1、傅里葉變換建立了時間函數和頻譜函數之間轉換關系。在實際信號分析中，經常需要對信號的時域和頻域之間的對應關系及轉換規律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質，并說明其應用。一、線性傅里葉變換是一種線性運算。若3(5F1(j.)f2(t).F2(j)則afi(t)bfzOaF1(j.)bF?(j)(3-55)(3-55)其中 a a 和 b b 均為常數，它的證明只需根據傅里葉變換的定義即可得出。例 3-63-6 利用傅里葉變換的線性性質求單位階躍信號的頻譜函數F(jw)o解因11f(t)=U(t):+sgn(t)22由式(3-55)(3-55)得F(j-.)=,U(t).=1

2、1；+L,sgn(t).=12:.：.()-=7：.()2222jj，二、對稱性若f(t)F(j-)F(jt)一2二f(一,)(3-56)(3-56)證明因為3-5傅里葉變換的基本性質1二j.tf(t)=F(j.)ed，2二二二有2二f(t)=F(j.)ejtd.2二f(t)=F(j.)eJtd.將上式中變量切換為 x,x,積分結果不變，即二二_jxt2二f(t)=F(jx)edx再將 t t 用缶代之，上述關系依然成立，即2二f(_.)=F(jx)exdx最后再將 x x 用 t t 代替，則得2行(-0)=F(jt)e,&dt=，F(jt)所以F(jt)2二f(-，)證畢若f是一個偶函數，

3、即f(t)t)= =f，相應有f(f)=f，則式(3-56)(3-56)成為F(jt)f2二f()(3-57)(3-57)可見，傅里葉變換之間存在著對稱關系，即信號波形與信號頻譜函數的波形有著互相置換的關系，其幅度之比為常數 2 2n n。式中的一表示頻譜函數坐標軸必須正負對調。例如f(t)=c.(t)-F(j-)=1F(jt)=1-2二f(,，)=2二、.(,，例 3-73-7 若信號f的傅里葉變換為試求f(t)。解將F(j中的切換成 t,t,并考慮F(j為 6 的實函數，有tT/2f(t)為抽樣函數，其波形和頻譜如圖3-203-20 所示。個Fj)A-./20/2f(t)，F(j，)f(a

4、t)-F(j)(a(a 為大于零的實常數)(3-59)(3-59)aa證明因a0,由if(at)4=f(at)etdt令x=at,則dx=adt,代入前式，可得，f(x)=f(x)e/adx-=1F(j)證畢一aaaF(j沿頻率軸擴展( (或頻率尺度壓縮) )a a 倍。該性質反映了信號的持續時間與其占有頻帶成反比，信號持續時間壓縮的倍數恰好等于占有頻帶的展寬倍數，反之亦然。例 3-83-8 已知t：二./4t-./4,求頻譜函數F(jO)o解前面已討論了F(1，)-F(j.)If(t)為實函數f(t)為虛函數(3-58)四、尺度變換性函數f(at)表示f(t)沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展)

5、)a a倍，而o oF(j-)一a則表示rEf(t)=0F0(卜J/.Sa(=根據尺度變換性，信號f(t)比3的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數1-E.F(j-.)F(j)=-Sa()2224兩種信號的波形及頻譜函數如圖 3-213-21 所示。Af(t)五、時移性若f(t)F(j-)f(t_t。)-F(j-)et0(3-60)(3-60)的頻譜函數，且f0(t)=，0t：二./2t./2-./20./2-./40/4此性質可根據傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時域f(t)平移時間打，則其頻譜函數的振幅并不改變，但其相位卻將改變0：.；：tF2(j.)則1fi(t)f2

6、(t)Fi(j.)-F2(j-.)(3-67)(3-67)2二或fi(t)f2(t卜Fi(j2二f)Fz(j2二f)例 3-183-18 利用頻域卷積定理求f f=tU=tU的傅里葉變換F(j切解：因為二(t)、j.,由對稱性jt2二(-)-2二二()有tj2二二()U(t)一n()j所以根據頻域卷積定理f(t)=tU(t)F(j-.)=-Ij2r：/.(.):、.(.，),2二11j二c.(,)二門(，)二j二二(，)、,.0F(j-.)=j7：._/1(j.)F2(j.)d.(3-71)(3-71)jo十三、帕塞瓦爾定理fi(t)Fi(j.)f2(t)F2(j.)二f1曲f2(t)dtF1

7、(jco)F2(jco)d(c(3-68)(3-68)J-sO可推廣_-:f1(t)2dt，,：；2,一1(5(3-69)69)fi為實函數，則2f1(t)dt2二一F1(j.)d.(3-7。)f1(t), ,f2為實函數，則,J.f1(t)f2(t)dt:二22-：:1Sa(-)d=2Sa(一)2Sa(，)d，二二42二二二又2Sa(.).G2(t)由帕塞瓦爾定理可得二一2,熏 3Sa()d-=一G2(t)G2(t)dt=二-二2-工十四、奇偶性若f(t)F(j)=F(8)e0=R(0)+jX(8)，則(1)(1)當f為實函數時，則F(O)=F(jCO)=F(_C0)R(C0)=R(co)、

8、1(3-72)：(，)-(_，)X(.)-X(-.)若f為實偶函數，即f=f(t),則F(j.)=F,)=R(.)X()=0若f為實奇函數，即f=-f(-D,則Fj)=jX;(虛奇函數)(3-74)R()=0(2)(2)當f(t)為虛函數，即f(t)=jx(t)時，則傅里葉變換的基本性質歸納如表 3-33-3 所示。表 3-33-3 傅里葉變換的基本性質(實偶函數)(3-73)F(.)=F(-，);：C)二:(一，)R()-R(-)X()=X(-，)(3-75)性質名稱時域頻域1.1.線性afdt)+bf2(t)aF-j+bF2(jm)2.2.對稱性F(jt)2力(-0)3.3.折疊性f(-1)F(心)4.4.尺度交換性f(at)1.8一F(j)aa5.5.時移性f(tt)l/書戰F(j0)e-j6.6.頻移性e皿tf(t)Fj10。)7.7.時域微分ndf(t)dtnn(j)F(j)8.8.頻域微分tnf(t)n,.、ndFj)(j)ndo9.9.時域積分tff(x)dxF(jCO)+nF(0)6(0)j10.10.頻域積分Q.1,、m(0)