1、分式方程分分母.整式方程北師大版八年級下冊數學重難點突破知識點梳理及重點題型穩固練習?分式?全章復習與穩固提升【學習目標】1 .理解分式的概念,能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件.2 .了解分式的根本性質,掌握分式的約分和通分法那么.3 .掌握分式的四那么運算.4 .結合實際情況,分析和解決實際問題,討論可以化為一元一次方程的分式方程,掌握方程的解法,體會解方程中的化歸思想.【知識網絡】列共實際問I-f實際問題*的解要點一、分式的有關概念及性質1 .分式一般地,如果A、B表示兩個整式,并且B中含有字母,那么式子上叫做分式.其中AB叫做分子,B叫做分母.要點詮釋：分式中的分母表示除

2、數,由于除數不能為0,所以分式的分母不能為0,即當BW0時,分式公才有意義.B2 .分式的根本性質A_AxMAAMBBxM"BBmMm為不等于0的整式3 .最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子、分母中含有公因式,要進行約分化簡.要點二、分式的運算1 .約分利用分式的根本性質,把一個分式的分子和分母中的公因式約去,不改變分式的值,這樣的分式變形叫做分式的約分.2 .通分利用分式的根本性質,使分子和分母同乘以適當的整式,不改變分式的值,把異分母的分式化為同分母的分式,這樣的分式變形叫做分式的通分.3 .根本運算法那么分式的運算法那么與分數的運算法那么類似,具體運算法那

3、么如下：(1)加減運算a土b=a生錯誤！未找到引用源.；同分母的分式相加減,分母不變,把分子相ccc加減.acad±be-±-=；異分母的分式相加減,先通分,變為同分母的分式,再加減.bdbdacac(2)乘法運算一,一=,其中a、b、c、d是整式,bd#0.bdbd兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母acadad(3)除法定算一丁一=一=,其中ab、c、d是整式,bcd豐0.bdbcbc兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后,與被除式相乘(4)乘方運算(3=上分式的乘方,把分子、分母分別乘方.4 .分式的混合運算順序先算乘方,再算乘除,

4、最后加減,有括號先算括號里面的要點三、分式方程1 .分式方程的概念分母中含有未知數的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程.3 .分式方程的增根問題增根的產生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件,當把分式方程轉化為整式方程后,方程中未知數允許取值的范圍擴大了,如果轉化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0,那么就會出現不適合原方程的根-增根.要點詮釋：由于解分式方程可能出現增根,所以解分式方程必須驗根.驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中,看它是否為0,如果為0,即為增根,不為0,就是原方程的解.要點四、分式方

5、程的應用列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似,但要稍復雜一些.解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數、確定主要等量關系、用含未知數的分式或整式表示未知量等關鍵環節,從而正確列出方程,并進行求解【典型例題】1A.2x11B.2x-1C.1-3x2-x5x3D.2x21【思路點撥】根據分式有意義的條件來判斷【答案】D;【解析】一個分式有無意義,取決于它的分母是否等于0.即假設一B是一個分式,那么一有意義BQBW0.而選項D,分母2x2+1>1,所以無論x取何值5x32x21定有意義.【總結升華】分式有意義的條件是分母不為零,無意義的條件是分母為零2、不改變分式的值,把以下各式分子與

6、分母中各項的系數都化為最簡整數.14.ab(1)2_3_11.a-b34【答案與解析】(2)0.3x+0.2y0.05x-y'(3)2320.4x一y10-0.6y214._a_b解：(1)2311.a-b344-b1236a16b11,_ab12344a-3b/c、0.3x0.2y(0.3x0.2y)10030x20y(2)=5(6x,4y)6x4y0.05x-y(0.05x-y)1005x-100y5(x-20y)x-20y_2_2_2_2(3)序式二(0.4x0.3y)100=40x30y八工(0.25x2-0.6y2)10025x2-60y2_2_25(8x-6y)2一25(5

7、x-12y)2_2'5x-12y【總結升華】在確定分子和分母中所有分母的最小公倍數時,乘時分子、分母要加括號,注意不要漏乘.類型二、分式運算要把小數先化成最簡分數；相1123、計算：+1-x1x1x1x4【思路點撥】此題如果直接通分計算太繁瑣,觀察比擬發現,前兩個分式分母之積為平方差類型一、分式及其根本性質、2021筆口模擬以下各式中,不管字母取何值時分式都有意義的是公式,通分后與第三個分式的分母又符合平方差公式,以此類推可解此題.【答案與解析】解：原式224448+X242.4-.4.4-.81-X1x1x1-x1x1-x【總結升華】此類題在進行計算時采用“分步通分的方法,逐步進行計

8、算,到達化繁為簡的目的.在解題時既要看到局部特征,又要全局考慮.舉一反三:【變式】計算1111+a(a1)(a1)(a2)(a2)(a3)(a2005)(a2006)aa1a1a2a2a3a2005a20061T2111+-+a2a3a20051a200611a2006a2006一aa2006-a(a2006)a(a2006)-a22006a類型三、分式條件求值的常用技巧44、x+1=4,求4x2的值.xx4x21【思路點撥】直接求值很困難,根據其特點和條件,能夠求出其倒數的值,這樣便可求2出二之一的值.xx1【答案與解析】解：方法(x4x21)-：-x2=x212112.1=,x+1=.x+

9、-1,而x+_=4xxx42.2.xx1,Lx1-2-15,-42=,xxx11522(方法二：原式:4'X2=1一(xx1)-：xx2Tx【總結升華】1此題運用轉化思想將所求分式通過分式的根本性質轉化為分式的代數式來求值.2根據完全平方公式,熟練掌握42,xx1»2N間的關系,x利用它們之間的關系進行互相轉化.舉一反三：【變式】2021春？惠州校級月考假設0vxv1,且升工6,求K-1的值.XX【答案】解：:x+l=6,(x-1)2=(x+工)2-4=36-4=32,x-4二%百,K又<0<x<1,x-=-4M.4a-5b-6cH7a+4b15c=0,求一

10、222-的值.a2b3cX5、設abc=0,且3a+2b-7c=0,【答案與解析】3a2b-7c=0a=c解：解關于a、b的方程組a得<7a4b-15c=0b=2ca=c,把?代入原式中,b=2c2 _2_22.原式=4c-52c1=烏_=.c222c23c212c26【總結升華】當所求分式的分子、公母無法約分,也無法通過解方程組后代入求值時,假設將兩個三元一次方程中的一個未知數當作數時,即可通過解方程組代入求值.舉一反三：【變式2x2-xy-3y2=0,且x0y,求x2的值.xy-x-y【答案】解：由于2x2xy3y2=0,所以(xy)(2x-3y)=0,所以x+y=0或2x3y=0,

11、又由于x#y,所以x+y#0,2所以2x-3y=0,所以y=2x,3y一x-y2x2x-x32-x-3x3類型四、分式方程的解法6、解方程x-25(x3)(x5)(x3)(x-5)【答案與解析】解：原方程整理得:635(x5)(x-5)-(x3)(x5)(x3)(x-5)方程兩邊同乘以(x+3)(x+5)(x-5)得:6(x3)-3(x-5)5(x5)去括號,移項合并同類項得：2x=8,x=4.檢驗：把x=4代入(x+3)(x+5)(x+5)(x5)#0.x=4是原方程的根.【總結升華】解分式方程的根本思想是：設法將分式方程“轉化為整式方程,去分母是解分式方程的一般方法,在方程兩邊同乘以各分式

12、的最簡公分母,使分式方程轉化為整式方程.但要注意可能會產生增根,所以必須驗根.舉一反三：【變式】(2021春？靖江市校級月考)假設關于x的方程'=二有增根,求增根J-戈3x3k-3和k的值.【答案】解：最簡公分母為3x(x-1),去分母得：3x+3k-x+1=-2x,由分式方程有增根,得到x=0或x=1,把x=0代入整式方程得：k=,1把x=1代入整式方程得：k=3類型五、分式方程的應用C7、(2021?揚州)揚州建城2500年之際,為了繼續美化城市,方案在路旁栽樹1200棵,由于志愿者的參加,實際每天栽樹的棵數比原方案多20%,結果提前2天完成,求原方案每天栽樹多少棵？【思路點撥】設原方案每天種樹x棵,那么實際每天栽樹的棵數為(1+20%),根據題意可得,實際比方案少用2天,據此列方程求解.【答案與解析】解：設原方案每天種樹x棵,那么實際每天栽樹的棵數為(1+20%),由題意得,衛組9-120°=2工(1+20%)x解得：x=100,經檢驗,x=100是原分式方程的解,且符合題意.答：原方案每天種樹100棵.【總結升華】此題考查了分式方程的應用,解答此題的關鍵是讀懂題意,設出未知數,找出適宜的等量關系,列方程求解,注意檢驗.舉一反三：【變式】某項工程限期完成,甲隊獨做正好按期完成,乙隊獨做那么要誤期