1、八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)案（二十八）楊成超八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重心導(dǎo)學(xué)案【教學(xué)目標(biāo)】：進(jìn)一步認(rèn)識(shí)規(guī)則幾何圖形的重心就是它的幾何中心. 探究不規(guī)則幾何圖形的重心.。【教學(xué)重難點(diǎn)】：探索三角形、任意多邊形的重心.【自學(xué)指導(dǎo)】：Ø 學(xué)生看P109-P110注意以下問題：1 我們采用了什么樣的方法來探究幾何圖形的重心?我們得到的結(jié)論是什么?2 不同形狀、不同類型的三角形的重心又會(huì)有什么不同？它們是否都在三角形內(nèi)部？3 尋找三角形和任意多邊形的重心4 質(zhì)量分布不均又沒有特定幾何形狀的物體重心如何尋找呢？【自學(xué)檢測】： （1）用一個(gè)手指頂住一塊均勻的正方形硬紙片,找出平衡點(diǎn)的位置（2）探索這個(gè)平衡點(diǎn)與正方形

2、對(duì)角線的交點(diǎn)有什么關(guān)系,你有什么發(fā)現(xiàn)?（3）根據(jù)（2）的發(fā)現(xiàn),你能找出矩形、菱形、一般平行四邊形的重心在什么位置嗎?發(fā)現(xiàn)：            【師生共同探究，總結(jié)】：² 線段的重心是線段的中點(diǎn).² 平行四邊形的重心,是它的兩條對(duì)角線的交點(diǎn).² 分組,然后各種對(duì)不同形狀的三角形進(jìn)行研究.1. 在三角形薄板的每個(gè)頂點(diǎn)處釘一個(gè)小釘作為懸掛點(diǎn);2. 用下端系有小重物的細(xì)線纏繞在一個(gè)小釘上,吊起薄板,記下鉛垂線的“痕跡”;3. 在另一個(gè)小釘上重復(fù)(2)的活動(dòng),找

3、到兩條鉛垂線的交點(diǎn).² 尋找三角形和任意多邊形的重心² 三角形的三條中線交于一點(diǎn).這一點(diǎn)就是三角形的重心.² 如下圖所示. 第一組:我們組是找的銳角三角形的重心,它就在三角形內(nèi)部.（如圖a） 第二組:我們的研究的直角三角形,我們發(fā)現(xiàn)直角三角形的重心也在三角形內(nèi)部（如圖b） 第三組:我們研究的是鈍角三角形,鈍角三角形,鈍角三角形的重心仍在三角形上,而且在三角形的內(nèi)部. ² 對(duì)于線段、平行四邊形、等邊三角形、正五邊形、正六邊形等規(guī)則的幾何圖形,它們的重心就是該圖形的幾何中心.² 對(duì)于任何的多邊形這些不規(guī)則的幾何圖形,它們的重心就需要采用懸掛法來找.

4、² 重心就是重力的作用點(diǎn)，重心及其位置的變化，直接影響重力作用的整體效果。在重力起主要作用的力學(xué)過程中，如建筑設(shè)計(jì)、機(jī)械制造等技術(shù)領(lǐng)域，對(duì)其穩(wěn)定性、平衡性、轉(zhuǎn)動(dòng)性等一系列力學(xué)問題，關(guān)于重心的思考是必不可少，甚至是至關(guān)重要的。對(duì)于質(zhì)量分布均勻又有一定的幾何形狀的物體，它的重心都與其幾何中心重合。² 重心的幾條性質(zhì)： 1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。 2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。 3、 重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y

5、3)/3)；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/3 5、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。 證明：剛才證明三線交一時(shí)已證。 6、重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。² 下面的幾何體都是均勻的，線段指細(xì)棒，平面圖形指薄板。 三角形的重心就是三邊中線的交點(diǎn)。 線段的重心就是線段的中點(diǎn)。 平行四邊形的重心就是其兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是兩對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)。 平行六面體的重心就是其四條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是六對(duì)對(duì)棱中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，也是四對(duì)對(duì)面重心連線的交點(diǎn)。 圓的重心就是圓心，球的重心就是球心。

6、 錐體的重心是頂點(diǎn)與底面重心連線的四等分點(diǎn)上最接近底面的一個(gè)。 四面體的重心同時(shí)也是每個(gè)定點(diǎn)與對(duì)面重心連線的交點(diǎn)，也是每條棱與對(duì)棱中點(diǎn)確定平面的交點(diǎn)。 ² 重心的影響因素1.物體的形狀 2.質(zhì)量的分布 ² 尋找重心的方法下面是一些尋找形狀不規(guī)則或質(zhì)量不均勻物體重心的方法。 a.懸掛法 只適用于薄板（不一定均勻）。首先找一根細(xì)繩，在物體上找一點(diǎn)，用繩懸掛，劃出物體靜止后的重力線，同理再找一點(diǎn)懸掛，兩條重力線的交點(diǎn)就是物體重心。 b.支撐法 只適用于細(xì)棒（不一定均勻）。用一個(gè)支點(diǎn)支撐物體，不斷變化位置，越穩(wěn)定的位置，越接近重心。 一種可能的變通方式是用兩個(gè)支點(diǎn)支撐，然后施加較小

7、的力使兩個(gè)支點(diǎn)靠近，因?yàn)殡x重心近的支點(diǎn)摩擦力會(huì)大，所以物體會(huì)隨之移動(dòng)，使另一個(gè)支點(diǎn)更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。 c.針頂法同樣只適用于薄板。用一根細(xì)針頂住板子的下面，當(dāng)板子能夠保持平衡，那么針頂?shù)奈恢媒咏匦摹?與支撐法同理，可用3根細(xì)針互相接近的方法，找到重心位置的范圍，不過這就沒有支撐法的變通方式那樣方便了。 d.用鉛垂線找重心（任意一圖形，質(zhì)地均勻） 用繩子找其一端點(diǎn)懸掛，后用鉛垂線掛在此端點(diǎn)上（描下來）。而后用同樣的方法作另一條線。兩線交點(diǎn)即其重心。² 重心:三角形頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),稱為三角形重心;垂心:三角形各邊上的高交于一點(diǎn),稱為三角形垂心;外心:

8、三角形各邊上的垂直平分線交于一點(diǎn),稱為三角形外心;內(nèi)心:三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),稱為三角形內(nèi)心;中心:正三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心重合，稱為正三角形的中心。三角形“五心歌”三角形有五顆心；重、垂、內(nèi)、外和旁心，五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混重 心三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧，交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了，重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉；長短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好垂 心三角形上作三高，三高必于垂心交高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整，直角三角形有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形，四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清.內(nèi) 心三角對(duì)應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線，三線相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源；點(diǎn)至三邊

9、均等距，可作三角形內(nèi)切圓，此圓圓心稱“內(nèi)心”如此定義理當(dāng)然外 心三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn)此點(diǎn)定義為“外心”，用它可作外接圓【提高練習(xí)】：1.規(guī)則幾何圖形重心是它的_不規(guī)則幾何圖形的重心可以通過_來找2.用一塊均勻的木板做一個(gè)翹翹板，支點(diǎn)應(yīng)放在_.3.用手指頂起一塊平行四邊形的硬紙板，欲使紙板平衡，則手指應(yīng)放在_.4. 已知O是菱形的重心，過O作一條直線將非正方形的菱形分成兩部分不可能是（ ）.A.平行四邊形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.矩形5.三角形的重心是三角形三條（ ）的交點(diǎn).A中線 B高 C角平分線垂直平分線6.如圖，用確定幾何重心的方法將圖形分成

10、面積相等的兩部分.【作業(yè)】：1 線段的重心是 2平行四邊形的重心是 3三角形的重心是 4等邊三角形的重心，也是它的 心； 心； 心 5O為正方形ABCD的重心，EF、GH過O點(diǎn)，且EF垂直于GH，則EF、GH將正方形分成的四部分面積有何關(guān)系？ 6任意三角形的重心的位置一定在（ ）A三角形的內(nèi)部 B三角形的外部 C三角形的某邊上 D以上均有可能7（8分）三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)距離的 倍 8（10分）小明作了個(gè)三角形的風(fēng)箏，他想找到風(fēng)箏的重心，你能幫他找到重心嗎？試一試 第8題圖9 已知：是的重心求：點(diǎn)G到直角頂點(diǎn)C的距離GC的值 第910設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O，OAB、OBC、OCD、ODA的重心分別為E、F、G、H，則SEFGHSABCD值是多少 第1011下列說法中正確的是（）等邊三角形三條高的交點(diǎn)就是它的重心；三角形的重心到一邊的距離等于這邊上中線長的三分之一；三角形的重心到一邊中點(diǎn)的距離等于這邊上中線長的三分之一；三角形的重心到一邊的距離等于這邊上高的三分之一AB C D 12在ABC中，點(diǎn)G為重心，若BC邊上的高為6，則點(diǎn)G到BC邊的距離為 13已知ABC三邊長