1、2010年考研數學二真題(強烈推薦)填空題(8X4=32分)(1)函數/(工)=?寧，的無窮間斷點數為(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.J口)野i,英是一階線性非齊次撤分方撤*=q的兩個特解一若常數使八十是該方程的解，)以-凡也是對應的齊次方程的解，則2122(O金=彳，刈=彳2=3."=三(3)曲線y=*與曲線y=<71n.tg*0)相切r則。三(A)4e(B)3e(C)2e(D)e-3M”牛m(1-X)一(4)設帆月是1E鵡數，則反常積分f7=-4c的收斂性:(A)僅m與值有關.(B)僅n與值有關，(C)與也打值都有關.(D)與網N值都無關一(5)設函融=二區中由方程

2、F(2,三)=0確定，其中F為可微函數，卬餐0,則xx改般x+V=.r1-excy(1) x.(B)z.(C)-x.。)-£一£%+#：產叫：出兀1+<+產©以兒"(5盧M；而4E(7)設向量組】四，族,明可由向量組U：氏而踐性表示，則列命題正確的是(A)若向量組I統性無關，則金.(B)若向量組I線性相關，則r工(C)若向量組U戰性無關，則區工若向量組II線性相關，則>工(8)設月為4階實對稱矩陣，IL4一手曾，若月的秩為3,貝必I與相似于1(8) 1-1.0,-1)T-10二、填空題；9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指

3、定位置上.(9) 3階常系數線性齊次微分方程y”一2/+V-2y=0的通解為);=(10)前線y=r的漸近線方程為曠+1(11)函數y=In(1-2x)在x=0處的階導數,V(n1(0)=(12)當owes時，對數嫁線r=/的弧長為.(13)已知一個長方形的長，以2c加£的速率增加)寬卬以3切心的速率增加)則當，=12呵m，=55時，它的對角線增加的速率為.(14)設45為3階矩陣，且4；=3,|5|=24-1+5|=2,則p4+B-1|=.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)求函數力=，

4、T的單調區間4極值.(16)(本題滿分10分)(I)比較J：111”111(1+f)力與110班(=1,2,)的大小，說明理由；(H)記"廣|lnf山(1+。&(”=12.)，求極限limu.(17)(本題滿分11分)設函數由參數方程)一一.«>-1)所確定，其中避具有2階導致,了="且“(1)=-,v/()=6,己知匯=-一,求函數2dx*4(l+f)(18)(本題滿分10分)一個高為/的柱體形貯油罐，底而是長軸為為，短軸為力的橢圓，現將貯油罐平放,當油器中油而高度為:b時(如圖)，計和油的質量.(長度單位為孫質量單位為杷，油的密度為常數pkg/)

5、【分析】先求油的體積，實際只需求橢圓的部分面積.【詳解】建正如圖所示的直角坐標系.則油罐底面橢圓(19)(本題滿分11分)設函數=f(x.y)具有二階連續偏導數，且滿足等式4:虧+12b+5丁5=0,確"cxcycy定a，b的值，使等式在變換J=x+m=x+切下化簡為£-=0.(20)(本題滿分10分)計算二重積分口;二sinejl/二cos26drde,其中。=(幾8)|0«廠4$«夕.0«。£工.D4(21)(本題滿分10分)設函數;在閉區間0,1上連續，在開區間Q1)內可導，E/(0)=0,7(1)=",證明：存在3(

6、o.；),ne4，1)，使得八啊'=鏟+rf.(22)(本題滿分11分)11Q設4=0A-10,b=1,11A1/已知線性方程組.”=b存在2個不同的解，(I)求力,。;(II)求方程組£v=b的通解.0 -1 4設幺=1 3 (14 fl 0(23)(本題滿分H分)正交矩陣。使得色。為對角矩陣，若0的第1列為2(1.2.1)。求a。2009年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題：18小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內。3(1)函數f(x)心-與g(x)=x2ln(1bx)是等價無窮小，則(

7、)sinnx(A)1(B)2(C)3(D)無窮多個(2)當xt0時，f(x)=xsinax與g(x)=x2ln(1bx)是等價無窮小，則()、一1一1一1/.1(A)a=1,b=(B)a=1,b=(C)a=1,b=(D)a=1,b=一6666(3)設函數z=f(x,y)的全微分為dz=xdx+ydy,則點(0,0)()(A)不是f(x,y)的連續點(B)不是f(x,y)的極值點(C)是f(x,y)的極大值點(D)是f(x,y)的極小值點(4)設函數f (x,y)連續，則24與(A)1 dx(1f(x, y)dy24 T(C)1 dx J1f(x, y)dx24 4(B) 1 dxfx f(x,

8、 y)dy22(D)(dx( f(x,y)dx2224-y11dx(x,y)dy+rdy(f(x,y)dx=()(5)若f "(x)不變號，且曲線區間(1, 2)內()(A)有極值點，無零點(C)有極值點，有零點(B)無極值點，有零點(D)無極值點，無零點y=f(x)在點(1,1)的曲率圓為x2+y2=2,則f(x)在(6)設函數y=f(x)在區間-1,3上的圖形為x則函數F(x)=1f(t)dt為()(7)設A、B均為2階矩陣,|A|=2, |B|=3,則分塊矩A”, B用分別為A、B的伴隨矩陣。若.0Al“入一陣的伴隨矩陣為()90；(A)0 3B*'W 0 /(B)0

9、2B3A*0 /(C)(D)2A0100”(8)設A,P均為3階矩陣，PT為P的轉置矩陣，且PTAP=010,若<002P=(ai,«2«3),Q=(«1+«2«2«3)，則QTAQ為()(A)110、攵00、600、120(C)010(D)020<00匕1002,<002(B)二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上。1-t2x=edu(9)曲線0J°在(0,0)處的切線萬程為2_2y=tln(2-t)(10)已知rek|x|dx=1,貝Uk=J_cO1斗(11) li

10、meesinnxdx=n廠0(12)設y=y(x)是方程xy+ey=x+1確定的隱函數，則。舊=dx(13)函數y=x2x在區間(0,1上的最小值為200、(14)設o(,B為3維列向量，BT為P的轉置，若PT相似于000,則<000)0"三、解答題：15-23小題，共94分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(1-cosx)x7n(1tanx)(15)(本題滿分9分)求極限limx0sinx1x(16)(本題滿分10分)計算不te積分Jln(1+，)dx(x>0)(17)(本題滿分10分)設z=f(x+y,xy,xy),其中f具有2

11、階連續偏導數，求dz與、2:z:x:y(18)(本題滿分10分)設非負函數y=y(x)(x>0),滿足微分方程xy"y'+2=0,當曲線y=y(x)過原點時，其與直線x=1及y=0圍成平面區域的面積為2,求D繞y軸旋轉所得旋轉體體積。(19)(本題滿分10分)求二重積分jj(xy)dxdy,其中D=(x,y)|(x-1)2(y-1)2<2,y.x(20)本本題滿分12分)設y=y(x)是區間(k, -n)內過點()的光滑曲線,n<x<0時，曲線上任一點處的發現都過原點，當0Ex<n時，函數y(x)滿足y"+y+x=0。求y(x)的表達式

12、。(21)(本題滿分11分)(I)證明拉格朗日中值定理：若函數f(x)在a,b上連續，在(a,b)可導，則存在：w(a,b),使得f(b)f(a)=(，)(ba)。(II)證明：若函數f(x)在x=0處連續，在(0,6)(6>0)內可導，且四'(x)=A則f*0)存在，且f；(0)=A。1-1-1)廣-1'(22)(本題滿分11分)設慶=-111,。=1<0Y-2J1一2,求滿足AJ=&,A2J=G的所有向量,2,，；(ii)對(I)中的任一向量，2,。3,證明：0S3線性無關。22-2(23)(本題滿分11分)設二次型f(x1,x2,x3)=ax1+ax2

13、+(a-1)x3+2x1x3-2x2x322(I)求二次型f的矩陣的所有特征值；(II)若二次型f的規范形為y1+y2,求a的值。2008考研數學二真題一、選擇題：(本題共8小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內)設f(x)=x2(x-1)(x+2),則fx)的零點個數為().(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.a曲線方程為y=f(x),函數在區間0,a上有連續導數，則定積分0xfx)dx在幾何上表示().(A)曲邊梯形ABOD的面積.(B)梯形ABOD的面積.(C)曲邊三角形ACD面積.(D)三角形ACD面積.(3)在下

14、列微分方程中，以y=gex+C2cos2x+C3Sin2x(CiCC為任意的常數)為通解的是().(A)yy-4y-4y=0.(B)yy4y4y=0.(C)y-y-4y4y=0.(D)y"-y4y-4y=0.(4)判定函數f(x)=Wsinx間斷點的情況().|x-1|(A)有1可去間斷點，1跳躍間斷點.(B)有1跳躍間斷點，1無窮間斷點.(C)有2個無窮間斷點.(D)有2個跳躍間斷點.(5)設函數f(x)在(,)內單調有界，4為數列，下列命題正確的是().(A)若xn收斂，則f(%)收斂(B)若4單調，則f(%)收斂(C)若f(xj收斂，則%收斂.(D)若f(4)單調，則4收斂.2

15、2、(6)設函數f連續，若F(u,v)=Wf(x'y)dxdy,其中區域Duv為圖中陰影部分,Duv；x2y2則互=().；:u2-v.2一v.(A)vf(u2)(B)vf(u)(C)-f(u2)(D)-f(u)uu設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣.若A3=0,則下列結論正確的是().(A)E-A不可逆，E+A不可逆.(B)E-A不可逆，E+A可逆.(C)E-A可逆，E+A可逆.(D)E-A可逆，E+A不可逆.1 2)一上一人(8)設A=,則在實數域上，與A合同矩陣為().<21J(A),-21、-2;(B)-r2(C)212,(D)12二、填空題：(914小題，每小題4分，

16、共24分.把答案填在題中橫線上)(9)已知函數f(x)連續，且所1-：osxf(x)=1,則f(o)=x3(ex-1)f(x)(10)微分方程(y+x2e/)dx-xdy=0的通解是.(11)曲線sin(xy)+ln(y-x)=x在點(0,1)處的切線方程為2(12)曲線y=(x-5)x3的拐點坐標為.x(13)設z=fyy,則2=.W班(1,2)(14)設3階矩陣A的特征值為2,3,人.若行列式|2A|=-48,則九=三、解答題(1523小題，共94分).(15)(本題滿分9分)求極限limiLin x - sin(sinx) Jsin x(16)(本題滿分10分)x=x(t)設函數y=y(

17、x)由參數方程4t2確定，其中x=x(t)是初值問題y=0ln(1u)dudx x 2te dt二0的解，求小2(17)(本題滿分9分)計算。=dx.(18)(本題滿分11分)計算ffmaxxy,1dxdy,其中D=(x,y)|0<x<2,0<y<2.D(19)(本題滿分11分)設f(x)是區間0,也)上具有連續導數的單調增加函數，且f(0)=1.對任意的tw0,f),直線x=0,x=t,曲線y=f(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周生成一旋轉體，若該旋轉體的側面面積在數值上等于其體積的2倍，求函數f(x)的表達式.(20)(本題滿分11分)(I) 證明積分中值

18、定理：若函數f(x)在閉區間a,b上連續，則至少存在一點b”a,b,使得ff(x)dx=f(")(b-a);a3(II) 若函數巴x)具有二階導數，且滿足邛(2)>9(1),邛(2)>J”(x)dx,證明至少存在一點心(1,3),使得中"(。<0.求函數u = x2 + y2 + z2在約束條件(21)(本題滿分11分)z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小(22)(本題滿分12分).設n元線性方程組Ax=b,其中2a12_.a2a12_.a2a1A=,I2a(I)證明行列式|A|=(n+1)an;(II)當a為何值時，該方程組有惟一解，并求疑.(

19、III)當a為何值時，該方程組有無窮多解，并求其通解.(23)(本題滿分10分)設A為3階矩陣，%,%為A的分別屬于特征值-1,1的特征向量，向量滿足A3=%十%,證明“3線性無關;(II)令P=(%,%,%),求P/AP.2007年研究生入學考試數學二試題一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(1)當xt0+時，與Jx等價的無窮小量是(A)1-e"(B)lnx=(C)/+4-1(D)1-cos7x1-，x(2)函數 f (x)=(A)0(B) 1兀(C) 一一2ji(D)一2(3)如圖，連續函數

20、 y= f(x)在區間-3,-2】,l2,3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間2,0，10,2】的圖形分別是直徑為 2的下、上半圓周，設F(x) =x10 f(t)dt，則下列結論正確的是:(e+e)tanx在_%n上的第一類間斷點是5(D)F(3)=-4F(-2)(4)設函數f(x)在X=0處連續，下列命題錯誤的是:(A)若lim四)存在，則f(0)=0x0X(B)若limf(x)"(次)存在,則f(0)=0x0X(B)若lim坨存在，則f=0x0x(D)若limf(x)f(x)存在,則f<0)=0.x0x1x(5)曲線y=+ln(1+ex)的漸近線的條數為x(A)

21、0.(B)1.(C)2.(D)3.(6)設函數f(x)在(0,+=)上具有二階導數，且f“(x)>0,令un=f(n),則下列結論正確的是：(A)若UiAU2，則4必收斂.(B)若U1AU2，則"必發散(C)若U1<U2，則/必收斂.(D)若5<必，則%必發散.(7)二元函數f(x,y)在點(0,0)處可微的一個充要條件是(A) rlim0Jf(x,y)-f(0,0)1=0.(x,y)_.-0,0f(x,0)-f(0,0)f(0,y)-f(0,0)(B) lim=0,且lim=0.x0xy0y(C)limf(x,y)-f(0,0)(x,y)，。,。x2.y2(D)l

22、imfx'(x,0)-fx'(0,0)=0,且limfy'(0,y)-fy'(0,0)=0.x-j0j-yT一(8)設函數f(x,y)連續，則二次積分i二(A)dyJf(x,y)dx0arcsiny1 r-arcsiny(C)dykf(x,y)dx0-2jfdxff(x,y)dy等于sinx21二(8) Ninyf(x,y)dx1 arcsiny(D)Ldyfnf(x,y)dx0-2(9)設向量組外以工線性無關，則下列向量組線性相關的是線性相關，則(A) 二：1 2, ' 2 - 3, -3 - ? 1(B) ： 1 .1 2, 二 2 二 3, 二 3

23、 二 1(C); i -21 2, ： 2 -2:-3, ： 3 -2： 1 .(D) ： 12： 2, ： 22： 3,： 3 21 1 .2-1 1、(10)設矩陣 A = 1 2-11 -12(A)合同且相似 (C)不合同，但相似.二、填空題：1116小題，每小題10 0、B= 0 1 0，則 A與 B<0 0。(B)合同，但不相似.(D)既不合同也不相似4分，共24分.把答案填在題中橫線上(11)arctan x -sin x22.2X(12)曲線X=C°Scos對應于t的點處的法線斜率為y=1sint41，一、(13)設函數v=則y(0)=2x3(14)二階常系數非齊

24、次微分方程y"4y'+3y=2e2x的通解為y=(15)設f(u,v)是二元可微函數，z= f0(16)設矩陣A = 00<01 00 10 00 00010,則A3的秩為z：z,貝 U x- y=：:xy三、解答題：1724小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(17)(本題滿分10分)二f(x)xcostsint設f(x)是區間0,一上單調、可導的函數，且滿足ff"(t)dt=1tcodt，_40-0sint其中f°是f的反函數，求f(x).(18)(本題滿分11分)x設D是位于曲線丫=而0(2>1,0£*<

25、一)下方、*軸上方的無界區域.(I)求區域D繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積V(a)；(n)當a為何值時,V (a)最小？并求此最小值.(19)(本題滿分10分)求微分方程y”(x + y(2) = y滿足初始條件y(1)= y'(1) =1的特解(20)(本題滿分11分)已知函數f(u)具有二階導數，且f '(0) = 1 ,函數y = y(x)由方程y xey=1所確定，設dzz = f (ln y -sinx)，求一 dxd2zx=0， , 2 x=0 .dx(21)(本題滿分11分)設函數f(x),g(x)在b,b上連續，在(a,b)內具有二階導數且存在相等的最大值,f

26、(a) =g(a), f(b) =g(b),證明：存在其(a,b)，使得 f“(D = g"K).(22)(本題滿分11分)設二元函數f(x, y)=2x ,1,x2 y2,1qxi+iyi» 計算二重積分 yf(xym其中Dx,y|x|y悍2.(23)(本題滿分11分)x1+x2+x3=0設線性方程組x1+2x2+ax3=0與方程x1+2x2+x3=a1有公共解，求a的值及2、Xi+4溝+ax3=0所有公共解.1.【分析】本題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可【詳解】當xt0+時，1e"x匚-Vx,41+G-1|_l1G,1-cos6|_(Vx)=

27、1x222故用排除法可得正確選項為(B),1x111ln一事實上,1,.x.ln(1x)-ln(1-x)1x1-x2x.limFlim=lim；=1,xPxx/xxW12Jx或ln1 x1：/x二 ln(1 x) - ln(1 ：./x) = x o(x) . x o(. x);x o( x) . x .所以應選（B）【評注】本題為關于無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算2【分析】因為函數為初等函數，則先找出函數的無定義點，再根據左右極限判斷間斷點的類型.【詳解】函數在x=0,x=1,x=±二均無意義,2(e e)tan x 而 lim f (x) = lim x_0

28、 +x_0 +1x ex -e(exe)tanx=0,limf(x)=lim("-=-1;x_0-x_0-11xex-elim f (x) = limx_1x 1x(e e)tan xlim二 f (刈=lim 二(ex e)tan x一2一21 1- x -e -e所以x =0為函數f（x）的第一類間斷點，故應選（A）.【評注】本題為基礎題型斷間斷點的類型;也可能為間斷點,.對初等函數來講，無定義點即為間斷點，然后再根據左右極限判對分段函數來講，每一分段支中的無定義點為間斷點，而分段點然后求左右極限進行判斷.段函數的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義，可得1 2 11F(3)21

29、 222121F(2)二一二 2 二 22-2F(-2) =f(x)dx = - f(x)dx= f(x)dx =020-二 1223 3所以F(3)=F(2)=F(2),故選(C).4 4【評注】本題屬基本題型.本題利用定積分的幾何意義比較簡便.4【分析】本題考查可導的極限定義及連續與可導的關系.由于題設條件含有抽象函數，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設條件的特殊函數f(x)去進行判斷，然后選擇正確選項f(x)-f(一x)【詳解】取f(x)=|x|,則lim=0,但f(x)在x=0不可導，故選(D)事實上，在(A),(B)兩項中，因為分母的極限為0,所以分子的極限也必須為0,則可

30、推得f(0)=0.在(C)中，limf(x)存在，則f(0)=0,f(0)=limf(x)f(0)=limf=0,x0xx>0x-0x0x所以(C)項正確，故選(D)【評注】對于題設條件含抽象函數或備選項為抽象函數形式結果以及數值型結果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.5【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.1V【詳斛】lim y = lim .|-+ln(1+ex：. x,二二 x代,lim y = lim 1 + ln(1+ex )= 0 , xJx-； 'x所以y=0是曲線的水平漸近線;1x媽 y=lxm35+ln(i+e,所

31、以x = 0是曲線的垂直漸近線;lim x.： x1xln 1 ex lim Xi；二：xln 1 elim x一門：xxe1 ex1=1b = l i my -x J =ln 1 -ec，所必y = x是曲線的斜漸近線故選(D).【評注】本題為基本題型，應熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法注意當曲線存在水平漸近線時斜漸近線不存在.本題要注意ex當XT,XT時的極限不同.6【分析】本題依據函數f（x）的性質，判斷數列un=f（n）.由于含有抽象函數，利用賦值法舉反例更易得出結果【詳解】選（D）.一1取f(x)=Inx,f(x)=>0,u1=Ini=0aIn2=u2,而f

32、(n)=Innx發散，則可排除（A）；"1取f（x）=-2,x、6-，1一、1f(x)=>0,u1=1A=u2,而f(n)=)收斂，則可排除x44n2(B)；取f(x)=x2f”(x)=2a0,ui=1<4=叱，而f(n)=n2發散，則可排除(C);故選（D）.事實上，U2-U12-1f(2)-f(1)一丁:一二f(1)0.2-I對任意x三,依)，因為f"(x)A0,所以fx)>f'(0)AC>0,對任意±2W('收)，f(x)=f(。)+fK2)(x。廣"(xt-He).故選（D）.【評注】對于含有抽象函數的問題

33、，通過舉符合題設條件的函數的反例可簡化計算.【分析】本題考查二元函數可微的充分條件.利用可微的判定條件及可微與連續，偏導的關系.【詳解】本題也可用排除法，（A）是函數在（0,0）連續的定義；（B）是函數在（0,0）處偏導數存在的條件；（D）說明一階偏導數偏導函數 fx'(x, y), fy'(x, y)在點(0,0)f；（0,0）,fy'（0,0）存在，但不能推導出兩個一階處連續，所以（A）（B）（D）均不能保證f（x,y）在點（0,0）處可微.故應選（C）.事實上,f(x,y)-f(0,0)由lim''''一'0可得(x,y)2

34、。%x2y2f(x,0)-f(0,0)=l四f(x,0)二f(0,0),x2x202=0，即fx0)0=同理有fy(0,0)=0.從而im9"f(00fx(a)0：y(0,0)f(.：x,.：y)-f(0,0)=limf("-f(0,0)S他0(M2Gy)2根據可微的判定條件可知函數f（x,y）在點（0,0）處可微，故應選（C）.【評注】二元函數連續或偏導數存在均不能推出可微，只有當一階偏導數連續時，才可微8,【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據二次積分確定積分區域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設可知，-<xMn,sinx<y<1,則0MyM1

35、,n-arcsiny<x<,故應選（B）.【評注】本題為基礎題型.畫圖更易看出.9.【分析】本題考查由線性無關的向量組"1,"2,0（3構造的另一向量組Pi,22,P3的線性相關性.一般令（冏也也尸（%，4，%）A,若A=0,則久，尾凡線性相關;若A#0,則Pi,月濾線性無關.但考慮到本題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項詳解由（-a2）+（a273）+（以3_口1）=0可知應選（A）或者因為,1(«1-«2,«2-a3«3-«1)=(«1«2«3)-1<0-11J

36、0-1-10=0,1所以«1-«2,«2一口3P35線性相關，故選（A）【評注】本題也可用賦值法求解，如取%=（1,0,0）T,a2=（0,1,0:p3=（0,0,1，以此求出（A）,（B）,（C）,（D）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項.10.【分析】本題考查矩陣的合同關系與相似關系及其之間的聯系，只要求得A的特征值,并考慮到實對稱矩陣A必可經正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案.2-2【詳解】由九EA=1111221=九(九一3/可得_1=、2=3,九3=0,1九一2所以A的特征值為3,3,0;而B的特征值為1,

37、1,0.所以A與B不相似，但是A與B的秩均為2,且正慣性指數都為2,所以A與B合同，故選(B).【評注】若矩陣A與B相似，則A與B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通過計算A與B的特征值可立即排除(A)(C).11【分析】本題為0未定式極限的求解，利用洛必達法則即可0【詳解】liarctanx-sinx12-cosxlim1-2x-03x2=limx_0/，/2、1-cosx(1x)3x22、一2xcosxsinx(1x)6x【評注】本題利用了洛必達法則.本題還可用泰勒級數展開計算.,_,13,3、.13,3、因為arctanx=xx+o(x),sinx=x十一x+o(x),36所

38、以limx.0arctanx-sinx112.【分析】本題考查參數方程的導數及導數的幾何意義【詳解】因為dydx所以曲線在對應于cost一sin112costsint51t=一的點的切線斜率為42.2故曲線在對應于t=的點的法線斜率為方4.2【評注】本題為基礎題型.13.【分析】本題求函數的高階導數，利用遞推法或函數的麥克老林展開式2x3,y=2Ml(n).(-1)n2nn!為(n)，則y(x)=/c-o、n+，故y(0)(2x+3)(2x+3)(-1)n2nn!3n【評注】本題為基礎題型.14.【分析】本題求解二階常系數非齊次微分方程的通解，利用二階常系數非齊次微分方程解的結構求解，即先求出

39、對應齊次方程的通解Y,然后求出非齊次微分方程的一個特解y*,則其通解為y=Y+y*.【詳解】對應齊次方程的特征方程為244九+3=0=%=1,7.2=3)x3x則對應齊次方程的通解為y=GeC2e.設原方程的特解為y*=Ae2x,代入原方程可得2x2x2x2x4Ae8Ae+3Ae=2e=A=-2,所以原方程的特解為y*=-2e2x,x3x2x故原方程的通解為y=Ge+Cze-2e，其中Ci,C2為任意常數.【評注】本題為基礎題型.15【分析】本題為二元復合函數求偏導，直接利用公式即可【詳解】利用求導公式可得:zy1一二一3十一f2，.xxy：z1£x=一f1一-2f2,.yxy所以x

40、.x=-2 4 f2g < x V)【評注】二元復合函數求偏導時，最好設出中間變量，注意計算的正確性16【分析】先將A3求出，然后利用定義判斷其秩0【詳解】a二 °0<°0 0 0JA3 =0 0 10 0 0=r(A) = 1.0 0 00 0 0；【評注】本題考查矩陣的運算和秩，為基礎題型17【分析】對含變上限積分的函數方程，一般先對x求導，再積分即可f(x)1x【詳解】0 f(t)dt=tcost -sintdt兩邊對 x求導得sint costf(f(x)f(x)=x(cosx-sinx)sinx cosxx(cosx -sin x)cosx -sin

41、xnxf (x)f，(x) = , ( x # 0)sinx cosxsinx cosx兩邊積分得= f (x) = ln | sin x cosx | C .(1)f (0)將x=0代入題中方程可得f10f(t)dt=0tcost - sint dt =0.sint costJI因為f(x)是區間!i0.一 4上單調、可導的函數，則 f(x)的值域為0,1 1_ 4單調非負，所以f (0) = 0 .代入(1)式可得C = 0,故f (x) =ln|sin x Cos |x .【評注】利用變限積分的可導性是解函數方程的方法之一18.【分析】V(a)的可通過廣義積分進行計算，再按一般方法求V(

42、a)的最值即可詳解(D v(a)=冗乜xax_"3 ：:. 'adx = xdaln a 0(n)令V'(a)=_ x a 二 x - a aln a-bo 0a 二+ln am-x0 a adx =a2 二ln2 aa-bo 0a2 二ln2 a22a In a_2a 2ln1a a 2- a(lna-1)ln4 aln3 a當ae時，V'(a)>0,V(a)單調增加;當1<a<e時，V'(a)<0,V(a)單調減少.所以V(a)在a=e取得極大值，即為最大值，且最大值為V(e)=ne2.【評注】本題為定積分幾何應用的典型問題

43、，需記憶相關公式，如平面圖形的面積，繞坐標軸的旋轉體的體積公式等.19【分析】本題為不含y的可降階方程，令y'=p,然后求解方程【詳解】本題不含y,則設yf=p,于是y=p',原方程變為dxx一.一_則+p,解之得x=p(p+C),將p(1)=1代入左式得C=0,dpP2于是x=pny'=Vx=y=&x2+C,結合y(1)=1得C=0,珈22故y=-x.3【評注】本題為基礎題型.20.【分析】本題實質上是二元復合函數的求導，注意或需用隱函數求導法確定dx、¥在力八國/dzcfcutudy:【詳解】令u=lnysinx,則一xn=一,一十一|xn.III

44、ddxcu(fx5ydxJeyyxey"=1兩邊對x求導得y'ey'xey'y'=0=y'=石，又y。11-xe可得y(0)=1y1e在y=二兩邊對x求導得1-xeyy4y1y4y4,y4,ey(1-xe)-e(-xey-e)yx=0一2x=0-2.1-xey所以於f rr cu + cu dy1改 W dxx=0=f (0)-cosx y dxx=0=f (0)y-11 e- cosx - yy 1-xex=0=0.d2z1-2 x=0 dx.:u2“osx J dy y dx十更 Lsinx .JcU I1 d2ydx2力x=0一小、i-1

45、/dy:1d2y=f(0)-sinx2.2ydxydx【評注】也可利用y'ey，xey,y' = 0兩邊對x求導得y1-y1-yJ2yy-ey-ey-xeyxey可得y(0).21【分析】由所證結論f仁)=g "向可聯想到構造輔助函數F(x)=f(x)-g(x),然后根據題設條件利用羅爾定理證明【詳解】令F(x)=f(x)-g(x),則F(x)在Ia,b上連續，在(a,b)內具有二階導數且F(a)-F(b)-0.(1)若f(x),g(x)在(a,b)內同一點c取得最大值，則f(c)=g(c)=F(c)=0,于是由羅爾定理可得，存在Jw(a,c),工w(c,b),使得F(1)=F(2)=0.再利用羅爾定理，可得存在其(匕與)，使得F'K)=0,即f)=g"K).若f(x),g(x)在(a,b)內不同點sg取得最大值，則f(c1)=g(c2)=M,于是F(c1)=f(G)g(。)a0,F(C2)=f(C2)-g(C2)<0