1、平面向量講義§2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念1向量：既有_，又有_的量叫向量2向量的幾何表示：以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作_3向量的有關(guān)概念：(1)零向量：長度為_的向量叫做零向量，記作_(2)單位向量：長度為_的向量叫做單位向量(3)相等向量：_且_的向量叫做相等向量(4)平行向量(共線向量)：方向_的_向量叫做平行向量，也叫共線向量記法：向量a平行于b，記作_規(guī)定：零向量與_平行考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念例1判斷下列命題是否正確，并說明理由若ab，則a一定不與b共線；若，則A、B、C、D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn)；在平行四邊形ABCD中，一定有；若向量a與任一向量b平行，則a0；

2、若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac.變式訓(xùn)練1判斷下列命題是否正確，并說明理由(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若向量|a|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意|a|b|，且a與b的方向相同，則ab；(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反考點(diǎn)二向量的表示方法例2一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50°走了200 km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn)(1)作出向量、；(2)求|.考點(diǎn)三相等向量與共線向量例3如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，

3、且a，b，c.(1)與a的模相等的向量有多少個？(2)與a的長度相等，方向相反的向量有哪些？(3)與a共線的向量有哪些？(4)請一一列出與a，b，c相等的向量§2.2平面向量的線性運(yùn)算1向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作a，b，則向量_叫做a與b的和(或和向量)，記作_，即ab_.上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則對于零向量與任一向量a的和有a0_.(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作a，b，則O、A、B三點(diǎn)不共線，以_，_為鄰邊作_，則對角線上的向量_ab，這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法

4、則2向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：ab_.(2)結(jié)合律：(ab)c_.3. 相反向量(1)定義：如果兩個向量長度_，而方向_，那么稱這兩個向量是相反向量(2)性質(zhì)：對于相反向量有：a(a)_.若a，b互為相反向量，則a_，ab_.零向量的相反向量仍是_ 4. 向量的減法(1)定義：aba(b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的_(2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作a，b，則向量ab_.如圖所示(3)幾何意義：如果把兩個向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點(diǎn)為_，被減向量的終點(diǎn)為_的向量例如：_.5向量數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量a的積是一個_，這種運(yùn)算叫做向量的_，記作_，其長度與方向規(guī)定

5、如下：(1)|a|_.(2)a (a0)的方向；特別地，當(dāng)0或a0時(shí)，0a_或0_.6向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1)(a)_.(2)()a_.(3)(ab)_.特別地，有()a_；(ab)_.7共線向量定理向量a (a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使_8向量的線性運(yùn)算向量的_、_、_運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)、1、2，恒有(1a±2b)_.考點(diǎn)一運(yùn)用向量加法法則作和向量例1如圖所示，已知向量a、b，求作向量ab.變式訓(xùn)練1如圖所示，已知向量a、b、c，試作和向量abc.考點(diǎn)二運(yùn)用向量加減法法則化簡向量例2化簡：（1）； (2)； (3).（4）()()

6、 (5)()()；（6）()()變式訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn)(1)_；(2)_；(3)_；(4)_.變式訓(xùn)練3如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點(diǎn)，設(shè)a，b，c，求證：bca. 考點(diǎn)三 向量的共線例3設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量me1ke2 (kR)與向量ne22e1共線，則()Ak0 Bk1Ck2 Dk 變式訓(xùn)練4 已知ABC的三個頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，且，則()AP在ABC內(nèi)部BP在ABC外部CP在AB邊上或其延長線上DP在AC邊上 考點(diǎn)四：三點(diǎn)共線例4兩個非零向量a、b不共線(1)若Aab，B2a8b，C3(ab)，求

7、證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)求實(shí)數(shù)k使kab與2akb共線變式訓(xùn)練5 已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是() AB、C、D BA、B、C CA、B、D DA、C、D變式訓(xùn)練6 已知平面內(nèi)O，A，B，C四點(diǎn)，其中A，B，C三點(diǎn)共線，且xy， 則xy_.§2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個_向量，那么對于這一平面內(nèi)的_向量a，_實(shí)數(shù)1，2，使a_.(2)基底：把_的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)_向量的一組基底2.兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個_a和b，作a，b，則_ (0°

8、180°)，叫做向量a與b的夾角范圍：向量a與b的夾角的范圍是_當(dāng)0°時(shí)，a與b_.當(dāng)180°時(shí)，a與b_.(2)垂直：如果a與b的夾角是_，則稱a與b垂直，記作_3平面向量的坐標(biāo)表示(1)向量的正交分解：把一個向量分解為兩個_的向量，叫作把向量正交分解(2)向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個_i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使得a_，則_叫作向量a的坐標(biāo)，_叫作向量的坐標(biāo)表示(3)向量坐標(biāo)的求法：在平面直角坐標(biāo)系中，若A(x，y)，則_，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則_.4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)

9、算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab_，即兩個向量和的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab_，即兩個向量差的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差(3)若a(x，y)，R，則a_，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)5兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)當(dāng)ab時(shí)，有_(2)當(dāng)ab且x2y20時(shí)，有_即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例6若，則P與P1、P2三點(diǎn)共線當(dāng)_時(shí)，P位于線段P1P2的內(nèi)部，特別地1時(shí)，P為線段P1P2的中點(diǎn)；當(dāng)_時(shí)，P位于線段P1P2的延長線上；當(dāng)_時(shí)，P位于線段P1P2的反向延長線上

10、考點(diǎn)一對基底概念的理解例1如果e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()e1e2(、R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對于平面內(nèi)任一向量a，使ae1e2的實(shí)數(shù)對(，)有無窮多個；若向量1e11e2與2e12e2共線，則有且只有一個實(shí)數(shù)，使得1e11e2(2e12e2)；若存在實(shí)數(shù)，使得e1e20，則0.A B C D變式訓(xùn)練1設(shè)e1、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：e1與e1e2；e12e2與e22e1；e12e2與4e22e1；e1e2與e1e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是_(寫出所有滿足條件的序號)考點(diǎn)二用基底表示向量例2如圖，梯形ABCD中，A

11、BCD，且AB2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若a，b試用a，b表示、.變式訓(xùn)練2如圖，已知ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，若a，b，用a，b表示，. 考點(diǎn)三平面向量基本定理的應(yīng)用例3如圖所示，在ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求證：APPM41. 變式訓(xùn)練3如圖所示，已知AOB中，點(diǎn)C是以A為中點(diǎn)的點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，2，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求實(shí)數(shù)的值 考點(diǎn)四平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4已知平面上三點(diǎn)A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)，求(1)；(2)2；(3).變式訓(xùn)練4已知a

12、(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.考點(diǎn)五平面向量的坐標(biāo)表示例5已知a(2,3)，b(3,1)，c(10，4)，試用a，b表示c.變式訓(xùn)練5設(shè)i、j分別是與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，ai(2m1)j，b2imj (mR)，已知ab，求向量a、b的坐標(biāo)考點(diǎn)六平面向量坐標(biāo)的應(yīng)用例6已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)變式訓(xùn)練6已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,7)，(4,6)，(1，2)，求第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)七平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算例7已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a3b平行？平行時(shí)

13、它們是同向還是反向？變式訓(xùn)練7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？考點(diǎn)八平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例8已知點(diǎn)A(3，4)與點(diǎn)B(1,2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|2|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)變式訓(xùn)練8已知點(diǎn)A(1，2)，若向量與a(2,3)同向，|2，求點(diǎn)B的坐標(biāo)考點(diǎn)九利用共線向量求直線的交點(diǎn)例9如圖，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo) 變式訓(xùn)練9平面上有A(2,1)，B(1,4)，D(4，3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且，連接DC，點(diǎn)E在CD上，且，求E點(diǎn)坐標(biāo)§2.4平面向量的數(shù)量積1平面向量

14、數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量_叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中是a與b的夾角(2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_(3)投影：設(shè)兩個非零向量a、b的夾角為，則向量a在b方向的投影是_，向量b在a方向上的投影是_2數(shù)量積的幾何意義a·b的幾何意義是數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_的乘積3向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b_(交換律)；(2)(a)·b_(結(jié)合律)；(3)(ab)·c_(分配律)4平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若a(x1，y1)，b(

15、x2，y2)，則a·b_.即兩個向量的數(shù)量積等于_5兩個向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab_.6平面向量的模(1)向量模公式：設(shè)a(x1，y1)，則|a|_.(2)兩點(diǎn)間距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|_.7向量的夾角公式設(shè)兩非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為，則cos _.考點(diǎn)一求兩向量的數(shù)量積例1已知|a|4，|b|5，當(dāng)(1)ab；(2)ab；(3)a與b的夾角為30°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積變式訓(xùn)練1已知正三角形ABC的邊長為1，求：(1)·；(2)·；(3)&#

16、183;.考點(diǎn)二求向量的模長例2已知|a|b|5，向量a與b的夾角為，求|ab|，|ab|.變式訓(xùn)練2已知|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|.考點(diǎn)三向量的夾角或垂直問題例3設(shè)n和m是兩個單位向量，其夾角是60°，求向量a2mn與b2n3m的夾角變式訓(xùn)練3已知|a|5，|b|4，且a與b的夾角為60°，則當(dāng)k為何值時(shí)，向量kab與a2b垂直？考點(diǎn)四向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4已知a與b同向，b(1,2)，a·b10.(1)求a的坐標(biāo)；(2)若c(2，1)，求a(b·c)及(a·b)c.變式訓(xùn)練4若a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，則(a&#

17、183;b)·c_；a·(b·c)_.考點(diǎn)五向量的夾角問題例5已知a(1,2)，b(1，)，分別確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角變式訓(xùn)練5已知a(1，1)，b(，1)，若a與b的夾角為鈍角，求的取值范圍考點(diǎn)六向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例6已知在ABC中，A(2，1)、B(3,2)、C(3，1)，AD為BC邊上的高，求|與點(diǎn)D的坐標(biāo)變式訓(xùn)練6以原點(diǎn)和A(5,2)為兩個頂點(diǎn)作等腰直角OAB，B90°，求點(diǎn)B和的坐標(biāo)§2.5平面向量應(yīng)用舉例1向量方法在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問

18、題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：ab(b0)_.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：ab_.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos _.(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|_.2力向量力向量與前面學(xué)過的自由向量有區(qū)別(1)相同點(diǎn)：力和向量都既要考慮_又要考慮_(2)不同點(diǎn)：向量與_無關(guān)，力和_有關(guān)，大小和方向相同的兩個力，如果_不同，那么它們是不相等的3向量方法在物理中的應(yīng)用(1)力、速度、加速度、位移都是_(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的_運(yùn)算，運(yùn)動的疊加亦用到向量的合成(3)動量m是_(4)功即是力F與所產(chǎn)生位移s的_考點(diǎn)一 三角形問題例1點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足···，則點(diǎn)O是ABC的()A三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn) D三條高的交點(diǎn)變式訓(xùn)練1 在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，則BC邊的中線AD的長是()A2 B. C3 D.變式訓(xùn)練2 若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|2|，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形變式訓(xùn)練3 設(shè)平面上有四個互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知(2)·