off');xunc,ressquared,eflag,outputu=.fminunc(Fsumsquares,x0,opts)fprintf('Therewere%diterationsusingfminunc,'.'and%dusinglsqcurvefit.n',.outputu.ite

13、rations,output.iterations)fprintf('Therewere%dfunctionevaluationsusingfminunc,'.'and%dusinglsqcurvefit.',.outputu.funcCount,output.funcCount)typefitvectorx02=10;F2=(x,t)fitvector(x,t,y);x2,resnorm2,exitflag2,output2=lsqcurvefit(F2,x02,t,y)fprintf('Therewere%dfunctionevaluationsus

14、ingthe2-d'.'formulation,and%dusingthe4-dformulation.',.output2.funcCount,output.funcCount)x0bad=5110;xbad,resnormbad,exitflagbad,outputbad=.lsqcurvefit(F,x0bad,t,y)holdonplot(t,F(xbad,t),'g')legend('Data','Globalfit','Badlocalfit','Location','N

15、E')holdofffprintf('Theresidualnormatthegoodendingpointis%f,'.'andtheresidualnormatthebadendingpointis%f.',.resnorm,resnormbad)displayEndOfDemoMessage(mfilename)擬合效果如下：直線的最小二乘擬合：y=a+bx式中有兩個待定參數,a代表截距,b代表斜率.對于等精度測量所得到的N組數據(xi,yi),i=1,2,N,xi值被認為是準確的,所有的誤差只聯系著yi.下面利用最小二乘法把觀測數據擬合為直線.用最小二乘法估計參數時,要求觀測值yi的偏差的加權平方和為最小.對于等精度觀測值的直線擬合來說,可使下式的值最小：上式分別對a、b求偏導得：整理后得到方程組：解上述方程組便可求得直線參數a和b的最正確估計值.1、可看